(navigation image)
Home American Libraries | Canadian Libraries | Universal Library | Community Texts | Project Gutenberg | Children's Library | Biodiversity Heritage Library | Additional Collections
Search: Advanced Search
Anonymous User (login or join us)
Upload
See other formats

Full text of "Bulletin - Société mathématique de France"

Digitized by the Internet Archive 

in 2010 with funding from 

University of Ottawa 



http://www.archive.org/details/bulletinsoci33soci 



ii\^ 



/. 



BULLETIN 



DE LA 



SOCfÉTÉ MATHÉMATIQUE 



DE FRANCE. 



363(0 



Vuv.s. — Imprimerie GAUriIlEK-VlLLAKS. quai .les (;raniis Aii|,'u>lins, Sb. 



<> 



lUILLiri IN 



SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE 



DE FRANCE, 



PUBLIE 



l'Ai! LES SECRETAIKES, 



TOME TRENTE-TROISIÈME. - ANNÉE 1905 



PARIS, 






AU SIÈGE DE LA SOCIETE 

A LA SORBOANE. 

1905 



QA 



$£■9 

t. 23-35 



/ 



y- 



ÉTAT 



K 1,A SOCIKTK MATIiyUTiaUlî l)K l'IUNCIi 

Ail COVIMI'^JJ.KMKNI DM I/AiMiM-:!': l'JU5 ('). 



l\l<'inl)r»'s lioiiorin'res du LUiieaii. 



Membres du Conseil(') 



MM. Appraj,. 

DAKHOIJX. 

(ilJYOlJ. 

Il A ION DK I.A (iOlJIMLLIKKU:. 

HUMHKKT. 

JOKDAN. 

MvVNMIKIM. 

MIIIAG-LEIFLKR. 

riCAKI). 

POlNCAr.li. 

V()i;h<:kka. 

ZlilJIHEN. 



J'iosideiit MM 

i 

Vice-Présidents 

Seci'élaiies ^ 

Vice-Seciélaii'es , 

Archiviste 

Irésorier 

/ 



nOUEL. 

lUOCHE. 
UMJTEL. 
HlUCAKi). 
IIADAMAIU). 

GRÉVY. 
UAI'KY. 

ESTANAVE. 
LE AU. 

SERVANT. 
CLAUDE-LA EONTAIINE. 

AÎVDOYER, 1007. 
ANDRÉ, 1907. 
ROURLET, 1908. 
CAR V ALLO, 1908. 
FONTENÉ, 1908. 
FOURET, 1907. 
KOEMGS, 1906. 
LECORNU, 190G. 
MAILLE r, 1908. 
PAIN LEVÉ, 1907. 
PERRIN (R.), 1900. 
TOUCHE, 190G. 



(') MM. les Membres de la Société sont instamment priés d'adresser au Secrétaria 
les rectifications <|u'il y aui-ail lieu de Caire à celte liste, 

(-) La date (|ui suit le nom d'un membre du Conseil indique l'année au com 
mencemenl tic la<iuelle ex[>ire le mandat de ce membre. 



— VI — 
Date 
de 

l'admission 

1872. ACIlAlin, ancien {lireclciir de la Compagnie d'assurances sur la vie hi Foncière, 
rue lie la 'l'errasse, G bis, à Paris (i-^*). 

1000. ACKERMAW-iECBMîU, éditeur, à Leipzig. 

1893. ADAM (Paul), in[;énieur des ponts et chaussées, docteur es sciences mathématiques, 

boulevard des Invalides, /îo, à Paris (7*). 

1900. AOIIKMAU (vicomte Robert d"), professeur suppléant à la Faculté libre des Sciences, 

place de Genevières, i/j, à Lille (Mord). 

18î)6. A\DOYEU, professeur à la Faculté des Sciences, rue du Val-de-Grâce, i, à Paris {b')- 

1894. ANDKADE, professeur à la Faculté des Sciences, i, rue do la Moiiillière, à Besançon. 
1872. AM)UE ( Désiré), docteur es sciences, rue Bonaparte, 70 bis, à Paris (G''). 

1901. A\rdBO(JST,rue d'Assas, 10^,, à Paris (6»). 

1879. APPEMi, membre de l'Institut, doyen do la Faculté des Sciences et professeur à l'École 
Centrale des Arts et Manufactures, rue Ronapiirte, 17, à Paris (G""). 

1900. AIHIC, ingénieur des ponts et chaussées, à Valence (Drôme). 

1882. AUiOI\Ii\E, ingénieur des ponts et chaussées, rue Mont-Bernard, 9, î» Lyon (Rhône). 

1900. BVIRE, docteur es sciences, maître de conférences à la Faculté des Sciences de Mont- 
pellier ( Hérault). 

1S96. RAKEK, professeur à l'Université, à Toronto (Canada). 

1891. BAI.ITRAM), ingénieur, à Métlaoui (Tunisie). 

1889. DE(illl\, ancien élève de l'École Polytechnique, rue du Champ-de-Mars, 22, à 
Paris (7«). 

1875. lIEUnKLLE, ancien garde général des forêts, à Rioz (Haute-Saône). 

190i. BEHi\SiEI.\, docteur es sciences, rue de la Tonibe-lssoire, i[\[:^, à Paris (i/j^)- 

1872. IIIEi\AVME (Arthur), inspecteur général du génie maritime en réserve, rue Revel, \f\, 

à 'Joulon ( Var). 

1888. DIOrill'î, professeur au lycée Louis-le-Grand, rue Notre-Dame-des-Champs, 56, à 
Paris (6"). 

1875. IMSCIIDEFSIIEIM, membre de l'Institut, rue Tailbout, 3, à Paris {cf). 

1898. OliAKE (Edwin-M.), Université d' Arizona, à Tucson (Arizona, États-Unis). 

1900. BLIMEIMTIIAL (Otto), docteur en philosophie, Scinvanallée, 7, à Marbourg (Allemagne). 

1891. BfilJTEIj, professeur au lycée Saint-Louis, chargé de conférences à la Faculté des 

Scienc(!s, rue Denfert-Rochcreau, no, à Paris (t'j^). 

1902. BOllEllIL (vicomte Roger du), rue d'Orléans, 3o, à Rennes ( Illc-et-Vilaine). 

1892. BOXAPAIUE (prince Roland), avenue d'Iéna, 10, à Paris (iG"). 

1895. BOUEL, professeur-iidjoint à la Faculté des Sciences, boulevard Arago, 2, à Paris (i3"). 

1896. BOIJLAX'GEB, maître de conférences à l'Université, rue Caumarlin, 78,3 Lille (Nord). 

1896. BrtUUCiEr (Henry), maître de conlérences à la Faculté des Sciences, rue Saint-Jacques, 
20, il Toulouse (Haute-Garoiine). 

1896. BOUBIjET, |>rofesseur à l'École des Beaux-Arts et au lycée Saint-Louis, avenue de 

l'Observatoire, 22, à Paris (i4')« 

1903. BOl]II\, rue La Viouville, 26, à Paris. 

1904. BIHJTROl.V (P.), docteur es sciences, rond-point Bugeaui, 5, à Paris (iG"). 

1900. BllKiriJ\G, proviseur du lycée Saint-Louis, boulevard Saint-Michel, 44? ^ Paris (6*). 

1897. BllICUlD, ingénieur des manufactures de l'État, répétiteur a l'École Polytechni(iue, 

i)oulevaid Raspail, 295, à Paris (14"). 

1873. BUOCAUU.chef de bataillon du génie en retraite, Ville-Haute, 76, à Bar-le-Duc. 

1901. BDlHi (Adolphe), niaitro do ct)nférences à la Faculté des Sciences, rue de Villc- 

i'rauche, 4, » MunlpolUcr (llciault). 



— VII — 
Dnie 
de 
l'aiJuit9!>ion. 

1893. IUlUKIhUDT, urofossoiir à rUnivorsJlr, Kroiiz|ilal/,, i, à Zfiri(;li (Suisse). 

1(S'.)7. (IVUKKIllA, incrnhiMî de l'Acadéinie royale des vScieiices, ma da AIe(;ria, 3'i, à Lisbonne. 

18'.)i. CAIIKN, professeur an coîlège Uollin, 3>, nie de la Pompe, à Paris (iG"). 

1893. ("lAI-DAUKUA, professeur à l'ilniversilé, palaz/.o Giampaolo, via dclla Liherta, à Palerme. 

1888. CA\KT (Giislave), in(;énienr civil, directeur de l'artillerie de MM. Schneider et C'% 

av<Mui(^ Ileiiri-IMartin, 87, à Paris (l'i"). 

1885. CAKO\, professeur de géoniétrie descriptive, rue Claude-liernard, 71, à Paris (5"). 

189*2. r.AUOX!\KT, docteur es sciences nialljénialiqnes, rue Demours, 62 bis, h Paris (17*). 

1896. CjAUTAX, niaiLrc de conférences à la Faculté de» Sciences, rue Suchel, 38, à F,yon. 

1887. CAIlVAFiliO, examinateur dessertie à l'École Polytechnique, rue Clovis, i,à l'aris(.V). 

1890. (IbnKUrJlKlTZ (baronne Nanny, née de Lagerborg), Unionsgatan, 4> à Heisingfors. 

189?. (IKlild'MtlKU (Gustave), quai des Eaux-Vives, 3/|, à Genève (Suisse). 

1887. riKIUlliil, piofessetir à l'Université, piazza S. Pielro in vincoli, 5, à Kome (Italie). 

1888. (:ilAILA!\I (Edouard), rue Bertliollet, 16, à Paris (5'^). 

1893. CIlAItLlAT, ingénieur des arts et manufactures, rue de Paradis, /|6, à Paris (10*). 
189G. CIIARVE, professeur à la Faculté des Sciences, cours Pierre-Puget, Go, à Marseille. 

1881 . r.llEMliV, ingénieur en chef des ponts et chaussées, avenue Montaigne, 33, à Paris (8*). 

1884. CIIIIVSTAL, prolésseur à l'Université, à Edimbourg (Ecosse). 

1901. CLAIRIX, docteur es sciences, maître de conférences à la Faculté des Sciences, rue 
Jacquemars-Giélée, b-j bis, à L.ille (Nord), 

1875. CliAlIDIÎ-LAFOiMAIM*:, banquier, rue de Trévise, 32, à Paris (c/). 
1890. TiOLOT, château du Seuil, à Gérons (Gironde). 

1898. COMnEBIAC, capitaine du génie, docteur es sciences, à Limoges. 

1900. COMITE (Firmin), ingénieur des ponts et chaussées, à Gonimercy (Meuse). 

1896. CO.SSEKAl (E.), professeur à la Faculté des Sciences, rue de Metz, i, à Toulouse. 

1896. COSSEUAT (F.), ingén. en chef des pouts et chaussées, rue d'Alsace, 23, à Paris (10*). 

1900. COTIOX (Emile), professeur adjoint à l'Université de Grenoble. 
1904. CCUTISS, Lawrence street, 220, New-Haven ( Connecticut, États-Unis). 

1872. UAUnOIIX, secrétaire perpétuel de l'Académie des Sciences, doyen honoraire de la 
l''aculté des Sciences, rue Gay-Lussac, 36, à Paris (5"). 

1885. DAITIIEVIIjFjE, doyen de la F'aculté des Sciences, cours Gambetta, 27, à Montpellier 

(Hérault). 

1882. DEIiANXOY, sous-intendant militaire en retri'.ile, àGuéret ((jreuse). 

1901. DELASSIS, professeur à la Faculté des Sciences, chemin de Chastre-Monjoux, à 

Besançon. 

1895. DELAliVAY (IN.), professeur à l'Institut Polytechnique Empereur Nicolas II, à Varsovie. 

1899. DEliEMER, ingénieur des pouls et chaussées, place Simon-Vollant, 10, à Lille (Nord). 

1885. UEMAUillKS, doyen de la Faculté des Sciences, avenue Saint-Maur, à la Madelciue- 
lés-Lille (Nord). 

1892. DKMOtlill\ ( Alp.), professeurà l'Université, rue du lias-Polder, 20, à Gand (Belgique). 

1897. DEMS (Henry), élève libre à l'Ecole d'ap|)licalion du Génie mari lime, rue de Fleu- 

rus, 23, à Paris (6*). 

1883. DEUIJATS, professeurà l'Université, rue des Augustins, 3.'), à Liège (Belgique). 

1894. DESAIiVT, docteur es sciences, boulevard Gouvion-Saint-Cyr, 47? i^ Paris (17'). 

1900. DlCKSrEI\, Marszatkowska, 117, Varsovie. 

1902. blEGllI'Z (D.-F.), professeur de nyathémaliqives à l'École provinciale des Arls et 

Industries, calle del Orzan, 4-3"", à La Gorugiie (Espagne ). 



— VIII 

Date 
de 

l'admission . 



1899. DRACII (Jtilos), charge de cours à la ('"acuité des Sciences, rue des Carmcliies. 08, 

à l'oilicrs. 

189G. niJMAS (G.), docteur de l'IIniversité de Paris, privat-doccnl à l'École l'oIyt(Mlini(jue 
réd(''ral(', à Ziii'ich (Suisse). 

1897, DIIMOiVT, professeur au lycée, rue Royale, lo, à Annecy (Haute-Savoie). 

188G. l)lIi\CAIV, Consulting Enginecr, Empire Building, Broad\Yay, 71, New-York City. 

1897. DURAIV-LORIGA, command. d'artillerie, plaza de Maria Pita. 20, à la Coroj;ne (Espagne). 

1885. DVCK (Walllier), Technischc Hochschule, à Munich (Havière). 

1902. KGOROKF (Dimitri), professeur à l'Université, Iia/{joulaï, 2" gymnase, à Moscou 

( Russie). 

1003. ESl'AMT, ingénieur civil, rue Rerthollct, 2, à Paris {b''). 

1900. ESTA\AVE, docteur es sciences, à la Sorbonne, à Paris (5^). 

1900. KSriEWE, capitaine au 19" régiment d'artillerie, à Nice. 

189G. EDVKUTE, ancien élève de l'École Polytechnique, ancien capitaine d'artillerie, ingé- 
niiuir aux Forges de Denain (Nord). 

1888. EAIiUY, professeur à la Faculté des Sciences, 17, rue Chaplal, à Montpellier (Hérault). 
19()i, FATOl], astronome-radjoint à rObservatoire, rue des Lrsulines, lô, à Paris (5"). 

1891. rAi;OlE,MnEUf.lJE, professeur au lycée, à Monl-dc-Marsan (Landes). 

1892. EEIIU (Henri), professeurà l'Université, rue Ph.-Plantamour, 19, à Genève (Suisse ). 

1885. I''IEIiJ)S(J.), professeur de mathématiques, Liberty strect, 21, à Hamilton (Canada ). 

1881. l'IiOQlJET, professeurà la Faciillé desSciences, rue de la Conunanderie, 21, àNancy. 

1872. riiYE SAIME-MAIUE, clief d'escadron d'artillerie en retraite, ancien ié|)étileur à l'École 
Polytecliiii(iue, place Royer-Collard, à Vilry-le-François (Marne). 

1896. KOiNTAXEAU, ancien oflicier de marine, cours Rugeaud, 8, à Limoges ( Hanle-Vienne ) . 

1897. EOXTEi\E, inspecteur de l'Académie de Paris, rue Le GofT, 7, à Paris (5"). 

1891. FO\TVI»IiANT (de), professeur à l'École Centrale, rue d'Erlanger, 29, Paris SG-). 

1903. FOUn (Walter R.), à VVilliamstown (Massachusetts, États-Unis), 

1889. FOIXIIE, professeur de mathémati(|ues, rue Soufllot, 5, à Paris (5*^). 

1872, FQIUET, oxaminateur à l'École Polytechnique, avenue Cainot, /| , h Paris (17°). 
1903. FUAISSE, agrégé de l'Université, boulevard SauH-Germain, 2o3, à Paris (G''). 

1901, FIIRCIIEI, agrégé de Mathématiques, rue Rausset, 7, à Paris. 

1892. FKOI-OV (le général), quai des Eaux-Vives, 36, à Genève (Suisse).. 
1903. FUliiEH, rue de l'Abbé-de-l'Épée, i/J, à Paris (5«). 

1900. riA1.l)EA\() (Z.-S. de), professeur à l'Université, corso 99, 3, à Saragosse. 

1872. (iAlUEIi, ingénieur en chef des ponts et chaussées, professeur à la Faculté de Médecine, 
rue Édouurd-Detaille, 6, à Paris (17®). 

1896. GAITIIIEU-VILLAIIS, ancien élève de l'École Polytechnique, éditeur, quai des Grands- 
Auguslins, 55, à Paris (<)"). 

1890. (iEIMMA, professeur libre à l'Université, à Palerme (Italie). 
>72. (iE\TV, ingénieur en chef des ponts et chaussées, avenue Bapp, 20, a Paris (7"^). 

GEIUIALDI, professeur à l'Université, via Daila, 11, à Palerme (Italie). 

(iE|{l{A\S, prolesseur h Worcester Collège, Saint-John slreet, 20, à Oxford (Grande- 
Rretagne). 

(JIllAiU)VIidiE, capitaine d'artillerie, rue Michelet, G, à Montreuil-sous-Rois (Seine). 

1903. GODEV, ancien cleye de l'Éccde Polytecliuique, rue du Rois-de-lioulorne, -, à 
Paris (iGN, b . 



1890, 
1897 

1896. 



— IX — 



Dnip 
l'ail iiiissioii. 



1881. (îOllIlSAT, p^()(\^HS(MlI• h l.i l;iriill{' dos Sciences, ri-pclilcMif à l'I'lcole I*oIyl('cliiii(|iic;, 
Ixmlcvard Kasp;ul, .«^o, a Paris ( i/j" ). 

18U(). (IIM'lK\IIIIJi, processeur à l'École d'arlillorie, à Woolvvicli ( (;rande-Hrela{jiie). 

18'.)(). (lUKVY, |>iofesseur au lycée Sainl-Louis, rue Saiiit-IMaeide, f)'^, à Paris (0"). 

189'.). GIIADKT, ancien élève de l'Kcole l*olyleclini(pie, boulevard Sainl-Oermain, -a^o bis, à 
Pans (7"). 

1880. GllCdIV ( .lean ), prorcsseurà rUniversilé, via Riigfjiero Setliino, .'lo, à l'alerme (Italie). 
lUOO. ClICllAUn, prol'esscnr h l'Université de Clermont-Fcrrand. 

1891. GiniAUAKS, olTicier du {jénie, à rAcadeiiiie des Sciences, rue Nova da Piedad*;, 5'), 

h i.ishonnc ( PorlU{i[al ). 

1881. (IIIMIIKU ( !)■■ Si^fisniond ), professeur à l'Kcole Polytcclini<|ue, à Miinicli ( havièi-e). 

1885. GliVOII, membre de l'Institut, capitaine do frégate, rue de l'Université, i3, à 

Paris (7^). 

Î873. IIAAG, ingénieur en chef des ponts et chaussées, professeur h l'École Polylcîchnique? 
rue Chardin, ii bis^ à Paris (16"). 

1882. IIAIUCII, directeur de l'École des Ingénieurs, a Lima (Pérou). 

189(3. IIADAMARI), professeur adjoint à la Faculté des Sciences, professeur suppléant au 
Collège de France, rue Humboldt, 20, à Paris (i4''')' 

1904. IIALIÎÎUISTADT, ingénieur des Arts et Manufactures, rue des lioulangors, t\\, à Paris (5"). 

189i. llAliSTFJ), professeur à Kenyon Collège, à Gambicr (Ohio, Étais-Unis). 

1901. IIAXCOCk ( Harris), professeur à l'Université de Cincinnati, Auburn Holel (Ohio, 
États-Unis). 

1900. IIAKDKL, villa italienne, à Dicppedalle-Croisset (Seino-lnférieure ). 

1872. IIAT0\ 1)K LA GOUIMMIÈIIE, membre de l'Institut, inspecteur général des mines, direc- 
teur honoraire de l'École des mines, rue de Vaugiraid , .5(i, h Pai-is (G'^). 

1892. lIKItMANIV, libraire-éditeur, rue de la Sorbonne, 8, à Paris (5"=). 

1893. IIIOIIX, professeur en retraite, rue des Fossés-Saint-Jacques, iG, à Paris (5"). 

1879. IlOIiST (Elling), professeuràrÉcolePolytechnique,à Hôvik, piès Christiania (Norvège). 

1895. IIOTT (Stanislas), professeur à l'École S^'-Geneviève, rue Bausset, /|, à Paris (lô"). 

1880. IIU.MIIEHT, membre de l'Institut, ingénieur en chef des mines, professeui' à l'École 

Polytechnique, rue Daubigny, (i, à Paris ('7"). 

1881. niBEIl, directeur des études à l'École Centrale, 33, boulevard Voltaire, à Paris (11' )• 
1903. ISSALY (l'abbé), rue Poquelin-Molière, 9, à Bordeaux. 

1896. JACQlEi (E.), professeur au Prylanée militaire, rue Couchot, 8, à la Flèche. 

1898. JAllXKE, privât docent à l'École Polytechnique de Charlottenburg, Ludwigskirslrassc, G, 
à Berlin W'^ (Allemagne). 

1898. JARUY (N.), ingénieur civil, avenue du Bel-Air, 7, à Paris (12''), 

1872. JAVAUY, chef de bataillon dugénieen retraite, chef des travaux graphiques à l'École 
Polytechni(|ue, rue du Cardinal-Lemoine, i, à Paris (5«). 

1903. JE!N'SE\ ( J.-L.-W.-V.), ingénieur en chef des Téléphones, GI. Kongevej, 80, à Copen- 
hague, V (Danemark). 

1872. JOIinA\, membre de l'Institut, professeur à l'École Polytechnique et au Collège de 
France, rue de Varenne, 48, à Paris (7";. 

1875. JlJi\C, professeur à l'Institut technique supérieur, via Fatebenefralclli, 19, à Milan 
(Italie). 

1890. KOllC (Guslaf), maître de conférences à l'Université, à Stockholm (Suède). 

1892. KOdII (H. vom), niailic de conférences à l'Université, à Djursholm-Slockholni 

(^ Suède ) . 



— X 

Date 

de 

railiiiissiun, 

1880. 



1880 
189G 

1902 



1893 
1895 



KŒ,\IGS, piofossoiir à la Faculté des Sciences de Paris, répétiteur à l'École Poly- 
technique, boulevard Arago, loi, à Paris (i^|«). 

1897. liACAlCIllK, ingénieur civil, chef du Ial)oratoire de la Compagnie générale des Omni- 
bus, rue de Douai, 48, à Paris ( 9«). 

1873. LAISAIMT, docteur es sciences, répétiteur et examinateur à l'École Polytechnique, 

avenue Victor-Hugo, 162, à Paris (i6«). 
1893. LAXCKlilX, astronome adjoint de l'Observatoire, rue Boissonnade, 3, à Paris (1 V')- 

1899. LA\l)Al] (Edmond), privat-docent à l'Université, Sommerstrasse, 2, Berlin, N. W. 

189G. liAKDSK, ingénieur des télégraphes, cité Martignac, 5, à Paris {-]"). 

189G. LAllGRL, ancien attaché d'aml)assade, villa Ensoleillée, à Beaulieu-sur-Mer (Alpes- 
Maritimes). 

1873. LAUTII, manufacturier, à Thann (Alsace). 

1896. LEAU, professeur au lycée Micholet, rue Vavin, 6. à Paris (6«). 

I.KALTE, membre de l'Institut, boulevard de Courcelles, 18, à Paris (17*). 

LKUEL, professeur au lycée de Montpellier, villa Mont-Carmel, avenue Bouisson- 
Bertrand, à Montpellier. 

LEIIESGUB, docteur es sciences, maître de conférences à la Faculté des Sciences, bou- 
levard de la Liberté, 11, à Bennes (Ille-et-Vilaine ). 
1903. LEBELF, directeur de l'observatoire de Besançon. 

LECORMI, ingénieur en chef des mines, professeur à l'École Polytechnique, rueCay- 
Lussac, 3, à Paris (5"^). 

LEMEIIAY, licencié es sciences, ingénieur civil du génie maritime, boulevard de 
l'Océan, 5t, à Saint-Nazaire ( l.oire-lnferieure ), 
1872. liEM01i\E (Emile), ancien élève de l'École Polytechnique, place Pereire, 5, à Paris (17^). 
lOO'l. LEJIOWE (T.), rue Ciiampollion. 11, à Paris (5«). 

1879. LE l'AIGE, professeur à l'Université, à l'observatoire de Cointe, à l.iége (Belgique). 
1895. LE UOIIX, professeur à la Faculté des Sciences, rue de Chàteaudun, 17, h Rennes. 
1898. LE KOY, docteur es sciences, rue Notre-Dame-des-Champs, ^7, à Paris (6^). 
1891. liERY, agent voyer d'arrondissement, à Pontoise ( Seine-el-Oise). 

1900. LEVI CIMTA (T.), professeur à l'Université, via Altinate, i4, à Padoue (Italie). 

1882. liEVY (Lucien), répétiteur et examinateur d'admission à l'École Polytechnique, rue 
du Regard, 12, à Paris (G"). 

1872. LEVY (Maurice), membre de l'Institut, inspecteur général des ponts et chaussées, 
professeur au Collège de France, avenue du Trocadero, i5, à Paris (iG*'). 

1875. I-EZ (Henri), à Lorrez-le-Bocage (Seine-et-Marne). 

1898. LI\l)EL()E(Ernst), professeur à l'Université, INylandsgatan, i5,à Helsingfors (Finlande). 

1877. LI\DEMAI\\, professeur à l'Université, Franz-Josephstrasse, 12, à Munich (Bavière). 

188G. LIOlIVIIiLE, ingénieur des poudres, examinateur des élèves à l'École Polytechnique, 
quai Henri-lV, 12, à Paris (4''). 

1900. liOVEir (E.-O), professeur à Princeton University, New- Jersey (États-Unis). 

1888. liUCAS (Félix), ingénieur en chef des ponts et chaussées, rue Boissière. 3o. à 
Paris (i6«). 

1902. LUCAS-GlUARDVIIiLE, ingénieur des manufactures de l'État, :\Ianufaclure des Tabacs, à 
Toulouse. 

1902. LIC4S DE 1»ESL9LA\, ancien élève de l'École Polytechnique, rue Marbeuf, 8, à Paris (8»). 

1886. FiYO\, docteur es sciences mathématiques, chemin de la Roseraie, 26, à Genève 

( Suisse). 

1882. MAliE DE l,EI'INAY, professeur de malhémaliqjies spéciales au lycée Henri IV, rue 
Claude-Bernard, 79, à Paris (5"). 

1895. MAILLET, docteur es sciences, ingénieur des ponts et chaussées, rue de Fuutenay, 11, 
a Bour^-la-Rcine (Seine). 



— XI — 

Dnle 

<io 

l'odinlsslun . 

1872. MAWIIKIM, colonel d'artilliM-H» en rotntilo, profossoni- lioiiorairo à l'Hcolc l'olytccli- 

ni(iiie, houlcvard Ucanscjour, i, à Paris (iG"). 

1903. MVIIOTTM, piofcssiMir au lycée CharIcinaiTiic, iik; de ricuilly, .;.') bis, à Paris {rj."). 

1884. M.\KTI\ (Artcinas), N. Slreef, (jiT), N. VV., à Washington D. C. ( ittals-Unis). 

1881). MAUri\ (Emile), ancien élève de l'Kcole Polytechnique, prof(!Sseur de matliéma- 
ticjuos, rue des Fossés-Saint-Jacques, 'rx, à Paris (')'). 

1901. MASSVl] (J. ), professeur à rUuiversilé, rue Maruix, 2,i, à Oaud (Rel{jique). 

1894. MADIMX, prolesseur au collège, rue de l'Arceau, 3o, à Saintes ( Charente-Inférieure ). 

1897. MEIIMKIÎ, professeur à Tlicole technique supérieure, Wcisseiui)urf;strasse, 29, a 
Stuttgart (Wurtemberg). 

1889. MENDIZAIIAL iAMBOHEL (m-,), memhre de la Société de Géograpliie de Mexico, callede 
Jésus, i3, il Mexico (Mexique). 

1884. MEUCEKEAU, licencié es sciences, rue de l'Université, 193, h Paris (7"). 
190-2. WEIILIN (E.), avenue Négrié, /|6, à Forest-lès-HruxelIcs (Belgique). 

1902. MES\Y (K.), professeur d'hydrographie à Saint-Tiopez (Var). 

1904. HIEiZfiER, professeur à l'Université, à Syracuse (État de New-York). 

1893. MICIIKFi (François), chef de parcours de la Compagnie des chemins de fer du Nord, 
faubourg Saint-Denis, 210, à Paris (10®). 

1899. MIIiLKK (D'G.-A.), professeur à Stanford University, Californie (États-Unis). 

1873. MlTTAG-LEFFLEIl, professeur à l'Université, à Stockholm (Suède). 
1904. MIWA, professeur à l'Université de Kyoto (Japon). 

1902. MOLK (J.), professeur à la Faculté des Sciences, rue d'Alliance, 8, à Nancy. 

1897. M0\TCI1EI]IL (l'abbé de), rue du Vieux-Raisin, 11, à Toulouse (Haute-Garonne). 

1898. MO\TESSl]S DE BALLOUE (vicomte Kobert de), maître de conférences à la Faculté libre 

des Sciences, boulevard de la Liberté, 121, à Lille (Nord). 

1903. millW (J.-O.), Kirchweg, 1% à Gôttingen (Allemagne). 
1898. XAIJD (C), éditeur, rue Racine, 3, à Paris (G''). 

1885. N'EDUEHfi, professeur à l'Université, rue Sclessin, 6, à Liège (Belgique). 

1897. NICOLLIEU, professeur, à Monlreux (Suisse). 

1903. KlEliS NIEIiSEN, inspecteur général de l'enseignement secondaire, Norrcbrogade, 67, à 
Copenhague (Danemark). 

1900. MEWENGLOWSKI, docteur es sciences, inspecteur général de l'Université, rue de l'Ar- 

balète, 35, à Paris ( 5*^ ). 
1882. OCAG\E (M.d'), ingénieur des ponls et chaussées, professeur à l'École des F'onts 
et Chaussées^ répétiteur à l'École Polytechnique, rue La Boëtie, 3o, à Paris (8''). 

1873. OVIDIO (Enrico n'), professeur à l'Université, Corso-Oporto, 3o, à Turin (Italie). 

1901. l'ADE (H.), professeur à l'Université, rue de Turenne, 89, à lîordeaux. 

1893. PAIMiEVE, membre de l'Institut, professeur à la Faculté des Sciences et à l'École 

Polytechnique, rue d'Assas, 33, à Paris (6*=). 
1888. l'APElilEU (Georges), professeur de mathématiques spéciales au lycée, rue de Re- 

couvrance, 20, à Orléans ( Loiret). 
1884. PAKAF, professeur-adjoint h la Faculté des Sciences, h Toulouse. 
1881. PELLET, doyen de la Faculté des Sciences, rue Pascal, 3o, h Clermont-Ferrand. 
1900. PERCIIOI, astronome adjoint à l'Observatoire de Paris, avenue de l'Observatoire, i (5"). 

1874. PEUCIiV, général de division, rue de la F'aisanderie, 116, à Paris (iG*). 
1881. PEKOTT (Joseph), Université Clark, à Worcester (Massachusetts, États-Unis). 
1873. PEI(ltli\, inspecteur général des mines, rue de Grenelle, 80, à Paris, (7*). 
1892. PEKKliV (Élie), professeur de malhèmaliques, rue Tarbé, 3, à Paris (17''). 

1896. PEillOVnCll, professeur à l'Université, Ivossanlch-Venac, >'[. à Belgrade (Serbie). 



— xri — 

Date 

(le 

l'ailiiiission . 



1002. IMîTKOVrnîll (S.), ca|)it:nno d'arlillcîrie do la {jarde, professeur adjoitit h l'Académie 
d'arlillcrie Michel, Sabalkaiisky piospcct, 17, log. i5, à Saiut-Pelerubourir. 

1887. ri'lZZl) (dkl), professeur à rUiilverslté, via Gennaro Serra, 7.5, à Naples (Italie). 
1870. IMCAIII) (limile), membre de l'Instiliit, professeur à la Faculté des Sciences et à 
rricole Centrale des Arts et IVlanufactures, rue Bara, 4, à Paris (6'). 

1872. IMCQLKT, chef de bataillon du ncnie, examitiateiir d'admission à l'Ecole Polytech- 
nique, rue Moiisieur-le-Prince, 4, a Paris (6'=). 

1890. PlIiUOX, inspecteur général de l'Inslructiou publique, rue d'Assas, 5o, à Paris {()"). 

1800. riKUrO\r (James), professeur à l'Université Yale, Manslield street, 42, à New Ilaveti 
(Conneciicul, États-Unis). 

1882. rOI\CAKK, memixe de l'Institut et du linrcau des Lon^jitudes, in{Ténieur en chef 

des mines, professeur à la l'"aciilté des Sciences, rue Claude-liernard, G3 (J*). 
1804. I*0TI10.\, docteur es sciences, rue Cassette, 2f\, à Paris (f)*). 
1872. l'OIil(i\A(;( prince G. ni:), villa Jessie, à Cannes (Alpes-Maritimes), 

1899. riM\GSIIEIM. professeur à l'Université, Arcisstrasse, 12, à Munich (Bavière). 

1896. PIUIVOST, inspecteur général honoraire de l'Instruction publique, 11, rue de la 
'i'oiif, à l'aris (16*). 

1002. V\i\ ( Victor), ancien élève de l'Ecole Polytechnique, professeur de Mathématiques, 

rue des Eossés-Saint-Jacques, 16, à Paris {S"). 

180C- OljlO"i'"l'. actuaire de la Compagnie /« NaUonale, rue Laffitte, 17,3 Paris ((/). 

1808. HABUi (Charles), ingénieur en chef des ponts et chaussées, rue Duplessis, 77, à Ver- 
sailles ( Seine-et-Oise). 

1872. UAim, membre de l'institut, rue de Tournon, 12, h Paris (6"=). 

1883. KAFFY, professeur à la Faculté des Sciences, rue Pierre-Nicole, 7, à Paris (5"). 
1903. UEMOlI\li(iS, professeur de mathématiques, rue de Soultani, 17, à Athènes. 

1900. I{E\AIW), rue de la Tour, 7, à Paris (iG"). 

1003. KKillUtn, professeur au lycée de Dijor), place du Kosoir, i, à Dijon. 

1893. lUVIillllAl] (l'abbé), professeur à l'Institut catholique, à Angers ( Maine-et-Loire). 
1003. KDCIIE, agrégé de l'Université, rue d'Assas, 76, à Paris (6-^). 
1872. KOIAIIT, ingénieur civil, rue de Lisbonne, 34, à Paris (8"). 

1872. ItOlICIil!!, de l'Institut, professeur au Conservatoire des arts et métiers, examina- 
teur desélèves à l'École Polytechnique, boulevard S^-Germain, 2]3, à Paris (7*^). ^ 

1896. ItOKilEK, docteur es sciences, rue Sylvabello, 84, à Marseille. 

1885. KDUOlilii (V.), professeur honoraire de mathématiques spéciales, à Belpech (Aude). 

1900. SALTMiOW, maître es sciences mathématiques, professeur à l'Institut Polytechnique, 

l'ue Pankovskaïa, 10, à Kiew ( Uussie). 

1872. SAKTIAIJX, ingénieur en chef des ponts et chaussées, chef de rex|)Ioitation à la Com- 
pagnie du chemin de fer du Nord, à Paris. 
1885. SAUVAiJIÎ, i)rofesseur à la Faculté des Sciences, à Marseille ( Bouches-du-Rhône ). 
1881. SCIILKGKIi, professeur à l'École technique, Volmestrasse, 62, à Hagen (Allemagne). 

1897. SCIIOU (Erik), Gl. Antvorskov, à Slagelse (Danemark). 

1881. SCIIOUTE, professeur h l'Université, à Groningue (Hollande). 

1901. SEE (Thomas-J.-J.), Observalory Mare Island (Californie). 

180G. SKiillEU (J.-A. Di;), docteur es sciences, rue des Saints-Pères, 56, à Paris (7°). 

1882. SELIVANOri' (Démetiins), attaclié à l'Université, Fontanka, 1 iG, log. iG, à Saint-Péters- 

bourg ( Kussie ). 

1000. SEUVAIVT, docteur es sciences, rue des Saints-Pères, 8, à Paris (7"). 

1000. Sl'AKllE (comte M.ignus Dii), avenue de rArchevèché, 7, à Lyon. 

1870. SiEl'HAMOS (D' Cyparissos), |)rofesseur à l'Université, a Athènes (Grèce). 



— XIII — 

DmK- 

(I)- 

l'ailiiiissioii. 

1!)()1. STFTSOV (Orhimlo), à I-iaiikliii ( W.issMrliiisods, lUiils-Uiiis ). 

18i)8. SnllMIKU (Cari), proIVssoiir à l'Un ivcrsilé, Diivcsffadc, l 'i, :« Chiisliaiiia ( NOrvc'îMî ). 

VMY,]. Sl'CIIAR, doctour t>s sciciicos, luo Sainl-r.îr/.arc, /i.'., à Paris (8"). 

lOO'l. SIIMIIA, profcRsour à ri''.col(> |irati(nic (rt'h'ctricih; iinl uslricllc, riio lùiicsI-Rcnaii , :>S, 
h Taris (ij"). 

1904. Sli\l)M4\, niailrc do conCéroiiccs à 1 (ImIn crsilc (rilclsiiicl'ors, Villaijalan, :>., Ilos 
Kosciujvist ( Finlande ). 

1872. SVIiOW, processeur à l'Université, à rrculerii^sliald (Norvèj;e). 

189G. TAlV^'KMtKlir. (dk), rue d'Assas, i i8, à Paris {(')"). 

1875. TANM'IUY, prol'c^ssi-ur à la Faculté des Sciences, sons-direcleiir de l'Fcole [Normale 
supérieure, rue d'IJIm, '|5, à Paris (5"). 

1882. TAUUY (Gaston), rue d'Isly, 19, h Alffcr (Aljrérie). 

1872. TKHIUKU, professeur an collège Chaptal, avenue Léonie, i. à Saint-Cloud (S.-et-O.). 

1899. TllYBAllT (Alexandre), docteur es sciences, professeur au lycée Carnot, rue du Ro- 

ciier, loi , h Paris ( 8" ). 

1873. TISSOT, ancienexaniinatenr d'admission i» l'Ecole Polyleclini(jue, à Voreppe ( Isère). 
1896. TISSfti, enseigne de vaisseau, professeur au Borda, à Brest (Finistère). 

1896. TOlUUvS, membre de l'Académie des Sciences, Valgame Dios, 3, à Madrid (Espagne). 
1893. TOllCIIK, lieutenant-colonel d'artillerie territoriale, rue Truttault, 23, à Paris (it«). 
1872. THESdA, ingénieur en chef des ponts et chaussées en retraite, rue du général 

Henrion-Hcrthier, 7, à Neuilly-sur-Seinc (Seine). 

1893. VAMdilK-rOlISSIiV (Cii.-J. de la), professeur à l'CJniversité, rue de Narnur, 190, à [,ou- 
vain (Belgique). 

190i. VA\ DEl'UKiV, lieutenant du génie, avenue IVIacan, 16, à Bruxelles. 

1897. VASSILAS-VIIALIS (J), docteur de l'Université, rue l»olyclète, 5, à Athènes (Grèce). 

1898. VASSILIEF, président de la Société physico-mathématique, à Kasan (Russie). 

1901. VKSSIOT, prolésscur à la Facnlté des Sciences, chemin des Granges, 4^, à Lyon. 

1888. VOIjTEUIIA ( Vito), i»rofesseur à l'Université, via Lucina, ir, à Rome. 

1904. V0I10\0!, professeur à l'Université, à Varsovie (Russie). 

1900. VIIIUKHT, éditeur, boulevard Saint-Germain, 63, à Paris {b') . 

1893. \YA(JiVlil{, professeur à l'École J.-B. Say, rue Spontini, i3, à Paris (16"). 

1880. WAIiCUE\AEI5, ingénieur en chef des mines, boulevard St-Gerniain, 218, à Paris (y"). 

1879. WHILL, directeur du collège Chaptal, boulevard des Batignolles, 45, à Paris (8"). 

1878. WOIOIS DE KOMILLY, ingénieur en chef des mines, rue Balzac, 7, à Paris (S''). 

1882. ZABOIJDSKI, membre du Comité d'artillerie et |)rofesseur à l'Académie d'Artillerie, rue 
Ziiamenkaia, 22, a Saint-Pélersbou rg (Russie). 

1890. 7iAllE)IUA, docteur es sciences, professeur à l'Université de Cracovie (Autiiche). 

1903. ZERYOS, docteur de l'Université d'Athènes, rue de Lille, 48, à Paris (7^). 

1881. ZELTilEX, professeur à FUniversité, Rosenvonget, Saint-Kanulkestrœde, 11, à Co- 

penlKi<;u(\ (Danemark). 

1898. ZIWET, South Ingalls street, f)\\, h Ann Arbor (Michigan, États-Unis). 



— XÏV — 



SOCIETAIRES P E 11 P E T U E L S . 



ACKERMANN-TEIB\ER, à Leipzig.— BK^OIST (décédé).— BKRIHÎMj':, à Rioz. — UIEXAVME 
(décédé). — IMOCIIE, à Paris. — BISCIIOFFSHEIM, à Paris. — BOBEBIL (vicomte R. do), 
à Rennes. — BOBClIABDi (décédé). — BOREL, à Paris. — BBOCABI), à Rar-le-Duc. — 
CAIV'ET, à Paris. — CABVALLO, à Paris. — CIIASLES (décédé). — CLAIBE-LAFOÎVTALXE, 
à Paris. — COTTON, à Grenoble. — KOIBET, à Paris. — GALilllEB-VILLABS (décédé). — 
COURSAT, à Paris. — HALPHEN (décédé). — IIALSTED, à Auslin. — IIADAMARD, à Paris. 

— IIA'rOi\ DE LA COIlIMMdÈRE, à Paris. — IIERMITE (décédé). — IIIRST (décédé). — 
non, à Paris. — JORDAN, à Paris. — LAFFON DE LADÉBAT (décédé).— LÉAITÉ, à Paris. 

— MAILLET, à Hourg-la-Reine. — MANMIEIiM, à Paris. — DE MENDIZABAL TAMBOREL, à 
Mexico, — MERCEREAII, à Paris. — D'OCAGiVE, à Paris. — PEROTT, à Worcester. — 
PERRL\, à Paris. — POIXCARÉ, à Paris. — POLKiNAC (prince C. de), à Cannes. — RAFFV, 
à Paris. — SALTVKOW, à Kiew. — SÉLIVAXOFF, à Saint-Pétersl)onr{j. — SPARRE, 
(comte M. Di.;),à Saint-Georges-de-Ueneins. — SYLOW, à FrederikshaM. — TAIVIVERY 
(Paul) (décédé). — TARRV (G.), à Alger. — TCIIEBICHEF (décédé). — VIELLARD (décédé). 



LISTE 



DES 



IMiESIDOTS U LA SOCIÉTÉ ftlATIlÉillAÏIOllE DE FILWCE 

DEPUIS SA FONDATION. 



MAL 



1873 


CIIASLES. 


1874 


LAFFON DE LADKBAI 


1875 


BIE\AV,)IÉ. 


1876 


DE LA GO(JRi\ERIE. 


1877 


MAX'MIEni. 


1878 


DARBOllX. 


1879 


0. BONXET. 


1880 


JORDAN. 


1881 


LAGllERllE. 


1882 


HALPHEN. 


1883 


ROUCHÉ. 


1884 


PICARD. 


1885 


APPELL. 


1886 


POINCARÉ. 


1887 


FOLRET. 


1888 


LAISANT. 



M^l. 



1889 


ANDRE (DESIRE). 


1890 


HATON DE LA GOIPILLIÈUE 


1891 


COLLIGNON. 


1892 


VICAIRE. 


1893 


HIMBERT. 


1894 


PICQIET. 


1895 


GOURSAT. 


1896 


KŒNIGS. 


1897 


PICARD. 


1898 


LECORNl. 


1899 


GUVOl]. 


1900 


POINCARÉ. 


1901 


D'OCAGNE. 


1902 


RAFFY. 


1903 


PAINLEVÉ. 


1904 


CARVALLO. 



— w — 



Liste des Sociétés scientifiques et des Recueils périodiques avec lesquels 
la Société mathématique de France échange son Bulletin. 



Amsterdam . . 
Amsterdam. . 
Amsterdam . . 

Bàlo 

lîalliinorc. . . 

Herlin 

Herliu 

Hotliii 

Herlin 

Bologne 

Bordeaux. . . . 

Bruxelles. . . . 

Bruxelles. . . . 
Cambridge. . 
Cambridge . . 
Gliristiaiiia. . 
Coïmbre. . . . 

Copenhague. 

Cracovie 

Edimbourg. , 
Edimbourg. . 

Gand 

Gôtlingen. . . 

Halifax 

Hambourg... 

Harlem 

Helsingfors. . 

Kansas 

Kasan 

Kharkov 

Kharkov 

I-a Haye 

Leipzig 

Leipzig 

Leipzig 

Leipzig 



Aradémie Uoyaie des Scieuces d'Amsterdam. 

Société malbémaliqiic d'Amsterdam. 

Revue semestrielle tles pnhlicnlions mathéma- 
tiques. 

Naturforscheude (JesclIschaCt. 

American Journal of Mathcmatics. 

Acadéuiie des Sciences de Berlin. 

Archiv fur Mathcmatik und Pliysik. 

Jalirhuch i'iber die Fortscliritte der Mallie- 
matik. 

Journal fi'ir die reine und angewandte Na- 
thematik. 

Académie des Sciences de l'Institut de Bo- 
logne. 

Société des Sciences physiques et rialurelles 
de Bordeaux. 

Académie Royale des Sciences, des Lettres et 
des Beaux-Ai'ts de Belgique. 

Société scientilique de Bruxelles. 

Cambridge philosophical Society. 

Annals of Mathematics. 

Arcfiiv for ]}Iatliematik og Naturvidcnskab. 

Jornal de Sciencias matematicas e astrono- 
mie as. 

Nyt Tidsskrift for Mathematih. 

Académie des Sciences de Cracovie. 

Société Royale d'Edimbourg. 

Société mathématique d'Edimbourg. 

Mathesis. 

Société Royale des Sciences de Gôttingen. 

Nova Scotiau Institute of Science. 

Société mathématique de Hambourg. 

Société hollandaise des Scieuces. 

Société des Sciences de Finlande. 

Université de Kansas. 

Société physico-mathématique . 

Annales de l'Université. 

Société mathématique de Khaikov, 

Archives néerlandaises des Sciences exactes 

et naturelles. 
Société Royale des Sciences de Saxe. 

Mnthematische Annalen, 

Archiv der Mathematik und Pltjsik. 

Bd>lu>(hcca niatlieuiatica. 



Pays-Bas. 
Pays-Bas. 

Pays-Bas. 

Suisse. 
États-Unis. 
Allemagne, 
Allemagne. 

Allemagne. 

Allemagne. 

Italie. 

France. 

Belgique. 

Belgique. 

Grande-Bretagne. 

Massachusetts. 

JNorvège. 

Portugal. 

Danemark . 

Autriche. 

Grande-Bretagne. 

Grande-Bretagrie . 

Belgique. 

Allemagne. 

IV'i'^-Écosse (Canada) 

Allemagrie. 

Hollande. 

Finlande. 

États-Unis. 

Russie. 

Russie. 

Russie. 

Pays-Bas. 
Allemagne. 
Allemagne. 
Allemagne. 
Allcmasriie. 



— XVI 



Liégfi 

Livoiiriio 

Londres 

Londres 

Londres 

Lnxeml)Our[; 

Marseille 

Mexico 

Milan 

Moscou 

Munich 

Naples 

Ncw-Haven 

New-York 

Odessa 

Palerme 

Paris 

Paris 

Paris 

Paris 

Paris 

Paris 

Paris 

Pise 

Pise 

Pise 

Prajjue 

Prague 

Prague 

Rome 

Sainl-Pctersbourg 

Stockholm 

Tokyo 

Toulouse 

Turin 

Upsal 

Varsovie 

Venise 

Vienne 

Vienne 

AVashin<;l(»n 

Zurich 



Société Hoyal(î des Sciences. 

Pcriodico di Dliilcuint ica . 

S(»eiété astrononii(|ii(^ de Londres. 

Société mathématique de Londi-es. 

Société Royale de Londres. 

Institut Uoyal de Luxembourg. 

Annales de la Facultédes Sciences de Marseille. 

Sociedad cientitica Antonio Alzate. 

Itistitut Uoyal lombard des Sciences et 
Lettres. 

Société mathématique de Moscou. 

Académie des Sciences de Munich. 

Académie Uc)yale des Sciences pliysiques et 
mathématiques de Naples. 

Académie des Sciences et Arts d»j Connec- 
ticut. 

American mathematical Society. 

Société des naturalistes de la Nouvelle-Russie. 

Rendiconti del Circolo matematico. 

Académie des Sciences de Paris. 

Association française pour l'avancement des 
Sciences. 

Société philomathique de Paris. 

Bulletin des Sciences mathématiques. 

Journal de l'École Polytechnique. 

Institut des Actuaires français. 

Intermédiaire des Mathématiciens. 

École Royale Normale supérieure de Pise. 

Université Royale de Pise. 

Il Nuovo Cimenta. 

Académie des Sciences de Rohème. 

Casopis pio péstovâni mathematikj afysihj. 

Société mathématique de Bohême. 

Académie Royale des Liucei. 

Académie Impériale des Sciences. 

Acta Mathematica. 

Matheraatico-physical Society. 

Annales de la Faculté des Sciences de Tou- 
louse, 

Académie des Sciences. 

Société Royale des Sciences d'Upsal. 

Prace Matemalyczno Fi/yczne. 

Institut Royal vénitien des Sciences, [,ettres 
et Arts. 

Académie Impériale des Sciences de Vienne. 

HJonatshefte fiir Malhcmatik und Physih. 

Philosophical Society. 

Nalurforschende Gesellschaft. 



lîelgiquc. 

Italie. 

Grande-Iirelagne. 

Grande-Rreiagne. 

Grandc-Hretagne, 

Luxembourg. 

l'Vance. 

Mexique. 

Italie. 

Russie. 

Ravière. 

Italie. 

Ktats-lJnis. 
litats-Unis. 

Russie. 

Italie. 

l'Vance. 

France. 

France. 

France. 

France. 

France. 

France. 

Italie, 

Italie. 

Italie. 

Autriche. 

Autriche. 

Autriche. 

Italie. 

Russie. 

Suède. 

Japon. 

France. 
Italie. 
Russie. 
Suède. 

Italie. 

Autriche. 

Autriclie. 

États-Unis. 

Suisse. 



BULLETIN 



SOCIËTÉ MATIIÉMATIQIE DE FRANCE. 



COMPTES RENDUS DES SÉANCES. 



SfilANCE DU T) JANVIER 1905. 
PRKSinKNci-: niî ^]. rorkl. 

La Soclélé, réunie en Assemblée généralej procède au renou- 
vellement de son Bureau et à rélection de membres du Conseil. 

Elle entend et approuve Je Rapport de la Commission des 
finances sur l'exercice 1903-1904- 

Communications : 

M. Laisant : Sur les surfaces unilatérales. 

M. Fatou : Sur les lignes singulières des fonctions ana- 
lytiques. 

M. PianV : Sur la condition générale d'isol lier mie des lignes 
de courbure. 



SÉANCE DU 19 JANVIER 190o. 

PRKSIDIÎXei-: DE M. RORi:[.. 

Communications : 

M. Andoyer : Sur la sommation des séries. 
M. Denjoj : Sui- quelques propriétés des fondions de va- 
riables réelles. 

M. Fatou : Sur les nombres premiers. 

M. r^cl)es<;ue : Sur la co/n'erge/ice des séries de Fourier. 



xxxni 



— 2 



MIÎMOIKES ET COMMUNICATIOWS. 



SUR LES MOUVEMENTS D'UNE NAPPE SOUTERRAINE, 
PARTICULIÈREMENT DANS LES TERRAINS PERMÉABLES, SPONGIEUX 

ET FISSURÉS ('); 

Par M. EpMOjNi) Mailli-.t. 

I. 

jNoiis déterminerons ici principalenienl : 

i" Les équaîions indcflnies du niouvcmcnl de la nappe dans un 
pareil lerrain, parLieulièremenl dans les périodes où il ne reçoit 
pas d'apports extérieurs. 

2° Les lornies du fond de la nappe pour lesquelles il y n un ré- 
gime où l'épaisseur de la nappe ne dépend que du temps. Il y a 
alors un régime où le débit de chaque source est de la forme 

(2Ci,o(2>o, a,, a2, Gi, G2 const.). 

3" Le cas d'un fond horizontal. 

IL 

Considérons une nappe souterraine dont le fond a pour équa- 
tion fdans un système d'axes rectangulaires, O:: élant verlical) 

(i) ^o = /o(-^, 7), 

et la surface 

(■;►.) z=f{x,y,t). 

Supposons (pi'en ehacpie point l'élt'Mnent de surface de la nappe 
dont la projection sur O^y est dx dy reçoive un a[)[)ort su[)er(i- 
ciel venant de l'extérieur y dxdv dt^ pendant le temps c/^ (y< fonc- 
tion de x^ y et ^). 

( ') Ce Mémoire a éré déposé à la séance du 17 novemhie \(yA- i^'oic de la lied.) 



— :î — 



(lousi(l('i()iis Jilois ce <|iii se passe à I ml('n(;iii" du prisme iii(l(' 
lini II (loni (l.r (I y cs\ l;i section droihî { /ii(. i). 



V\\i. I. 



IC 



n 




Nous adincLlrons, d'après les cx|)crienccs de Diipuil, (pic la 
vitesse horizontale moyenne vi sur la verticale en un j)oint A est 
dirigée dans le plan tangent vertical à la ligne; de plus grande 
pente AC de la surface et proportionnelle à la pente de cette ligne, 
c'est-à-dire 



(3) 



^V 






(k constante spécifique du terrain) ; elle est oiientée du côté où z 
décroît sur la surface de la nappe ; /désigne une longueur comptée 
suivant la tangente en (x^y) à la projection P de la ligne de plus 
grande pente sur Oxy, On a alors 



(4) 



et, si /i indique une direction normale à / en (x^y) dans le 
plan Oxy, 



ôz 


ôz ôjc ôz ôy 


Tl " 


ôx àl ÔY ôl 



(5) 



du 



o = 



ôz ôx 
ôx Ôll 



ôz ôy 
ôy on 



puis(pie / est pris sur une ligne de plus grande pente. 
Soit a Tangle de Ox et de la tangente à P en (.r, y^) : 



ôl 

<lv 

'ôl 



cosa — 



?>in 3: := 



ôv 

-—- f 

On 

ôx ^ 
~ôîi ' 



_ 4 — 



Oz . <)z 

— sina = — - cosa, 

ôx oy 



d'après (5), 



cl, d'après (4), 

ùz ôz ùz . \ dz \ ùz 

— = — c ( ) s oc + — s I 11 oc = — - — ■ = — ; — — • 

Ol àx dy cosa dx sina ôy 

Si Vx ('t i'j sont les com[)Osanl.es de vi suivanl Ox cL OjK, 
d'après (.'^), 



(6) 



l v_^= ('/cosa -- k — , 

) • / ^^^ 

\ ôy 



Ceci posé, elicrehons l'érpialion de continuité, en examinant ce 
qui se passe dans le prisme II pendant le temps dt. 

J.e volume qui entre à travers la face AB, parallèle à Oyz^ est 



Aodydt(z — Zo)-£; 



âx 



dz 



il faut le signe — , car l'expression doit être positive quand — est 

négatif; o est la proportion du vide [)ar unité de surface dans le 
terrain. 

Le volume qui sort à travers la face CD est 

— A- o dy dt ] ( z — Zo) -^ -}- dx -- \ {z — Zq) -^ \ i . 
' ( Ox Ox [_ ox J ] 



Le prisme j)erd ainsi 

Jl perd, à travers les faces parallèles à Oxz., 

<) 



— /{ o dx dy dt 



Oy 



ôz 1 



J^c prisme gagne d'autre part 

/ dx dy dt , 

apport des parties du terrain non comprises dans la nappe au 



;» — 



1(Mn|)S i cl siliKM's ;ni-(lcssus (l(; la siiifitcc lihio (!<; va'.\\v.-v.\] ccl ap- 
poil se fait par \c. Itaiil. 

I^nliii, à la paille siipéilcMiro, le volume (h; la nappe cunlcrm dans 
I(* prisme aiiginenlc de 

Il en résulU; 



(7) 



o dt 



dx 



A {z — ^0 ) 



Ox 





ày 



H 



,)y 



Celle ('(|iiallon, (jiiand on y (ail y = o, se réduit à une écjualion 
indiquée par M. Boussinesq ('); quand on y suppose les mouve- 
ments parallèles au plan Oxz, elle se réduit, y étant quelconque, 
à une équation indiquée par moi (-). 

lille permettra, par exemple, d'aborder l'étude du mouvement 
dans une nappe alimentée par les pluies (•^), quand on suppose 
que le mouvement se fait parallèlement à Oxz. 

Elle permet encore d'étudier les mouvements d'une nappe dans 
lin terrain perméable et spongieux. Nous allons nous occuper d'un 
des cas que l'on peut y rencontrer. 



IH. 



Nous supposerons dorénavant un terrain perméable formé de 
masses de petites dimensions susceptibles de s'imbiber d'eau à cer- 
tains moments ou de restituer à d'autres moments cette eau d'im- 
bibition. L'eau qui pénètre dans ce terrain, l'eau de pluie par 
exemple, imbibe en partie les masses qu'elle rencontre, gagne en 
partie la partie inférieure ('') où l'eau circule entre les vides des 



(') Comptes rendus, 22 juin 1908, p. i5ii. Nous suivons ici une marche assez 
analogue; nous supposons, dans ce qui précède, /c constant; mais (7) subsiste évi- 
demment ({uand A' varie dans l'étendue de la nappe. 

(-) Equation (21 bis), p. 55 de mes Essais d'Hydraulique souterraine et Jlu- 
viale. Paris, llermann, 1904. 

(•^ Ibid. 

(^) Voir mes Essais d'Hydraulique précités, p. i36, 204-205 et 21G. Dans le 
terrain considéré, la nappe est la partie où non seulement les masses en question 
sont com|)tètement imbibées, mais encore où l'eau remplit tous les inlcrvaUcs 
entre ces masses, intervalles (jui fc^rmcnt des canaux capillaires. 



— (> - 

masses. Voyons ce qui se passe (|uarul il n'y a j)lus d'apports exté- 
rieurs (par la surface du terrain par exemple), ou (juand ils sont 
néi^liccables. 




kiTrs^{t^ z^) dt^ (/iconsl.), 



que nous admettons (' ), j^ar hypothèse, être propoitioiinelle an 
volume d'eau (Fimblbition ît7<I>(/, ^o) contenu au temps L dans t;t. 
On aura ainsi 

\lxx m^Pi t, Zo) dt -+- r;y *'^ ( (^ z-i ) dt = o 
OU 

(8) k,^{t,Z,)-+--^^ =<K 

On peut alors considérer l'apport y dx cly dt dans le prisme II 
comme étant au temps /, la soinn^e des apports des masses dxdydz 
situées dansée piisme entre ^ et :3,, l'eau perdue par les masses to 
étant supposée se mouvoir verticalement \crs Je bas, et ne pas 
profiter aux masses nr inférieures situées au-dessus de la surface 
libre de la na[)pe ; on négligera le temps relalivement faible (pie met 
1 apport k^rT5^^{^l^ z-^) dt pour parvenir en (x, y, c). (Jn aura 
alors 

/ dx dy dt = dx dy dt j ki<P(/, z,) dz.>, 

(9) Z = /'"i / *l'i ^ z^_)dz.i. 

Cette hypothèse parait assez |>lausible da/is des tcrraûis spon- 
gieux très fissurés vcrtiealentent. 

(') Coiui>. Essais ci-ilcssiis, p. :'i/| ; «!>(/, -:.) poul (icpondic de x cl j'. 



_ 7 - 
liaisons croilrc / dr (ll\ on ;i, (Tiipfrs (()), 

..'' (h 

rit 



f H- -' dt — / I / 'l>( / -h dl^ z-i ) dzi 

<)l 
— /,, / ']U f, Z,) dz^:- /n (// / - r/j2 

-t-/i / «IM /, ^'i)dz2, 

J <)z 



()z 

->r-T- d( 

dt 



OU 



ou 



/•■■' <)z 



'^7 / / i ^^ /A 

puisque, au contact de la na|)j)(^, dont le niveau est supposé 
s'abaisser, rinîl)il)ition des volumes m que la nappe vient d'aban- 
donner est encore complète, et que (I>(^, ^j = A = const. L'équa- 
tion peimellant de définir-/ est donc 

(,o) ^. + /,,y_+/,,A- = ... 

Les équations indéfinies du niouvcnieni dans le terrain per- 
méable y spongieux et fissuré verticalement sont iciles équations 

(7)e/(io). 

IV. 

Mouvements oit V éfiaisseur de la nappe ne dépend que du 
temps. — On j)eut encore se proposer de chercher quelles sont 
les formes de nappes où l'épaisseur j)eut ne dépendre (jue du 
temps (c'est-à-dire être la mémepartoutà chacjuc instant), comme 
nous l'avons fait pour les naj)pes en terrains perujéables, mais non 
spongieux(') (sensiblement). Posons 

5 rr= 2(^4- «1/, 

OÙ 'i> ne dé[»end que de /, 



<)z 


àz. 


Oz 


Oz, 


àz 


d'h 


Ox 


Ox 


''y ~ 


^ 'b' ' 


Ot " 


dl 



(," ) t'ssaia d'Hydraulique prccilcs, p. ^iS, 53, 55. 



— 8 



('-) cL ( 1 o) (Icvicnncnl 



(M) 



l+^iZ + ^iA^^o. 



Eliminons y : nous adjoindrons à ces deux équations la [)rcmièie 
équation (i i) dérivée par rapport au temps : 






d'où 



f/^^ 



cp f// ^ \ (y^'2 ,)j 



^-^0 , ^^^-0 



Xl I 



X-iA 



^ 
^ 



" cp dt^ ^ ' dt \ àx^ c)j2 y 



= o. 



Développons : 
a l df dt V à3-' àj-' 



* / J ? L * \ «'^^ ''rv J 



92 <i^ 



(r^) A- 



ô-^z 



^0 



c!rv L <^^ J di^ dt \ o 



dx^ dy'' 

Il en résulte de suite que l'on a : soit 

( i3 ) -; — " -+- — ^ — -ic = const. 

soit 

(li) 



d^ 



dt 



/m'J; = o. 



Premier eas : ( i/^) a lieu. — On devra avoir en même temps. 

d'après (12) : 

di'\> / , A\d^ 

— ■ -h A, 6 :r= O, 

dt 



di^ 
~dr' 



, d^ 

^'^ dt = "' 



(i <MI 



<) — 






'il = consl. =rr () = y, ce (|mI csI jihsiirdc, on A r=r o, ce qui (;sl. irn- 
i)Ossil)le, le lerrain ('Liiil sponj^ieiix. b'iiialemenl , ( i /j ) ii'ii j);i.s lieu . 

Dcuxiènic cas : ( i.'i) a lieu. — {^'^-) clevltîriL 

C'esl une é(|uation linéaire à coefficienls constnnls, donl l'Inlé- 
gralc «générale est (sauf un cas partieulier où a, = a^), 

a,, a^ étant les racines de l'équation 

OL- — ( Âi + /v 1 - — 2 Ac ) a — •>. A A'i c = o. 

V ? / 

Nous supposerons c <Co. Alors 

= I A, + /'i - — 2 /ic ) -I- ^ A7i 1 c 

= (/ci— 2Ac)2+ 2(Ai— iAc) -î 1 ^ h 8/vAi6' 

? ?" 

? Ci- 

est essentiellement positif ('), et a,, y..> sont réels ^ d'apiès c << o, 
a, , ao sont positifs. 

Les surfaces (i3) ont leur équation de la forme 

/^2 _]_ y'î 

1- ^0 =/(^ +rO +/i(-'^ — r + c . • • 



(') Dans la pratique, aAx sera sans doulc parfois petit par rapport à A", {voir 
mes Essais cV Hydraulique précités, p. ig'f, 202-2o3, •.2o4-2o(), par exemple ), et 
l'expression o sera > o, d'où (x^^ <x^_. Il en résulte pratiquement qu'une des 
racines a, est petite par rapport à l'autre a.^. Alors, dans les limites de la pra- 
tique, une expressioa de la forme 4^=: Ci-i- C.^e-'-'-^' pourra représenter / avec une 
approximation suflisaute. Une expression analogue pourra également suflire pour 
représenter à peu prés le débit d'une source issue de la nappe. 

Toutefois, d'aiirés moi, cette théorie semblerait pouvoir [)lutùt s'appliquer aux 
sources à varialion de débit assez rapide. Ce n'est d'ailleurs (|u'uiie o[)inion pro- 
visoire. 



Un cas |);nhculicrcni(;iil inlcrcssaiiL est celui où \v mouvcincnt 
le fait parallclcincnt à O^;, le (oiul clanl un cylindre de f^énéra- 
Iriccs parallèles à Oy. Alors, d'après (i3), 



0^_ 
Zq=:: a-\- Ox -h cx' (c<oj. 



Le fond esl un cylindre parabolique convexe. A la liniilc aniont 

Oz ÔZo 

Ox Ox 



de la nappe, au somnielde la parabole, >— = — = /; + 2CJC = o; 



le débit 



Q = B(-'-^.)^ 



j est nul. Le débit par unité de largeur de la nappe en un poinl 
quelconque est 

Q = Bi4^(^ -4- icx); 

par suite, sous certaines hjpollièses (*). le débit d'une source ali- 
mentée par cette nappe est de la forme Q = \j.2'i). Donc, a|)[)elant 
encore régime j)ropre ou non influencé de la nappe en terrain 
spongieux et fissuré verticalement q.ç\v\\ où elle ne reçoit d'autres 
apports extérieurs que les perles d'eau d'imbibition laites par le 
terrain spongieux situé au-dessus de celle na[)pe, nous pouvons 
dire : 

Soit une nappe en terrain perméable spongieux et fissuré 
verticalement dont le fond est un cylindre parabolique con- 
vexe de génératrices parallèles à Oy, d' ordonnée 



^0 



a -h bx ~\- cx^ ( c < o ) 



il existe pour cette nappe un régime propre ou non influencé 
où l'épaisseur <!/ de la nappe est à l'instant t la nu'' me dans 
toute l'étendue de la nappe (-). On a en général 

6 = Cl e- ^^i' -t- Go e~"^-'^ 



(') Essais d'il} draulique précilcs. p. <). Dans le régime considéré ici, 
d'après (ii), / csL fonction de t seul. 

(-) Couiaie dans le cas on A — / = o. Conij>. Essais d' Jl) druidique |)réciLés, 
p. 48. 



— 11 — 

(tK'cr a,, a.j >- o. in roisiiKt i^c (Vune vcriicalv. (jifitlcoiuinc don- 
nrc, le dchfi es/ pioporllon ne! à 'j/. 

/hf/is un cas rlcinlu, le drhtl (Vuiw source (fliuicnléc, jxtr 
ccl le iKippc est pioporliounci à '!;. 

Nous pouvons encore clierelier [\ (iludier si ces uîippes ()euvent 
avoir, à la suilc d'une j)luic unifornie tombant dans leur étendue, 
le nièuK; r(''j^iine, avec, au besoin, des valeurs difFérenles des con- 
stantes C, et C^. 

Aussitôt après la cessalion de la pluie, la fonction fp(/, z.y), 
peul-ètre aussi la liuiile z^^ vont se trouver modifiées ; mais l'on 
voit encore que les mêmes calculs sont applicables. La solution 
trouvée reste encore valable; les valeurs de C| et (]._, pourront être 
modifiées. 

On peut encore cliercher les solutions de (7) et (10), où y est 

fonction du temps seul. D'après (10), -^ est fonction du tem[)s 
seul, et 

où d» est fonction de ^, ï^ fonction de x cl y. 

On sidjstituera dans (7), et, pour continuer, on s'ins|)irera de 
ce que nous avons fait ailleurs ('). On retrouvera, bien entendji, 
la solution précédente où ti = o. 

V. 

Cas d'un fond lioi'izoïital ^y=o. — Comme Ta fait rcmar- 
(picr M. Boussines([ (-) pour le cas où 

A = 7 =z o, 
ou [)eirL encore ici chercbcr une solution z de la forme 

où 'C, ne dépend [jas de t., 'h ne contenant cpie t. 



(') SurluuL dans le cas où — ^ — o; voir Essais d' IIrdi'aulL(/ue |)rcclLés, p. /ij 
cl siiiv. 

(-') ContjJlcs rendus, H juillet njo.'), p. .') cl suivantes. 



_ I-) 



(-) cl (lo) (levi(;nn('iil 



(i5) 



Q ' dt 






I '^-^ \ ■ (jj; j 






---) 
^7/J 






l <;; 



Eliminons y, en adjoig^nant aux équations (i5)la première de 
CCS deux équations dérivée par rapport à t : 



^ ôt dH • dt 



\ôx y dx 



K 



d'où 



<) 



- o 



^d^ 
^ dt 



lôxy ôx 



kY'\ -- 



'àyVày 



àfVàyl\ 



Al 



-^.^^§ 



o - 



^ df^ ' dt 



t làxyâx 



^rVàyJj 



OU 



■ df^ ^^ '"^ dt \ ôxyàx 



/ ày[^Oy 



h ^-^ 
'^\\^ 



d'\> 
dt 



^^^'\im 






Cû ^ dt 



= o. 



ou enfin 

' d-^'h 



vr- T , ;/ , , AW/4.) / d^h 



On en conclut, X étant une constante, 



'^ (r <>A 



Of\ 



''àj}\ 



dx\ dx J ày\^Ovj "' 



dMj_ 
df^ 



k,^k, -") ^ - 2/cXd/^ - kk,\¥=0. 

O dt ' ^* 



d^ 
'~dt 



La pieniière de ces deux équations est identique à celle que 
M. Boussinesq a trouvée par une méthode semblable dans le cas 
où A = y=o. Quand les mouvements se font parallèlement à 
O X z., on a encore comme solution une valeur de C ([ui s'exprime 
par les fonctions elliptiques. Mais la valeur de 6, qui renfermera 
deux conslaulcs arbitraires, paraît |)lus conqdicpiée. 



- i:i — 

REMARQUES SUR UN CAS DE SYMÉTRIE DANS L'ESPACE; 
Piii' M. (]ii. Hiocm;. 

I. Il est iacilc de voir <|ik;, si uik; li^iirc de TespiuM; admet pour 
axes de syinélrie (l(;ux drolles reclan^iilaires OX cl OY, elle 
admet un troisième axe OZ perpendiculaire aux deux [)remiers; 
mais elle n'admet pas nécessairement pour centre de symétiic; le 
sommet () (hi trièdre, ou \)Ouv plan de symétrie le ))lan d'une 
des laces. Le paraboloïde équilatère 

XY = aZ 

donne Texemple le plus simple de surface admettant cette 
symétrie. 

Je vais indiquer, relativement aux conrbes ganclies, quelques 
résultats curieux. 

2. D'abord, je ferai remarquer que les équations 

X = Fi(tang20)oose, Y = F2( tang2 Q) sin 0, Z = FaCtangSQ) tangO, 

où F,, Fo, F3 sont des fonctions arbitraires, représentent des 
courbes ajant pour axes de symétrie OX, OY, OZ; les points 
symétriques du point correspondant à une valeur Q du j)aramèlre 
variable correspondent aux valeurs — 0, tû — 9, t: -h B de ce para- 
mètre. 

On pent voir qu'une courbe représentée par les é(|uations pré- 
cédentes n'admet pas, en général, l'origine comme centre de 
symétrie. Il en résulte qu'elle n'a pas non ])lus pour plan de 
symétrie le plan d'une des faces, car l'existence d'un plan de 
symétrie et d'un axe perpendiculaire entraînerait celle d'un centre, 
pied de cet axe sur le plan. 

3. Mais une courbe ayant pour axes de symétrie OX, OY, OZ 

et n'ayant pas pour centre de symétrie O, peut avoir des plans de 

symétrie autres que les faces du trièdre. Ainsi, tandis que la 

courbe 

X = <( cosO, Y = b sljiO. Z = c tangO, 



- li - 

I)';» aucun plan de symélric, la coui'hc 

X = rtcosO, Y = r/sinO, Z = csiiv>.0, 

a pour plans de s^'inélrie (') les plans 

X — Y =:: o, X H- V = o. 

I. Parmi les courbes ayaiil trois axes de symétrie; rectangulaires 
cl j)as de centre ou de plan de symétrie, je citerai les lignes de 
striction des systèmes de gcnéralrices d'un liypcrboloïde à une 
nappe. Ces lignes oui pour expiations 

X Y Z 



« 1 -r- -+- -- ) ^-os^* ^M — r ^ ) sin c l -r- ) sin cos 

I 



si 11^0 cos-O I 



le signe à prendre dans la dernière expression dé[)endant du sjs- 
lème de génératrices; est ici Tanomalie excentrique du pied de 
la génératrice sur le plan du cercle de gorge. 

o. Il est encore curieux de noter que, j)armi les courbes algé- 
briques à torsion constante obtenues par M. E. Fabry [Annales 
de r Ecole Nornude, juin 1892), il y en a possédant trois axes 
de symélrie rectangulaires, sans avoir un centre ou un plan de 
symétrie. 



SUR L'INTÉGRATION DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES 
A DEUX VARIABLES INDÉPENDANTES; 

l*ar M. J. Glamun. 

.Vai indicpié récemment (-) une proposition (pu complète sur 
\\\\ j)oint les résultats démontrés par M. Goursat, relativement au 
nombre des invaiiants que peut posséder un systènn; de caracté- 

( ' ) f^es points svinclrifiiics coricspondcnl ;ni\ valeurs cl - — ou cl -^ 

du pai'iifnclrc. 

(-) Uullcliii delà Si)cicle nuilhenuilii/iw de Fra/irc. l. \\\II. |). i'\(). 



' — i:; — 

risli(jU(^s (ruiu» ('(lu;»! ion ;iii\ (I('ri\«'('s |»Mrli«!ll('s du s(H'on(l ()r(lr(î 
h (Iciix \ ;iiMiil)l('s lii(l«'|)(!M(l;ml(S. I >a (h'iuoiisl rnl iot) (|ii(' |\n (Ioiiikm; 
(îsi c;il(|ii(''(^ sur ('ollt's <]iii oiilrlc iiHli(|iié('s p.ir M. (ioursai: j'iii 
rcinar(jMC, depuis, ([uc Ton |)( iiL |)r()(:('(lcr (rniu; iiKifiièrc^ un peu 
(lidcicnlc c\ fonder, sur Ie> propiiélés i;('néiales des eaiaeléris- 
li(nies, une denionsl i al ion pi(;s(pi(! e()niplèl(!inenL alïrancine dr; 
calcul (pii s'appli(piii éj^alcmcnl au cas des caracLcrislifpies du 
dcnxionio ordre et à celui des caraclérislirpics (Tordre quelconque. 
Plus <;énéralenu;nl j(; vais élal)lir, par celle nnUliode, \c lliéo- 
rènu; suivanl : 

Klant donnée une équation aux dérivées partielles it deux 
variables indépendantes (') 

if une racine simple X de l'équation 

A(X) =- X"— _i^X"-i+ --^X''-2-h...-h(— i)"-^ =0 

<)pn~\,\ àpn^^.,1 <Jpo,n 

correspofid un système de caractéristiques (C); k désignant 
un nombre positif différent de zéro, le système (Vj) possède au 
plus un invariant d'' ordre n + li. Si le système (C) se compose 
de caractéristiques d'ordre n — \ , la proposition subsiste pour 
les invariants d^ ordre n{]i -= o). 

Un invariant d'ordre n -\- h du système de caraclérisliqucs (C) 
esl une intégrale des écjualions 

I do\ (do\ ld'^+^f\ ô'^ _ 



da: / 



r^]-^i --7- 



\dx/ \dy I \dy'^^'^ / dp,i iji\-\ 

A„_i(X)- ^ = o. 



f^P/i ^,h-^ï <^P/i-l,/i-hl 



4-(— l)"A,(X)- '■ = o, 



àpo,,i-\-/i ' '^Pn-Xji-^X 



(') Pour Ic^ iiolations, voir le dcinier CluipiUc des Leçons sur les iujualions 
aux dérivées partielles du second ordre, de M. GouisaL. 



— ll> — 

en posant^ tl une manière générale, 

A/(A) = A"-'— -^-^ A'»-'-»-^...— î— 1)1-*— =1 

<V>ii-i.i àpi,„-i 

Supposons qu'il exisle k invariants dislincls d'ordre n — h '. 

4>,, ^2, 4>;t. Les dérivées partielles de deux quelconques de 

ces fondions par rapport aux dérivées dordre n 4- /* de ^ élanl 

proportionnelles, on peut exprimer 4>2 ^.,- à Faide de jr, i', w, 

des dérivées de z jusqu'à l'ordre n — // — i et de ^,. 

Considérons une caractéristique quelconcpie d*ordre // — // — i. 
cette caractéristique est contenue dans une infinité de caracté- 
ristiques d'ordre n — // dépendant d'une constante arbitraire : 
choisissons une de ces caractéristiques d'ordre n —- h, de telle 
sorte que ^i soit égale à une constante C| qui peut être prise 
arbitrairement, au moins entre certaines limites. D'après la défi- 
nition des invariants. ^2' • • •• ^A sont égales à certaines constantes 
Cj, .... Ca quand on remplace les lettres qui v figurent par les 
quantités correspondantes à la caractéristique considérée. Mais 
$2' '-y ^k dépendent seulement de x, \\ z, />i.o. />©.«» •••? Po.n+/i-t 
et de C| ; ce sont donc A" — i invariants d'ordre n — h — i du sts- 
lènie {C). 

Kous avons supposé que (C) possédait A' invariants d'ordre n — h 
et nous avons établi qu'il existait alors A — i invariants d'ordre 
n -^ h — i : il en résulte que tous les invariants d'ordre n -^ h 
s'expriment en fonction de l'un d'entre eux et des invariants 
d'ordre inférieur, ce que nous voulions démontrer. La démons- 
tration s'applique aux invariants dordre n si le système (C) se 
compose de caractéristiques dordre n — i : en eflet, dans ce cas, 
une caractéristique d'ordre ii — i est contenue dans une infinité 
de caractéristiques d ordre n. 

On pourrait, par une méthode toute semblable, établir une 
proposition analogue relative aux svstèmes non singuliers d'équa- 
tions aux dérivées partielles du premier ordre à deux variables 
indépendantes dans lesquels le nombre des fonctions inconnues 
est égal au nombre des équations. 



17 - 



DÉTERMINATION DES SURFACES DE RÉVOLUTION ADMETTANT 
UNE SURFACE DE RÉVOLUTION DONNÉE POUR SURFACE MOYENNE; 

Par M. DE MOJVÏCHELIL. 

Dcsii^nons par S la surface donnée, par S| les surfaces clicr^ 
cliées; par /•, z; /•, , 3, les coordonnées respoclivcs des m('ridi(;ns 
des deux surlaces. 

On vérifie les relations suivantes : 



/•, ^ ■>. /' — 



w/"'-\/H7W)"' 



V'*('J -) 

qui donnent la solution du problème. 

Deux constantes arbitraires y figurent. L'une d'elles caractérise 
les diverses surfaces S, normales à une même coni^ruence. 

Désignons par K la seconde constante, par y l'angle de la nor- 
male à une surface S< avec l'axe des ^, par a une valeur particu- 
lière quelconque de r, par ja la valeur correspondante de y. 

On vérifie la relation 

(t) /• / ^ H- Kr -h cotY = o. 

D'où 



K 



cotY, 
a 



Celte expression représente la valeur de la projection sur l'axe 
des z de la portion de normale à une surface S< comprise entre cet 
axe et son point de rencontre avec S. 

Soient cl\ d\ d'" trois de ces projections, relatives à trois sur- 
faces quelconques Si admettant la môme surface moyenne S; 
d\^^ d'^^, d"^ celles de ces projections qui passent par le point de S 
pour lequel on a 



XXXIII. 



— 18 - 
Des formules (i) on (lédiiil la r^'lalion 

id".:-d';,)d', (d;-di)d'k , (d:,-d',,)d";, 
d' d" d'" 

Cette formule permet, deux congruences de normales à des 
surfaces Si étant données, de déterminer toutes les autres par 
une construction parement géométrique. Elle permet, en efFet, 
de déterminer les [)oints où les normales de ces congruences ren- 
contrent l'axe des z. 



SUR LES COURBES GAUCHES DE 4« ORDRE ET DE 4' CLASSE; 
Par M. Gh. Bioche. 

T. — Détermination des équations des courbes en question. 

1. Si l'on projette une courbe gauche d'ordre n et de classe k 
sur un plan, le centre de projection étant un point O de la courbe 
ne présentant aucune singularité, on obtient une courbe d'ordre 
n — I. Celle-ci admet pour points d'inflexion : 

1° Les projections des points de contact des k — 3 plans oscu- 
lateurs qu'on peut mener de O à la courbe; 

2" Les projections des points (Vinflexion linéaire, c'est-à-dire 
des points où la tangente a trois points confondus avec la courbe. 

Si /2 = 4, '^ courbe est une biquadratique ou une quartique, 
intersection partielle d'une quadrique et d'une surface de 3^ ordre. 
Dans ce dernier cas, la courbe admet des sécantes triples et elle 
e>t unicursale, un plan passant j3ar une sécante triple ne coupant 
plus la courbe qu'en un point. Si la courbe est une biquadratique, 
elle ne peut admettre de point d'inflexion linéaire; sa projection 
a donc k — 3 points d'inflexion; si A" = 4? celte projection est 
une cubique à point de rebroussement, elle est donc unicursale et 
il en est de même de la courbe de l'espace. 

Les coordonnées des points d'une courbe gauche de 4^ ordre 
et de 4*" classe étant exprimables ralionnellement en fonction 
d'une varial)le A, l'équation qui donne les points d'intersection de 
cette courbe avec un plan contient un paramètre de moins que 



— 10 — 

n'en comporle l'équation «générale du /\'' do.'^vi'; il on i-ésulle qu'il 
existe entre les eoedicients de l'équation une relation linéaire 
indé[)endante du plan considéré. (3u peut écrire celle reialion 

(1) a -h pSi-h yS2H- 0S3-4- £S4 — o, 

S^ représentani la somme des [)roduils/; h p (\r.s lacines. 

Si le plan devienl osculaleur, soil A la vaicMir de. la variable eor- 
respondanl au point de contact et )/ la valeur correspondant au 
point où le plan (-oupe la courbe, la relation précédente peut 
s'écrire 

(2) a -h P(3X + X') -f- 3yA(>v -\- À') + oÀ2(A -h 3X') + eX^\' r^ o. 

2. Pour que la courbe considérée soit de /\'^ classe, il faut et il 
suffit (jue la relation |)récédenle se réduise à une relation homo- 
graphique entre \ et A'. Or on peut, par une transformation homo- 
graphique à coefficients réels ou imaginaires, efTectuée sur la va- 
riable )., ramener la relation homographique qui doit exister 
entre X et // à la forme 

(3) X'=AX. 

Lia relation (2) devant se réduire à la relation (3), on doit ob- 
tenir une identité si l'on remplace dans la première // par Aa; on 
voit facilement qu'on ne peut obtenir que les résultats suivants : 



a = Y = — z = 0, 


/i = — 3, 


a = Q = o = £ = (~), 


h=-i, 


a = [3 = Y = £ = 0, 


/^--f 



La relation homographiqne entre X et V doit donc être l'une 
des suivantes : 

X'+3X = o, X'-4-X=o, 3X'+X = o 

et la reialion (1) se réduit alors, suivant les cas, à l'une des rela- 
tions 

81 = 0, 83 = 0, 83=0. 

On voit immédiatement (pie le premier et le troisième cas 
reviennent l'im à Taulre si Ton change X en ^; on n'a donc à cou 



— 20 — 

sidérer que les deux premiers cas. Ceux-ci sont d'ailleurs cssen- 
liellemenl dislincls, puisque, dans le second cas, la relation entre 
X et )/ est involulive, tandis qu'elle ne l'est pas dans le j)remier cas. 

3. Dans le premier cas, l'équation en \ qui donne les poinis 
d'intersection de la courbe et d'un plan, n'ayant jamais de terme 
du 3'- degré, les coordonnées d'un point de la courbe ont des 
expressions delà forme 

X/= A,X*+13A2+G/X + D,- {i = i, '1, 3,4). 

Des quatre équations on déduit que X'*, X^, X, i sont propor- 
tionnels à des fonctions linéaires des coordonnées, par suite que 
les courbes en question sont des transformées homograpliiques de 

X _ Y Z _ T 

r* " x^ ~ X ~ T ■ 

On voit de même que les courbes correspondant au second cas 
sont des transformées homograpliiques de 

X_ Y_Z_T 
X* ~ X-^ ~ X " I ^ ^ 



II. — Propriétés des deux sortes de courbes de 4^ ordue 

ET de 4*^ classe. 

4. On voit immédiatement que la courbe 

X _ Y Z _ T 

X^ ~ X2 ~ X ~ I 



(') lîien que celte Note soit consacrée à des propriétés projectives, je signalerai 
CD passant une propriété métrique C!lu'itu3e d'une des courbes en question. 
.Si l'on pose 

X = e^\ 

X = t -{- iz , Y = X -^ iy, 'L = x — ly, T = i — iz^ 

on obtient 

X _ y z t 



cos6 sinO sin20 cos26 

Si l'on rejette le plan ^ = o à l'infini, on obtient une courbe ayant pour axes 
de symétrie Ox, Oj', O- et n'ayant ni centre ni plan de symétrie. 



- n - 

est uiHî l)i(|ii;i(lral Ifjiic, tandis (|ii(* la coiirlxî 

X _ Y _ Z _ T 

X^ ~ î' ~ \ ~ i 

est siluée sur une seule (|uadri(jue, non dévcloppahle, 

YZ — XT = () 

dont un système de génératrices, celles qui rencontrent les droites 

X = (>, Z = G et Y = o, T = o, est formé de sécantes triples de 

la courbe. 

Il faut 8 équations de condition pour exprimer (|u'une quadrifpjc 

contient la première courbe et C) pour exprimer qu'une quadri(jue 

contient la seconde courbe. Plus généralement les écjuations de 

condition, pour qu'une surface d'ordre m contienne l'une des 

courbes en question, sont au nombre de 4'^^ dans le premier cas, 

et de /\ /fi 4- i dans le second. 

En effet, soit 

F(X, Y, Z, T) = o 

l'équation générale de degré iw, on a à écrire que l'une des ex- 
pressions 

F(X4, X2, X, i) ou F(XS X», X, i) 

est identiquement nulle. Or, la première expression est un poly- 
nôme en X où manque le terme d'ordre /\ ni — i, tandis t[ue la 
seconde est un polynôme complet de degré /{ni. 

o. La biquadratique a un point de rebroussement 

Y = Z = T = o, 
la tangente en ce point étant 

Z = o, T =» o. 

La projection de la courbe, faite d'un point quelconque de 
celle-ci, est une cubique à rebroussement dont l'unique tangente 
d'inflexion est la trace du plan osculaleur mené par le centre de 
projection. 

La quarti(pie à sécantes triples a deux points d'inflexion 

linéaire, 

X ^ Y = Z = o. Y ^ Z 3= T = o. 



22 

les L'ini;rnlns rhinl 

\ = <>, Y = o et Z = (>, T = o. 

La projeclioii failc d'un point de la courbe est, en général, une 
cul)i(jue à point double dont les tangentes d'inflexion sont : la trace 
du |)lan osculateur mené du centre de projection, et les projec- 
tions des langentes aux points d'inflexion linéaire. 

Si la projection se fait d'un des points d'inflexion linéaire, 
on obtient une cubique à rebroussement; l'unique tangente d'in- 
flexion est la projection de la tangente au second point d'inflexion 
linéaire. 

(3. Il est facile de reconnaître que la développable formée par les 
tangentes d'une biquadratique de /\^ classe est du 5*^ ordre; tandis 
que la développable des tangentes à l'autre quartique de 4* classe 
est du 6* ordre. 

Les cordes (jui joignent le point de contact d'un plan osculateur 
■^ cette dernière courbe au point d'intersection engendrent une 
surface du 3" ordre à directrices rectil ignés distinctes 

XZ2— Y2T = o; 

les courbes asyraptohques sont des courbes de même nature que 
la quarlique considérée. Cette propriété est bien connue. 

Les cordes de la biquadratique qui joignent le point de contact 
d'un plan osculateur au point d'intersection engendrent une surface 
du 5^ ordre. Il est facile d'exprimer les coordonnées des points de 
cette suiface au moyen de X et d'une autre variable^ si la biquadra- 
tique est donnée par 

X = XV, Y = X2, Z. = X, 

la surface en question se représente par 

X = X^ -t- 20 X3 [JL, Y = X*^ -h 2 X[ji, Z = X — [JL, 

ou, si Ton élimine \ et ut. entre ces équations, par 

87.5(2X7,2- 5Y-^ -h XY)-f-(:Y2—3X)2 = o. 

On constate facilement que la ligne double de la surface, qui 
doit êlrc du (3^ ordre, puisque les sections planes sont des courbes 



- i>:\ - 

nnicursalos du Ti" oi-drc, se compose <l(; hi l)i(jUiMlr;ili(jiic cL de la 

coiii(]iic 

Z = o, 7Y2— 3X = (), 

conique (|ii'oii ohlieiiL d'ailIcMiis dans l(; picniicr modo d(3 rcj)r(''- 
seii talion en faisant [^ = A. 

La snrfacc conticnl une autre coni{|ue contenue dans le 
plan X = o. 

Les lig;nes asjmptotiqnes sont données par les équations 



X = X* -H ' , Y = X2 H- -;-;:— , z = X _ _ 



AX^— I AX^— r Aav_, 

A étant une constante. Elles sont en général du 8*^ ordre; pour A 
infini, on retrouve la biquadratique et pour A = o une courhe de 
même nature. 

7. Si sur une biquadraticjue de 4^ classe on prend un point Mo, 
si l'on mène le plan osculateur dont le point de contact n'est pas Mq, 
on obtient un point M, ; en continuant cette construction on 
obtient des points M2, M3, ..,, M/^, ... en nombre infini. Le 
^^lème point tend vers celui pour lequel le plan osculateur coupe 
la courbe en 4 points confondus, qui correspond à 1 = o. 

Si, au contraire, l'on mène le plan osculateur en Mo qui coupe 
la courbe en M'^, on obtient des points M!j, . . ., M^^ en nombre 
infini, le /i'^"'"*^ point tendant vers le point de rebroussement, qui 
correspond à A = 00. 

On a ainsi une propriété analogue à une propriété des courbes 
planes du S'' ordre et de 3® classe étudiée par Clebscli (^). 

Pour l'autre quartique de /\^ classe le point de contact et le point 
d'intersection d'un plan osculateur se correspondant involuti- 
vement, ces points se déduisent alternativement l'un de l'autre. 

III. — Remarques relatives a des théorï^mes de M. Halphejv. 

8. Dans un Mémoire inséré au Tome III des Acta nialhema- 
Lica, M. Halphen déduit de l'étude des équations difFérentielles 



(') Leçons de Géométrie, Irad. IJciioist, t. II, p. 345. 



— 21. — 

du 4* ordre, sans second memhrc, diverses conséquences géomé- 
triques. Il donne en particulier des propriétés des courbes anhar- 
moniques, c'est-à-dire des cour])es pouvant se transformer liomo- 
graj)liiquement en elles-mêmes; les courbes anharmouicjues 
algébriques peuvent se représenter par les équations 

X _ ^ _ Z T 

a, (3, y étant des entiers positifs, premiers entre eux dans leur 
ensemble. 

M. Halphen démontre que : 

1^ Si une courbe appartient par ses tangentes à un complexe 
linéaire et est anharmouique, elle est tracée sur une surface du 
second degré ; 

1^ Si une courbe appartient par ses tangentes à un complexe 
linéaire et est tracée sur une surface du second degré, elle est 
anliarmonique. 

La condition pour qu'une courbe anliarmonique appartienne 
p9r ses tangentes à un complexe linéaire s'exprime, si l'on sup- 
pose a > [j > y, par 

a = [i + Y ; 

on voit alors que la courbe est située sur la quadrique, non déve- 
loppable, 

YZ- XT = o. 

Les courbes que j'ai étudiées sont anharmoniques ; la biquadra- 
tique n'appartient pas à un complexe linéaire, l'autre quartique 
appartient à un complexe linéaire. 

9. On peut se proposer de chercher dans quels cas une courbe 
anliarmonique algébrique tracée sur une quadrique n'appartient 
pas à un complexe linéaire. 

Il suffit de former l'équation qui donne les À des points d'inter- 
section d'une courbe anliarmonique avec une quadrique, et de 
chercher dans quel cas cette équation se réduit à une identité. En 
supposant, pour fixer les idées, a > [i >> y, ce qu'on peut toujours 



(IMîuliiqiK* : 


YZ - XT =o, 


» 


XT — Y' =.(), 


» 


XZ — Y2 rr^O, 


» 


XT -Z2 =o, 


» 


YT — Z2 =zo. 



- i2:i - 

fain;, ou ohlicul l(;s cas suivants : 

a = p 4- Y 
a =-2fJ 
a + Y = 7. P 
a = ';»Y 

Ô = ^Y 

Ou voit (jiK^, (latis les quatre derniers cas, la cjiiadriquc est 
développable et qu'elle ne l'est pas dans le premier; et l'on peut 
conclure de ce (jui précède (|ue : 

i" Si la courbe est sui' une seule quadri(|ue, non dêveloppable, 
elle a|>partienL à un complexe linéaire; 

2" Si la courbe est une seule quadrique développable, elle 
n'ap[)artient pas à un complexe linéaire, 

Enfin, si la courbe est sur deux quadriques, ce ne peut être 
qu'une cubique gauche ou une biquadralique. 

On sait qu'une cubique gauche appartient à un complexe 
linéaire; d'ailleurs pour la cubique gauche on aurait 



a = o, 



et l'équation 



a = [3 H- Y 



T = ^ 



exprime la condition en question. 

Pour une biquadratique on aurait a =: 4 et l'on ne pourrait 
prendre que 

P = 3, Y = 2 



ou 



p 



= I 



ce qui donne les courbes 



X Y Z 


T 




X Y z T 


)^ ~ X3 "" Y^ 


i 


ou 


>7 ~ r^ ~ X " T 



Or, si l'on change X en y» ces équations se déduisent les unes des 
autres en permutant X et T d'une part, Y et Z d'autre part. 

On déduit de cette discussion que la biquadratique de 4*^ classe 
est la seule courbe anharmonique algébrique par laquelle on 
puisse faire passer une quadrique, non dé^eloppablc, sans que 
les tangentes de la courbe appartiennent à un complexe 
linéaire. 



- 2() - 

LA RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DES ÉQUATIONS. 
Par M. K. de Montessus. 

Iloénc Wronski (') a fondé la réduction numérique des é(]ua- 
lions algébriques sur les fondions alcph. Ces fonctions sont un 
cas particulier de fonctions plus générales, permettant de résoudre, 
comme celles-ci, la question posée. 

Qui plus est, ces fonctions générales donnent la solution des 
équations numériques transcendantes y au lieu que les fonctions 
aleph n'y sauraient prétendre. 

Je vais brièvement exposer la méthode de résolution des équa- 
tions numériques, telle qu'elle résulte de travaux récents (-), et 
comparer les résultats de cette méthode avec ceux que H. Wronski 
avait énoncés quatre-vingt-dix ans plus tôt. 

Je suppose que l'équation à étudier ne possède que des racines 
simples. Deux cas sont à distinguer. 

\. Les modules des deux racines les plus proches du point 
^ = o sont différents l' un de l'autre. 

Soit 

l'équation proposée et soit a, la racine de moindre module. Si 
<I>(^) est une fonction assujettie aux seules conditions : i" de 
n'avoir aucun pôle dans le cercle de rayon | ûc, ] ; 2" que la fonction 

h\z) 
soit développable en série de puissances entières 

(l) 5o+5i3 + 5-222-}-. .., 

on sait que le rapport —^ tendra, p ci'oissant indéfiniment, 
vers la racine a (^\ 

(') H. WiîONSKE, Résolution générale des équations de tous les degrés 
{Messianisme, l. 111). 

(-) Hadamauu, La série de Taylor et son prolongement analytique, p. t)o. 
(') Hada.maud, toc. cit., p. 38. 



in 



Si V{z) osl un |)()lynoinc, ofi pourra prendre poui<l>(z) un 
polynôme (piolconipKî. On (lélerinincM'a alors la série ( i ) en idcn- 
lilianl les termes de l'idenlilé 

On vériHera .s7///,v peine, que, si 

F(«) = c'«— Ai^'«-'+ K-iZ"'-^ — ., .H- ( — rj"'A,„, 
les coefficients .ç,„ sont déterminés de la marnère suivante : 

r* Les premiers .Vy, &^^ • • -^ ^p dépendent du [)oljnome *^(^), 
c'esl-à-dire, pour l'objet (pii nous préoccupe, sorrt arbitraires ; 
on peut prendre arbitrairement^ quel que soit le nombre fini p, 
les coefficients ^o, ^t , . . . , Sp. 

2" Les coefficients 5/,^.i, ^pj^-i-, • • • vérifient la loi de récurrence 

('i) — A/,j5,jH- A/,j -i.Ç/j—iH-. . . 

Semblablement, le calcul de la racine de j)lus grand module, 
à la supposer seule de ce module, peut se faire comme il suit : 

Faisant sur l'équation la transformation ^ = ^ j on est ramené 

au cas précédent. 
Si 

^0 "i" ■j'i ^ H" ^2 ^- ~t~ • • • 

est le développement en série de la fonction 

où ¥ ^ (Z) = o est la transformée de F(4ï) = o par la substitution 



1' 



/^+i 



tend vers la racine en question. 

Ici les fonctions j vérifient la loi de récurrence 

(3) C„ — AïO-^-i-h A2 3'„_2 — •..+ (— i)'"A,„ 3-,,- ,„ = o. 

.L Bernoulli connaissait ce procédé de calcul des racines de 



— 28 — 

pins pclil cl plus grand module dans le cas où V équation est 
algébrique. 

Wronski de même. Ce dernier emploie à cet efif'el les fonctions 
alepli. Les fonctions aleph positives correspondent aux fonctions 
d et sont définies par les conditions 

Aleph de zéro =X{o) = X{^\, ol^, ..., a,„)'>= (ai+aaH-.-.+ a,,,)" = i, 

Aleph de un =^ Aiv) = X{(Xx,^i, ..., a,,j)i = (ai + a2-}-...-ha,„)» = ai + a2+...-+-a„i, 

Alephdedeux = X{'i) = X{7.x,^2, ..., a,„)'-= (a,+ a2+...+ a,„)2=: S .^2_^v .^^a,^ 

Aleph de trois z= Ao(3) = <vl,(ai, a2, ..., a,„)3= (a,-+-a2+.--+'^/n)î =-'^ï^--'^Î3f2 + ^^r^2'^-3, 

OÙ le symbole ( ), indique cpie, dans le développement de 

(a,+ a2 + ...-H ^mY, 

on doit remplacer tous les facteurs p, ^—^ -^ ^—!- —\ -y • • • 

' '^1.2 I . 2 . i 

par l'unité. 

Les fonctions ^l. vérifient les relations de récurrence (3) et la 

limite de " , , — , quand p croît indéfiniment, n'est autre Que la 

X\p) ^ ^ ' ' 

racine de plus grand module de l'équation, si toutes les autres 
racines ont des modules moindres. 

Le calcul de la racine de moindre module, à supposer que toutes 
les autres racines soient plus grandes en modules, se fait de même 
par les fonctions aleph négatives, définies comme il suit : 

X(— i)=:^;L(— 9.) = X(— 3)=...= X[— (m -i)] = 0, 
— A,„ X>[ — {n -+- m )] + A,/i_i X[ — ( /i -4- m — i )] 

— A,„_2<JId[ — (;i -f- m — '2)]-f-. . . 

+ (— i)m-2X[— (,i_i-i)jH-(_i)m-i X{—n)^o, 

ce qui n'est autre que la relation de récurrence (2). 

IL Les modules des deux racines les plus proches de 
Vorigine sont identiques. 

Si les modules des racines de l'équation, algébrique ou non, 



véiifient les inégalités 



'^i I ^ 1 '^2 1< h3 i ^ I av 



on peut former l'équation du second degré admettant les racines 
a,, a^, sous condition qu'il existe une fonction <^I>(^) n'ayant aucun 



^«) 



pôle dans le ccreh; de rajon | a^ | cl Icllc (|iie la foin^iotï 

Hz) 
I*' ( c ) 

soil (lévcloppahlc cri série siiivariL l(;s puissances enlirres de la 
variai)le ^. Kii eflel, ou jxmiI ('crirc 






-f- 



(4\ 
et si 



> A _ A_ 

1—- 2C, 



a 



A ^ A z2 



OU 



Fl(^) = 



A^"- 1 



V(z) 



(a, — zj(a2— -^ 



B 



H 

^2 



hz hz^ 



lU"-' 



a- 



a: 



^'( 






'1 -^ 



+ 5;«-^ + . ..-hs'„z"-{- 



= So-+- SiZ -h S.yZ^-h . . .-^ s„ z" -+- 



A 



s„ ■— 






■2 



*/i 5 



2° Les quantités a','^,'^, ^i''^« tendent vers zéro quand n croît 
indéfiniment. 

Car la série (4) converge par lij[)othèse dans un cercle de ravon 
>- I a2 I, puisque les pôles de ^^(z) [ou (ï>, (z)] et les zéros de F, (z) 
sont extérieurs au cercle de rajon [a^l- Donc les séries l'a','^),, 
Sa"5,'^ convergent, ce qui justifie la proposition. Cela |)Osé, élu- 
dions le déterminant 



t>«.i 



•^// — 1 ^n+p — l 





A 




A 


B 




A 




A 


B , , 

*2 



Multipliant la deuxième colonne par a^ et retranchant de la pre- 
mière, il vient 



D 



't,i> 



B 

aï 



a'.; 



c^^; 



aC 



..M'-,^'^-' 



1 -^ /? f /J 


A 

A 

« // +-/> t- 1 

•^ 1 


+ 


B 




B 


a;;^/'- 



- 30 — 
Mullipliant In première colonne par — et retranchant de la 

deuxième, multipliée au préalable par i j,y 



a'. 



^n,p = 



B 



B 



,11+ \ 

4 



«o 






A 



a ' \ 



A 



1 -'ll+P r,'l+l>+\ \ ,,/' 



I 



a(; 



' lt+l> 



d'où 









,/^ 1 



Bl ,_-î. l+a^ar^s', ,-«1 ,/. , 



1 ^" /' 1 c' 



a.,' 



a'. 



^.iZLJ AI,-^l-.,3. 



,^1 

•2 " 



•1^1 



^l.^^\^^U'n 



1 r-j'l+/> c' 



a' 



n+l> 



— I I — 
«1 



a'. 



a'' 

_i '■/" ç' _L_ ri'l^l> ç' 

^, -*1 •*// ^^ ^1 *«+/i 

a^2 



Les expressions soulignées tendent vers zéro quand n croît 
indéfiniment, p restant fini et bien déterminé. 
Donc 



«2 a. j ^^n,p 



AB 



I — 



a^; 



a.> 



a'; 



a', 






îti 



R„,„=AB ,--i 



I I 

ai «2 



B 



o« R,/,y, ^e/i<:/ ?je/"5 :;<?/-0; quand n croît indéfiniment, p restant fini, 
et 

ar/^+'a'3'+/'+'D,,,/,= AB(4^- aO (a.,- a, j + a, aj^* R,,,,,. 

On en conclut 

a'l+P+^OL'i+'>+iD„^f, _ AB(a^^— aV)(a2— ai)-f-aiar' ^^//,/> 
a'l+P^^a'i^^'^-'Dn+i,p ~ AB(a'2'-aO(a2-a,) + a,ar>B„+,,/ 



d'où 

(5) 



liin 

Il r^ 00 



•*•// ^11+/) 



- ai a.: 






\'A\ \)[\\l\VA\\lCA\, 



lilll - 



— M - 



1 // •"»■// 1 1 



- 7i 7) 



On cil conchil encore 



d'où 



A \i ( a'^ — a'i ) (ao — a, ) + a, a^' K^+i,,, 



lim 



Sfi—i 






,/'+! 






a', 



En parliculier, 



(<») 



liin 

/7 = 00 



*/? — 1 
5/, 



// + 2 



5« 



-S 71 4-1 
^«H-2 



= ai+ a2. 



(7) 



yliiisi, quand n croît indéfiniment, les racines de l équation 



'«+1 



i 11 S I 



:2 



^/i ^/i+2 



= O 



tendent vers a,, a^. 

On peut de même construire l'équation ayant pour racines les 
deux racines de plus grand module a<, a^ sous condition que leurs 
modules soient plus grands que les modules de toutes les autres 
racines. 

VYronski, au nio^yen des fonctions alepli composées, qui sont 
aux fonctions aleph simples ce que les coefficients de l'équation 
en a,, aa sont à 5,^_,, 5,/, 5,^^,, Sn^^i-, a formé semblablement l'équa- 
tion (^) et l'équation donnant les deux racines de plus grands 
modules. 

MI Les modales des pi^p'^i) racines les plus proches du 
j)oint ^ = o sont identiques. 



1 '^1 I ^: I "^1 I '^.' • .= I «/> I < I 2C /;-+-! I ;^: j '//,., , I 



— 32 — 

l),»ns ce cas, comme dans le cas (ley>» = .'^;, on peni former (' ), 
et IVronski l'avait fait, l'équation de degré p admclLanl les ra- 
cines a< , ao, ..., dp] Wionski avait aussi formé l'équation admet- 
tant les racines a^_,.,, a^^.^, ..., a„, si |a|y > [a^^., |!^|ay^_o|<...^|a,„|. 

Il est plus simple d'observer qu'une substitution z =^ a -\- Z où a 
est convenablement choisi, et d'ailleurs facile à choisir, fait que 
une ou deux racines seulement se trouvent sur le cercle de con- 

vergence de ..,,/ • 

^ r ( Z j 

La méthode indiquée donnera donc, dans tous les cas, soit une^ 
soit deux racines : je parle de valeurs ap[)rocliées. D'où formation 
possible d'une équation approchée, admettant comme racines des 
valeurs approchées des autres racines de la proposée. On pourra 
calculer ainsi des valeurs approchées des racines de l'équation 
proposée. Cela permettra de construire un cercle Gde cenlre ^ = A, 
y ■=! k'A l'intérieur duquel sera la seule racine ax que l'on voudia 
calculer avec telle approximation fixée à l'avance. Faisant, en ellet, 
sur l'équation, la substitution 

37 -h ij = 3 = X -4- /i H- t( Y -h A-), 

l'équation transformée en Z aura la seule racine a^H- h -|- ik dans 
le cercle G ajanl son centre au point Z = o. Dès lors, la méthode 
exposée au para<^raphe I permettra de calculer a) -1- A + «A, 
d'où ax, avec telle approximation que l'on voudra. 

IV. Dans la méthode exposée, le choix des indéterminées 

5o, ^1, • • • , S m- \ 

\ 

influe sur la convergence plus ou moins rapide des rapports dé- 
terminant les racines. Nous n'avons actuellement aucun moyen 
d'étudier a priori la rapidité de la convergence. Si nous remar- 
quons que dans les équations traitées par IVronski (et ces équa- 
tions ne peuvent avoir été choisies à cet eflet) la convergence sUif- 
fir me comme très rapide, nous devons conclure ciue le choix des 

FONCÏIOJVS ALEPH EST, Sclou tOU tC Vraisciubla UCC, PAREAITEMENT AP- 
PROPRIÉ A LA RÉSOLLTIOJN ^NUMÉRIQUE DES ÉQUATIOJNS ALGÉBRIQUES. 

(M IIada.maiu), loc. cit., p. 'ii. 



— :{;{ - 

Conc/i/sion. — 11. Wroiiski avait iii(li(jii(';, voici |)irs d'un 
siècle, la inclliodc^ de rcducl.ion des ('(jualions r)uinéii(jii(!.s aii^é- 
hiiques que de récents travaux ont retrouvée, seule itiélliode (jui 
a(t(;i^n(î pleinement le l)ut propose. 

A vrai dii'c, Wronski n'avait pas fait la disc-ussion d(; sa mé- 
thode : mais les notions restreintes (\\ni les ^<;om('Ii-es ses eonlem- 
])orains avaient de l'Analyse ne lui permetlaient pas de faire eetic 
discussion. 

Du moins, Wronski a-t-il eu le mérite d'indiquer une hasr^ 
les fondions alepJi, permettant de construire des expr(^ssions 
rapidement convergentes, ce que nul après lui n'a timté. 

(^.ependant, l'exposé de Wronski esta ce point... obscur et plus, 
qu'il ne pouvait guère être compris tel qu'il est. // (Hait néces- 
saire, pourrait-on dire, que les résultats de V énigmalique Polo- 
nais fussent retrouvés par une voie nouvelle. 



SUR L'INTERPOLATION; 
Par ]M. S. Bi:ii]\STEiN. 

M. Borel a soulevé récemment au Congrès de Heidelberg la 
question de la convergence des séries de polynômes qu'on obtient 
par l'interpolation. Cette question a déjà été traitée d'une façon 
détaillée par M. Runge ('). Le résultat de cette étude peut se 
résumer ainsi : les polynômes approchés d'une fonclion continue 
donnés par la formule de Newton ne convergent, en général, vers 
aucune limite. Cette étude met une fois de plus en évidence le lait 
qu'en général la possibilité du développement d'une (onction en 
une série de polynômes sur un segment dépend essentiellement de 
la régularité de la fonction (supposée analytique) dans une région 
déterminée entourant ce segment. 

Le j)raticien (qui ne trouverait pas le calcul de la forniuîe de 
Newton trop embarrassant) pourrait évidemment objecter que 
l'expérience immédiate ne lui défend pas d'identifier sa fonclion à 



(') Zeitsclirlfl fur Malli. iinil l*ltys., njoi. 

xxxm. 



un poljnomc et de lui attribuer ainsi toute la régularité désirable 
dans le donaaine complexe. 

Mais justement à la circonstance théorique signalée plus haut 
correspond ce fait pratiquement important qu'une variation 
inappréciable des données expérimentales conduit à une va- 
riation considérable des valeurs des polynômes approchés en 
certains points intermédiaires. En réalité, les praticiens pré- 
fèrent se servir comme courbes représentatives approchées de leur 
fonction des lignes polygonales qui passent par des points déter- 
minés expérimentalement. Il est clair que ce dernier mode d'inter- 
polation permet de représenter la fonction avec toute la précision 
que comportent les mesures directes. Il m'a paru intéressant de 
ramener le calcul de ces lignes brisées à un algorithme analytique. 
La chose est aisée; nous verrons qu'il suffit d'introduire la fonc- 
tion I X I qui signifie comme toujours valeur absolue de x. 

Soit y=zY[x) une fonction uniforme et continue lorsque x 
varie de o à i. Considérons la ligne brisée ayant pour sommets les 
points 



] = 



P4', F(0]. 



Si l'équation de cette ligne brisée est 
il est évident que la série 

converge uniformément sur le segment oi, pourvu que a^ croisse 
indéfiniment avec k. Cherchons donc l'expression de F„(^). Il est 
clair que 



(0 

avec 

et 

(3) 



¥n{x) ^ kQ\x\ + Al 



X — — 

n 



-+-.. .-h A„la: — i|, 



A. = 



i\^i:^y'{^)-^'iS)\ (^■=>.— -«-) 



Ao=- F(.) 



A. 



Mf(o 



'(o) -4-/2 F 



,iF(i) _(,i_i)F(o)|, 

) 



— {n — \) F(i) 



(^cs (ornuilcs soul, une couscujiKîncf; imm('<li;il<; de, la piopiiéU; 
tie la f'oiicllou | .r | (|uc ses (liircToiiccs secondes sont nulles ])arloul 
sauf pour ;r = o. On voit cjuc l'usaj»e el la d(';monsLraLi()n de ces 
lorniules n'exij^euL cpic des connaissances Loul à fait élémentaires. 
Si l'on veut sorlir du domaine des malliémalitpics (îlé/nenlaires d 
est aisé de rattaclier nos formules au calcul inl<''^ial. Supposons 
que F(^) admette des dérivées des deux premiers ordres. On a 
évidemment pour n = oo 

{■Ahis) ' A^= -F"f-) -, 



(3 bis) 



•1 \ ^ / ''- 

Ao=-JF(i)4-F(o) + F'(())j, 



x 



A«=-JF,(i) + F(o)-F'(i)j 



De sorte que 

F(^)=- r F"(5)|.27-^|rf^+ iJF(i) + F(o) + F'(o)j |.r| 



(, bis) 



h - I F(<) + F(o)- F'(i) I |i —x\ 
- f F"(^)l.'r — ^|r/^ 





^|F(0-hF(o)-F'(.)} +^jF'(o) + F'(.)j. 



L'égalité (i bis) est facile à vérifier directement. L'interpolation 
des fonctions continues de plusieurs variables se fait d'une façon 
toute semblable en introduisant à la place de la fonction élémen- 
taire I X I les fonctions | ^, jk | ^^\^-i y^ ^\ etc. Le calcul des coeffi- 
cients ainsi que les diverses opérations ne présentent pas de 
difficulté. Les lignes au moyen desquelles nous avons cherché à 
approcher notre fonction continue admettent des tangentes discon- 
tinues; c'étaient celles qui se présentent géométriquement le plus 
naturellement. Mais, si l'on voulait interpoler au moyen de fonc- 
tions discontinues, on obtiendrait des formules encore plus 
simples. 

Supposons, en efîet, qu'on nous donne les valeurs F(o), 

F( - J > . • -, F(i) et construisons la fonction discontinue F„(^) qui 



- m — 

de o à - I — exclu ) écalc Ffo), de - à - ( - exclu ) ëirale F ( - ) et 

n \n / /i n \/i / V '^ / 

aiusi de suite, enfin F//(i) = F(i). Si nous iiilroduisous la f(3nc- 
lion /(^) telle que X(^) ^ o pour — co <^x <Co et A(jr)=i 
pour o^^<<oo, on a évidemment : 

Fn{cr) = Aoh(x) 4- AiX la- j -h. . .+ A„l(x — [), 

où 

Ao=F(o), 

A. = F(i)-F(o, 



A„=F(i)-f(^ 



Tous les calculs, avec ces séries, se font avec le plus haut degré 
de simplicité. La généralisation pour le cas de plusieurs variables 
est immédiate. Il est aisé encore de reconnaître que ce procédé 
d'interpolation se l'attache à la formule 



SUR LA SOMMATION DES SÉRIES; 
Par M. H. Andoyer. 

La méthode qui se présente nalurellement poiir obtenu- la 
somme d'une série numérique consiste à calculer directement 
la somme d'un certain nombre de termes à partir du premier, et 
à fixer, quand on le peut, une limite de l'erreur ainsi commise. 
IMallieureusement, il arrive trop souvent que cette méthode n'a 
aucune valeur pratique : c'est ainsi qu'en calculant cxact(;ment la 
somme des vingt mille premiers termes de la série 

1 I I i 

2 3 4 5 ' ' ■' 

et en supposant que les calculs eux-mêmes v\v. donnent lieu à 



nuciMK' erreur, on ohlicnl iiti i('sulliil dont r<'iiciir allciriL cmcokî 
() , o(>()().>..) eii\ ii'oii . 

CepeiulaiiL les ouvrages clas.si(|iies eo iisa^(! de nos jours sont 
imicis sur les melliodes à employer pour ohleuii- des résultais j)lus 
satisfaisants. Il ne semblera donc p(Mit-étre pas inutile d'indicpKîr 
comment on peut pi'oeéder pour obtenir lapidemenl, avec une 
grande précision, facile d'ailleurs à évaluer, la somnn^ de certaines 
séries formant une class(î très étendue. JjC principe de la méthode 
(pie nous allons explnpier est indicpié et ionji;^uement développé 
par J. Stirliui; (^Mclliodus diffère ntialis , sive tracLatus de 
suniniatione et inierpolatione sérier um infini tar uni, Londres, 
i^So); nous n'avons fait que le présenter d'une façon générale et 
approprier son exposition aux habitudes actuelles. 

lùivisageons la série convergenle de terme général Un^ l'indice a 
prenant successivement les valeurs /io? '^o + ï ? '^0+^5 • • • 7 telle 

(jue le rapport "^ soit développable suivant les puissances dé- 

croissantes de /i; c'est-à-dire que, q étant un entier positif quel- 
conque, on peut écrire 

— aoH h 



u,i n n'^ n'i n'i^^ 

a„, a,, 7.0, . . ., a^ étant des constantes, et ^qj^\ une fonction de a 
ajant une limite quand n devient infini. 

On a d'ailleurs | ay | ^ i ; de plus, si ao = i , il faut, comme on 
sait d'après la règle de Gauss, a, <^ — i ; et si a^ = — 1 , le premier 
des coefficients a,, 7.2, ... qui n'est pas nul est positif. 

Si 

la somjne de la série est 

S = 5„^- /'„. 

Soit z,i une fonction de n avant comme limite z,éro pour- 
Il infini, et faisons 

la série dont le terme général est tt\^ est convergente, et si Ton 



38 — 



fait 

on a évidemment 



/i-hl "^ "^«^2 



/•„ = u,.^, -+- U 



r„ = z 



n-\-\ 



si de plus on pose % 

Zfi '=■ Ufi tfi^ 



on a 



Un — Un I I — ^« H t/i-t-1 / 1 



avec 



Le calcul de /v^ est ainsi ramené à celui de /','^ ; en choisissant /,/ 
de façon convenable, on pourra, comme nous allons le voir, 
obtenir une valeur approchée de r„ comprise entre des limites 
faciles à déterminer, et, en ajoutant à r,i la somme s„ calculée di- 
rectement, on aura finalement S avec une approximation (ju'on 
peut fixer. 

Pour le choix de t,i il est nécessaire de distinguer deux cas, 
suivant que ao est inférieur ou égal à i. 

Supposons d'abord ao <C i , et faisons 

les Pi étant des constantes, p un entier positif quelconque. On 
aura par suite 



n — 1 (/i — I)- {/i — 1)1'-^^ 

et en développant chaque terme suivant les puissances décrois- 
santes de /î, on a 

-T — — H — : » 

ni' ni'^^ 

la loi des numérateurs étant évidente, et B^;^, étant une fonction 
de n ayant une limite j)our n infini. 

Si maintenant nous nous servons de la valeur de "'* en v 



— :\\) — 

faisMiil f/ =/>', on voil que l'expression 

T — I / "" ' ' / 

1 — I — ^„ -1 f,i M 

se développe elle-même sous la foiine 

'" n /i2 ni' ni'^^ 

Yoî y«i • • -5 Y/) étant (les constantes, et C^,^, une fonction de /?, 
ayant une limite pour n infini. On voit alors que, à cause de 
I — ao^o, ou peut choisir [3o, pi, •• -, [^/> de façon à annuler 
Y07 y«) • ••> Y/71 et de plus p/,+ i de façon que la limite de C/j+i ait 
une valeur donnée à l'avance quelcon(]ue. 

Si l'on a ao = I , le calcul précédent est impossible; mais on 
arrive au même résultat en faisant 



d'où 



<„=P/i + (Po— |î)+ — H- 






?i P2+P. , , P/,+ (/9-i) (3 ,,..,+... , H 



/'^i 



Il 11^ ni> ni'^'^ 



comme plus haut; en se servant de la valeur de ""^^ > où l'on fait 

q z= p -\- I, on peut encore déterminer [^, ^y, • • -, i%-», P/j de 

G 
façon que T ait la forme —7^? ^p+^ aj'ant une limite arbitraire. 



Ainsi, dans tous les cas 



li'n G 






Un ni'^^ 

C^4.( a^'ant une limite quelconque; or, on peut prendre 11 assez 
i:;rand pour que la somme j'\^ ait le signe de son premier terme 
«/^^, ; en supposant donc la limite de C^+i successivement positive 
et négative, on aura deux valeurs de /'«, fournies par l'expression 
Uii+\f^n+\i approchées en sens contraire, et d'autant moins didé- 
rentes qucyo sera plus grand. Il en seia de même pour la somme S 
de la série proposée. 

Les exemples suivants feront bien comprendre res[)rit de la 
méthode et sou ap{)licalion. 



— 40 — 

1" Soit 

_ (—1 )''-"<> C 

ll„ 7 

n — I 
C étant une constante. 
On a 

— — I H t 



u,i n 



et l'on trouve qu'en faisant 

II T S, 



2 4/1 8/r* n- 



on a 



«— p{-(^r-^] 



n{'?.n — \T- 



8(m — i)-5 

Pour [^5 = 0, la limite de C5 est positive; pour Î5>r, = -' elle est 

négative, en donnant donc successivement ces deux valeurs à ^^ 
dans tn^\, la valeur de //, sera comprise entre les deux valeurs 
obtenues pour Un^\tn^\- Faisons par exemple C = i, «0=2, 
n = 10, de sorte qne la série à sommer est 

, , III 

log nep 2 = 1 1-5^ — 7---- 

On a directement 

5/i= 0,745634920. .., 

et /,i est compris entre — 0,0524875 et — o,o52488o; donc S 
est compris entre 

0,693 i474'^- • • <^t 0,69314692.... 

De même en faisant 

r 3 19 

2 ■>. 

de sorte que la série à sommer est 

on a directement 

s,i = 3,2 52 365 93 . . ., 

et /'n csl compris entre — 0,1 io^'j2(33 ... cl — 0,11 <>77o()() ; donc 



— 4.1 — 

S (\st roinj>ris (miIi'c 

:5,iii k;))(). .. «'I ;5,i 1' '><.)M)î • • • 

I 

11,1 ~ 



i n — I j- 
do sorte (jiic 






on trouve (iii'en faisîinl 



t,i+X = n -\ h :; H- -hr 

ou a 






Jo( Il — I 






Pour p5= o, la limite de Ce est positive; pour p3=: — ' elle est 

gative. 

Faisaut /?o= 'i, /i = to, de sorte que la série à sommer est 



négative 



Ti- I r I 

on a directement 

5„= 1,539767731..., 

et r,i est compris entre 

o, io5 i66333. . . et o, io5 i66343. . .; 

donc S est compris entre 

1,644934064... et r ,644934074. •• . 

Pratiquement, on se dispense de calculer la quantité C^^+t, et 
l'allure du développement de tn+i permet de se rendre compte 
d'une façon suffisante de l'approximation obtenue en arrêtant ce 
développement à un certain rang. 



— 42 — 

GÉNÉRALISATION DE LA THÉORIE DU TRIÉDRE MOBILE; 
Par M. Emile Gottojv. 

La première Partie de ce travail concerne les mouvements à plu- 
sieurs paramètres de Fespace ordinaire. Je montre comment on 
passe des formules habituelles définissant les éléments géomé- 
triques attachés aux trajectoires aux formules analogues relatives 
au trièdre mobile : on substitue aux dérivées des coordonnées or- 
dinaires certaines fonctions des paramètres du mouvement; ces 
fonctions se déterminent de proche en proche par une méthode 
simple. 

Darjs la suite, j'attribue au mot inomement un sens plus étendu 
encore. J'appelle, par exemple, mouvement d^ensemble à p para- 
mèti'cs Ui, . . ., Up d'un espace E(^,, . .., x„) par rapport à un 
espace fixe E'(^'^ , •••, .r,^) une correspondance entre les 2/1 + /? 
variables x^ x' et «, obtenue en remplaçant dans les équations 

d'un groupe fini continu et transitif G, les paramètres «j, . . ., a,- 
par des fonctions des variables w,, . . ., Up. 

Au lieu de supposer le mouvement d'ensemble explicitement 
donné, on peut le considérer comme déterminé par l'un de ces 
systèmes d'équations linéaires aux différentielles totales dont j'ai 
fait antérieurement l'étude ( '). On parvient alors (IP Partie) à un 
principe de passage analogue à celui du début, tant par sa forme 
que par ses conséquences. 

Dans la III^ Partie, je montre que la notion d'élément réduit (-) 
relatif à une multiplicité de l'espace E' et au groupe G, permet 
d'attacher à toute multiplicité à p dimensions, un mouvement d'en- 
semble à p paramètres dont l'élude peut être substituée à celle de 
la multiplicité. 

Celte notion de mouvement auxiliaire permet de présenler sous 



(') Comptes rendus, 6 janvier i()0?. Annales de l'UnWersitë de Grenoble, 
t. \VI, p. 367. Les renvois à ce dernier travail sonl indiqués, dans la suite, par 
les mots Systèmes { L). 

('-) TiiEssi:, Acia matliemalica, t. WIll. 



— A3 — 

une foiino iiUnilivc un rcsiillat donne par M. Vcssiot dans l'un de 
ses beaux Mémoires (') sur l'application de la théorie des groupes 
aux systèmes dilïerentiels ; il s'agit de la (léeomf)osition d'un sys- 
tème difierentiel admettant un groupe; vi\ un systènie résolvant et 
un système automor[)lie. 

Il n'est question ici que de groupes finis; mais ce cas particulier 
est important en Géométrie. J'espère que le présent travail facili- 
tera l'utilisation des groupes (autres (jue celui des mouvements) 
qui se présentent naturellement dans des questions classi(jues ; tel 
est, par exemple, le groupe de la représentation conforme. 

J'indique rapidement, en terminant, de quelle façon on pourrait 
en tirer parti dans la recherche des systèmes triples orthogonaux. 

I. — Sur la. théorie du trièdre mobile. 

1. Nous dirons qu'un point M est animé par rapport à un 
trièdre T' [O' x' y' z') à'' \in niouveinent à deux paramètres {-) m, c, 
lorsque les coordonnées x' ^ y' ^ z' de M sont fonctions des deux 
variables w, v. 

Nous appellerons fiVe^^e de M relativement à u^ le vecteur Mi\J,'^ 

dont les projections sont -—--, - — > -— : et définirons de même la vi- 
• •^ au Oa ou 

lesse MM' relative à v. 



Parle point fixe O', menons le vecteur O' V^ équipoUent à MM^j 

et par M menons des vecteurs MM',',:, MM^'^^ équipollents respecti- 
vement aux vitesses de V„ relativement à u et v. Nous dirons que 

ces vecteurs MM,'^s ou J„2 etMM^^^, ou J„t, sont les accélérations rela- 
tives à u- et à iw. On définit d'une façon analogue les accéléra- 
lions J(,„ et ^^>^ relatives à vu et à p^; d'ailleurs im, et J^,„ sont 
identiques. 



(*) Vessiot, Annales de l'École Normale^ igoS et 1904; Acta mathenialica, 
t. XXVIII. Ce dernier Mémoire est le plus important pour le sujet qui nous occupe. 

(^) Nous distinguons le mouvement d'un point du déplacement de ce point. 
Dans le déplacement on ne s'occupe que de l'ensemble des positions occupées par 
le point variable; dans le mouvement on tient compte de la relation entre ces po- 
sitions et les valeurs de certains paramètres. Si l'on remplace u, v par des fonc- 
tions de m', v\ les nouvelles expressions de x' y' z' définissent le même déplace- 
ment que les anciennes, et un nouveau mouvement. 



(^) 



_ u - 

Des accélérations du premier ordre, que l'on vient de définir, 
on passe à celles dn second oidre J,^3, .1^^:^,, ,1,,^,:^ J,,3, puis à celles 
du troisième, du quatrième, . . ., du /i"'"'^' ordre par le même pro- 
cédé qui permet de définir les accéléralions du [)remier ordre en 
partant des vitesses. Les accélérations d'ordre n sont des vecleurs, 
ayant M pour origine, dont les projections sur O' x' sont les déri- 
vées d'ordre /i -f- i de x'^ et de même pour O'y' et O'^'. 

2. Imaginons maintenant (\ue le mouvement absolu (') de M 
soit déterminé par l'expression, en fonction des variables w, ç^ 
des coordonnées x, y^ ^ de M relativement à un trièdre mobile 
Oxyz ou T, le mouvement de T par rapport à T' étant donné 
])ar un système (L) d'équations linéaires aux difTérentielles totales, 
complèlement intégrable. 

INous allons calculer les projections des vitesses et des accéléra- 
tions sur les axes du nouveau trièdre. 

Soit 

I clx H- ^ du -\- ^\ dv -\- (q du H- q^ dv) z ~ (r du -\- î\ dv) y = o, 

( i) < dy H- Y] du -I- r^i dv -\- ( r du -+- /'i dv) x — {p du -h p^ dv) z — o, 

\ dz -^X^ du ~\- t,x dv -\- { p du -t- p^ dv) y — ( q du -\- q^ dv) x = o, 

le système (L) considéré (-). 

D'a|)rès la façon même dont on obtient (i), on peut écrire les 
projections des vitesses 

TTûT ^^' ^ <^y ^^ Y 

MAI,, 3710= ^^^ -^\^qz —ry, jio = ^"^^ ■+-'^ +''^ —P^^ ^io= J7^ "^^ -^Pf 
MM^ ^01== ^+^1+^1^ — /'iJK, yoi= -^-^rn^r^x—piz, ^oi= ^ + v, + /^i r- 

JNous désignerons, d'une façon générale, par ^^p, ^«8? ^ap les 
j)rojections sur les axes de T de l'accélération d'ordre cf. -\- p — i 
relative à u^ et t^P. On obtient ces projections en reprenant le rai- 



(') Les iiioLs niouvenient absolu^ mouvement relatif, mouvement d'entraîne- 
ment seront employés avec un sens iinalogue à celui qu'ils ont en Cinématique. 

(-) Tout système d'intégrales de (i) détermine les coordonnées (relatives à T) 
d'un point fixé à T'. Voir Darboux, Leçons sur la théorie des surfaces, l. I. 
Gliap. VII, cl K(i:mus, Cinématique, Cliap. X. 



- Ati — 

sonnoinoiil classi(|iic ( ' ) (|iii coiMluil, en (iin('m;il i(|iM', niix formules 
(l<î Roui' cl, à leur ^éncralisaliou. 

On a ainsi les foinuiUîs de lécuiicncr 

draS 

(4) '. 7a,p+i= -^— + /"i^ap— /'i-afi, 

applicables aussi aux accélérations du premier ordre (-). Ces for- 
mules ue dépendent que des fonctions^*, y, z et des p, p , 

u, Ç,, celles-ci satisfaisant aux conditions d'intégrabilité connues. 

3. L'emploi des formules précédentes repose sur une remarque 
bien simple : 

Choisissons pour le trièdre fixe T' [O' x'y' z')^ resté jiisqu ici 
arbitraire, la position occupée par le trièdre mobile T pour les 
valeurs numériques u^ ^ v^ de u et v. Les valeurs pour u^, (^'* des 
coordonnées x', y' ^ z' de leurs dérivées d^ ordre i , 2, . . ., n sont 
égales aux expressions obtenues en remplaçant u par u^\ v par 
r^ dans les fonctions correspondantes x^y, z, Xto, .... z^)„. 

l^a remarque antérieure nous donne immédiatement la repré- 
sentation, par des séries entières, du mouvement absolu de M au 
voisinage des valeurs u^ et v^ de u et v. En développant en série 
de Tajior les coordonnées x^y^ z de M, dont la signification vient 



(') Kœnigs, Cinématique, p. iSo et 4l9- 

(-) Les diverses exj)rcssioiis <|iic l'on |)CuL oblenir pour les projeclions (ruiic 
même accélération sont identiques en vertu des conditions d inh-graliilité. 



— 46 — 
d'cire précisée, on a (*) 

, x' = ^" -f- x^l Q(u—a^))-+-xl^(^> — i'o)-{-\xlf,(u — u,, f 

( y = r° + ..., z'=^o + .... 

Nous désignons pat- y la valeur d'une fonction y de ii cl c |)our 
les valeurs numériques «^, c*^ de ces variables. 

4. Considérons un système S' rie relations de la forme (-) 

définissant, relati\^cnient au trièdre fixe ï', des éléments 
géométriques remarquables attachés à la surface trajectoire 
absolue de M. Ces éléments sont soit des grandeurs (courbure 
moyenne, courbure totale, . . .), soit des surfaces ou lignes remar- 
quables (plan langent, tangentes asymptotiques, . . .). 

Le système S' est donné par la Géométrie différentielle ordi- 
naire, le système S donnant les mêmes éléments rapportés au 
trièdre mobile s^ en déduit en remplaçant x\ y', z' par x, y, Zy 

, T, • r d^+'^x' Ô^M^y' d^+^z' 
et les derwees -^-^^. ^-^^, ^-^^ par x,^,y,^, .,p. 



Par exemple, pour l'origine O du trièdre mobile, on a 



X 



((■>) 



\ ^11 



: O, 



-^ qï^ — f'\-n 



•2"oi — \\-> 



<^h 



^^^ +'7^1— '-'M. ^02= -j^ -^fJxKi- rrr.i, 



et des formules analogues pour y et z. 

5. Des formules babituelles relatives aux coordonnées curvi- 
lignes on déduit : l'équation (relative à T) du plan tangent à la 
trajectoire d'entraînement de O 

X Y Z 









^1 



= o; 



(') Cf. Kœmgs, Cinéniafùjuc, p. i54-ijG. 

(-) ïNous su[>priinoi»s rindicc ^e'/'O devenu iiuilile. 



- Al - 

r(''(|iiahon (lidVîiMMilKîlli^ (les li^iHVs nsyinplol i(|U('s, (|iii s'ohliciiL cm 
rcin[)liH;aiit, dans la prcccdonlc, \ par 

Y et Z par des expressions analogues. On retrouvera faelleinent 
ainsi des résultats connus ( * ). 

Il serait aisé de nuilliplier les exemples et les applications; 
d'étudier, par exemple, la distribution des éléments remarquables 
relatifs aux surfaces trajectoires des différents points M liés au 
trièdre mobile (-). 

11. — Extension de la ïhéortiî précédente. 

G. Nous utiliserons désormais quelques locutions que nous 
allons tout d'abord expliquer. 

Un point d'un espace E' à n dimensions sera déterminé par ses 
coordonnées, c'est-à-dire par un système de valeurs attribuées à 
n variables x\j x\^^ . . ., x\^. 

Supposons ^z:'^, x\^ ..., x'n fonctions de p variables ?/,, ..., iip. 
Nous dirons que ces fonctions définissent un nioiaetnent à p pa- 
ramètres d'un point M par rapport à E'. L'ensemble des points 
de E' avec lesquels M vient coïncider est la multiplicité trajec- 
toire de ce point. 

Soient 

(7) Xi = f{x\,x'^,...,x'n\ai,...,ar) (f = 1, 2, .. ., n) 

les équations d'un groupe (ini et continu G à /' paramètres. Nous 
considérerons souvent une transformation du groupe comme défi- 
nissant un changement de coordonnées (relatif à G) dans 
l'espace E'. 

Résolvons les formules (7) par rapport aux x' et dans les équa- 



(') Dauiîoux, Leçons sur la Théorie des surfaces, l. II, p. 382. 
(-) La Géométrie cinénialique de iM. Manahcim coiilienl un grand nombre de 
problèmes de «-etle natiiie. 



— AH — 
lions 

(8) x'i=V,(xi,...,.T„;((i,..-,a,.) (i = i , 9., . . . , n) 

«Tir)si obtenues, snbsLilnons aux a des ("onclions de p varia]>les //,, 

(9) au = /^u{uu " ', if-i») (A = 1, 2, ..., /•). 

Les .T étant regardés comme définissant les poinls d'un espace E, 
les iormules exprimant les x' en fonction des .x et des u défini- 
ront un moin'emenl cr ensemble de U espace E par rapport à 
V espace E', relatif à G, ce mouvement étant à y? paramètres. 

A chacpie point M de E correspond un mouvement d^ entraîne- 
ment (par rapport à E'). 

Le jnouvement d'ensemble peut être aussi bien défini j^ar les 
formules ('^7) et (9); mais en considérant toujours les ^^ comme 
déterminés en fonction des x et des a. 

Regardons aussi les x comme des fonctions données des para- 
mètres u\ en d'autres termes, définissons un mouvement ày> para- 
mètres d'un point par rapport à E. Nous l'appellerons le mouve- 
ment relatif et désignerons par mouvement absolu celui qui 
correspond à la superposition du mouvement relatif et du 
mouvement d'ensemble de E |)ar rapport à E'. Le mouvement 
absolu se traduit analjtiquement ])ar les formules (8) où l'on 
remplace les x et les a par les fonctions correspondantes des 
variables u. 

7. Au lieu de supposer les fonctions (9) connues, regardons-lcs 
comme déterminées par un svstème d'équations linéaires aux dif- 
férentielles totales de la forme 

r 

(10) c?a/, = \ ayA(a) /y(â?fO {h = \, 1, . . ., r). 

Dans ces équations, les expressions y,j/t(n) sont les coefficienls 

des dérivées — — dans les transformations infinilési maies 

ôa/t 

r 

(11) AyF =^^-jf'('^^{^ (J = '' '^^ •••' '•), 



- 49 - 

<l(i nieinicr j;r()ii|)(' des parainrlrcs de (i. L(^s sjml)()l(;.s Ijida) 
dôsif;iUM)l (les (expressions i\c, VïwW 

/• 

conslniilcs av(*c les v;uMal)les a et Icmiis (JifTciicnliolles, cl choisies 
(le façon (nie (lo) soil coni|)Ièl<M!i(Mi! inl(!<^ral)lc ('). 

A un in(}nie svsl.(MTie (lo) correspond une infinilé de sysU'incs 
de Ibnclions a. Connaissant l'nn cl'enx, repi'ésenU* par l(;s (l*(|na- 
lions (()\ on ohlienl le sysLc'me le pins <^én(jial 

(i3) a/,= YA(«ti, ii-i, . . ., ic,,\ Cl, c-i, . . ., c,.) (h = I, •>►., . . ., /•), 

d(''peiidant de /• arbitraires 6', en renipla(;ant les a par lenrs 
expressions ([)) dans les (équations finies 

(i4) «1-=: 9/,(ci, ..., c,.; «,, . .., a,.) 

du premier ^ronjje des paramètres (-). 

Il semble donc qu'nn système (lo) définit nne infinité de mou- 
vements de E par rappoit à E'. Mais oji peut regarder ces 
mouvements comme identiques, la difrérence entre lenr repré- 
sentation analytique tenant an clioix des coordonnées auxquelles 
on rapporte E'. 

On peut, en efiet, obtenir les transformations relatives aux (î 

('■>) ^i — fi{x\ a'), 

en eirectuant d abord la transformation 

(iC)) x'\-=^fi{x\ c), 

j)uis les suivantes 

(i;) .Ti=fi{x\ a). 

Mais ou peut rei^arder (i6) comme définissant tin cliani;ement 
de coordonnées (relatif à G) dans l'esjjace E' ; ce (jui ('lablil la 
proposition. 

( ' ) Systcnies ( L ), n"' 'i-.j. 
(-) /Oid.. iv 11. 

XXXIII. 1 



— :)() — 

8. Nous supposerons que l'on donne : i '* le système (lo) 
déterminanl le mouvement d'ensemble de E par rappotl à E' ; 
2" les fonetions x des |)ai-amèlres a définissant le mouvement 
relatif d'un point (par iap|)ort à E); et nous eherelierons à (hUer- 
mincr le mouxemenl absolu au voisinage d'un système donné 
«',*, . . ., u^^ de valeurs des paramèlres //,, u.;,^ . . ., u p. Nous pré- 
ciserons d'abord ces derniers mots. 

Soient r/", ..., r/J!, r nombres eboisis arl^itrairement. Il existe 
un système de solutions de (10) et un seul tel que les valeurs 
initiales des a (valeurs pour u = u^) soient précisément les 
constantes «<• données. An système ainsi défini de solutions 
de (10) et aux fonctions données x correspoiîdent des ('onctions x' 
bien délerminécs des variables //. On se propose de développer 
ces dernières fonctions en séries erïtu3res(') par rapportaux dillé- 
renees Ut — //", . . ., u^ — //J*,. 

Les coefficients de ces séries soni, à des fadeurs numériques 
près, les valeurs pour u = u*^ des x' et de leurs dérivées. 

Les termes constants des développements s'obtiennent sans dif- 
ficulté si l'on connaît les équations finies (^) du groupe G. 

i3'ailleurs, en choisissant, comme nous le ferons plus loin, pour 
constantes a^ les valeui'S des paramètres correspondant à la substi- 
tution identique, nous pourrons nous dis[)enser de chercher les 
équations finies de G. 

9. l^nir calcider les termes du premier ordre, rappelons que les 
seconds membres des équations (8) satisfont au système com[)let (-) 

(i8) \j¥ -^ AjF = {j = \,i /•) 

Gilles A/F sont les transformations infinitésimales (11) du premier 
grou[)e des paramètres de G, et où les expressions 

(19) XyF =^f//(r,,.r., — '•^'");]7: (./' = •'■-'•' •••''•) 

i = \ 

sont les transfoi'inatioiis infinil('>imales du groupe G. 



(') Nous nous dispenserons d'énoncer les conditions rcstriclix es (|ui assureraient 
la possibilité de ces développements. 

(-) I^ie-Enukl, Traii'iforinationsi^ruppen. t. I, p. l'iç). 



- ru 

Une foiiclidii (lo .r' dcvlciil |)iir l;i siihsl iliilioii (S) ihk; loncliori 
(l<*s .?• cl (les ('Z : 

l:i foiiclion <ï> es! une iiil(''i;r;»l(; <Iii sysièmo (i**^). I''m dinéiciil i;iril 
l'idciiLilr ( '^o), il VI cul 



(:?.!) 






/ - 1 



// 1 



llcmplaçons dans celle idenlilé les rf par le syslènu! de soliilioMs 
de (lo) considéré an n" 8, ou a 



fcT' d<\> 



^ à^i* x^ 






/-— 1 



t)a» 






/= 1 



el, puisque ^ est solution de (i8), 

dxi — 



''*'=I]5*''-^'-I]'^'*'^"'"> 



/=! 



.-I Ô^ 



1 = 1 



/ = » 



Consitlérons maiuteuanL les x comme des (onctions données des 
paramètres ii^ 4>' devient une fonction ^F de ces paramètres, et 
Von a 



{■>■'>-) 






ë-i^-(^-^ ''-(">] 



7 = 1 



10. Supposons d'abord que les valeurs initiales r/'* des a cor- 
respondent à la substitution idcnticpic de {"])• Nous désignerons 
pai-y,, . . .. yu l<-'S fonctions x\, .,., x], que l'on détermine par 
ce clioix particulier des constantes a^ . 

Lorsque les a prennent ces valeurs a^\ <I>(^; a) el ses déiivées 






;i2 ~ 



deviennent rcspcclivcmenL (^'{x^, . . ., x„) cl 

4 

Dans \'d formule (->>?i) faisons (h' =:W = J'i, cl donnons aux it les 
valeurs «" ; il vient 

' \0U,J \()H/J jLà^J'^ ^ J'^ ' / (X=I, 9., ...,/>). 

/=:1 ^ ' 

les nouveaux indices rappelant que Té^alitéa lieu pour les valeurs u^ 
des paramètres ii. 



11. Substituons maintenant à <7<, ...,«,- d'autres solutions 
r//^, ..., a\, de (lo), prenant pour u = «" des valeurs ini- 
tiales quelconques a^^ ..., rt^.**. Soient:?;' les fonctions définies 
par 

Les x' et les j^ définissent un même mouvement dans l'espace E', 
rapporté à deux systèmes distincts de coordonnées. Le changement 
de coordonnées est, comme on le voit facdement, 

(•-^4) jK/ = /(^in ..-, ^«; «l^ •••,<^) (/ = 1, 2, ..., /i). 

Les a'^ sont des constantes; on passera donc des dérivées -~- 

aux dérivées — '- en résolvant, par rapport aux dernières, les for- 
mules obtenues en prolongeant une fois le groupe (24). Ce pro- 
longement se fait en regardant les x' comme fonctions des p va- 
riables non transformées /<,, ..., Up' 

Remplaçant alors ?<,, . . ., Up par ///J, . . ., ;^" dans les formules 
obtenues, on a les coefficients des termes du premier ordre des 
développements cliercliés (n"8). 

jNous pouvons énoncer ce résultat d'une autre façon, en obser- 
vant que les valeurs «" sont quelconques. 

Appelons fondions (idjoinLes d^ ordre zéro les fonctions 
données ^,, r^ des variables // : fondions ((djoinles 



— r;;i - 

(lu prcnùcr oidnt (;(.'ll(;.s (pu: dclirnsscnl, l(;s (oiimilcs 



•'^';a. a,= j;;; -^Ij^-nlj/Au), 



(•a:>) 

/ 

1 a/=() pour L / k, «/.-^i, [(i ^ i , v, ..., //) ( /. — i, y., .... /y)). 

Considérons les fonctions x' définies parles équations (7)011 l'on 
a remplacé les x par les (bnclions d'ordre zéio^ les a par un sys- 
tème quelconque de solutions de (10). Les valeurs des x' et de 
leurs dérivées premières s'obtiennent en prolongeant une fois le 
gi-oupe (7) (à l'aide des variables u non transformées par ce groupe), 
remplaçant les x et leurs dérivées premières par les fonctions 
adjointes C()rresj)ondantes, les a par le système considéré de solu- 
tions de (10), et résolvant les formules par rapport aux x' et à 
leurs dérivées. 

Iî2. Cet énoncé met bien en évidence le fait que le calcul des 
x' et de leurs dérivées premières est entièrement analogue au 
calcul des x' seuls. 

C'est le groupe G,^ obtenu en prolongeant une fois G qui rem- 
place ce dernier groupe; ce sont les n -\~ np fonctions adjointes 
d'ordre zéro et un qui remplacent les n fonctions adjointes d'ordre 
zéro. 

D'une façon générale, sollG^,, le groupe oblenu en prolongeante 
jusqu'à un ordre quelconque IN (en regardant les x' comme fonc- 
tions de p variables non transformées). Les deux groupes G et G^., 
ont même structure et même groupe des paramètres; et, dans les 
deux grou[)es, les mêmes valeurs des paramètres donnent la trans- 
formation identique. 

Il résulte de là que le ccdcul des dérivées secondes des ^'se fait 
par un procédé analogue au précédent : On définira d'abord des 
fonctions adjointes du second ordre en opérant sur les fonctions 
adjointes d'ordre zéro et un et sur G|^ comme on u opéré sur les 
fonctions adjointes d'ordre zéro et sur G pour obtenir les adjointes 
du premier ordre. 

On désignera ces fonctions du second ordre par la notation 
Xi.jy^^ 3j , les indices a étant positifs ou nuls et leur suunne étant 
égale à 2. Ces fonctions correspoudeiit aux. dérivées secondes 



— ol — 



(les .r ; pnr c\rrîj|)le si y.h cl a/, sonl égaux à r, l<;.s niilres a élaiU 
mils, ^,.v 'v t^t -^ se corres|)ondcnt. 

Au sujet (lu (mIcuI de ces Conclions, il est bon (l'ohserNer (jiie 
celles d'euLre elles (|ui ont deux indices a non nuls peuvent s'ob- 
tenir de deux façons didérentes. En tenant coinpie des conditions 
d'intégrabilité on pourrait vérifier Tidentilé des résullats obtenus, 
mais cette identité est manifeste quand on se reporte à l'interpré- 
tation, donnée plus loin, des valeurs nuinéricjues des fondions 
adjointes. 

On définit ensuite des fonctions adjointes d'ordre li'ois, et l'on 
parvient ainsi de proche en proclie à des fonctions adjointes d'ordre 
quelconque. 

On observe que le calcul des fonctions adjointes utilise seule- 
ment les tidns formations infinitésimales de G(')c'^ les expres- 
sions correspondantes lj(^du) satisfaisant aux conditions d'in- 
tégrabilité (-). 

13. La solution du problème du n" 8 peut être présentée de la 
façon suivante : 

Les coordonnées auxquelles on rapporte l' espace fixe \i' étant 
convenablement choisies, le mouvement absolu, au voisinage 
d^ un système (juelconque de valeui's u^ des paramètres u est 
défini par les valeurs correspondantes des fonctions adjointes 
des différents ordres. 

Le choix particulier de coordonnées dont il est question ici est 
tel que, pour les valeurs u^\ les valeurs des x' soient égales à celles 
des X de même indice. Dès lors les valeurs numériques des déri- 
vées des x' sont égales à celles des fonctions adf ointes cori'cs- 
pondantes. 

Les fonctions adf ointes d^ ordres i, 2, 3, ..., n sont évideni- 



(') Celles (les groupes G>/, s'en déduisent aisc'nienl. Voir dans les A/inates de 
l'École Normale (i()o3) le iMénioir-c cilé de M. VessitU ( n" '1). 

( -' ) Ces conditions pinivent èlre écrites (juand on connail les Iransfornialions 
inlinitésiniales de G; elles ne dépcndeni, en ellet, que des constantes de structure. 
Systèmes ( F^), n" i el5. 



mc.nl <(/t(f/(>i^ f/cs (iti.r /no/Cclioiis des vitesses el des (teeéléiations 
d'oidre i, •>., ...,// i sur les rfjcs du (lièdre mobile. H eût 
('U*' liullc d(î |>ic.scnl(M' le calcul de ces (Iciuicrcs (l(^ laçon à accc'ii- 
lucr encore ccîlle analoi^M!. 

L(; sjslèinc (lo) «>c Joikî évidernmeiil, dans loni vv (pu |)r('crd(!, 
(ju'nn \()\v. secondaire; le rnonvemonl (renlraineinenl esl en léalilé 
dt'lini par les expressions Ij(dit). On [)euL d'adlenis snh^l il n(,'r an 
sjslènie (lo) le sjslème é(pii valent (') 

r 

( 26 ) da-i ^^^ji{x) lj{du). 

Avec le latigage que nous avons adopté, on voit que le sys- 
tème ('-^^C)) détermine les coordonnées, relatives à E, d'un point 
fixe par ra[q)orl à E'. Gela résulte des formules (25). 

14. Le résultat énoncé dans le numéro précédent donne évi- 
demment un principe de passage permettant de déterminer les 
éléments géométriques remarquables des trajectoires absolues en 
rapportant ces éléments à Tespace mobile E; il suffit de remplacer 
les ^-^ et leuis dérivées |)ar les fondions adjointes correspondantes 
dans les formules (su])posées connues) qui détermineraient ces élé- 
ments remarquables si le mouvement absolu était explicitement 
donné. 

Ce qui précède permettrait d'énoncer, pour des groupes finis 
quelconques, des propositions analogues à celles que l'on rencontre 
dans les applications de la Cinématique à la Géométrie. Les plus 
intéressantes de ces applications, celles qui concernent l'étude des 
courbes et des surfaces au moyen d'un trièdre mobile, seront gé- 
néralisées, du moins en partie, dans la suite. Nous n'aurons alors 
à considérer que le cas du repos relatif (les adjointes d'ordre :;f'/Y> 
seront des constantes) i toutefois les considérations précédentes 
auraient été compliquées par Tintroduction immédiate de cette 
hjpotlièse restrictive. 

15. Nous allons calculer ra[)idement, à titre d'e\ein[)le, les tonc- 

(') Syslcmcs (L). n" 11. 



— :i() — 

lions adjoiiilcs d'ordre un al deux pour Je j^roupc (') 






' dx ùy ôz 

des Iransformalions projeclives laissant invariable la (piadrique 

X- +JK" + ^- + i = o, el pour les expressions 

( Ixidii) — — [\dii-\-\\^dv)^ l-iidiC) — — (-qdu -h r,idv)^ l-i{di() = — (Xdii -{- t^dv)^ 

( ■>yy) • 

( /,v {du) = p du -l-/>i dv, h{da) = q du + q\dv^ /,; {du) ~ /• f/a H- /•] dv ; 

nous supposerons j", j)', ;: eonstants. 

La slrucLure du groupe (2^) est donnée par les identités 

(X2X3)=:X4, (X,\0=O, (X,X5) = X3, (X,X6) = -X,, (X5X,) = X4, 

el celles (pie l'on en déduit par les pernuilalions circulaires des 
indices i, 2, 3 d'une [)art, 4? 3? ^^ d'autre part. 

Pour (pie les expressions (28) définissent un mouvement d'en- 
semble à deux paramètres, il faut que les coefficients des expres- 
sions (28) satisfassent aux identités 

,- = ^i ''1 — '^1 ^ + ^1 7 — ^ 'Z 1 ' i -— =^ fi-A — ■''i\^.^ qi\ — q\r, 

\ ùv ou ôv Ou ^ > i 1 

Les formules (^5) donnent, [)oiîr les fonctions adjointes du pre- 
mier ordre, 

1 à.T 

et des (ormules analogues [)our j',q, rj),, ::,i), z^^y. 

(') Lie-Kxgi:l, 7'/-ansfo//)iationfi gruj>pen, t. III, p. /jio. Ce groupe esl celui 
des mouvemeiUs ca\ levens, la (juadriquc élanl prise pour absolu. 

Voir ( pour les n"» 15 et '2"2) une Noie de M. Demoulin, Sur VcnijAoi d'un té- 
traèdre mobile on GeométrieCa y lerenne {Comptes rend us, i.CWWXj'Sixoni i()o4). 



— ,)/ — 



\\)[iv ohicnir les fonclioiis ndjuiiiUîs du sc(K)nd oidrc, nous uli- 
liserons les Iransloinialions iidiuilcsiinalos du «^ioujk' prolonj^c 

/ ''/" àf 'ÏÏ \ / '^f tV <H \ 

' -^ -^ V ^-^lo ^rio ^-10/ \ Oxio '^ Oyn, Ozxn) 

l <H àf àf \ / ôf <\f . ùf \ 

xV'/= 'V/-h ^,0 - — rio — - + -01 — roi — - y 

VIO ^^10 K/oi "^01 

v(n/-_ vd)/- — 

^0 y — • • •' ^6 y — • • • 
On a ainsi 

(3i) 0720= —^ 4-(.rio:P + ^a"io)^ 4- (710-2^ +7-^10) '^i 

el des formules analogues pour ^^ < , X027 JK"207 • • • j ^o^* 

Les formules (3o) et (3 1 ) donnent pourTorigine du Irièdre mo- 
bile (^ = K = :; = o) les mêmes résultats que les (brmules (6). 
Gela tient à ce que les transformations infinitésimales (ay) ne dif- 
fèrent de celles du groupe des mouvements euclidiens que par des 
termes du second ordre. 

m. — Mouvement d'ensemble attaché a une multiplicité. 

16. A tout point P d'une surface M de l'espace ordinaire corres- 
pond un trièdre remarquable T où P.^^^, tel que l'équation de la 
surface rapportée à T et résolue en z prend la forme réduite 
z ^= ax- -\- h y'^ -^ . . . ^ les termes non écrits étant du troisième 
ordre au moins. On sait d'ailleurs que ia elib sont les inverses 
des rayons de courbures principaux de M en P. 

Il est évident qu'à toute représentation paramétrique de la sur- 
face correspond un mouvement à deux paramètres du Irièdre T; 
l'étude de ce mouvement peut être substituée à celle de la sur- 
face {'). 

L'utilité de la notion précédente apparaît dans la recherche des 

(') Darboux, Leçons sur Ja théorie des surfaces, t. II, Li\re V. Cliap. I. 



— r)8 - 

siiif;i(;ns W (loiil les layons de courhiire piincipaiix sonl, li('s j);h- 
une rcliUion donnée ('). Or» j)enl en (îfïeL la diviser en tleux pio- 
hlèmcs sueeessils : inlé<^ralion d'un sjsirme résolvant (K) déler- 
ininanl les Iranslalions el rolalions du Irièdre mobile T; inLé<;ralion 
des syslènics (\j) correspondant anx solutions de (l\) et déteniii- 
nant les |)ositions respectives des Irièdres fixes et mobiles. 
13'ailleuis à un même système de solutions de (II) correspond une 
famille de surfaces VV égales entre elles. 

J7. Nous allons généraliser les résidtals précédents, en considé- 
dérant une multiplicité M à p dimensions conlenue dans un es- 
pace E' à /i dimensions et un groupe fini et continu (3 que nous 
supposerons transitif. 

Soient x\. . . ., x[^ les coordonnées définissant les [)oinls de 1^' 
et 

(3-2) Xi = /,(x[, . .., x„', ai, . ..^a,.) {i = i , :i, . . ., n) 

les écpiations de G. 

Supposons d'abord M définie par les exj)ressions de -^^,^ ,. 
^ .,, ..., .r)^ en fonction de x\, .r',, ...,x'. Appelons clé/nent 
de M (-) rensemble formé par un système de valeurs numéricpies 
de .t\, x[,^ ..., œ^^ satisfaisant aux équations de M et j)ar les va- 
leurs numéri(pies correspondantes des dérivées de^.,^,, ..., x'^^ par 
rapport à x\, ..., x\,. Ces valeurs sont appelées cooi'données de 
Vêlement. 

Au grou|)e G, on peut faire correspondre, j)()ur les midtiplicités 
à y» dimensions, \\\\ nombre limité de formes réduites, telles que 
loul élénient ^ d'une telle multiplicité M peut se nuttie, à l'aide 
d'une Uansformalion bien déterminée du groupe, sous l'une de ces 
iormes réduites. J^es coordonnées deTéléinent réduit C sont égales, 
les unes à des constantes (ixes, les autres à des invariants fonctions 
des coordonnées de l'élément initial. 



(•) IbitL, t. III, p. 3i7 et i. II, p. 3',r). 

(■-) Ia's nolions dclémciU cL de tonne rcdiiilc sonl lirccs de la llicse de 
M. Tresse, Sur /es invariaiils c/tj/'crentie/s, elc. {Acla //lai/ic/natico. t. WlU). 
Voi/- le Cluipilie I de la troisième Partie de ee Mémoire et. en [)artieulier, le 
liiéorèmc I dont renoncé est reproduit ci-tlessus. 



— rii) --- 

18. Si 1,1 mtilli|)li(il('' M csl (l()iiii(;(; \),\\' iiik; rcj)! cscnlalion 
|)iirain(''h-i(|(i(' 

( 53 ) .r; :^ ^,{ui, . . . , i(,,, ) ( t = I ,•>.,..., /i ), 

un calcul (le (l(''ri\('cs de; f()iH;li()ris linpl icilcs (loinicra, en (onclion 
des paianirlrcs //, les coordotiiiécs de réléinenl £. 

I^erivaiil, alors (jik; l'on passe de £ à l'élcMncnl rédiiil, 0" par une 
Iransformalion (.)>.) eon venablenienl prolonpfée, on (J('l(;rinine 
^/i, . . . , >/, en fonction d(; //,, • . • , (f/>- 

Uei^ardons inainLenanl dans les é(|ualions ( ^-») les x comme 
arhilraires, les a comme rem[)lacés [)ar les fondions des va- 
riables u que l'iMi vient de déterminer; nous avons des formules 
définissant un mouvement cV ensemble d^ un espace E par l'ap- 
port à Vespace E'. Ce mouvement est à p paramètres «), .. ., //^, 
et relatif à G; la trajectoire du j)olnt de E dont les coordonnées x 
sont égales aux coordonnées d'ordre zéro (') de l'élément réduit 
est précisément la multiplicité M. 

Les fondions a,, ...,«,- des variables //,, . . ., Up définissant 
re mouvement d'ensemble déterminent (-) les expi'cssions de 
PfalT /i(du), ..., lr{du) (|ui fij^urent dans les systèmes (L) 
correspondant à ce mouvement (n'"* 17 et 13). Nous dirons que 
les expressions l{da) correspondent à la multiplicité iM donnée 
|)ar la représentation (33). 

Il est aisé de voir (•') que les expressions l[du) coriespondant 
à une multiplicité M, correspondent aussi à toutes les multi- 
plicités déduites de M par les tianformations de G et à celles- 
là seulement. 

Si l'on changeait la représentation adoptée pour M, en prenant 
de nouveaux paramèlres 'j,, ..., u^ ; les expressions de Pfafl 
A, (<:/u), . . ., Xrid^)-, correspondant à la nouvelle représentation, 
se déduiraient évidemment des anciennes li(du), ..., Ir(du) 
par la transformation donnant f^i, ..., Up en fonction de Ui, ..., 'Jp. 

19. Les systèmes (L) que l'on attache ainsi aux multiplicités à 
p dimensions de l'espace E' ont une forme particulière. Pour 

(') On pciil supposer ces cuortlonnces constantes, puib(juc G csl transitif. 
(■-) Syslêmes ( L ), n" 'i. 
{■') IbUI., n" U. 



— ()() — 



cciiiL' f|ii'(m syslc'iTie (L) 

/■ 

(30 (lTi=^^ji(x)lj(/lu) 



(c = \, '2, . .., n), 



construit à l'aide des Iransforinations infinitésiinalcs de G et de 
/• formes données li^du) satisfaisant aux conditions d'intt'grabilitc, 
appartient au type précédent, on procède de la façon suivante : 

Prenant pour fonctions adjointes d'ordre zéro, œ^^ . . ., x,,^ les 
constantes qui sont les coordonnées d'ordre zéi^o de l'élément 
réduit, on calcule les (onctions adjointes d'ordre supérieur 
(n"^ U, 12)('). 

On écrit les équations (jui donnent les dérivées de ^'' +i, . • ., x\^ 
par rapport à x\^ . . . , .r^, en fonction des x' et de leurs dérivées 
par rapport à ;<,, . . . , u p. On y remplace les x' et leurs dérivées 
par rapport à x\^ ..., x'^^ par les coordonnées constantes de 
l'élément réduit, les dérivées des x' par rapport aux u par les 
fonctions adjointes correspondantes. On élimine les dérivées 
restantes; les relations obtenues ainsi entre les coeflîcienls des 
formes l(da) sont les conditions cherchées. 

Un calcul analog^ue donne les expressions des invariants diffé- 
rentiels en fonction des paramètres u. 

Reprenons, à ce point de vue, l'exemple du n" lo. Le groupe (27) 
est transitif, celles de ses transformations laissant invariant le 
point o, o, o engendrent le groupe des rotations autour de ce 
point. On peut donc prendre le même élément réduit, pour 

une surface, que dans le cas de l'espace euclidien, c'est-à-dire 

dz' ùz' (nz' . . I /&-z'\ 

o. I^es expressions .jr- = ( — ^r ) > 

sont des invariants; nous appellerons R et R' les 






I 



<Pz' 



rayons de courbure principaux cayleyens. 

En appli(piant la méthode précédente, on voit que les formes (28) 
définiront le mouvement cajiejen attaché à une surface si l'on a 



(33) 



C = Ci=o, 



P'h 


-q\ 


^^ 


r;- 


p^iï 


~q\. 


^;i 


■^.'^il 


Pi'rn 


-'/U. 


w 


-^.ï 



= o. 



(') On pousse le calcul jus(|ifaiix fondions d'ordre éj;al à l'ordre niaxiauuu dcï 
coordonnées constanles de l'élénienl réiluil. 



— fil — 

I I 



Les invariaiUs — > — sont dcliiiis |)nr I(;s ('(|ii;ill()ns 



ç-]^-*- ''''ir ~ i''' ~'/^' 



\\\T> -^ ^i^'iTv ^/^'1i — VÇi 



l{ '" IV 

coîîipalihlcs en verlii de la dernière des identités (35). 

20. Un grand nombre de problèmes de Géométrie se rattachent 
au Ivpc suivant : 

Déterminer dans un espace E' les multipUcllés M^ à p dimen- 
sions dont les invariants vis-à-vis d'un groupe fini continu et 
transitif G satisfont à des relations données. 

Dans son Mémoire récent (') Sur l'intégration des systèmes 
différentiels qui admettent des groupes continus de transfor- 
mations^ M. Vessiot s'est occupé d'un problème beaucoup phis 
général. Il nous est facile de présenter d'une façon simple, dans le 
cas particulier qui nous occupe, l'un des intéressants résultats 
obtenus par M. Vessiot. Ou remarquera également que la mélliode 
suivante est une généralisation de celle que l'on utilise dans la 
recherche des surfaces W. 

Nous chercherons d'abord le mouvement d'ensemble attaché à 
une multiplicité inconnue M. A cet elTet, nous formerons un sys- 
tème résolvant (R) auquel doivent satisfaire les coefficients des 
formes l{du) pris comme inconnues auxiliaires. Les équations 
de (11) comprennent : i" les équations du n*^ 19 exprimant que le 
système (L) correspond au mouvement d'ensemble relatif à G 
attaché à une multiplicité d'un nombre de dimensions donné; 
2° les équations obtenues en remplaçant, dans les relations données, 
les invariants diOereutiels par leurs expressions en fonction des 
coefficients des formes l(du) et de leurs dérivées. 

(') Acla malhcmalica, l. XWIII. 



- 0-2 — 

A cliiKiiio svsirmc (\c soliilions de ( I \ ) (correspond rnsiiilc un 
syslèmc; (1^) f|UO Von jxmiI choisir niiloinor[)hc (n" lêJ), cl donl 
l'inlcgralion donnrrall uiu; rainillc de rnidliplicilés, icpondanl 
îjii problème, et se déduisaiil loiiles de l'iioe d'elles [)ur les Irans- 
foriîiations de G. 

Le svslèine C^) formé par la léunion des systèmes (K) et (L) 
présente rinconvénient de donner d'une infinité de façons dilfé- 
i-entes la même famille de midtiplicit(!S. Cela tient à ce que la 
re[)résenrati()n paramétrique de la multiplicité inconnue est arbi- 
traire. Deux syslèmes de solutions distincts de(R) donneront la 
même familbî de solutions du problème posé, si Ton passe des 
expressions l(du) correspondant à Tun d'eux aux expressions 
^(ch) correspondant à l'autre par un changement de variables. 
Si les l[du) et les a(<:/u) sont connus, il est possible, par des opé- 
rations effectuables, de reconnaître si un pareil changement de 
variables existe, et, dansée cas, de le déterminer (' ). 

Mais or) pouri'a toujouis (-) réduire l'indétermination précé- 
dente par v\u choix plus précis des variables u^ jusqu'ici entière- 
ment arbitraires. On prendra, dans la mesure du possible, ces 
variables égales soit à des irjvarianls différentiels de la multipli- 
cilé inconnue soit à des solutions d'éciuations différentielles auxi- 
liaires. 

21. Appliquons ce (jui précède à la reclici'che des surfaces 
dont les l'ayons de courbure cayleyens R, K' sont liés par une 
relation donnée F(K, IV) = o. 

Nous sinïplifierons d'abord les formules, en prenant les para- 
mètres u et e de telle façon que « = const. et e = const. soient 
respectivement les intégrales (h; lf(^du) = () et de L,idu)=^o. 
On a alors ç, = r, =:(), et les conditions (>.()) et (35) donnent 
y> = ^, ==: o. On prendra donc 

\ /) ( du ) — — I du, /> { du ) =-■ — rj f/i', /.{ ( du ) = o, 

( ^G ) ■ 

( /i {du ) ^ pi dv, l i (du ) = q du, /,; ( du) = /• du -h i\ dv. 



(') Voir, à ("0 sujcl, les ii"- ^l'.\ cl '.) de rcUulc Sur les vuriclés à /rots dimen- 
sions {Annales de Toulouse, it)(»<t). 
( -' ) Vkssiot. Ioc. rit., w" 1(i. 



~ 63 - 
\ai syslrmc ( 1») csl, en ohscrvjml nue I» = — -f IV = — > 

;^ --^'»'' 77/7 -'"- 
..■(-1,51 

Enfin le syslènie (L) esl ici 

/ <f.r — — ( I -4- .r^ ) ; <^w — J'y ru di^ — zrj du -v- y ( r du H- /'i r/t» ) , 
(38) ' dy = — xy ^du — (i -^y-)rii dv -h z/)i dv — :i'(r du -h r^ dv ), 
' dz = — Tz ^ du — j'z Tji dv — ypi d\? -\- xq du. 

Pour le remplacer par un syslènic aulomorplie ('), on clierclie- 
rnil (l'abord les transformations infinitésimales d'un groupe sim- 
])lement transitif de même siructure que (a-). 

On |)cut encore substituer à (38) un système linéaire, en utili- 
sant le groupe adjoint de (a'^). 

11 est plus simple de prendre des coordonnées homogènes (-); 
on retrouve ainsi les résultais obtenus directement par M. De- 
moulin dans la Note citée plus haut. 

2!2. La méthode précédenle est applicable à des problèmes 
plus généraux, relatifs à des familles de multiplicités; c'est ainsi 
que M. Darboux('^) a employé la méthode du Irièdre mobile dans 
la recherche des systèmes triples orthogonaux. 

Indiquons rapidement comment on peut utiliser, pour le même 
problème, le groupe F des transformations isogonales de l'espace 
ortl maire. 

On cherche d'abord une forme réduite à laquelle on puisse 
ramener, à l'aide d une transformation de F, les équations de 
trois surfaces se coupant ortliogonalement en un point. A l'aide 
des résultats donnés par M. Tresse ('), on établit sans difficulté 



(') Sysùhnes (L), ir 11. 

(■-) Voir, pour les lotriuiles de passage, I^ii:-1vngi:i,, L I, p. 379. 

(') Leçons sur les syslènies oi-lliofronaax, l. I, Liv. Il, Clliap. II. 

( ' ) Mémoire cité. 



— ()4 — 
qu'on poiil prendre 

(39) .T='^(y^-z^-)-\-..., 7 = -5(c2-r^)+..., z = -(x'--y^-)-^..., 

les termes non écrits étant d'ordre supérieur à deux. De plus on 
prendra A, 1^, C liés par une relation non l)omogt'n<3, mais symé- 
trique, telle que 

(4o) i^Ti^h^'- 

Le groupe F est à diK paramètres. Donc un mouvement d'en- 
semble à trois paramètres, relatif à F, est défini par dix expressions 
de Pfairà trois varial)les. Les trente coefficients de ces expressions 
étant pris comme inconnues, doivent satisfaire déjà à trente équa- 
tions du premier ordre exprimant les conditions d'intégrabilité des 
systèmes (L) correspondants. 

Si Fon veut exprimer ensuite qu'un pareil mouvement corres- 
pond, à l'aide de la forme réduite précédente [(3()) et (4t))]5 à un 
système triple orthogonal, il faut ajouter aux équations précé- 
dentes six équations d'ordre zéro et sept nouvelles équations du 
pr(;mier ordre. 

En choisissant les paramètres du mouvement de telle façon que 
sur chaque surface du système triple l'un de ces trois paramètres 
reste coiistant, on réduit immédiatement le nombre des inconnues 
à 21, celui des équations à 34 (elles sont toutes du [)remier 
ordre). J^es calculs qu'il faudrait faire pour pousser plus loin la 
réduction du nombre des inconnues seraient bien simplifiés par la 
symétrie qui persiste toujours. 

De (juelque façon que l'on écrive le système différentiel 
obtenu, à chacun de ses systèmes de solutions corresj)ond une 
famille de oc'" systèmes triples orthogonaux, se déduisant les uns 
des autres par des tiansformations isogonales. Leur détermination 
effective exigerait encore l'intégration d'ut) système (L) corres- 
pondant à F. 



- 05 - 

NOTE AU SUJET DES MOUVEMENTS A LA SURFACE DE LA TERRE; 
l\ir M. \c. (voinlo t)i: JSi» m-, i-.f,. 

Dans r('lii(l(î (les inouvcincnls à la surface de la Terre on a cou- 
Liune de négliger les termes de l'ordre du carr(; de la vitesse angu- 
laire t.) de la rotation de la Terre el eette manière de faire est 
parfaitement jusliliée, car ces termes sont, d'une part, si petits 
qu'ils échapperaient complètement à l'observation et, d'autre part, 
beaucou[) d'autres causes perturbatrices secondaires peuvent être 
du même ordre. 

Toutefois, comme certains auteurs ont voulu tenir compte de 
ces termes en to- et rpi'ils l'ont fait d'une façon ineTtacte ('), je 
me propose d'établir les équations du mouvement à la surface de 
la "^Ferre en négligeant seulement les termes d'ordre supérieur à o)^. 
Je me borne au cas de la Terre supposée sphérique et homogène ; 
en réalité, l'influence de l'aplatissement de la Terre introduit des 
termes de l'ordre de to-, ainsi que j'ai eu occasion de le montrer 
dans un petit Mémoire en cours de publication, mais je laisse ici 
cette influence de côté en me bornant, comme je viens de le dire, au 
cas de la Terre supposée sphérique et homogène ; le problème est en 
efl'et beaucoup plus simple dans ce cas et sa solution m'a paru 
présenter de l'intérêt, ne fût-ce qu'au point de vue théorique. 

Je remarquerai d'abord que si R est le ravon de la Terre on a 
sensiblement 



H 
d'où 



= 1 , 2 CO * , 



1 



I 3 + - 

1,44 0) 3 



Donc, en négligeant les termes en j— ? nous ne négligerons que 
des termes d'ordre supérieur à to'K 
Ceci posé : 
Soit un système rectangulaire OXYZ où OZ a la direction delà 



(') J'ai eu, en jjarliculier, occasion de le faite voir clans une Coninumiealion 
récente pour le cas de la cliule libre des graves. 

XXXHI. 5 



— (;(> — 

vcrlicnlo dlri^c'c vers lo hns, OX est dniis lo plan du mcridien et 
dirigé vers le sud et ()Y dirigé vers l'est. Soit de plus un s(xon(J 
sj'slcine OX'YZ', qui a OY en commun avec le précédent et dans 
le(|uel O/y est dirigé suivant le rajon terrestre et OX' toujours 
Ycrs le sud dans le plan du méridien. 

Je désigne de plus par X la latitude vraie au point O, c'est-à-dire 
l'angle de OZ avec le plan de l'é([uateur, par a la latitude géocen- 
triqiie au même point O ('), par G l'attraction de la Terre sur 
l'unité de masse en O et par g la gravilé au même point. 

La gravité est la résidtanle de l'attraction G de la Terre en O 
et de la force centrifuge au même point, w-Kcosa (-). 



Ki! 




J^e tiiaugle de composition de la gravih; en O dans lequel 



OQ 



Ô 7 



OP = G, PQ::=to''^Rcosa, OPQ = a, OQB = X, 



QOP=.r, donne 



(I) 



G sinrj = O)- R cosa sin X, 
ff sin Y) = to^ R cosa sina, 
G = ,^ nosrj h- w^R cos^a, 
a = X — r, . 



Soit maintenant un point IM dont les coordonnées sont ^, y^ z 
par iap|)ort au syslènjc OXVZ et ^',.1', :-' par rapport au syslème 
OX/Y/j', et soit ù la distance de ce point au ccnlre de la Terre. 

Ce point est soumis de la part de la Terre, supposée, ainsi que 
nous l'avons dit, spliéricpie et homogène, s'il s'agit d'un point 



(') Donc rangie de <)/' avec le plan de l'équateur. 

( -' ) Kn désignant ici par K la dislance fin jioint O au ccnlre de la Terre, 
dislance (jui dillèic fort peu du ra\(in de la Terre. 



— ()7 — 

oxlcneiir a sa smlaco, a iiihî alliiU'Iion c^alc a -.,., dirij^cc^ sui- 

vniU MC, C('ianl, lo contre de la Terre; elle aura |)oiircom[)Osanles, 
suivani ()\', O^ , G/;, 

GR2.r' ^ G\\^ GWHW — z') 
mais on a 

82 = ( [\ — ô' )'- + ^'^ H- V2 = ( I\ _ 



,.= (K_..,,[,^_^J_] 



:ii-.V 



desorlcquesi nous négligeons les termes de l'ordre de — =r i ,4/1 (>> * 
nous pourrons prendre, pour les trois composantes de raltraclion, 



^-' ^^ G^+l 



R R ' V 1^ 

S'il s'agissait de la cluile dans un puits, puiscpje nous sup[)o- 
sons la Terre sphérirpie et homogène, l'attraction serait -y- et ses 
composantes parallèles à OX', OY, OZ' seraient, par suite, 

G ce' G y ^ I z' 
, -•- , G I — — 



R R V l< 

Nous considérerons alors l'attraction comme la résultante d'une 
force constanle comme grandeur et direction et égale à l'attrac- 
lion G de la Terre sur l'unité de masse en G et d'une force dévia- 
trice dont les composantes parallèles aux axes GX', GY, GZ' 
sont : dans le cas de points extérieurs à la surface de la Terre, 

"ïT' R ' R ' 

et, dans le cas de points intérieurs, 

G^' G y G 3' 



y — TT" ? 



R ' R ^ R 



Cette force déviatrice aura pour composante parallèle à Taxe GX, 
dans le premier cas. 



n 

X, = — j^(x' cos r, + 2^' sin rj, 



— 08 — 
cl, dans le second, 

X j = — ï7 (^' Cf>S'/) — z' sin-/; ). 
Mais l'on a 

ce' = cr C(»s V] + z sin ■/;, z' =z z cos-/; — ce sin Tj, 

et, par suite, 

G G 

Xj = — —[x(ï — 3 sin'-r^ ) + 3^ sin-r] cosr/|, X', = — —x. 



Nous aurons ensuite 






puis, pour des points extérieurs, 

C G 

Zi = — [-iz' cosT) — x' siiirj = - [ z(-i — 3 sin-r^) — ix sinr^ cosrj 

et, pour des points inléi'ieurs, 

En tenant compte d'ailleurs des relations (i) les valeurs précé- 
dentes de X, et Z| pourront s'écrire 

Gx 
Xi = -^ (i — 3 sin^Y]) — 'ioi-z cosa sinX cosr,, 

ç _ 
Zj = -77-('^ — Ssin^Tj): — 3 co^^c cosa sinX cosTj. 

Nous considérons donc l'attraction de la Terre sur le point M, 
de niasse itn^ comme la résultante de la force G, constante de 
ji^randeur et de direction, et des forces X, , Y, , Z, ou X', , \ » , Z, . 

Ceci posé, le système OX\Z a d'abord un mouvement d'entraî- 
nement qui est une translation égale à celle de son origine O; 
pour tenir com[)le de ce mouvement d'entraînement, on doit appli- 
quer au point M une force égale à la force centrifuge en O, o)-l\cosa; 
celle force centrifuge constante de grandeur et de direction se 
combine à l'attraction G en O, également conslanle, pour donner 
la gravilé 4' en O. On voit donc cpie, pour lenir compte du mou- 



— m — 

vcincnl (r<'nlr;iM)<'ni('iil dû à l;i (liiiislalioii du sysUîinc c'^ulo à ccll(; 
(1(3 son oii^iiic, il siiflil de rcniplacM.'r l'allraclion de la Terre G 
(Ml C) par la j^ravih'* i,' au ukmiu' point, g- (Uant conslanl de gran- 
deur el parailr'l(3 à la verticale; ()Z eu O. 

Mais le svstriue OXY// a, en plus (l(; la translation (;gale à ecll(i 
de son orii^iue O, une rotation autoui- d'un axe 01 paralU'de à celui 
de la Terre. Celte rotation donnera naissance : 

i" A une force centrifuge coni[)oséc dont les composantes paral- 
lèles à OX, OY, OZ sont, comme on sait, 



X) = '^,0) siuX 



777' 



(iz (T.JC 

Y 9 = 2 w cos X — 2 to S i II X — r- 

dt dt 



Z., =^ — 2 w cosX 



dy ^ 
'dt'' 



2" A une force centrifuge dont les composantes parallèles aux 

axes sont 

\-^= oy^/-c()s(/-, X), 

Y:{= W2/'C<).S(/-, Y), 
Z3 = Oj2/- cos( /•, Z), 

/■ désignant la perpendiculaire PM abaissée de ]M sur 01. 



Fis:. 2. 




Mais /•cos(/', X) est la projection dePMsurOX, projection qui 
est égale à celle du contour POM. D'ailleurs OP est la projection 
de OM sur 01, projection fjui est égale à la somme de celles des 
coordonnées du point M. 



- 70 - 

Oïl il donc 

()P = .r cosX H- :; siiiX, 

/' cos(/-, X) = a? — (x cosX + z sinX) cosX = {x siiiX — z cosXj siiiX. 
On a donc, en opérant de même pour les trois axes, 

X3 = 0)2 sinX(a7 sinX — z cosX), 

Y3=co2jK, 

Z3 = to2 cosX(z cosX — X sinX). 

Dans son mouvement relatif par rapport à la Terre, le j)()iut 
mobile est donc soumis, par suite de son mouvement relatif et de 
l'attraction de la Terre, aux forces : 

i" S'il s'agit de points extérieurs, 

Q 

X= — T7^(' — Ssin^T]) — 3m^z cosa sinX cosr^ 
K 

-h 2W sinX -y- -h 0)2 sinX(a7 sinX — z cosX), 

G . dz . . dx 

Y = — —y -+- 20J cosX-^ -liii sniX — — h (o^y, 

K aï dt 

Z =:^-[-— ^(2 — 3 sin^Tj ) — 3a)2:î7 cosa sinX cosr^ — 2 w cosX -~ 

-\- co^cosX (^ cosX — a^ sinX); 

2" S'il s'agit de points intérieurs, 

X' = — -~x-\-ii}i sinX — ^ -h 0)2 sinX(^ sinX — ;; cosX), 

Y'= Y, 

ri, ^ -S dy . , . - ... 

L = S" — — z — 2 0) cosX -^ — h LO' cos K(z rosX — x smX). 
'^ K dt ^ ' 

Nous remarquerons que dans l'établissement de ces équations on 
a négligé les termes d'ordre supérieur à to'^, il ne faudra donc pas 
pousser l'approximation au delà des termes en to"* ; de plus, Tj est 

de l'ordre de to-R, donc de Tordre de w* et, par suite, -^ sera de 

3+4- 

l'ordre de (o'^ et oj-T)'* de Tordre w ^. 

11 est facile, en partant de ces formules, de retrouver les résul- 
tats que j'ai donnés pour la déviation des corps dans la chute libre. 
Dans ce cas, en cfTet, y conlieiil fo en fadeur et x au moins w- ; 



-- 71 — 

jr élanl (l(; l'ordre (o ' on doil, rcdiiircî l(;s lonmdcs aux suivantes, 

ou supposani (|ii(î Ton s(; horiic à calculer la dévialion suivant OX 
dans le plan du méridien : 

Poui" la chute du liant d une tour, 

dv 
X = — StM^z cosa sin A cos-r + ^oj sinX -. — lo- z siiiX cosÀ, 

al 

et, pour la chute dans un puits, 

(l y 
X' = 9.10 sinX ~ — lù^z sinX cosX. 
dt 

Comnie d'ailleurs une première approximation nous donne 
pour :;, aux ternies en to'^ près ('), 

I 

et pourjKj ai'x ternies en co "* près, 

jK = - oJCOsXé'-^^ 

9 

nous aurons donc, aux lerincs en co près, 

3 3 . . 

X =:: - co- sinX cosX^''^^ co- cosa sinX cos-r) ,^'7-, 

3 
X' = - oj2 sinX cosXg-t-. 

■2 



Mais 



cosacosT) = cosr^(cosX cosr^ h- sinX sinr] ) 

= cosX 4- simr](siiiX cosr^ — cosX sin r^ ) 
= cosX -h siuY] sina. 



On aura donc 



3 

X = (0- siiiX sin 7] sina.i^^- 

■1 



I "^ 

(') — élant de l'ordre de w' 



- 7^2 - 

ou, cil Iciianl cumplc dt; la rclalion 

(o' U C(tsa sin a 
sinr^ = 7 

A' 

3 
X = — to» lit- siii sin-a cosa, 

'2 

SI d'ailleurs on se borne à la partie principale, on remplace a 
j)ar A, pui.s(pic a = A — Tj. On a alors, pour la cliule du haut 
d'une lour, 

— ,— = — - vy' \\t^ sin^X cosX, 

d'où nnc déviation vers le nord donnée par la formule 

37= — Q 1^ ^* ^ ' sin^ X cos X 

o 

ou, en introduisant la hauteur de chute li= t Sf-'i 

iP = :; Sin^À COS À. 

•2 g"' 

On a an lieu de cela, pour la chute dans un puits, 

(P-x 3 

- = - 10- sinX cos h g- 1' 



if^ -1 



et, par suite, on a une déviation vers le sud donnée par la for- 
mule 

X = --co2 sinX cosX^'^* 

o 

OU, en introduisant la hauteur de chute, 

I (oV/2 . . - 

X= SUlACOSÀ. 

•1 g 

Si l'on tenait compte de la forme ellipticpie du méridien 
terrestre on arriverait, dans tous les cas, à une déviation vers le 
sud, mais je n'aborderai pas cetle étude, nion but ayant été de 
faire voir la manière dont on |)eut lenir com[Ue, lorsqu'on veut 
garder les termes en to-, de la force centrifuge due à la rotation 
autour de 01, ainsi cpie de l'iriducnce de l'angle r,. 



SUR QUELQUES QUESTIONS DE CALCUL DES VARIATIONS; 
Viw M. IIadamahi). 

Dans imc Conininnicalion précédcnlc (') j'avais donne une 
condilion nécessaire (eorrcspondant à la eondilion d(; i.cj^endre 
on à celle de Weierslrass) pour le minimum d'une intégrale; //"•'''" 
dans laquelle fii;urent m fondions inconnues. J'avais ajoulé que la 
méllu)(Jc de Clebscli ('-) fournissait une condition écjuivalente à la 
précédente pour ni =z n = 2 (l'équivalence étant douteuse pour 
les valeurs supérieures de m et de n) et qui était capable de jouer 
le rôle de la condition de Legendre-Weierstrass comme condition 
suffisante. 

Ce dernier point n'était pas exact et, comme on va le voir, la 
question est loin d'élre élucidée, même pour ce cas, le plus simple, 
de m = n =z 2. 

Soient z-t^ Z.2 les fonctions inconnues des variables x^ y]P\'>^h-) 
Pli <]•> leurs dérivées partielles. Toute condition analogue à celle 
de Lcgendre ou celle de Weierstrass pour le minimum faible 
(pour nous en tenir à ce cas) fait intervenir une certaine forme F, 
quadratique en /?<, ^1, /?o, q^- 

I. La condition nécessaire que nous avons obtenue précédem- 
ment est que F soit essentiellement positive pour toutes les valeurs 
(non nulles) des variables />,, ^,, /?o, q-y qui satisfont à la relation 

(1) P\qt—q\P%=o. 

II. La méthode de Clehsch donne comme condition suffisante 
que la forme quadratique 

(•2) ^ ^^^^(piq-i—qïPi) 

(où X est fonction de x et de j', mais non des /j, q) soit définie 
positive. A cette condition doit, bien entendu, être jointe une 
condition de Jacobi. 



( ' ) Ce Bulleiiii, t. \XX, kjoj, p. 253. 
(■-) Journal de d'elle, t. 50, 1859. 



— 74 — 

Ccllc-(M, datîs le cas acUicl, consiste dans l'cxislcncc de deux 
solutions {^i, ^2)5 {'\y '2) Jes équations aux variations, telles 
que le déterminant 

ne s'annule pas dans le domaine d'intégration. 

Si \ pouvait être choisi arbitrairement, la condition cpie 
F + ^(/>i72 — Q\P-i) pui'^se cire rendue délinie par ce choix de )v 
serait équivalente à la condition nécessaire précédemment 
énoncée. 

Mais tel n'est pas le cas. Ainsi qu'il résulte de l'analyse de 
Clebsch, les valeurs de \ sont déterminées par celles des solutions 
Ç, T, ou, du moins, wnç. fois ces solutions choisies, A ne contient 
})lus qu'une constante arbitraire C. 

Il ne suffît donc pas que, pour chaque système de valeurs de x 
et de jK, il existe des valeurs de X qui rendent délinie positive la 
forme (2). Soit 

(3) >M^X^X2 

l'intervalle qui comprend ces valeurs de \. Il faudrait encore que 
Ton puisse déterminer la constante C de manière que, pour tous 
les couples de valeurs de x, y compris dans l'aire d'intégration, 
l'inégalité (3) soit vérifiée, autrement dit. que le minimum de la 
valeur de C déduite (en chaque point) de la relation \ = l-, ne soit 
pas inférieur au maximum de la valeur de C déduite de ). =).,. 

Si même on prenait de toutes les manières possibles les solu- 
tions Ç, T des équations aux variations, la fonction X ne pourrait 
pas être prise à volonté. Elle satisferait à un système d'équations 
aux dérivées partielles S (vraisemblablement compliqué) résultant 
de l'élimination de Ç,, Ço ; ~«, '^2 entre les équations aux variations 
(au nombre de quatre pour les deux systèmes) et les deux rela- 
tions qui définissent X, les six équations ainsi écrites se réduisant 
d'ailleurs à cinq, grâce à ce fait que le système des équations aux 
variations est identique à son adjoint. 

On serait alors conduit à la question suivante : 

Existe-t'il une solution du système S satisfaisant, dans toute 
l'aire d'intégration, aux inégalités (3)? 



— 75 — 

(]v. \no\)\ctuv. ;ij)|)nili(Mil à la inriiKî cah'i^oric de (jnesUoiis doiiL 
celui (|uc nous avons rencontré louL à I heure odre un exemple 
simple, caléji;orie |)rol)ublenïenL assez dij^rie d'aUirer l'allenlion. 

Hien entendu, une fois prise une telle solution A, il faudrait 
calculer les solutions Ç, t correspondantes et vérifier la condition 
de Jacohi A^o. 

m. La méthode de Ifilbcit (dont la méthode de (^lehscli n'est 
d'ailleurs pas distincte au fond) conduit à des résultats tout sem- 
hlables. 

Pour cpi'unc fonction de x^ y, G|, z.y, /?,, />>2, g^, r/2y intégrée 
par rapport à x et à y, donne un résultat dépendant du contour 
seul, il faut tout d'abord qu'elle ait la forme 

cp = A H- Bipi -h Gi<7i-h B2/?2-^ Gorya-i-- D(/?i</2— (/if-z) 

(A, B, . . . fonctions de x, y, z^^ ^2)5 forme cpii renferme en 
général, comme on le voit, un terme non linéaire par rapport aux 
dérivées premières. 

Pour suivre la marche indicjuée par M. Kilbert, nous prendrons 
tout d'abord 

(4) ? = f{^, y,^\^ ^2,^1, x.i'^2, yj) -^ (pi — -^i) fvj,-^ ( p-2 — ^2)/uy, 

+ (^1 - Xi)/y,i + (^72 — /.2)/x„ 

où y* est la fonction donnée sous le signe / j , de manière que 

■(».r..„=,.ft,/..,„.,.>^-* 



//' 



est l'intégrale dont on cherche l'extremum, et où ni,, rrj^, y,, y 2 
sont définies de la manière suivante : 

On considère une famille d'extrémales dépendant de deux 
constantes arbitraires «, b 

(5) Zi=Wi(a;,y,a,b), z.2= W-^ix, y, a, b), 

ces équations étant supposées résolubles par rapport à a^ b^ de 
sorte que le déterminant 

ne s'annule en aucun j)oint de l'aire d'intégration. 



— 7G — 

Géomélriquemenl parlant, Jes fonctions ^,, ^2 de x et de y 
représentent une multiplicité deux fois étendue tracée dans l'es- 
pace à quatre dimensions, ou, plus commodément, un couple de 
surfaces dans l'espace ordinaire, avec cette convention que l'on 
considère comme faisant un tout indissoluble les deux points qui, 
pris respectivement sur les deux surfaces, ont même projection 
sur le plan des ^k('). Ce sont deux points ainsi situés sur une 
même parallèle à l'axe des ;: que nous nommerons un couple de 
points. La condition imposée aux extrémales (5) revient à dire 
qu'on peut les faire passer par tout couple de points donné (suffi- 
samment voisin de Textrémale que l'on considère). 

Cela posé, 7TT^, y,, ttt^, '/i sont les dérivées partielles de -g<, ,^2 
tirées des équations (5). Ce sont donc des fonctions de x^ y, a, b 
et par conséquent (en vertu de la résolubilité précédemment 
postulée) de fonctions de ^, jk? ^1 5 ^25 de sorte que l'expression (4 ) 
est une fonction de x^ y, ^<, Zo-, />i, Çi, pii (72- 

Le calcul fait intervenir plusieurs espèces de dérivées, savoir : 

1° Les dérivées d'une fonction de x^ y, ^,, Z2, p\, ^i, poj Çn 
lorsque ces huit quantités sont considérées comme des variables 
indépendantes; nous les désignons par des indices, <I> désignant, 
par exemple, la dérivée de <I> par rapport à /?,. C'est ce qui est fait 
dans la formule (4), où /^^ représente la valeur de f.,^ lorsqu'on j 
remplace />,, /j>2, q^, q^ par tt?,, 7^2, y,, y2. 

2" Les dérivées d'une fonction de x^ y, -G,, z-y par rapport à ces 
quantités considérées comme variables indépendantes. Nous les 
désignerons par le symbole û. Pour une fonction <ï> de ^, j^, g,, 
-^2î ^11 '/j, ^2? '/;2 on a 

3" Les dérivées prises suivant le couj)lc de surfaces (quelconque 
d'ailleurs) dont les plans tangents ont pour coefficients angulaires 
Pii q\i P-ii q-i' Nous les désignerons parle symbole d\ on a (pour 



(') En particulier, ces surfaces sont liniilées à deux coiilours donnes Cj, C^, 
lesquels font parlie d'un nièiue cylindre parallèle à l'axe des z. 



— 77 



une fonction ilo ./•, y, c,, 3..) 



(H) 



■> '\ -s l\ 

7 Ô 



C>./' 0.7 



Z 1 





0^2 



0.3 1 O-S^ 



4" Les dérivées prises suivant les extrémales (4), en regardant, 
par consécpient, ^,, ^2 comme fonctions de x^ y et r/, b comme 
constants. Ces dérivées, cjui seront désignées par le sjmhole î>, 
sont liées aux dérivées 8 {)ar la relation 



(9) 



H c ô 

r — = v~ + ^1 "^s \- ^2 ■:; — : 

^X OX OZj OZ'2. 

ï t 

r— = ■;; ^- / i "^^^^ — +72 •=; — 



Gela posé, les conditions pour cpie, o étant l'expression (4), 
l'intégrale / / o dx dy ne dépende que du contour, soit 



Sip 



8^ w^- ^/'' 



Ox 



00 



^^J' 



^'/• = ^' 51; -;â^^/'-^ 



<)y 



?V2 == ° 



(égalités devant avoir lieu quels que soient les p^ q) se réduisent, 
en tenant compte des formules (8) et de ce que les surfaces (5) 
sont des extrémales, à 



IN > 

i 



(lOj 



Elles ne seront donc pas vérifiées en général. 
Mais si (ce que nous avons le droit de faire) nous ajoutons à f 
les deux termes intégrables 



ùix 



oix 



OX QX 



l'j, étant une fonction de x^ y, Zi^ z-2 et A désignant la combi- 



naison 



. OfJt V 

À = uL + ;:2 ^ ' 

0^.) ' 



— 78 — 

ou oncorc si, sans changer y*, nous njoiilons à Tcxpression (4) le 

Icrme 

— X[(/>i — 7:t,)(<72— 72) — {P2— ■^i){q\— tj)], 

les équalions (10) sonl remplacées par 

■^-fr^i— ^— /nT,-+-)^ -v^ + -K^ + — =0, 

(10') < 






— = o, 



et, pour satisfaire aux conditions du problème, nous n'aurons qu'à 
déterminer \ par ces dernières équations. 

(3r celles-ci ne seront autres que les équations posées par 
CIchsch. Il suffit, pour les ramener à la forme de Clebscli, de 
transformer les dérivées S en remplaçant les variables indépen- 
dantes ;:,, z-2 par les variables <7, b. Les dérivées des unes par 
rapport aux autres sont les quantités précédemment désignées 
par Ç,, Ço» ~i5 "^-i^ et le déterminant fonctionnel (6) est celui que 
nous avions appelé A. 

Comme dans la méthode de Clebsch, par conséquent, les équa- 
lions (10') forment un système complètement intégrable et ont, 
par conséquent, une solution ). dépendant d'une constante 
arbitraire. 

Nous sommes donc amenés exactement au même point que dans 
la méthode précédente et nous aurions à étudier un système ana- 
logue à S (mais notablement plus compli(jué et plus difficile à 
former, puisque les équations ne seraient plus linéaires) obtenu 
en éliminant z^ , Z2 entre les équations (10') et celles qui expriment 
que la famille (5) est composée d'extrémales. Nous devrons expri- 
mer que ce système admet une solution satisfaisant aux inéga- 
lités (3). 

IV. En réalité, on doit présumer que la discussion dont nous 
venons de parler n'est pas nécessaire. 

Si, en effet, nous considérons, non plus la méthode de Hilbert, 
mais la méthode de Weiei-strass sous sa forme primitive, nous 
arriverons à des conclusions d'une forme notablement diflerente. 

Soient, en effet, {s^^ s-2,) le couple de surfaces (pii constitue 
l'extrémalc étudiée; (S,, S^ ) un autre couple qu'on veut lui corn- 



71) — 



parer, ri qui rsl lirnih'^ au niiMno conloiir- M^? ^^j)- ^"ï' (^t-, ^2) 
Irarons un couplo de. conloiii's varlnl)I(îs (yi, y.j) (Ti ^'I T2 <';tanl, 
hicn cmIcikIii, sllucs sur un iTicmc cjlindre [)arallèlc à Ox). Vnv 
(y,, y._>) faisons [)asscr un couj)Ic de surfaces (S,, 1\)) conshluant 
une cxtrémale. Si celle dernière conslruclion esl toujours [)os- 
sible, il suffira de faire varier les contours y,, y2 depuis un cou|)le 
de points juscprà la position (C,, Co) |)Our appliquer le raisonne- 
ment de Weierstrass. 

Or la condition, analogue à celle de Legcndre, à laquelle on 
arrive ainsi (pour le minimum faible) est la condition nécessaire 
rappelée en premier lieu. 

Seulement, en opérant ainsi, la difficulté apparaît dans la con- 
dition de Jacobi. Au lieu de supposer simplement rexistence 
d'une famille d'exlrémales à deux paramètres, il faudrait exprimer 
que l'on peut construire le couple cxtrémal (2,, S2), c'est-à-dire 
résoudre un problème de Diriclilet à deux inconnues dans les 
conditions les plus générales et les plus difficiles, puisque yj et y2 
sont quelconques. 

L'état actuel de la Science ne permettrait pas, par exemple, de 
déduire de celle méthode Texistence du minimum dans nne aire 
d'intégration très petite^ ce qui résulte, au contraire, des méthodes 
de Glebsch-Hilbert, puisque, en raison de la constante arbitraire 
qui figure dans )., on peut toujours supposer que celle quantité 
satisfait aux inégalités (3) aux environs d'un point donné quel- 
conque. 

Je terminerai en indiquant quelques points sur lesquels, dans 
les leçons professées an Collège de France il y a deux ans, j'ai dû 
compléter les résultats acquis en Calcul des variations. 

Le premier concerne les problèmes isopérinié triques, dans 
lesquels on cherche rextrenuim d'une certaine intégrale I,), 
connaissant les valeurs d'une ou plusieurs autres intégrales 
données et certaines conditions accessoires. Le lésultal fonda- 
mental (qui ramène cet exlremum à un extremum libre par l'inter- 
vention d'un multiplicateur) a du être étendu au cas où, parmi 
les conditions accessoires, figurent des conditions d'inégalité. Il 
reste encore vrai dans ce cas; mais la démonstration fait appel à 
des considérations sensiblement didérenles des considérations 
classiques. 



— 80 — 

D'autre part, la question de savoir si la conslniclion de JVeier- 
strass est possible, dans ce même problème isopérimétrique, peut, 
dans beanconp de cas, être considérée comme résolue si l'arc 
considéré satisfait aux conditions suffisantes du minimum (par 
exemple) pour l'intégrale I,) + /l, (Ii étant l'intégtale donnée et 
/ le multiplicateur), ce minimum étant considéré comme libre. 
On constate, en efliel, dans ces conditions, que la valeur de 
Io+ ^t< 6St ^"^6 fonction croissante de / lorsque celte cpiantité 
varie j^endant que les extrémités restent fixes. Cette remarque 
sera, par exemple, très utile pour la démonstration de l'existence 
du minimum dans une région suffisamment petite. 

Enfin je noterai encore une simplification assez grande que l'on 
peut apporter à la démonstration du théorème de M. Osgrod, 
d'après lequel on peut assigner une limite inférieure à la difi'érence 
qui existe entre l'intégrale minima et une intégrale variée. Un 
procédé, tout semblable à celui qui a élé emplo^'é par M. Kneser 
à propos de la stabilité de l'équilibre du fil pesant, permet de se 
passer des inégalités employées dans les difTérentes démonstrations 
directes donriées jusqu'ici. Malbeureusement, cette méthode n'est 
plus applicable aux intégrales multiples, pour lesquelles, au sur- 
plus, la question est toujours beaucoup plus délicate. 

Je me contenterai de mentionner ces dilTéients points, qui seront 
traités avec plus de détails dans un Ouvrage ultérieur. 



- SI - 



COMriKS UKNDIJS l)i;S SKAMIKS, 



sf^iANCh: DU ^2 rf^viMi'U i".)o:;. 

iM<i';sini:\(:i': nie ivi . hoi'.kl. 
CoDini unicdlioDS : 



M. Laisniil : Sui' un, (Uspositif propt'c à tracer une ellipse. 
INI. Ilad'y : 6^///' les surfaces isollterniùjues qui ont même 
représentation spliérique que les surfaces du second degré. 



Sr^:ANCE DU 16 FÉVRIER 1005. 

PRKSIDENCi!: DK M. RORKL. 



Elections 



M. l'abbé Foiiët, présenté par MM. Borel et Désiré André, est 
élu à riinanimité. 

Communications : 

M. Painlevé : Sur te frollement. 

M. Leconui : Observations sur la précédente Communication. 

M. Hadaniard : Sur quelques questions de calcul des va- 
riations. 

M. Bioclic adresse une j^ote sur les permutations polyédriques. 

M. de Sparre adresse une Noie au sujet des mouvements à la 
surface de la Terre. 

SÉANCE DU 2 MARS 1905. 

PRÉSIDENCK DE M. HADAMARD. 

Communications : 

M. Raffj : Détermination des réseaux spliériques isotkermes 
qui représentent les lignes de courbure d^ une double infinité 
de surfaces isotliermiques. 

M. M. Weill : Sur une classe d^ équations irréductibles du 
cinquième degré, résolubles j)ar radicaux. 

xxxiii. G 



— H^l — 
SEANCE DU Ki MA US li)()r;. 

PRKSrDKNf.K l)K ISI . HORKl.. 

Communications : 

M. Fouché : Sfw la déviation des graves et les champs de 
force. 

M. RafTv : Siu' le problème général de la détermination des 
s urfaces iso therni iq i/es. 

JMM. Bord cL Servant présentenl quelques observations à propos 
de celte (communication. 

M. Borel : liemarques sur certaines questions de probabilité. 

jM. de Sparrc; adresse une Note au sujet de la déviation des 
graves dans la chute libre. 

M. Maillet adresse un Mémoire intitulé : Sur les solutions de 
certains systèmes d^ équations différentielles ; applications à 
un système /lydraulique de n réservoirs. 



MÉMOIRES ET COMMUNICATIONS. 



SUR UNE CLASSE D'ÉQUATIONS IRRÉDUCTIBLES DU CINQUIÈME DEGRÉ, 

RÉSOLUBLES PAR RADICAUX; 

Par M. Mathieu Wkill. 

Soient {Jig. i) une conique S', trois tangentes DCE, DBA, BC, 
et une autre conique S passant par A, B, C, et loucfiant DJ^ au 




point C. Le pentagone ABCCB a ses sommets sur la conique S et 
ses côtés tangents à la conifjue S'; dès lors, il existe une infinité 
de pontag■ones^ inscrits dans S et circonscrits à S'. 



- 8:î - 

( )n aura |)(Mir S' l'rcjiial ion 

et , noiii" S, r('(|iial ion 

(a H- 7.Xy)2h- [i(';> A-'«y -h [il) = o 

(!)(] ayant pour ('f|ualion À- [j + s>. Ay + a =^ o). Un |)oinL de la co- 
ni(|uo S rsL (h'Ilni par 

a = y.K ;-Y, 

a = -^ Y. 

^ / 1^ — ' 

La droite qui joint deux points a pour éqiiatioQ 

7.[|j. — (/ + t')\ — ^it'—'yÀciit + t' — X'^) = 0. 

Cette droite sera tangente à S', dont un point est défini par 

a =-. X6, 

si l'équation 

02[|j,_(^_i. t'yi — tt'—oMit-h t'—i^) = o 

a ses racines égales, ce qui donne 

Considérons un pentagone inscrit dans la conique S et cir- 
conscrit à la conique S^, et soient /, /^^s^'. ^3 'es valeurs correspon- 
dantes du paramètre l. On aura 

\ i.j-]r-t^= z- 7 

(I) ^1-A^ 

( t,t,= A^l'^-ti)- 

Transportons ces valeurs dans l'équation de la droite qui joint les 
points correspondant à ^2 et ^5, nous aurons /, au second degré, 
nous en déduirons, immédiatement, Téquation de l'enveloppe des 
droites qui joignent de deux,en deux les sommets du pentagone 



— 8/j. — 

Celle eoniqiie passe par les poinls communs aux deux premières, 
résullal bien connu. 

D'aulre part, en éliminanl ^, enlre 1rs relalions (i), nous aurons, 
rnlre t^ el /,, la relation 

>^- ( t. /5 ) ( ^2 -f- tr, ) + |xX« — X» - ;j.À2 f, /- — / 2 / 1 = (). 

Celle même relalion existe évidemment, entre t^ et ^3, et aussi 
entre /, et t>, : on a donc 

Désignons pai- la somme des produits s>. à 2 des 5 quantités ^, ^o? 
^;j, /', , /,;, c'est-à-dire la quantité 

on aura donc 

ou 

relation où ;, pourra être remplacé par chacune des valeurs ^2? ^3<« 
/j, /,i; on obtient ainsi l'équalion 

/5 — /i ( 9. À2 -+- jjt ) -+- /^ — a2 /2 (^ '2 — ;jlX2 — |jl2 — 3 X^ ) 

— X'' / ( 2X'^ -f- p.X2 — ) + X« ( X2 — [Ji) = o. 

Celle équation donnera, par la variation de 0, les 5 valeurs de / 
qui définissent le pentagone. Or, 2 quelconques de ces valeurs 
étant données, les autres en sont des fonctions rationnelles, comme 
le montre l'analyse précédente, c'est donc une équation de Galois, 
c'est à-dire que les 5 racines s'expriment par des radicaux portant 
sur des fonctions rationnelles des \\ paramètres 0, u, A-. On a donc 
le théorème suivant : 

IJ équation 

/•■' — / ■' ( '2 a -- h ) -h C/-' — rt/2 ( > c — rt/^ — />2 _ 3 ^2 ) 

— a"- n ia--\- al) — <-) -^ a'*{a — b) — o. 



— s:; — 

dans Itumellc <(, A, <• sont .\ (jiKnilitrs (/iiciconrjncs, est l'éso- 
luhlr jKtf radicaux. 

Soient /, cl /o (l(!ii\ (les lacincs, les autres aiiroiiL pour valeurs 

a ( (I — /2 ) 



/, = r/2 



Il f- t-i— a 



U 






On peut employer une auLre mélliode. Cuusiclérons deux co- 
niques ayant pour équations 

Un point de la première est défini par les équations 

I — /2 '2t 



^^ -■ rr-T? > y = 



et la droite qui joint 2 points a [)oiir équation 

x{v— tt') + y{t-^ t') — z{\-^ tt' ) = o. 

En exprimant que cette droite touche la seconde conique, on 
trouve facilement 

{t-\- t'y^ (I — tt' y^ ^ . , 

— r^ + — V n + «)^ = o, 

OU bien 

/••i ( I -F A /'2 ) + •) IX tt' + /'2 + >v = O, 

A P, — Al^ A — B — AH\ 

v^=— Â-' '^= — Â — ;• 

Considérons un pentagone inscrit dans la première conique et 
circonscrit à la seconde, et soient /,, t,^ L^, t',, t ^ les paramètres 
qui correspondent aux sommets. On aura 

f,-^f.= i, t.,l-^ r-^- 

4- A/f - ' 1+ A^f 



— 8(5 - 
11 en résulte entre /o et i^ une relation de la (orme 

/2 ( I + Al /'- ) H- •>. [Jti tC -f- ^2 4_ X =: o, 



avec 



Al = 



/iX[JL^ 



(A'^-l/^ 



On aura donc 



ti-\-h 



'2 \U t 



1 '1 



l+A,/| 



Ml = I — 



Ai^ 



(A2— ,)-. 



1 + Ai?î 



Appelons le produit /,, i.^, Z^, ^/, , Z^, nous aurons 

\^t\ Ai-f-Z? 



0= ^ 



i + A^^ | + Xl^ï 



Donc l'équation 

^(X+ ^2)(Xi+ ^2)_0(i+ A/2) (, H Aj^2) ^ o 

aura pour racines les 5 valeurs de /; celle équation développée est 

^^i— 0X>4^i+ /3(X4_Xj)_0(X4-Xi)r2+AAi/- =o. 

Les paramètres A et )^, sont liés par une relation qu'il faut 
trouver. 

Or, si nous joignons Z, à Z3, puis ^{ à Z^, la droite t^t^ sera telle 
que l'on aura entre Z, et t ;, la relation 



avec 



/2 ( 1+ X2 «'2 ) ^ 2 iJLo «' -t- ^'2 + A, = O, 



, _ 0^X\X\ _ 9.u2('Xf-+-l) 

A2 — TT" 



[JL2 = I 



OA-^ï' 



On aura, si le polygone se ferme, 

Xo = X, [JL2 =^ [J-- 
Exprimant ces conditions, on trouve 

i6[Jl2[(X2_i)2_9.[Jl2(X2+i)]2(X2— 1)2=. [ , 0X2 ;x • — ( X2 — I )'* J2, 



1 — IJ- 



_ [(X2— 1)2— 2Pl2(X^-4-1)]2[(X2— l)'^+lOX2ia^] 



[ , 6 X2 |JL* — ( X2 — 1 )* J2 8 [Jl2 ( X2 — 1 )2 

La première donne 

4!X(X2- l)[(X2- i)2_2[Jl2(X2-V- ,)J zh [ £ G X^ -Jl'' _ ( X2 — l)*] =z O, 



- 87 - 
cl la seconde, comhmcc avec la prcinicrc, domic 

8;r-(i— [Ji)(X2— 1)-^— [(X2-- ,)v^_,oX?jj;. I = o. 

( )ii voil lacilcmcnl (juc, dans la première, \\ (aul prcwidrc.' le si^ne +. 
Va\ j)()sanl a- — I = c, les •>. rcdalions (le\i(;nncnt 

La relation cherchée est donc, en posant 'a'l^=:^ /, 

Fdie donne, sous une l'ornie simple, la condition entre A et B poui- 
(]u il exisle un penlai^one inseiit dans la j^remièie conique et eir- 
eonsciil à la seconde; elle peut s'écrire 

elle permet d'exprimer jjl en fonction de A par des radicaux, et |)ar 
suite, X, en ("onction de \ par des radicaux, donc l'équation du 
5" degré envisagée plus haut est soliible par radicaux portant sur 
des fonctions rationnelles des deux paramètres indépendants A et 0. 
On trouve, d'ailleurs, entre ). et ).|, la relation 

Posons 

XXj = a, X 4- Xi = /;, 

il vient 

b = \/a^ — la- -\- 5 «, 

on a donc l'énoncé suivant : 

L équation 

t^ — act'''+- ( t^ — ct^) \l d-^ — '2 a- -h 3a -h ^a — c = o, 

OÙ a et c sont deux paramètres indépendants, est soluble par 
radicaux portant sur des /onctions rationnelles de a et c. 



88 



SUR LES PERMUTATIONS POLYÉDRIQUES; 
Par M. Cm. J^jocim:. 

\. Les pcrimiliilioiis ordinaires el les pennulalions ciiciilaires 
ne sont aiilie eliose que les dispositions (pion peut réaliser avec 
/i oi^jels placés en ligne droite ou en cercle. Jl semble assez naturel 
de considérer d'autj'cs dis[)ositions, telles (|ue les dilïérentes façons 
d'adecter n lettres aux /? sommets d'un polyèdre. Ce sont ces der- 
nières dispositions que j'ap])(dlerai pennuLalions polyédriques. 
Je me propose de calculer leur nombre. 

IMur préciser le problènjc j'en donnerai l'énoncé suivant : 

On considère n lettres, et des polyèdres égaux ayant 
a so/nmets. On affecte à chaque sommet d'un polyèdre une 
des n lettres; combien peut-on obtenir de dispositions de ces 
lettres, deux dispositions étant les mêmes si Von peut faire 
coïncider les polyèdres correspondants de façon cjue les 
sommets cjui coïncident soient aJJ'ectés de la même lettre? 

2. Supposons toules les dispositions réalisées, chacune ne 
Tétant (pi'une seule fois; soit X leur nombre, il leur correspondra 
autant de polyèdres que je désignerai ])ar 

ni, n,, ..., iix. 

J'imagine un polvèdre Oq, égal aux polyèdres précédents et sur 
l(;quel je numérote les sommets de i à /?, d'une façon d'ailleurs 
arbitraire. Si je fais coïncider IIq avec un des polyèdres considérés, 
11/ par exemple, j'obtiens une permutation de n lettres en lisant 
sur 11/ les lettres dans l'ordre des numéros qui leur correspondent 
sur IIo. 

A toute permutation des n lettres correspond un polyèdre II/; 
qui se déduit de Ily en remplaçant les numéros correspondant 
aux sommets de IIo ))ar les lettres de même rang de la permutation 
donnée; el l'on n'a (pi'un polyèdre correspondant à une permuta- 
tion donnée, |)uisqu'on sup|)ose les permutations polyédriques 
distinctes. 



— m — 

Mais à un poljrdic 11/ il (;<)ri(;s|)()iMl jniLaiil. (I(; pci iimialions (l<;s 
// Icllrcs (ju'il y ;i dv. façons de ("aire coïtK-idcr II,, avec II/; soit ja 
Ic iioMihic de CCS modes de coïncidence; on voil qu'à Loulc ])ci- 
mulalion polycdricjuc correspondent [jl pcnnulalions ordinaires. 
( )n a donc 

Î5. En parliculier, si les polyèdres H sont réguliers el si />» esl 
le nond^rc des areles de cliarpic aii;^lc solide, on voit facilemenl 

que 

V- = ^/^ 

on a alors 

Il — I ) ! 



X = 



P 



si les poljèdres If sont des pyramides rc«^ulicres, la base ajanl 
n — 1 soinmels, on voit facilement que si n >> 4 <JH îi 



|x = (n — i), 
it Ton a 



(M-i) 



On peut d'ailleurs facilement vérifier ces résidlats ainsi que bien 
d'autres correspondant à des cas parliculiers. 

1. J'ai parlé, dans ce qui précède, de sommets d'un poljèdre 
pour plus de commodité; mais on peut considérer des systèmes 
de points tous situés dans un plan. Seulement, si l'on suppose 
toutes les figures situées dans le même plan, on pourra prendre 
pour iji soit le nombre des modes de coïncidence réalisables sans 
faire sortir les figures du plan commun, soit le nombre des modes 
de coïncidence réalisés quel que soit le déplacement. Le nombre X 
des permutations de trois lettres A, B, C, mises aux sommets d'un 
triangle isoscèle, serait alors de 6 dans le premier cas (où a serait 
égal à i), et de 3 dans le second (où [x serait égal 32). 



I 



90 



SUR CERTAINES TRANSFORMATIONS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES 
AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU SECOND ORDRE; 

Par M. J. Clair m. 

J'ai déterminé, dans un travail antérieur ('), toutes les équa- 
tions aux dérivées |)arliclles du second ordre à deux variables 
indépendantes, réductibles à une équation linéaire par une trans- 
formation de Biicklund de seconde espèce, qui conserve les 
variables indépendantes, et qui fasse correspondre à chaque inté- 
grale de l'équation considérée une seule intégrale de l'équation 
linéaire. Je me propose d'étudier les transformations (B^) qui 
permettent de remplacer une équation aux dérivées partielles du 
second ordre par une équation linéaiie, en faisant correspondre 
à chaque intégrale de l'équation donnée une infinité d'intégrales 
de l'équation linéaire, les variables indépendantes étant toujours 
conservées; je montrerai que, excej)tion faite de deux cas parti- 
culiers, les seules transformations satisfaisant aux conditions 
énoncées sont les transformations indiquées par Moutard et 
M. Lucien Lévj. 

Considérons une équation linéaire aux dérivées partielles du 
second ordre que nous pouvons toujours écrire, avec les notations 
ordinaires, 

(i) .s- = ap -4- bz, 

a et b désignant deux fonctions des variables indépendantes x 
et r; la question proposée revient à celle-ci : Traîner dans quels 
cas la fonction z' de x et y définie par V égalité 

satisfait à une équation aux dérivées partielles du second 
ordre quand on remplace z par une intégrale de l'équa- 
tion (i). 



(') Annales de la Faculté de Toulouse. 1900. 



— \)\ 



On lire iinin('(li;il(MU(!nl de i'(''i;;ilil(; |)i('(<'<l<'nLc 



ôx 



= /; 



dz' 



(•>) 



ù-^z' 
Ox Oy 






'if 

Ox 


+ /^ Oz 


-(- / 


,0/ 

o,r 






-^'l Vz 


H-( 


ap -i- b . 


' Op 


0\f 
Ox Oy 


à\f 
^l'OyOz 


- -^-( 


(Il) + b 


-^ \0z 




+ U-+- 


Oa\ 
Ox) 


Ob 
^^Ox 


^\0p 



O'-f o-^f 

— \- l> - - 

Ox Op Oz Op 



0\f 



0\f 



Ox Oz '^^ Oz-^ 



-4- /' 



r < 



V 



Op OyOp ^ ^ ' Oi 



/•] 0"' 



Op 



On penl remarquer que/ doit dépendre efieclivemenL des deux 
variables z et/?. Si / élait indépendant de p, (2) définirait une 
transformation ponctuelle de l'équalion (i); si / ne contenait 
pas z, z' satisferait à une équation déduite par un changement de 
fonction inconnue de l'une des équations obtenues en appliquant 
à (i) la transformation de Laplace. 

Les deux premières équations (3) sont donc résolubles par rap- 
port à ^ et à ;■; en portant les valeurs trouvées dans la dernière 
équation, il vient 
s'=U{x,y,z,p)p'q'^\\{x,y,z,p)p'+Ux,y,z,p)c/-^m{x,y,z,p). 

z' satisfera à une équation aux dérivées partielles du second ordre 
si H, K, L, M peuvent s'exprimer à l'aide de (2) en fonction 
de .r, j-, z et cette équation sera nécessairement de la (orme 

.v'= ix{x, y, z')p' q' -^ a{x, y, z' )p' -^ '^{x, y, z') q' ^ -{X, y, z'). 

En prenant pour fonction inconnue / e^^^^^" dz au lieu de z' ^ 
on revient au cas où \k est nul : supposons celte transformation 

r)2 f 

effectuée. l\{x,y, z, />) s'annulant en même temps que -jr^> ^n 
devra avoir 

z' = fix,y, -./>) = o{x,y,z)-+-^ix,y,p). 

L{a:, y, z, p) sera une fonction de ^, j, z' seulement si le déter- 
minant fonctionnel rp— -— est nul; remplaçons L par sa valeur 



— 92 — : 



,)2 cp r)2 cp 

î — h p — - 

^ > celle condilion s ecril : 

ôz 



(4) 



Donnons à z nne valeur iixe; on lire de là 




â^ 

¥ 



m ( ,r, j 



et 






à moins qne, dans le délerminant (4), le coefficient de p ne soit 
nul ou que ce délerminant ne s'annule identiquement qnelle que 
soit à. Examinons ces deux dernières hjpollïèses : le déterminant 
ne conlient pas de terme dépendant de p si l'on a 



(5) 



?(-7-, 7, 5) = (-•(a7,jK)e"^-^-.J)-+ <t^(^',JK) (", i^ ^o), 



ou si cp est une fonction linéaire de ;. 11 ne peut arrivei- que o ait 
la forme (5); en substituant dans le déterminant écrit plus haut, 

on verrait (lue, dans ce cas, -^ dépendrait de z. Le déterminant 

' ' dp ^ 

est identiquement nnl si cp est une fonction linéaire de z. 
Calculons le coefficient de />', 



K(:c-,7, z,p) = a 



ôy dp 



{ap ^ bz) 






dp 



cl écrivons encore que le délerminant -r — ^^ s'annule identi- 
tiquemenl. iNous trouvons 



(G 



^ dp^ ~ Oz d/7 



Tp 



= o. 



(') 11 est évidemment inutile d'ajouter à l'expression trouvée pour une fonc- 
tion de X et j', puisqu'on peut toujours retrancher une pareille fonction de z. 



— \):\ — 

Nous n<^i;ligoon.s d'abord le cas où le corflicient b sérail nul 
Kii (louiiaul à /) une valeur (ixe, on Irouve 



/i ( j-, y ) 



t^{x,y,z)=^ n{x,y) Log[^ -»-• ^(^, y)], 

si c figure dans l'équalion (G). Al)straction faite du cas où •}> est 
une fonclion linéaire et où, par conséquent, le prennier mennbre 
de (()) s'annule idenliquemenf, z ne figure pas dans celte équation 
si Ton a 

'^{x.y.p) = v^{x,y)e"-^'^-^^y^P-\- w^,{x,y) {uq, v^ ^ o); 

en rcFiipIaçanl à par cette lonction, il vient pour -^ une expres- 
sion contenant y>, ce qui est impossible. 

En résumé, il n'j a que deux cas à considérer : C5 et 'i» sont res- 
pectivement égales à 

n{x. y)ho^[z + '':^{x, y)], m{x, y)Lo^[p -^ m{x, y)], 

OU contiennent linéairement les quantités :; et p. 

Considérons d'abord le premier cas : portons dans l'équa- 
tion (4) les expressions que nous venons de trouver pour C2 et •-!; ; 
il reste, après réductions, 



m 






Les fonctions m et n ne diffèrent donc que par le signe, en pre- 
nant - — pour nouvelle fonction inconnue, on voit que l'on 



m{x,y) 

peut supposer m égale à i et n égale à — i. L'équation précé- 
dente donne, en outre, 



LO = 



àx 



Remplaçons dans l'équation linéaire (i) z par z — ^(x,y), elle 

devient 

s + ap -i- bz -{- <j{x^ y) ^ o^ 

dans cette dernière équatipn remplaçons ;: par e~^, nous trouvons 

à-Zi ÔZ\ ôzi 



(7) 



Ox ôy Ox Oy ôx 



— u 



IVUiualion qui déHnit la tr;msformalion étant 



à.r 



dzx 



D'après la forme de réqnation (^), — et par conséquent z' ne 

satisferont à des équations aux dérivées partielles du second ordre 
que si rri^x^ y) est nulle ('), c'est-à-dire si ç est une Intégrale de 
l'équation (i). Il en résulte que l'on a 



z' = Lo 






OU simi)lement 



.-=I.o,(f), 

si l'on remplace z ))ar z — ^(j;, )^), ce qui ne change pas l'équa- 
tion (i). On trouve donc ainsi les trnnsformations indiquées par 
Moutard. 

Passons au cas où C5 et d» dépendent linéairement de z et de/?, 
il existe toujours des fonctions 0, Tj, Ç de ^ et jv' telles que Ton 
puisse écrire 

4— 



o(^,r) 



y).i 



dx 



ti^,y)\ 



tout revient à chercher si y- ( - ) satisfait à une équation aux dé- 
rivées partielles du second ordre. - =.z^ est une intégrale de 



Ô'^Zy 



I ùr, 



Ox ôy \ T] Oy 

()Z\ 



a 



ùzx I à'r\ ùz\ f i d-r^ i dr^ 

Ox Tj ôx ôy \ Tj dx dy r^ ôx 



a 



i = o. 



ôx 



satisfait à une équation aux dérivées partielles du second ordre 
si, dans l'équation qui vient d'être écrite, le raj)port des coeffi- 
cients de ;, et de -"- ne dépend que dey (-); écrivons cette con- 



( • ) GouRSAT, Leçons sur les équations aux dérU'ees partielles du second ordre, 
t. II, p. 244. 
(-) GouusAT, loc. cit. 



or; — 



(iilion 



ô-r. Or, Or, 

— ^ -(- a — î- -f- Or, = > -T-^ 

()x ay ojr Ox 



R(Mnpl;irons 'r\[x^y) par y, ,(.7',jk) / Y^/y; on aperçoit iinmé- 
(lialoment (|iic Tj, csI une inlégrale do réqualion linéaire donnée; 
la Iransfornialion considérée est une Iransforrnalion d(3 M. Lucien 
L(''vy, puisfpi'clh; ('(piivaul à la Iransfornialion 






Lorsque h est nul, nous écrirons l'équation linéaire sous la 
forme suivante, 



(8) 



1 ôaQ 



Gq désignant une fonction de x et y. De la condition (6) on dé- 
duit (|ue l'on a 

^{^, y, P) = 'n{x, y)w(.r, -^) -+- n(x,y) ( ' ), 

\ «0/ 

OU simplement 

^{x,y,p) = w(x,I^), 

si l'on edectue un changement d'inconnue dans l'équation trans- 
formée, comme nous avons fait plusieurs fois. Nous supposons 
d'abord que et ne contient pas linéairement z, léquation (4) nous 
permet de déterminer la forme de la fonction W^ 

^-hX'(x) 



'^'(-'ii;) = '-4^-^^''^' 



en négligeant toujours, ce qui est permis, un facteur indépendant 
de p et un terme additif également indépendant de p. L'équa- 
tion (4) fournit alors le système 



(9) 



â'-o 



ôz (Jx 






()2p /doX"^ , do 



( ' ) Il est bien évident que les fonctions m et n n'ont aucune relation avec 
celles qui ont été l'cprésentées plus haut par les mêmes lettres. Il en est de même 
pour les fonctions désignées plus loin par t, et w. 



k 



- m - 

qui est inlé<^ral)lc à condilion (jiio l'on ail 

p = a^)(x, y) \' (x) Y(7). ' t == \( y). 

v^n écrivant ciiie tt- — esl nul el en lenanl comple de ( o), on 

arrive à 

(lo) — (rtoV) = o, 

ce qui signifie que \ est nulle, à moins que l'équation (cS) n'ait 
ses deux invariants nuls. 

Si \ est nulle, la deuxièjne équation (c)) montre que l'on peut 

écrire 

^{x,y,z) = — Log[5-Hw(.r, j)]; 

en recommençant les raisonnements faits plus haut, on montre que 
l'on obtient nne transformation de Moutard. 

Lorsque l'équation (8) a ses deux invariants nuls, il est permis 
de supposer Oq égale à i : de (lo) on déduit que Y est une con- 
stante (|ue nous pouvons remplacer par l'unilé. I^e système (y) 
donne alors 

9(^1 r^-) =— •I^og(e=+^— i); 

finalement, en écrivant partout ^ — X au lieu de z^ on trouve 

z'= Loj 



cette transformation permet de passer de l'équalion 

5 = à s'-j- ^'e^' = o. 

Pour terminer, il reste à examiner le cas où C2 est linéaire en ;, 
l'équation donnée avant toujours la forme (8). On a alors 

(II) z'=r,{x,y)z--r-w{x,-^^. 

et Ton en tire 

dt] , ô-r, ÔTi ÔT 1) ôuq 

ày ' ^ dx ây dy ' Ox ^ Uq ùy ' 

puis, en remplaçant rj par sa valeur, 

, I ÙT. , f ()r. t] àau\ / ô'--r i Or (>r 



/, ')x \0y cij Oy / \t)x ()]■ r^ ôx ()) 



- 07 - 

Imaginons (jnc, dinis \c second lucnihio do r.rMc «Icinièrc r(|iiM- 
lioii, l(;s cocniciciils de :; cl /> ne soient j)as nnis; si l'on exprime 
(jue ce second ineml)re ne dépend (pi(Mle ^, y, z' , en v(mIm du (i i) 
on trouve (pie W est une fonction linéaire de /) ol (pie Tort a nn<; 
transformation de M. Lucien f^évy. Vin écrivani, au eoniraire, (pie 
le second mem])re de (i.>.) est identi(piement nul, on trouve 
(pie «0 satisfait à 



a. 



ôx ôf ôx Oy 



— o. 



c'est-à-dire (pie l'érpiation (8) a ses deux invariants nuls, ou en- 
core que l'on peut supposer «o égale à i. r^ est alors une fonction 
de la seule variable ,x et un changement simple d'inconnue dans 
l'équation transformée permet de remplacer (i i) par 

z'= z-{- ff{x, p); 
les deux équations qui se correspondent sont 



s = o. 



5 = o. 



En rapprochant les résultats qui viennent d'être établis de ceux 
que j'ai démontrés dans mon travail déjà cité des Annales de la 
Faculté de Toulouse, on voit que l'on connaît toutes les équa- 
tions aux dérivées partielles du second ordre, qu'on peut remplacer 
par une équation linéaire à l'aide d'une transformation de Backlund 
de deuxième espèce, tout en conservant les variables indépen- 
dantes. Si l'on supprime cette dernière condition, le problème est 
beaucoup plus compliqué; j'ai déterminé quelques équations qui 
sont déduites d'une équation linéaire aux dérivées partielles du 
second ordre par une transformation (Bo) ('), je me bornerai 
à indiquer ici qu'en appliquant une transformation (B,) aux équa- 
tions que j'ai indiquées dans les Annales de la Faculté de Tou- 
louse, on obtient de nouvelles équations jouissant de la propriété 
énoncée. 

(') Comptes rendus, '.>7 juin 1904. 



xxxni. 



- 08 — 

SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS DE VARIABLES RÉELLES; 

Par M. AiijvAuD Denjoy. 

Soit /"une fonction définie en chaque point d'un ensemble par- 
fait quelconque P. On sait ce que l'on entend par maximum et 
minimum de la fonction y eu un point de cet ensemble et relati- 
vement à cet ensemble. Désignons par A el l ces deux fonctions 
qui sont définies en chaque point de P. La fonction A est semi- 
continue supérieurement, la fonction / semi-continpe inférieu- 
rement. 

La fonction A., qui est à elle-même son propre maximum, 
possède un minimum. Je le désigne par A'. La fonction semi- 
continue inférieurement A' possède un maximum. Je le désigne 
p^irA". Je désigne de même le minimum de A" par A'", et ainsi 
de suite. Je désigne d'une façon entièrement analogue les fonc- 
tions y, /", 1"\ . . . , qui se déduisent de /. 1' est le maximum de 
la fonction semi-continue inférieurement /. /" est le nnnimum de 
la fonction semi-continue supérieurement /'. 1"^ est le maximum 
de r, etc. 

Je démontre dès le début de cette JNote que les fonctions de 
rang impair.^i', A"\ . . . coïncident entre elles, et aussi /', /"', . . . , 
et qu'il en est de même des fonctions de rang pair A", A'^\ . . ., 
d'une part, et /", /", . . ., d'autre part. Ce fait étant acquis : 

i" Je donne les propriétés-définitions, caractéristiques des 
quatre fonctions A', A'\ /', /", et qui les relient directement à/; 

2° Je cherche si, par leurs propriétés, ces fonctions peuvent 
servir à caractériser une (onction ^ à laquelle elles appartiennent. 
Je trouve effectivement une relation, savoir A'=^F^ A" ^^ 1\ vé- 
rifiée sur tout ensemble |)arfait qui caractérise les fonctions limites 
de fonctions continues, ou de classe 1, suivant la terminologie de 
M. Baire; 

0° J'ai cherché si, parmi ces fonctions, certaines conservent 
leurs [)ropriétés à la limite; autrement dit, f,i étant une fonction 
tendant vers une fonction /, j'ai cherché si les fouctions a]^^ a^^ 
/'^, ilj relatives à fu, tendent vers les fonctions A', ./", /', /", 



— <)9 — 

reliUivcs à l;i IomcI ion /* liiniu^ <i<-.A/- H n'en csl, ii(Mi, romino il est 
Www ais(' (le s'en coin miiicim; par (I(îs (!X(îim|)I(;s iinmédials. Mais 
l'ai |)ii IroMVt^r des iiié<»;alilés reliant les (jiiaiilih'îs ./',yl", /', /", cl 
les liiniles^//, a", /', i" des fonctions c/^^, ri]^^ /,',, /'l dans le e.is où 
ces limites existent. J'ai, à ce propos, énonce; un lliéoièine général 
sur la façon dont s'opère la converi;ence d'une foiK'lion lendant 
vers une fonelion limite. 



I. 

En vue de simplifier l'exposition, je supposerai le plus souvent 
que l'ensemble parfait P, sur lequel sont définies les fonctions, est 
le continu linéaire. Mais, toutes les définilions et tons les résul- 
tais subsistent dans le cas où l'ensemble parfait V est quelconque. 
Il suffit de remplacer le mot point par point de I?, le mot inter- 
valle par intervalle contenant des points de P, les mots point 
intérieur à un intervalle par point de P intérieur à un inter- 
valle, et cela dans les définitions, énoncés et démonslrations. On 
se rendra très aisément comjite que, sous leur nouvelle Tormc, 
ceux-ci sont encore valables. 

Soit donc f une fonction définie sur le conlinu linéraire P. 
Rappelons les propriétés caractéristiques du maximum A et du 
minimum / de f, 

H étant un point quelconque de P et étant donné un nombre po- 
sitif c quelconque : 

A, — i** Je puis trouver un intervalle CD entoui'ant le point 
considéré lï et en chaque ])oint duquel on a 

/<yl(H) + e; 

2" Quelque petit que soit CD entourant H, il j a à son inté- 
rieur un point (pouvant coïncider avec H) où /*>>.] (11) — c. 

L'ensemble de ces deux propriétés montre que le nombre ./ (H) 
est le plus petit jouissant de la propriété i" et le plus grand jouis- 
sant de la propriété 2". Ces propiiétés sont donc caractéristiques 
de y/ (H), c'est-à-dire que tout nombre jouissant de toutes les deux 
à la fois coïncide forcément avec A . 



- 100 - 
l^our /, (Icfinilions analogues : 

/. — i" Il est possible de trouver un intervalle CD entourant II, 
en chaque point duquel y >> /(H) — £ ; 

2" Quelque petit que soit CD contenant H à son intérieur, il 
existe dans CD un point où f <^ ^(H) + ^• 

/(H) est le plus grand nombre jouissant de la propriété i" et le 
plus petit jouissant de la propriété 2". L'ensemble de ces pro- 
priétés caractérise doue /. 

Ceci posé, je vais démontrer les égalités 

A"= A'^'= A6 = . .. = Aon-^o 

et les inégalités analogues relatives à /', /", /"^, .... Remarquons 
que les premières se ramènent à l'égalité yi'=A'", Car la (onction 
qui joue, par rapport à A'^', le rôle que A'" ioue par rapport à yi', 
est y];,. Si donc yi' et A'" sont identiques, yl"':=A^, et ainsi de 
suite, pour les fonctions d'indice impair. Mais, si toutes les 
fonctions d'indice impair sont identiques, leurs maxima sont aussi 
identiques. Or, ces maxima ne sont autres que A"^ yi'^, .... 
Donc, les deux suites d'égalités écrites se ramènent à A':=A"'. 
De même les égalités relatives aux /', 7", 1"', ... se ramènent à 
I'=ï"'. Pour démontrer ces deux dernières, j'aurai besoin du 
lemme suivant : 

Lemme. — Si f^g\, le maximum et le minimum de f en 
chaque point sont respectivement supérieurs ou égaux au 
maximum et au minimwn de g au même point . 

Soient yi,^ le maximum et /< le minimum de f\ yi 2 et I2 le 
niîiximum et le minimum de^'. Je veux montrer quey^^^" entraîne 
yi,^yi2) I\^li' Soit, en effet, H un point quelconque de P. Quel 
que soit le nombre positifs donné : Il est possible de trouver un 
intervalle CD contenant H à son intérieur (.1, 1"), en tout point 
duquel on a 

cl, par suile, 

g<A,{\\)^t. 



- 101 - 
Donc, 

Vm second lien, (jiicl que soil (^13 contenant 11 à son intérieur, 

il est possible tl'y trouver un point où (/, ;>.") 

et, par suilc, 

^< 7,(11) + £. 

Donc, 

En résumé, les inégalités f '> g- ou f^g entraînent les sui- 
vantes : 

Lorsque dans une inégalité ou dans une égalité nous remplace- 
rons les deux membres par leurs maxima ou leurs minima respec- 
tifs, nous dirons que nous délimitons les deux membres de la 
relation, supérieurement dans le premier cas, inférieurement dans 
le second. 

Ceci posé, démontrons l'égalité 

A'=A"'. 

Pour cela, je remarque que j'ai A^A'j puisque A' est le mi- 
nimum de A^ et A">A'^ puisque A'^ est le maximum de A'. Déli- 
mitons la première inégalité supérieurement, 

A > A". 

Donc, 

A>A"^A'. 

Délimitons inférieurement les trois termes de cette double 
relation, 

A'^A"'àA'. 

Donc, 

A' = A'". C. Q. V. D. 

On démontrerait pareillement que 

/'= /'". 

Ainsi, la fonction A' semi-continue inférieurement jouit de la 



— 102 — 

j)ro[)riélé d'êlrc le riiinlmum de son maximum /". De même, /' esl 
une fonction semi-continue supérieurement (jiii est le maximum 
(le son minimum I" , 

On |)euL se demander dans quel ordre de grandeur sont rangées 
les six fonctions A, yi\ A\ /, /', 1" . 

On a d'abord 

A^A"^A' 

et, de même, 

De . / ^ / je déduis, en délimitant inférieurement, 

A'gl 

et, en délimitant su[)érieurement, 

A"i r. 

Donc 

A'^A'ir, 

On a donc l'ordre suivant, par raison de symétrie : 

/' 

A>A"> >I">I. 
- - ^' - - 

y], A" ^ V sont semi-continues supérieurement, y/', /'', 7 le sont 
inférieurement. Il est d'ailleurs très aisé de former des exemples 
où A et V sont dans un ordre de grandeur constant et quelconque, 
ou indifférent. 

Reuïarquons encore que ces inégalités ont été déduites, seule- 
ment, de ce que A est semi-continue supérieurement, / semi- 
conlinue inférieurement avec A^I^ et non pas de ce que yi et / 
sont Tun le maximum, l'autre le minimum d'une même fonction. 

Donnons des définitions caractéristiques de A' ^ yi" , /', /". 
Soit H un point quelconque de P. Quel que soit le nombre 
positif £ donné : 

ul'. — A' étant le minimum de y/, il est possible (/, i") 
d'entourer H d'un intervalle GD en chaque point M duquel 

A (M) > A'{¥[) — -. Autour de chaque point M de CD (yI, 2'^), je 



— io:{ — 

peux conslriiiro un inloivnll(3 dnns lc(|U(;l il y a un point où 
/>> ./(l\l) — -• l^]n Jijoulanl ces incg;aliL(;.s, on voit que : 



i" 11 est possible d'enlounîT Jl d'iin intervalle (^D dans UMpiel 
l'ensemble des points où / > ^'(^0 ~ ^ ^^^ partout dense. 

Dans lout intervalle CD contenant H, je peux trouver (/, s>/') 

nn j)oint JM (pouvant coïncider avec H) où yl ( M) << yi'(H) + ;^ • 
Autour de M, je peux trouver (y/, i") un intervalle en chacjue point 
duciucl /<./(M)-+- -• Donc: 

2" Dans lout intervalle CD contenant H existe un intervalle en 
chaque point duquel j'ai f<^yi'(ll) + e. 

yi'(H) est le plus grand nombre jouissant de la propriété i" et 
le plus petit jouissant de la propriété 2°. L'ensemble de ces pro- 
priétés est donc caractéristique de A' . 

A". — yi" est le maximum de yi' . Donc je peux trouver un 
intervalle CD contenant H en chaque point M duquel j'ai 



Dans tout intervalle contenant M existe un intervalle en chaque 
point duquel j'ai /<yl'(M) + -• 



Donc, 1 es i n tervalles en chaque point desquels j'ai y <<yl'^[ H) -f- £ 
forment un ensemble partout dense dans CD. Donc : 

r' Il est possible de trouver un intervalle CD contenant II et 
tel que l'ensemble des points où / >> ^"(H) -f- s est non dense 
partout sur CD. 

Dans tout intervalle CD contenant H, je peux trouver un point M 
où ^'(M) >► A"{\r\) — - • Autour de M, je peux trouver un inter- 

valle sur lequel l'ensemble des points où/>-^'(M) — - est par 

tout dense. Donc : 

2" Dans lout inlervalle CD contenant H, il existe un intervalle 
sur lequel l'ensemble des points où />>yi"(H) — e est j)artout 
dense. 



— 104 — 

Le nombre A" (H) esl le plus petit jouissant de la propriété i" 
et le pins grand jouissant de la propriété 2". iJonc, ces propriétés 
caractérisent yi" . 

En essayant de définir de même A'" comme élant le minimum 
de A", on tombe sur la définition donnée pour yi' . On retrouve 

ainsi l'égalité 

A'=A"'=.... 

Des définitions précédentes on déduit par analogie celles de J' 
et de /". 

/'. — 1® Il est possible d'entourer II d'un intervalle CD dans 
lequel l'ensemble des points où f<C ^'(H) -H ^ ^st partout dense ; 

2° Dans tout intervalle CD contenant H, existe un intervalle en 
chaque point duquel j'ai / >> /'(H) — £. 

/'(H) esl le plus petit nombre jouissant de la propriété i" et le 
plus grand jouissant de la propriété 2". 

1". — i'' Il est possible d'entourer H d'un intervalle CD, tel 
que l'ensemble des points où y<;/"(II) — s est non dense par- 
tout sur CD ; 

2" Dans tout intervalle CD contenant H, il existe nn intervalle 
sur lequel l'ensemble des points où / < /"(H) -[- s est partout 
dense. 

/"(Il) est le plus grand nombre jouissant de la jjropriélé 1" et 
le plus petit jouissant de la propriété 2". 



II. 

Nous allons donner une application de ces définitions dans le 
théorème suivant : 

Les fondions de classe I sont caracLérisées par la double 
égalité A' ^= I" et /'= yl", vérifiée quelque soit U ensemble par- 
fait pris pour base. 

Nous admettrons pour cela le théorème de M. Baire, à savoir que 
la condition nécessaire et suffisante pour qu^ une fonction f 



- lo:; — 

soit de classe 1 esL r/u^rlle soit po ne lue lie nient diseoniinne sur 
tout e/isent/de jn(vf(tit, c'csL-à-diie (jik; / — ï dit son minimum 
nul en tout point on, cnlin, (jik; l ensemble des points où 
A — [<izest pditout dense ((;!, même [)eut être cotislitiu'; [)ar 
(les inlcrvallos partout denses). 

Il nous suffit do montrer (|ne yV =:. I" par exemple. Car, si cette 
égalité est vérifiée, en la délimitant supérieurement on trouve 

A"= I'. 

Mais, puiscpie dans la propriété que je veux démontrer y* n'in- 
tervient que par la difïerence yi — /, il convient de rattacher les 
fonctions A' et 1" respectivement à yi et 7. Afin d'avoir les défi- 
nitions les plus avantageuses nous envisagerons successivement yl' 
comme jouant, relativement à yf , les rôles i" de /, 2" de ^'; puis/'^ 
comme jouant, relativement à /, les rôles 1° de I" ^ 2" de A', 

On trouve de la sorte que : 

H étant un point quelconque du continu linéaire P, et quel que 
soit le nombre positif £ donné : 

A' . — i*' Il est possible de trouver un intervalle CD conte- 
nant H à son intérieur et en chaque point duquel on ait 

^>^'(H)-£; 
2° Quel que soit CD, il }' a dans CD un intervalle où 

A < A' {W) -i- z. 

l". — i" Il est possible de trouver un intervalle CD conte- 
nant H à son intérieur et tel que l'ensemble des points où 
/<C 7"(H) — £ est non dense partout sur CD ; 

2'^ Dans tout intervalle CD contenant H il existe un intervalle 
en chaque point duquel I <C l" {^) -H £• 

Ces définitions, comme les premières, s'appliquent à un en- 
semble parfait quelconque pris pour base. Nous allons démontrer 
(pie la condition A' =1 l\ vérifiée sur un ensemble parfait, carac- 
térise une fonction ponctuellement discontinue sur cet ensemble 
parfait et, pour simplifier, nous [)rendrons pour Ijase le continu. 



- 106 — 
Démontrons la proposition directe : 

Par hypothèse, l'ensemble des points où yi — I <i t est parlout 
dense. 

Soit H un point quelconque. J'entoure H d'un intervalle CD 
(yf, i"), en chaque point duquel j'ai 

A>A'{U) — t. 
Dans CD je peux trouver G(D, (/'', 2°) où 

/<r(ij) + £. 

Dans C,D, je puis trouver un point M où yl (M) < /(M) + £. 
Donc l'iné*;^alité A'(ïî) — £<</"(H)-j-£ est possible quel que 
soits. Ov,yi'>I". Donc 

A'{\i) = r{U), 

quel que soit H. 

Réciproquement, supposons que A'=:I". Je vais montier que, 
dans tout intervalle PQ, il est possible de trouver un point et 
même un intervalle où yi <;! + £. 

En effet, je prends H intérieur à l'intervalle donne PQ. Il est 
possible (/'^, 1°) de trouver un intervalle CD entourant H et dans 
lequel l'ensemble des points où /<;/"(H) — £ est non dense. 
Je limite CD à sa partie comprise dans PQ. 

Dans l'intervalle CD je peux trouver C,D, {yi' , 2") où 

A <y4'(H)-f-£. 

Dans C, D, je peux trouver C2D2 (/", 1") où 

/>/"(H) — £. 

En chaque poinl de C2D2, les deux inégalités sont vérifiées. 
Comme yl\l{) = 1 " (H) ^ en retranchant membre à membre, on 
voit qu'en tout point de C2D2 on a 

A </-H2£. 

Donc, y est ponctuellement discontinue sur le continu. Donc, 
la condition yV z=z I" ou .1"=/', vérifiée sur tout ensemble par- 
fait, caractérise les fonctions de classe 1. 



— 107 - 

J)csig^nons par O la dinV;rcnc(î ./ — /. O csl roscillalion do / 
rclalivcm(Mil à rcnscmhlo |)arfail. consi(i(';ré. Soit O' le minimum 
(le O el O" le maximum de O'. Lorscjue / est porjcLucIlcmcnt 
discontinue, O' est nul et, dans ce cas, nous venons de voir (jue 
Â' — I" est également nul, ainsi que A" — /'. Ceci n'est qu'un cas 
particulier des doubles inégalités 

A—I" 

0"> > 0', 

- A"— r - 

qui sont vraies quelle que soit f. 

Pour les démontrer, je commencerai par définir yi^'et/', puis G' 
et O" par les propriétés qui les rattachent à yi et à /. Soit H un 
point quelconque du continu linéaire P. Etant donné un nombre 
positifs quelconque : 

A". — i*' Il est possible d'entourer H d'un intervalle CD, tel 
que l'ensemble des points où A >> A" (Yi) -\- s est non dense par- 
tout sur CD ; 

2" Dans tout intervalle CD contenant II existe un intervalle en 
chaque point duquel A '^ A" (JA) — e. 

/'. — i*' Il est possible de trouver un intervalle CD conte- 
nant H, en chaque point duquel / << /'(H) + £ ; 

2" Quel que soit CD entourant H, il j a dans CD un intervalle 

OÙ/>/'(H) — £. 

O' . — 1° 11 est possible de trouver un intervalle CD, conte- 
nant H à son intérieur, en chaque point duquel^ — /> O^H) — -î 

2" Quel que soit CD contenant H, il v a dans CD un intervalle 
oùyi_/<OXH) + £. 

0". — i" Il est possible de trouver un intervalle CD, conte- 
nant H à son intérieur, tel que l'ensemble des points où 

A-~I:> 0"(H)-+-£ 

est non dense partout sur CD^ 

2" Dans tout intervalle CD contenant H à son intérieur existe un 
intervalle en chaque point duquel A — / > 0"(H) — £. 

Pour obtenir les inégalités que j'ai en vue, j'associe chacune 



— 108 — 

des Inégalités auxfjuollcs satisfont O' et O" avec les Inégalités con- 
cordantes relatives à A' et /", A" et /'. 

Tout d'abord, je constate qne (O', 2") et (O", 2") ne donnent 
lieu à aucune conclusion. Voici le schéma des raisonnements qui 
me donnent les inégalités cherchées. J'ai écrit dans une même 
colonne verticale les intervalles que j'utilise dans le raisonnement. 
Chacun est entièrement contenu à l'intérieur de celui qui est 
écrit immédiatement au-dessus. A côté du nom de l'intervalle se 
trouve la condition qui le détermine et, sur la même ligne, la rela- 
tion qui est vérifiée en chaque point intérieur à l'intervalle consi- 
déré. Delà sorte, toutes les relations sont simultanément vérifiées 
en chaque point de l'intervalle écrit à la ligne inférieure. Je dé- 
duis alors, du fait que les relations écrites peuvent être simultané- 
ment vériliées, la relation cherchée : 



CD 


(0', 


.") 


A 


-/>0'(1I)-E, 


CiDi 


(A\ 


■>.o) 




A<A'{U)-i-e, 


G2D2 


(/", 


1°) 




I >r(ii)-£, 



d'où 



>1'(H) — /"(II)i;0'(lI); 



CD 


(0', I") 


A 


-/ >0'(n)-£, 


CiDi 


(/', -2") 




/ >/'(H)-£, 


C2D2 


(^",1") 




yl<^"(II) + £, 



d'où 



^"(H) — 7'(II)^0'(1I); 



CD 


(A\ I" et 0", I") 


A>A'iU)-^, 


G.D, 


(/", 2") 


I </"(n)4-£, 


GjDa 


(0", i") 


A — I <0"(H)-t-£, 



d'où 



^'(II)_r(H)<0"(ll); 



GD 


(/', I" et 0", 1") 


GiD, 


{A\ -i") 


G2D2 


(0", i") A- 


d'où 






^"(II)_/'(I1)<0"(I1) 


ou, en résumé 


1 




- ,1"—/' - 



A>A"{n)-e, 
A-I <0"(II) + £, 



— loi) — 

Drliinilons snp('rionromont cl infcrioiirrinonl ces deux iclalions, 
JjCs lornios cxlrcincs (Icîviomicnl cj^aiix. Donc, 

A'-/\ A"—l\ O' 

oui le même maximum O"-, 

A-1, A'—l\ A'-J' 

onl lo mcmc minimum, savoir O'. 



m. 

Nous allons maintenant nous occuper du cas où les six fonctions 
y/, A' ^ A", /, /', /" sont attachées à une fonction dépendant d'un 
indice. Nous aurons, à ce sujet, besoin d'un théorème général que 
je vais démontrer, relatif à la convergence d'une fonction vers ime 
fonction limite. 

Soient f\i fil . . . ^ fn "ne suite de fonctions définies sur un 
ensemble parfait quelconque que, pour simplifier, nous supposons 
être le continu linéaire AB. Supposons que f,i tende vers une 
limite f. Donnons-nous un nombre positif quelconque £ et un 
entier a. Désignons par G(a, t) l'ensemble des points H tels qne, 
quel que soit /i^ a, on ait toujours 

1/„(H)-/(H)|<E. 

Remarquons que, si 

a'> a, G(a', £) ^ G(a, s); 

si 

£'<£, G(a,£'}<G(a,£). 

Je rappelle qu'avec M. Baire j'entendrai par ensemble de pre- 
mière catégorie, sur un ensemble parfait donné, un ensemble 
([ui peut être considéré comme la réunion d'une infinité dénom- 
brable d'ensembles, chacun non dense sur Fensemble parfait con- 
sidéré. Un ensemble qui n'est ])as de première catégorie est dit 
de seconde catégorie. 

Les deux propriétés fondamentales de ces divers ensembles sont 
les suivantes : 



- 110 — 

Une infinité dénombrahle d'ensenil)les de première caléj^orie 
est un ensemble de première catégorie. 

Un ensemble parfait est de seconde catégorie par rapport à Uii- 
méme. 

Théorème I. — Etant donné e, // est possible de prendre a 
suffi saninient grand pour que i^ ensemble G (a, e) soit de seconde 
catégorie sur AB. 

Car, s'il était de première catégorie quel que fût a, l'ensemble 
de tous les G (a, s), pour tou les les valeurs de a, serait de première 
catégorie. 11 j aurait donc des points de AB qui n'appartiendraient 
à aucun ensemble G(a, e). En ces points, quel que fût a, il serait 
impossible que \ f, — f\<i^ pour toute valeur de n supérieure 
à a. Ceci est contradictoire avec l'bypotlièse qu'en chaque pointy)i 
tend vers y*. 

Théorème II. — Etant donné £, Fensemble Q(£) des points 
tels que, autour de Vun de ces points^ G(a, e) est de première 
catégorie, quel que soit a, est non dense partout sur AB. 

Car, si l'ensemble Q(£) était dense sur un segment CD intérieur 
à AB, l'ensemble G (a, s) serait de première catégorie sur CD, et 
cela, quel que fût a. Or, étant donné le segment CD, il existe un 
nombre a, tel que G(a, e) et tous les ensembles qui le suivent 
soient de deuxième catégorie sur CD. Le théorème est donc vrai. 

Je me suis appuyé sur la proposition suivante : 

Étant donné un ensemble G et un intervalle CD, si G est de 
première catégorie dans un intervalle fini \ autour de chaque 
point d\ui ensemble (^partout dense sur CD^ G est de pre- 
mière catégorie sur CD. 

Cette proposition se ramène elle-même à la suivante : 

Il est possible, dans les conditions précédentes, de couvrir GD^ 
sauf les points d'un ensemble non dense P, d'une infinité dé- 
nombrable des intervalles A, de telle façon que tout point de CD 
II' appartenant pas à V soit intérieur à Vun au moins de ces in- 
tervalles. 



— 111 — 

i]:\v : r' les points (|iii n'apparlionnenl à îuicmm lnLcrvall(; A 
ronnciil un (îiiscnihlc non d(Misc V (cl même (enné) sur A; ?/* con- 
sldcions un inlervallc KV conli'^u à col ensemble fermé non dense. 
Soit ïi'V un Intervalle intérieur à EF. l*ar lijpotlièse, chaque point 



-'T'¥ 'F-'T 



de E'F', exl limités comprises, est intérieur à un intervalle ).. 
D'après un théorème connu de M. Borel, je peux couvrir E'F' avec 
ui} nombre fini d'intervalles \. Je n'ai plus qu'à prolonger la suite 
des intervalles de chaque côté vers E et vers F. J'atteindrai chaque 
j)oint intérieur à EF avec un nombre fini d'intervalles )v. Donc, je 
pourrai trouver une infinité dénombrable d'intervalles X tels que 
tout point intérieur à EF soit intérieur à un au moins de ces inter- 
valles. 

Il y a une infinité dénombrable d'intervalles EF. Donc, il y a 
une infinité dénombrable d'intervalles)., tels que tout pointdeCD 
soit intérieur à un de ces intervalles, sauf les points de l'ensemble V 
non dense, tels que E et F. 

Revenons à l'ensemble G. G est de première catégorie dans 
chaque intervalle X. Or, les points de G qui n'appartiennent pas 
à P sont compris dans une infinité dénombrable d'intervalles, dans 
chacun desquels G est de première catégorie. Ces premiers points 
forment donc un ensemble de première catégorie. Restent les points 
de G situés sur Tensemble non dense P. Mais un ensemble de 
première catégorie, augmenté d'un ensemble non dense, reste de 
première catégorie. Donc, G est de première catégorie sur CD. 
La démonstration du théorème II se trouve ainsi complètement 
élucidée. 

Du théorème II nous déduisons : 

Théouème III. — ^ensemble Q des points pour chacun des- 
quels il est possible de trouver un nombre s, tel que, quel que 
soit a, V ensemble G (a, e) est de première catégorie autour du 
point considéré, est lui-même de première catégorie. 

Soit Q(£) l'ensemble non dense correspondant à un nombre î. 
Donnons-nous une suite de nombres t), £o, . . ., £«, . . ., tendant 
vers o. J^'ensemble des points communs à Q(£| ), ^(-2)? •••, 



— 112 - 

Q(£„), ..., n'csL aulre que î'enscmhlc Q de r/noncé. Comme 
Q(e//) est non dense, Q est de première catégorie. 

Le théorème auquel je viens d'aboutir me paraît intéressant 
par lui-même et c'est pourquoi j'ai cru devoir le démontrer. ]Mais, 
au point de vue de la question qui nous intéresse, les conditions 
imposées aux ensembles G (a, s) et Q(£) sont plus restrictives 
qu'il n'est besoin. Les théorèmes démontrés le seront a fortiori, 
si je remplace les ensembles G et Q par les ensembles G' et Q' 
que je vais définir. 

Désignons par G'(a, e) l'ensemble des points H, tels que l'on 
ait|/a(H)-/(TI)|<s. Ona 

G'(a,£)>G(a,£). 

L'énoncé du théorème I est renforcé. Celui du théorème II l'est 
aussi si l'on remplace dans l'énoncé G par G'. Supposons que dans 
cet énoncé on remplace aussi les mots de première catégorie par 
qui ne soit pas partout dense sur un intervalle suffisamment 
petit entourant H. 

L'énoncé prend la forme suivante : 

V ensemble Q'{e) total des points H, tels rju'autour de H 
C/(a, s) n^ est pas partout dense, quel que soit a, e étant donné, 
est un ensemble non dense. (Rappelons i\Vi autour d^ un point 
signifie dans un intervalle suffisamment petit entourant ce 
point.) 

En efl'et, si Q'(£) était dense sur un intervalle CD, on voit di- 
rectement, que, quel que fut a, G'(a, s) serait partout non dense 
dans CD, ce qui est contradictoire avec le fait que, a étant suffi- 
samment grand, G'(a, e) est de seconde catégorie dans CD. 

Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant analogue au 
théorème lîL 

L'ensemble Q' des points H, pour chacun desquels il est pos- 
sible de trouver un nombre s, tel que, quelque soit a, V ensemble 
(i'(a, e) n'est pas partout dense autour de H, est de première 
catégorie. 

Considérons l'ensemble complémentaire de Q'. Pour chaque 
point K n'appartenant pas à (V, il est possible, quel que soit s, de 



- m:; - 

trouver «m nomhiMî a siipcMieiii* à loiil nomhio a„ donné, \r.\ (jnc 
l'ensemble (les poinis où | /^ — /\--.'^z est pailotil dense autour 
de K. 

(Considérons niainLeniint les six fonctions (f.„, a'^'^, r/.^'^, i[^, /J^, i,i^ 
relatives à la fonction y,,, et supposons que ces (piantités aient des 
limites (piand n croît indéfiniment. Soient a.j (f" , a', î\ /", «' ces 
six limites. On a 

a1a"l ^^i/'li, 
~ ~ a 

Cl chacune de ces six fond ions est de classe 0, 1 ou 2. Comparons- 
les aux fonctions y/, y{\ . /', /', /", /, relatives à /. 

JNous allons établir des relations d'inégalités vraies en tous les 
points autres que ceux d'un ensemble de première catégorie, en 
l'espèce Q'. 

Soit H un point n'appartenant pas à Q'. Soit £ un nond)re donné 
quelconque, aussi petit que Ton veut. 

Je prends n^ assez grand pour que «/^(H) = «'(II) + Os 
(8- <C i) pour toutes les valeurs de n supérieures à /Zy. 

H n'appartenant pas à (V, je peux prendre parmi ces valeurs 
de 11 une valeur telle que l'ensemble des points où fn:=zf-\-^"z 
(8'^-<<i) soit dense partout sur CD, CD étant un intervalle en- 
tourant H et suffisamment petit. Or : 

i" 11 est possible de trouver dans tout intervalle intérieur à CD 
et contenant H un intervalle {A' ^ a") en chaque point duquel 
///<Crt/^ + £. Dans cet intervalle, l'ensemble des points où 
y << a' -\- ?>t est partout dense. Donc 

a'ir\ 

2^ C, D, étant un intervalle suffisamment petit intérieur à CD 
et contenant H, dans tout intervalle Co Do intérieur à CjD, il est 
[)Ossible (A", i") de trouver un intervalle en chaque point duquel 
Jii^<-f^',i~^ ^' ^<->"C, l'ensemble des points où /"<«"+ 3s est dense 
autour de H. Donc 

De même 

*'« et / donneraient lieu aux inégalités ri^l' et i^A\ moins 



XXXIII. 



8 



— lli — 

avantageuses, respectivement, que d'^V et i"'^yi'. Nous ne gar- 
derons donc que les quatre premières iuégiilitës trouvées. 

L'ensemble des points où ces inégalités ne sont pas vraies, 
à 3rj près, est non dense ([)ar exemple Tensemble des points où 
l'on n'a pas fi'^I" — 3r,), c;ir J'ensemble des points autour 
desquels l'égalité fn = f-\-H'^^ ne peut avoir lieu sur un enseml)le 
dense est non dense. 

Dans chaque intervalle contigu à l'ensemble Q^{'^\) qui est fermé, 
les relations peuvent être délimitées supérieurement et infé- 
rieurement, et les résultats seront vrais à moins de v] près. Donc, à 
part les points de l'ensemble de j)remièi-e catégorie Q', les inéga- 
lités obtenues en délimitant les premières sont encore vraies. 

Soient a'a, a'ix"j ci'^'-, di'i cî-"^ à-^ les six fonctions relatives à a' . 
Désignons d'une façon analogue les fonctions relatives à i' ^ à d' et 
à i" . On trouve que les relations les plus avantageuses se réduisent 
aux suivantes : 

Pour /", on a d'^d' et, des douze nombres relatifs à d' et à «', 
le [)lus petit est d-. Nous prenons donc sans hésitation 

diH". 

Pour /', le plus petit nombre (jui soit un maximum du côté 
de Cl' est ct-^V . Les nombres de même ordre de d' sont supé- 
rieurs à ceux de d . Mais on ne peut rien dire sur d' lui-même. 
Donc, d'^I" doit être conservé. En résumé : 



d' ~ ' \ i 



>/', <A'. 

— 7 i •// — 



/ 

Si fn est continue, « = ... = /=: y. Donc, /^ /" et, par suite, 
1=1", f^r, A^A" et, par suite, A = A" , f'^A', et cela sur un 
ensemble complémentaire de première catégorie. Mais cette mé- 
thode ne nous donne pas entièrement le résultat 

A = A" =A' = r = J"z=I^ f 

en tous les points autres que ceux d'un ensemble de première 
catégorie. 



— ii:; — 



SUR L'EXTENSION A L'ESPACE 
DU THÉORÈME DES POLYGONES DE PONCELET PAR DES POLYÈDRES 

DE GENRE UN; 

l\n' M. G. FoJNTENlt. 

1. Celle Noie fail siiile au Mémoire qui a [)ar(i dans le Ihdletin 
sur le niéuie sujel. Je remplaceiai l'expression polyi'dra iorujnc 
par l'expression polyèdre réticulé^ qui rappelle la disposition des 
sommets en ^ séries de y> sommets d'une part, en p séries de (j 
sommets d'autre part, et de même pour les faces. 



Fisr. 




Soit/? = 4,^ = 4 (y^o • 0- ^^^ sommets sont, avec leur doul:>le 
classement, 

[ <^7 ^^ c, d^ 

a\ b\ c\ d\ 

a\ b\ c", d", 
1 a'", i/", c", d'\ 



(0 



et les faces sont 



a h h' a\ h c c b\ c d d' c\ d a a d^^ 
n'b'b"a\ b'c'd'b", c'dd"c\ da'a"d'\ 



Appelons sommets opposés deux sommets tels que a et c", a' 



- no - 

cl d" ^ . . ., el supposons que les sommets opposés coïncident deux 
à deux. 

SI l'on considère les lignes du lablcau (i), les sommets a", b" ^ 
c"^ d" se confondront respectivementavec c, f/, a^ h, et a'", b"\ d'\ 
^'/"^ se confondront de même avec c', d\ a',, b' ; si l'on considère 
les colonnes du tableau (i), on dira que c, c*', c", c" se confondent 



avec a", a"\ 



<2, a\ et d^ d', d\ d'" avccb", b'" , /y, b' ; on a 



(2) 



OU 



('^') 



'^ 


h. 


c, 


d. 




I>\ 




d\ 


c, 


d. 


a, 


h. 


c', 


d\ 


a\ 


//, 


«, 


h. 


a\ 


/>', 


a', 


h\ 


d'", 


//" 


a", 


h\ 


«, 


l>. 


a"\ 


h\ 


a\ 


b'. 



Le polyèdre obtenu est celui de la ligure 2, avec 8 sommets té- 



Fia. 2. 




traèdres, 8 faces quadrangulalres, 16 arêtes (F-|-S = A); les 
faces, fournies parle tableau (2), sont les quadrilatères a^6'a', 
bcc'b', ..., et les quadrilatères a' 6' <i?c, b'c'ad^ .... 

On retrouve ainsi le polyèdre à 8 sommets et à 8 faces signalé 



117 — 

pai" M. Hricard {^XoiivcUcs t/t/uf/cSj ï()(>/\)] o\) passe des nola- 
lioiis de cet aiiloiir aux iiolalioiis aelucllos on remplaçant <'/', h', ... 

par //, c' IM. Bricard observe (pje (diaennc des /\ droiLes ah, 

cd^ (i d' ., b' c' rencontre les 4 droites a! b' ^ c' d' ^ ad, bc | lij^iies du 
tableau (2)], de sorte que l'on a là (piatre génératrices d'un même 
système d'un hjperboloïdc et quatre génératrices de Tau tic sys- 



Kis. 3. 




tème; sur la figure 3, on a indiqué par des arcs de cercle les plans 
des 8 faces du polyèdre. 

[Chacune des quatre droites aa' ^ cd ^ bd' ^ db\ à gauche et à 
droite dans la figure 3, rencontre de même les 4 droites bb\ 
dd! ^ ac\ ca\ en bas et en haut de celte figure (colonnes du ta- 
bleau 2); cela revient à dire que chacune des 4 droites aa' ., bb\ 
cc\ dd ^ tracées en trait plein, rencontre la suivante, cjclique- 
ment, et que la même chose a lieu pour ac', bd! ^ ca' , db\ tracées 
en pointillé. ] 

Réciproquement, si Ton trace sur un hvperboloïde 4 généra- 
trices d'un système, 4 ^^ l'autre, on en déduit un polyèdre de 
l'espèce indiquée; le polyèdre dépend donc de 17 paramètres, au 
lieu de 16 que l'on pourrait prévoir, et, sans parler d'hyperboloïde, 
cela tient à ce que iodes 16 rencontres de 2 systèmes de 4 droites 
entraînent la 16". 

J^es sommets d'un tel polyèdre forment un système ponctuel de 
Lamé : ils sont en elTet, de 4 manières, répartis 4 P^i' 4 sur 2 plans 
{^fig- 2); les faces forment un système tangentiel de Lamé. 

De tout cela il résulte, comme l'observe M. Bricard, que le 
problème de construire \\\\ tel [)ol*yèdre circonscrit à une qua- 



- 118 - 

(lrl(|uc 11 cl inscrit à une quaciriqiic 1^', au lieu d'clrc un problème 
(IcLerininc en apparence, est un problème triplement indéterminé 
en apparence; et la question qui se pose est de rechercher si, con- 
trairement à toute vraisemblance, les quadriques ne doivent pas ici 
encore satisfaire à une condition : cette condition remplie, le pro- 
blème serait quadruplemcnt indéterminé. On va voir cpi'il en est 
ainsi. 

2. Dans un article inséré aux jYouvclles Annales^ '9o4t j'ai 
considéré un cas particulier pour obtenir la condition de fermeture 
relative aux. valeursy:> = 4? ^=45 j'^' trouvé que la fermeture 
peut avoir lieu sous deux conditions différentes; je montrerai ici 
(|uc l'une des conditions se rapporte effectivement au poljèdre de 
la figure i (/; = 4ï^ = 4)7 tandis que l'autre est relative au po- 
lyèdre de la ligure 2 (F = S = 8); c'est même en cherchant à in- 
terpréter plus complètement les deux conditions en question qu^ 
j'ai été conduit à retrouver le polyèdre de M. Bricard comme un 
cas de dégénérescence du polyèdre réticulé à 16 sommets et à 
16 faces. 

Soient les deux quadriques de révolution 

(S') a' ( :r2 -f- jk2 ) _^ c' z'^'-^iinz -h d' = o, 

et un polyèdre tel que celui de la figure i [p =4? 'Z =^ 4), on f^c- 
lui de la figure 2 (F = S ;= 8), circonscrit à ^ et inscrit à S'. INous 
supposerons que les contours généralementgauches abcd^ a' b' c' d' ^ 
d' b" c" d" ^ d" b'" c"' d'" (ces deux derniers confondus avec cdab 
clc' d' a' b' dans le cas de la figure 2) sont des carrés, situés dans des 
plans parallèles au plan des xy^ ayant leurs côtés parallèles, et dont 
les centres sont sur l'axe des z. Le plan des zx étant supposé per- 
pendiculaire aux arêtes ab^ et! b\ d' b" ^ d" V" (qui sont en même 
temps 6'"c/'', c'" d"\ cd^ c' d' dans la figure 2), en leurs milieux m, 
m', m", ni!" ^ on a dans ce plan un quadrilatère mm' m'^ m'" (ivapèze 
isoscèle pour le cas de la figure 2) circonscrit à la conique 

(S) y = o, ax--{- cz--]- d = o. 

Les points rt, a\ d\ d" sont sur la conique obtenue en coupant la 
quadri(|ue (!'') par le ])lan j^ = x^ et les points /?i, ni' ^ . . . sont sur 



- lli) - 

I:) c()ni(|ii<' 

(S') ^ = o, -2(1' w^ -Ji- c' z"*- -[- 'j.niz -\- (f -^ i), 

projection de la précédcnh^ sur- le pliin des ZX. 

La coridiiion do fennehiic pour dc:^ (piadi ilal(':r(is circonscrits à S 
et inscrits à S' est celle-ci : l'écpialioii en A relative aux deux co- 
ni(|ues ëtaul formée (Paprès l'équation 



tre t 
des valeurs de ). est ici 



l'une des racines doit être égale à la somme des deux autres. L'une 



— ->. a 
a 



et les deux autres sont données par l'équation 

(\c ^ c' ) (Id -^ d') -— m- — o; 

en désignant par )/ et )/' les racines de cette équation, on doit 
avoir 

(3) -■— =±(A'-X") 

a 

ou 

(4; _i!i = X'+X". 

a 

Mais, selon que l'une ou l'autre de ces conditions aura lieu, les 
diagonales du quadrilatère m ni' m" m'" passeront par tel ou tel des 
trois sommets du triangle autopolaire commun aux deux coniques : 
avec (3), ces diagonales passeront par l'un des deux points conju- 
gués communs situés sur Oz ; avec (4), ces diagonales in/fi" et m' m'" 
seront parallèles à O:^;. [Voici un exemple de ce dernier cas : la 
condition (4) étant en général 

a c d 

si l'on suppose a = c, 2 a' = c', auquel cas S et S' sont des cercles, 
on doit avoir cl' = o, c'est-à-dire que S' doit passer au centre de S. 
C'est une configuration bien connue, et les diagonales niDi"^ m' ni" 
sont alors parallèles à O^;.] 



- 1-20 



Dus lors, la condition (4) est relative au polyèdre de la ri«^ure 2, 
tandis que (3) se rapporte à celui de la ligure i. Pour ce dernier 
cas, on a la figure suivante : 

Fig. 4. 



m. 




On doit se représenter les arêles ab, a'b', «'V/, ft"7>"' perpendi- 
culaires au plan de la figure eu /??, m\ m", ni!'\ milieux de ces 
arêtes, a et a' en avant, d' et et!" en arrière; les arêtes cd^ c' d\ 
c" d" ^ d" d'" sont de même perpendiculaires au plan de la figure 
eny>>, y/, /;", p"^ ^ milieux de ces arêtes, c etc' en arrière, d' et d" en 
avant; les 16 faces du polyèdre sont : 

D'une part, les laces lalérales des tioncs de pyramide de pre- 
mière espèce abcda'b'dd' et a" b" d' d" a!" b'" d" d'" \ 

D'autre part, les faces latérales des Ironcs de |)yramide de se- 
conde espèce abcda!"b"'d"d"' et a!' b" d' d" a' b' d d' , 

Si l'on forme maintenant l'équation en A relalivc aux deux cpia- 
driques d'après l'équation 

deux des valeurs de A ont pour valeur commune 



X.,= 



a 



et les deux autres À;} et A-, sont les valeurs désignées plus haut 
par a' et A". Les conditions de fermeture dcxieunent 



(5) 



A., 



À3->^; 



— 1^21 — 

pour le polvcdre (/^ ~ i, 7 - 1), cl 

|)()in- \c |)()lvr<lr(^ (K = S = 8). 

',\. \\)[iv le |)()lyr(li(; de hi (ij^iirc 1, il pciil airivci' (|iic r", r/", 
<^/', 6" coïncident avec a', //, c', d\ et que c"', c/'", a"\ />'" coïncident 
avec a, ^, c,d. On a simplement alors un iiexaèdre abcda' b' c' (l\ 
et ceci ramène an lliéorème suivant (pie j'ai donné autrefois i^lXou- 
\ elles Annales^ •SdPî P- 7'-^-) • 

5'/ /'o// se propose d^ obtenu- un hexaèdre à inierseclions en- 
planaires, ou un octaèdre à diagonales concourantes^ cir- 
conscrit à une cjuadrique ^ et inscrit à une quadrifiue ^', le 
problème, cpii jxirait être doublement indéterminé, n'est pos- 
sible que si les racines du discriminant de la. forme AÏ + S' 
vérifient la relation (5), et ce problème est alors simplement 
indéterminé. 

Ce cas particulier montre l'intérêt qu'il j aurait à résoudre les 
deux questions suivantes : 

Le polyèdre ciui correspond aux valeurs p = /\, q=: /^ dépend-il 
de 32 paramètres, ou de paramètres en nombre supérieur? En 
obligeant ce polyèdre à être circonscrit à une quadrique -, 
inscrit à une cjuadrique ^' ^^ lui impose-t-on 16 -h 16 conditions 
ou un nombre moindre"^ 

4. Si Ton remplace la quadrique ^' par une quadrique quelconque 
du faisceau ponctuel (2, 2'), quadrique ayant pour écjuation 
m^-\-^'^=zo^ les racines de la nouvelle équation en A soni celles 
de l'ancienne équation en \ diminuées de m, et ces nouvelles ra- 
cines vérifient encore la relation (6). Donc, si deux quadriques 
i] et !l' admettent des polyèdres tels que celui de la figure 2 cpii soient 
circonscrits à 2i] et inscrits à S', la même chose a lieu quand on 
remplace la quadrique S' par une (juadrique du faisceau ponctuel 
déterminé par ^ et Y! . On peut de même remplacer la quadrique i] 
par une quadrique du faisceau tangentiel déterminé par 2 et ï'. 

r^a condition (6) est celle que j'ai déjà obtenue (\ou^'elles 



- [±2 



Annales, i(jo5) pour deux cjuadriques 1 cl i]' telles (ju'jI existe 
des contours quadrangulaires situés sur i] et ayant leurs sommets 
sur 1", des contours quadrangidaires situés sur S' et ayant les plans 
de leurs anj^les tangents à 1\ 

o. Pour deux quadriques S et ï', avec des polyèdres réticulés, 
j'ai établi complètement, dans mon premier Mémoire, la condition 

(/.=:;}, .y = 3) s/^,±s/T.±....±... = o- 

je viens d'indicpicr les conditions 

( /> = 4 , ^ = 4 ) — Àt + >^2 H- >^3 -H Ai = <>, 

( F = s = 8 ) — X, — X2 + A3 H- \ = <>• 

L\jquation en A étant 

8X*-t-0X3-f-<pX2+0'A-+-û'= o, 
on a encore 

{p = :\, ry = 3) (02-45cp)2_r)4c3o'=::o, 

{7j = 4, (^ = 4) 02(02— 4ocp) +802OO'— l()rr'rr = o, 

(F = S:=8) (02— 48cp) +8020' =0; 

pour la seconde condition, on écrit que — ^r satisfait à Téfiuation 

en X; pour la troisième condition, comme on a (avec «, 6, c, f/au 
lieu de X| , . . .), 

(b -+- c -\- d — a) (c -h d -h a — b ) . . . — ^a* — •il.d-b'^ — 8 abcd, 

on a, en changeant a en — «, 

{b -^ c -i-d -i- a) {c -T-d— a — b) . . . = '^a'' — -i "HL a- b- -}- S abcd, 

de sorte que ce second produit surpasse le premier de 16 abcd : il 
faut dès lors ajouter iGo'ô' au premier membre de la condition 
(/? = 4? 7 = 1)7 et diviser par 8 |)Our obtenir le premier membre de 
la condition (F = S = 8). 

Considérons maintenant la racine carrée du polynôme 

o + 0/-i-o/2+07^-hQ7S 

soit 

A -4- B/i^ CA2-T- DA3-f- EA^-f- . . . : 



- 1:23 - 
nous iitirons 

8 = A2, 0^9. AU, tf~'i\(:-h\i-', 
0'= 9, AI) H- >tBG, - jl\K \ ?.n\) -h C2 

cl, par suilc, 

les condilions ci-dessus deviennent, en ne Lcnanl [)as corn[)le lotit 
d'abord de l'expression de o', 

G/4A*'G2— r,4A'-'o'=o, 
— J'iAMi^G -h3'2A-iB(AD-f- BC) — lihV'?: = o, 
— iGA^BG-hiGÂHAD-hliC) == o, 
ou 

d'aj)rcs l'expression de 8', on a enfin 

(p = 3, ^ = 3) AE + BD = o, 

(/>z=4, ^ = 4) '2AE-I-G2 =3 0, 

(F=S = 8) D = o. 

Ce dernier résultat se rattache à ce que l'on a vu à la fin du n" i. 



REMARQUES SUR CERTAINES QUESTIONS DE PROBABILITÉ; 
Par M. Emile Bouel. 

1. On sait que les questions de probabilité où interviennent des 
variables continues ne pcnvent acquérir de sens qu'en vertu de 
conventions précises. Comme le (ait observer Joseph Bertrand, si 
une variable x est assujettie à rester comprise entre o et i , son 
carré x- est assujetti aux mêmes conditions et la probabilité pour 
que X soit compris entre o et 4 est égale à la probabilité pour que 
x'^ soit compris entre o et |. Cela sérail absurde (') si l'on sup- 
posait à chacune de ces probabilités une valeur intrinsèque, c'est- 
à-dire définie objectivement d'une manière indépendante de toute 
convention. 

(') Voir l^oiNCAUi';, Calcul des probabilités. 8*- Leçon. 



12i — 



La convention la plus commode, au moios clans le cas où reii- 
semble des valeurs possibles delà ou des variables est borné, con- 
siste à regarder la probabililé comme proportionnelle à Vétendue : 
longueur, aire, volume, suivant qu'il y a une, deux, trois dimen- 



sions 



V la définition de la probabilité se rattache celle do la valeur 
moj'cnne; si, dans un intervalle .Z'o, ^i, on connaît les valeurs 
d'une fonction réelle /(^), sa valeur moyenne est, par définition. 






dx. 



De même, la valeur moyenne d'une fonction de deux variables^ 
cl y définie à l'intérieur d'une aire S du plan de ces variables est, 
par définilion, 

/ j f{^^y)dxdy 



Si 



dx dy 



Si une fonction /^ est connue en lout point A d'une portion de 
surface S, sur laquelle est défini nn système de coordonnées cur- 
vilignes «, i', on peut définir la valeur moyenne de f par l'expres- 
sion 

/ I f{\)oi^u,v)dudv 



SI 



H, t' ) du dv 



dans laquelle '-ù^u, v) désigne une fonction positive ai'bitrairement 
choisie une fois pour toutes. On choisira généralement '^{u^ v) 
par la condition que l'intégrale qui figure au dénominateui- repré- 
sente l'aire de S; mais ce choix n'est nullement nécessaire; il 
pourrait être parfois j)lus commode de prendre 'sp(?^,i^) = i, par 
exemple. 

Tout ce qui précède est bien connu, mais les questions de pro- 
babilité ont donné lieu à tant de controverses de mots, provenant 
simplement d'un défaut d'entente sur les conventions de langage, 
qu'il ne m'a pas paru inutile de préciser les notions dont je me 
sei'virai. Je me bornerai d'ailleurs au cas criinc dimension ; il n'y 



aurait, aiicnnc diKicullr à ('icndrc (u; (|iil siiil an cas ^(Mn'ial d'un 
ii()ml)rc (|iicl('Oî)(|ii(; de diiiicnsioiis. 

2. Une fonction J\j') csf Ur/i /tic pour toutes les valeurs de x 
comprises en lie o et i ; elle est é<:;(ile à i si x est eonnnensu- 
rahle et à o si x est inconiniensurable ; quelle est sa valeur 
moyenne? 

(^cUc qiicslion est évidcniniciil c'([iilvalcnlc à la suivanle : 

On sait que x est compris entre o et i ; quelle est la probabi- 
lité pour que X soit commensuiable? 

La réponse évidente (') aux deux questions précédentes est 
zéro. (]ette réponse peut-elle se déduire des formules que nous 
avons rappelées? Il ne le semble pas, si l'on se borne aux dé(ir)i- 
lions classiques de l'intégrale. Considérons, en elTet, une fonc- 
tion y(^) égale à o pour x incommensurable et à i pour x com- 
mensurable et une fonction F(^) égale à i pour x incommensurable 
et à o pour x commensurable^ les intégrales 



/f{x)dx, I ¥(x)dx 

«^0 



sont toutes deux dépourvues de sens; pour chacune d'elles l'inté- 
grale inférieure, au sens de M. Darboux, est égale à zéro et l'in- 
tégrale supérieure égale à un. Donc, quelle que soit la convention 
que l'on adopte, si cette convention ne fait dépendre la valeur 
moyenne que des intégrales précédentes, calculées au sens clas- 
sique, on devra attribuer la même valeur movenne -ù J\x) et à F(^). 
Or, cette conclusion est absurde, car la valeur moyenne de J\x) 
est o et la valeur movenne de F(^) est i (^). 

Mais, si l'on utilise la nouvelle définilicni de l'intégrale qui est 
due à M. Lebesgue (■'), on reconnaît que chacune des fonctions 
f{x) et F(^) est intégrable au sens de M. Lebesgue ou, plus briè- 



(') FoiNCARÉ, Calcul des probabilités, p. 126. 

(-) Si l'on n'admettait pas ce point, on pourrait observer que la soiiimc des 
valeurs moyennes de f{x) et de \^ {x) doit être égale à la valeur moyenne de 
/{x) 4- F{x), c'est-à-dire à i. 

(^) Lkbesgue, Leçons sur l'intégralion et la reclicrclie des fonctions primi- 
tives. 



— I2() - 

vcmcnt, inlcj^rahlc (\j) ol que leur intégrale (L) fournil la valeur 
correcte de la valeur moyenne ou de la probabilité cherchée. Les 
iTiélhodes de M. Lebesgue permettent donc d'étudier des questions 
de probabilité (jui paraissent inaccessibles par les procédés d'inté- 
gration classiques. D'ailleurs, dans les cas particuliers les plus 
simples, il suffira de se servir de la théorie des ensembles que 
j'avais appelés mesurables (') et auxquels M. Lebesgue a donné 
le nom de mesurables (B); l'appbcation de cette théorie des 
ensembles mesurables au calcul des probabilités a été, à ma con- 
naissance, faite pour la première fois par M. Wiman (-). 

3. Rappelons brièvement les principes de la théorie de la mesure 
des ensembles linéaires de points. 

Par définition, V ensemble composé de tous les pouits d'un 
intervalle a pour mesure la longueur de cet intervalle; ces 
ensembles sont les premiers que l'on sache mesurer; on leur 
donne le nom de mesurables. On étend ensuite la catégorie des 
ensembles mesurables à Taide des conventions suivantes : v^ la 
somme d'' une infinité dénombrable d' ensembles mesurables 
deux à deux sans points communs est mesurable et a pour me- 
sure la somme des mesures'^ 2" si un ensemble mesurable E 
contient tous les points d^ un autre ensemble mesurable F, V en- 
semble E — ¥ formé de tous les points de Y, qui n^ appartiennent 
pas à F est mesurable et a pour mesure la différence des me- 
sures de Y. et de Y \ 3'* Si un ensemble E est contenu dans un 
ensemble mesurable A de mesure a et contient un ensemble me- 
surable B de mesure p, nous dirons que la mesure de E est infé- 
rieure ou égale à a et supérieure ou égale à J^; 4'* Si l'on peut 
démontrer c/ue la mesure d' un ensemble E est, quel que soit s, 
inférieure ou égale à m -i- 1 et supérieure ou égale à m — s, 
V ensemble E est mesurable et a pour mesure m (■^). 



(') HoREL, Leçons sur la théorie des fonctions, Chap. III. 

(-) V. Wiman, Ueber eine Wahrsclieinliclikeitsaiifgabe bel Kettenbruchent- 
wicklungen {Kongl. Velenskaps Akadcniien Forhandlingar, 1900, p. 829) et 
Bemerkungen iiber eine von Gylden aufgeworfene Wahrscheinliclikeilsfrage 
(Liind, 1901, Hakan Ohlssons Hoktryckeri ). 

(^) L'introduction explicite et générale de la convention !\" est due à M. Le- 
besgue; j'en avais fait usage dans un cas particulier, sans l'énoncer {Leçons sur 
la théorie des fonctions, p. 67). 



- 127 - 

(^.('s (!()nvcntions [)crniol,lont do conslriiirc (!<• proche en proche 
des ensembles niesiirahles, en nombre infini, dont, on se Iroiive 
connaître la mesure |)ai' I(mii* eonstruelion memr;; elles ne donneiil 
pas immédialemeni ihkî méthode simple pour h; caleid (ie la me- 
sure d'un ensemble donné, au cas où il est mesurable; uu(î telle 
mélhode résulte des recherches de M. Lebesgue. Mais, pour l(;s 
applications (\uc j'ai en vue, il m'a paru [)référabbî de rester à 
mon point de vue primitif; celui de M. Lebesgue doit, dans d'autres 
questions, être choisi de préférence. 

Rappelons cpie le point essentiel, dans la théorie de la mesure, 
consiste à démontrer que les définitions et conventions précédentes 
ne conduisent jamais à des conlradictions. Il est inutile de re[)ro- 
duire ici cette démonstration. 



4. Considérons une variable x assujettie à rester comprise 
entre o et i ; soient E un ensemble mesuiable de points compris 
entre o et i et ni la mesure de E. Par définition, la probabilité 
pour que x appartienne à E est ni et la probabilité pour que x 
n'appartienne pas à E est i — m. 

Si E est l'ensemble des valeurs commensurables, on trouve 
immédiatement /n = o, ce qui donne les résultats énoncés plus 
haut. 

Traitons un cas un peu plus compliqué. 

Nous dirons qu'un nombre a compris entre o et i est commen- 
surable aux unités près du /^'^"'« ordre s'il existe deux entiers pre- 
miers entre eux p et q, tels que l'on ait 



(0 



q/i' 



>.. 



p <q. 



Quelle est la probabilité pour que x, assujetti à être com- 
pris entre o et i, soit commensuiable aux unités prés du 
i^ième ordre ? 

A chaque fraction irréductible -? faisons correspondre l'inter- 
valle 






P_ 
'1 



T 



P 
(1 



I 



sa longueur est — ; la longueur des intervalles analogues pour une 



— 128 — 

valeur donnée de q est 

•Jt ^ ( 7 ) 

en désignant par '^{q) le noml)re des nombres premiers à <^ et in- 
férieurs à q. 

L'ensemble E^"^ des points distincts contenus dans les ensembles 
YJ^'l) est évidemment mesurable; sa mesure e,i est inférieure à nin 
en posant 

y ce 

9 






7 = 2 



La série est convergente pour /i >> 2 ; si n = 2, on sait, en efi'el, 
que tout nombre a satisfait d'une infinité de manières à l'inéga- 
lité (i). En supposant n au moins égal à 3, la série jn,i est conver- 
gente et a une valeur visiblement inférieure à i , car on a 



et 



<i. 



Si l'on convient, lorsqu'un nombre incommensurable a vérifie 
l'inégalité (i) pour plusieurs systèmes de valeurs de p et de q^ de 
lui donner un coefficient égal à ce nombre de fois ( '), nous pour- 
rons dire que la probabilité pour que x soit commensurable aux 
unités près du n^^"^^ ordre est précisément m,i', mais, si Ton ne 
lait pas cette convention, la probabilité est <?« < //i« ; il est aisé 
de calculer e,i avec autant d'approximation que l'on veut; il n'est 
peut-être pas possible de l'exprimer en termes finis au moyen de 
nombres algébriques ou de nombres transcendants usuels. La 
probabilité pour (jue x ne soit pas commensurable aux unités 
près du n^^'""' ordre est i — Cn- 

5. Dans une prochaine Note, j'indiquerai des applications des 
remarques précédentes aux problèmes les plus simples qui se 
posent dans les reclieiclies de Mécanique et de Physique mathé- 
matique où intervient le calcul des probabilités. 

(') Ot» est ainsi coiuliiiL à donner à certains a un coefficient infini; le fait que 
la probabilité reste (inic doit èlre signalé. 



- \±) 



SUR LES SOLUTIONS 

DE CERTAINS SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES; APPLICATIONS 

A UN SYSTÈME HYDRAULIQUE DE // RÉSERVOIRS; 

Par m. Eu. Maillet. 
I. 

[nTHODUCTION et llÉSUMl':. 

j'ai éliidié ailleurs (') les variations des débits des systèmes de 
réservoirs cyliridriques miifjis d'orifices (ajutages ou vannes) ou de' 
déversoirs (ces derniers non noyés) de communication. 

Je reviens ici sur cette question en discutant des cas plus géné- 
raux, particulièrement pour n réservoirs munis exclusivement de 
déversoirs non novés. Je trouve encore dans ce dernier cas une 
famille de solutions simples asymptotiques à toutes les solutions, 
même quand on regarde comme légèrement variables avec la 
charge, conformément à l'expérience (Poncelet, Lesbros, Ba- 
zin, etc.), certains coefficients qui entrent dans les formules du 
débit des déversoirs. 

J'indique en même temps des systèmes d'équations différen- 
tielles non linéaires corrélatifs ou plus généraux dont on peut 
trouver au moins une solution particulière simple dépendant d'une 
constante arbitraire et qui est parfois encore asymptotique à toute 
une catégorie de solutions. 

II. 

Exposé du problème. — Je considère n réservoirs cylindri(jues 
de surfaces S<, ..., S,^ ; par hypothèse, S/ (i = i , 2, ..., /i) pos- 
sède des déversoirs superficiels non noyés dont la crête est hori- 
zontale, à un même niveau yi pour S/, si S/ en a plusieurs. Les 
eaux issues de S^ alimentent un ou plusieurs des réservoirs 

(') Comptes rendus de l'Acad. des Sciences de Paris, i3 mars 1905. 
xxxiri. 9 



- 130 — 

S/+,, . . ., vS// et peuvent aussi se déverser en partie à l'cxlérieur ('); 
S,i se déverse à l'extérieur. 

Soient Y,, ..., Y,^ les niveaux respectifs des /t réservoirs à 
Tinstant t; je suppose toujours 

quand S/ alimente Si^j, de façon qu'aucun des déversoirs ne soit 
noyé. 

Pendant le temps dt^ le réservoir S/ reçoit de S,, ..., S/_, des 
quantités d'eau 

certains des coefficients ciij pouvant être nuls; il perd par ses 
déversoirs propres 

D'après l'expérience (-), r//,, ..., an sont peu variables quand 
Yi, ..., Y,t varient dans des limites étendues, les déversoirs ayant 
des largeurs constantes; je les supposerai constants; au surplus, 
des variations convenables, légères, des largeurs des déversoirs 
avec l'épaisseur des lames déversantes, permettraient d'assurer, je 
pense, la constance des rt/y, ou à peu près. 

J3onc 



Je pos 



e 



1 



(0 "y=(Y,-ry)^>o, 

Uj étant ainsi proportionnel à la vitesse moyenne sur la crête (ou 
au voisinage) des déversoirs corrélatifs de Sy, et j'obtiens, pour 

(') Celle dernière hypolhèsc pourrail èlre laissée de côlé, car il suffit, pour 
qu'on puisse le faire, d'ajouter un dernier réservoir auxiliaire il assez bas, 
recueillant celles des eaux des autres réservoirs qui pourraient se déverser à 
l'extérieur. 

(■-) Voir CoLLiGNON, Hydraulique, i" édit., i88o, p. 148, Paris, Dunod ; ou 
encore VHydraulique de GraelF, t. II, ou celle de M. Flamant, 1" édit., 1891, 
p. 108; aussi les Ménioir'es de M. Bazin dans les Annales des Ponts et Chaus- 
sées. 



- lin — 

(lélinir le inouvrnirnl, les rf|u;Ui()iis difloronlicllcs 






('^•) 



(hii 



■>■ Ui -^} = X/i u] H- ... H- X/,/ 1 m;* , - X;/ w ■ 



où les \ij sonl ^. o et ^a^ o. 

Il est bien cnlcndii que certains dos X/y, ([iiand i^j\ et mémo 
tous, peuvent être nuls pour chaque valeur de « ( ' )• 

Le schéma ci-contre indique la distribution correspondante 
des communications hydrauliques quand n = /\ et que tous les A 
sont ^ o. 

Fis. I. 




Solutions simples ni== 



P; 



a 



— Le système (2) est compris 



(') Des analogies ne sont pas impossibles dans la nature, chaque réservoip pou- 
vant être constitué, par exemple, soit par un lac souterrain, soit par un banc de 
calcaire très fissuré horizontalement et verticalement, où les communications sont 
assez faciles pour que les variations de niveau d'eau s'y fassent sentir rapidement 
à chaque instant. Des nappes d'eau de cette nature existent probablement dans 
le cran, sorte de craie tulTeau blanche et fendillée, qui ne présente pas de grosses 
masses compactes (à Venette, près Compiègne, village situé à 600"" environ du 
barrage de Venette, sur l'Oise, lors de la mise en chômage de la rivière, les puits 
se vident en 24 heures et reviennent au niveau primitif dans le même délai quand 
le chômage cesse). 

Soit un massif calcaire (ou autre) étendu, où toutes les fissures et toutes les 
poches communiquent très vite au point de vue hydraulique, et supposé limité 
par des plans presque verticaux sur une certaine épaisseur. Il pourra jouer le 
rôle d'un réservoir à peu près cylindrique : il suffira pour cela que la proportion 
du vide au plein dans chaque tranche horizontale soit à peu près constante, ce 
qui n'est pas invraisemblable, au moins pour la partie du massif qui ne serait 
pas constamment noyée et qui n'a pas besoin d'avoir une grande épaisseur, une 
dizaine de mètres au plus. 

D'autre part, on peut encore songer à traiter le cas où le dernier des réservoirs 
ne se vide pas à Textérieur et est rempli par les autres. 11 suffira d'ajouter aux 



— 13-2 - 
dans le syslèinc plus général 

dui ., -, / • 

(|ui admet la solution 

Pi / X 

(A) Ui— — ■ (Pi, a consliintes), 

les 0/ étant déterminés par le système d'équations 

^- p;^ == |aapî+...-i- \Mn9l- 

Ce dernier système a, dans des cas étendus, au moins un sys- 
tème de solutions réelles, car si l'on se donne les p/ et /?(/i — i) 
des quantités ui/y, les n autres se trouvent déterminées, pourvu 
qu'une seule de ces ii autres figure dans chaque équation. 

Dans le cas du système (?.), 

— 2p? = Xii p? + . . .+ X,-,/_-i pj_j — X//p;?, 
ou 

Xiipi= 2, 

??-, ) = o. 
L'é(juation générale (5) admet toujours une solution positive 

n réservoirs considérés, dont le mouvement continue à être régi par (2) et a les 
mêmes propriétés, un (/i-hi)'*'"° réservoir de niveau Y„_j., croissant. On pose 

Y„+i = W/z + l» 
et l'on a Téquation difTérentielle supplémentaire 

dY „,, ^ T -v T du .. 

-^ =-- K^^,x wî +. . . + X,„.,,„ u^, = 1 ^^,,, —If 

à ajouter aux équations (2). Quand Wp ..., u,^ sont de la forme 

^' (i = I, 2, .. ., «), 



(5) 

' X//?/ — 2 p^ — (X/i pf + ... -1- X/,/_i pj_, ) = o. 



a-Jf t 
d\ 



évidemment positif : c'est la valeur asymptotique de Y„^i pour toutes les condi- 
tions initiales du système correspondant à un même volume total contenu dans 
les réservoirs, d'après ce qui est établi plus loin. 



— IXi — 

p/> (), cl imc seule, fonction de p,, ..., p/ , ; a reste arbitraire, 
et le système de n'-servoirs est toujours snse(;|)til>Ie des mouve- 
ments définis par (4) (*t (;")). Ces mouvements ne sont pas d'ailleurs 
distincts au fond, car changer la valeur de r/ revient à clianj^er l'ori- 
gine des l(Mnps, et, de plus, les diveises (pianlités — -^ ? pour une 

même valeur dey, sont toutes asymplotiques à l'une d'elles, le 
rapport de deux cpiclconcpies tendant vers i (piand / croît indéfi- 
niment. 

Stabilité de la solution ifi^= —^ — —Je vais établir que toute 

solution du système (2) est asjmptolique à une des solutions (4) 
et (5), pour Iac[uelle la valeur de a est déterminée par le régime 
du premier réservoir S|. 

Cette propriété est vraie quand n = i : j'admettrai qu'elle le 
soit pour les / — 1 premiers réservoirs, et je vais la démontrer 
pour i', autrement dit, j'admets que, lorsque t est assez grand, 

H/(a ^ t) , ' ^ • 



(yS^-i) 



<'j 



diffère d'aussi peu qu'on veut de l'unité, et je vais établir qu'il en 

est de même pour ui 

Je pose 

(6) ui= u^Zi (t = I, 'i, . . ., /i, ^1 = i), 

diii = iii dzi-\- Zj diix . 

D'après (2), 



dt 



X 1 1 " ï A/1 « •/ -H ... -H X /, /_ 1 II l_ j — À a Ifj 
dui z,( iiidz,-^ Zi dui) 



(7) 



'Ml A/i -T- A/2 .ô^ H- ... H- A/,/_ 1 z-_ j A// Z- 

dui ( lit z'I — Xa — . . . — X/,/_i ^3_j _ Xjj ^2 ^ — \^^n^ ^. ^/2/, 

— itx dt dux ^1 ^^i 



2 XiiWi Xà-:;;?— Xii 2? — (Xa +..•-+- A,-,/_i^^_j) 

Je pose 
(8 ) yj(z,) = laz} — ln^j-{hi + h'>^-^----^'^^fJ-y-li)- 



L'cqualion 



134 — 



X./(-'-) = o 



possède une et une seule racine positive Ç,^ o fonction de z^j •••, 
Zi^i (les Zj sont ^o). On sait fjue, quand t croît indéfinimcnl, 

z.y, ...,Zi A ont pour litnitos ^, —, •••» lL:!; hélant suffisamment 

-' ' ^ Pi pi pi 

grand, z-y-, ..-, ^/-i sont aussi voisins qu'on veut de ces limites; 
Ci est aussi voisin qu'on veut de la racine positive >> o unique de 



lU de 



>w7-?— >Mi-J j(>^/iPi+.-.+,>v,i-ip;^i) = o, 



hiP\^') — 2pf Z^ — (X/i pî +. . .+ À/,/_, pj_j ) = o, 



dz,- 



laquelle est — > d'après (5). 

D'après (7) et (8), quand ^/>>Çj, ^ est négatif et c/ décroît; 
quand ^/< Ç/, —r^ est positif et zi croît : ^/ reste limité et >> o, 

quel que soit t fini. 

Je dis que, quel que soit l'intervalle de ^2 ^^ ^j? quand /^i P"''' 
^3 — ^2> sont assez grands, il j a une valeur tr, de / au moins, avec 
^:,^ ^',= ^2j pour laquelle | '/i{^i) I est aussi petit qu'on veut. 

En effet, je suppose que, dans cet inteivalle, |'//(^/)| reste 
>> B, (B, positif fixe). D'après (7), 

dzi iii 



dt 



'2 -i a -T- t 



et^Zi -p conserve un signe conslant : ^ 



l(z?)i;^'èB,p,iog 



a -h ts 



a + t:. 



'and 



On sait que Zi reste limité, alors que log ' ^' est aussi gr 

qu'on veut quand ^3 — t.y est assez grand : on est conduit à une 
absurdité. 

Je considère maintenant ce qui se passe à partir de l'instant ^', , 
et je suppose que, à un moment quelconque ultérieur, Zi vienne à 



— i;{:) - 



(lifïV'iHîr (l(^ — (ruiKî (Miiinlilr (ixc s arhil liiircî 



t cliinl Mssc/ i;i;ui(l, 



?i 



?i 



Pi 



si Zi — — ^ o, 3/>' s/ ^l) (raprcb (7), -3/ dccroîl; si zi — '- << o, 

pi pi 

Zi<^'Ci cl, d'après (7), zi croît. A chaque instant, zi ne peut diC- 
fcrer de î^, de plus de s en plus ou en nioins. 

^2 et /;{ étant pris assez grands, £ j)eutêtre pris aussi j)clit qu'on 

veut; donc :;/ a |)our llniilc ^- c. q. y. d. 

pi 

Remarque. — Si, à un instant quelconque du mouvement, 
on a 

^~Pi 
pour y = I, 2, ..., /, U\ étant forcément de la forme -~-y en 

vertu du théorème de (^auchy sur l'unicité de la solution du sys- 
tème (2) ou des / premières équations de ce système correspondant 
à des valeurs données des Uj à un instant donné, le mouvement sera 
entièrement défini par (4) et (5) pour les i premiers réservoirs. 
Pour les autres, la solution est encore régie par (6) et (-). 

Systèmes de réservoirs avec régime propre permanent. — 
Chaque réservoir d'un pareil système reçoit simultanément de 
l'extérieur des volumes d'eau (provenant de pluies par exemple) 
a-. S,, ..., a-,iS,i sensiblement proportionnels, en sorte que 



^2 
^1 



/<2, 



— = h 



sont des nombres à peu près fixes pour toutes les venues d'eau. 
Le système sera dit posséder un régime [)ropre permanent si l'ar- 
rivée aux réservoirs de ces quantités, au moment où une des solu- 
tions asymptotiques simples est réalisée, a seulement pour cllct. 
après une courte j)ériode troublée, que l'on néglige dans le cal- 
cul, de rétablir une solution asymptotique simple. 



— i;i() 



l\)Lir un rt'îscrvoir unique (/i.:= i), la réponse esl loujours n((ii- 
malive. Je ])rends n quelconque : les niveaux deviennent, après 
chaque venue d'eau, si le régime propre perinanenl est possible. 



7-1-^1^'^ /^// .., (/il = i), 



Cl l'on en conclut sans peine que la condition nécessaire et sufii- 
sante est 

P? 

Les équations précédentes se réduisent alors à une seule (jui [)er- 
niet de calculer a'. 

On voit que, pour n^ 'i^ les systèmes de réservoirs en question 
sont des systèmes particuliers quand les /ij sont donnés. Un sys- 
tème de réservoirs quelconque est susceptible d'un régime propre 
permanent pour un système de valeurs des /iy, c'est-à-dire, si les 
venues d'eau sont dues aux pluies, pour une répartition con- 
venable des pluies sur les bassins versants. Mais, dans de plus 

larges limites, si les hj ne dilïèrent pas trop de -^j les choses se 

Pï 
passeront pratiquement, au bout d'un certain temps après chaque 

venue d'eau, à peu près comme s'il y avait un régime propre per- 
manent, grâce à l'existence des solutions asymptotiques simples à 
toutes les solutions. 



111. 

Cas oit les \ij sont lé gèicment variables. — On sait^ d'après 
de nombreuses expériences (Poncelet, Lcsbros, Bazin, etc.) qne, 
si les déversoirs sont supposés avoir une largeur constante, les 
coefficients «//, par suite les coefficients A^y, dans (2), seront lé- 
gèrement variables (') avec les Y/ — yi ou les «/. On peut se 
demander dans quelle mesure les conclusions précédentes se 
trouvent altérées de ce fait. 



(') Assez souvenl dans la proportion de {.^ à Jy ^le leur valeur moyenne en plus 
ou en inuins dans les limites des expérienees. 



- i;{7 — 

J'admcllrai <|ii<', dans les llinilos où vaiic ///, les (•ocKicicrils ).,7, 
A/.J.,,,, ..., A,//7 'I'" sonl Confiions do /// s(;ul, restent positifs, 
liniilcs suj)éri(îur('ni('nt(;t inférieuremrnl, et tendent, s'ils sont p^o, 
vers des limites Hxes > o lorsque ui tend vers o. 

La première étpiation (2) donne 

2 du, 

d( = - . '-, 

kixu{ 

où A,, est fonction légèrement variable de «, ; 

t = — 1 / , — - , 
J '^11 wi 

et Ux décroît quand / croît ;).|, restant toujours compris entre cer- 
taines limites finies >> o, on pourra écrire t — /^ = M ( ^)> 

\U{ '* 1 / 

où M est positif et compris entre les deux valeurs extrêmes de ^— 

* Au 

pour I^Iq'. il en résulte que u^ tend vers zéro quand t croît indé- 
finiment. 

Je dis que, si \\^ est la limite de Xn pour w, = o. M tend vers 

Pi = rÇ- quand t croît indétiniment. 
' a; 1 ^ 

En efiel, t^ étant suffisamment grand par rapport à ^o, 

\Uy U\^ J 

OÙ u^^ est aussi petit qu'on veut et | M< — g,|<<c, s étant un 
nombie fixe aussi petit qu'on veut; 

,_,„=(,_,,) + (,,_,„, = M,(i--^) + M'(^-^). 

tx étant fixé comme il est dit ci-dessus, M' est fixé, et il en résulte 

INI 

que, quand t croît indéfiniment, «, tend vers o et ^ vers l'unité; 

quand t est assez grand, on a 

I M - M. |< £, I M, - p, I< s, 1 M - p, i < '2s, 

c'est-à-dire que, quand / croît indéfiniment, IM ne peut diflerer 



1 1 



— 138 — 
de Pi (Je plus de 2c, si petit que soit£, et a pour liinile r-j— = p. 
Dès lors, quand / est assez ^rand, 

I I t — ti) 

et, (i étant fixe et arbitraire. 

Pi _ pi , t — ^0 



ui{a-^t) {a-{-t)u\^^ U(a-r-t) 



pi 



a [)our limite l'unité, quel que soit<^/, quand / croît indéfiniment. 
Ceci établi, je considère le système qu'on déduit de (2) en rem- 
plaçant les Xij par leurs valeurs limites A^y pour f^,, . . ., a,i ten- 
dant vers zéro : 

(2 bis) 111'. -^ = a;, "!+•••-+- M,^-iW^,—>v.«?' 

et le système analogue à (5) correspondant à (2 bis) 
(5 bis) 



x;,Pi = 2, 



D'après ce qui précède, je sais que, cpiand n =. \ ^ il existe tou- 
jours une solution de (2 bis) telle que 

Ui iii{a -\- f) 
u\ pi 

V 

diflere d'aussi peu qu'on veut de l'unité pour toutes les valeurs de ^ 
supérieures à une limite assez grande. J'admettrai alors cpie, ])()ur 
les valeurs de t analogues, 

ujia^ t) . 

?J 

diflere d'aussi peu qu'on veut de l'unité. Je vais établir (pi'll en est 
de même pour 

iii{a -\- t) 

p7~ 

La transformation ((3) conduit encore aux équations (■-) et (8). 



— i:{<) — 



( hiaiid / croîl indcUininicnl , :;.,, . . . , Zi_i onl pour limites ^-> . . . , 
^- cl(Herniii)('s par (5 his), cl, (niand / (;sl assez f^rand, la racine 

^,> o de '/i{zi) = o est aussi voisine (ju'on veut de la racine [)<)- 
silive unicjiie Ç" > <> (le 



(<)) 



>^//pî^;'-'^p?^j-(>v,p?+----+->v.«-iP?-,) = "' 



car Xh, . .'. , )v/^/ , ne dépendeiU que de /^i, . . ., Ui_i cl sonl aussi 
voisins qu'on vcul de X|, , . . ., ). • , , quand ^ esl assez grand. 

A,7 élanl toujours fini et ^ o, ÇJ est limité. 

On peut d'ailleurs prendre encore ^,, puis /;, — /^ assez grands 
pour que \'/i(zi) \ devienne aussi petit qu'on veut pour une valeur 
de t^ comprise entre /2et/., ; à ce moment, :;/ est aussi voisin qu'on 

veut de ÇJ. Or Zi=^ --? et Ui est aussi petit qu'on veut; donc 

aussi m. Par suite X// est aussi voisin qu'on veut de sa limite l'--, 

et C- aussi voisin qu'on veut de -• 
' T pi 

Ceci posé, que se passe-t-il à partir de l'instant r, ? Si, à un 
moment quelconque ultérieur, z-i vient à dlfTerer de — d'une quan- 
tité finie positive arbitraire, 



pli 



t étant assez grand, et £ modéré, iii est encore aussi petit qu'on 



s/ 



pi 



est -< £, 



veut, \ii diffère de X-- d'aussi peu qu'on veut, et 

Dès lors, si zi — ^^ > o, ^/>Ç/ : d'après (7), z-i décroît; si 

pi 

Zi — — << o, Zi<C îi • d'après (7), Zi croît. A chaque instant, ;:ine 

?i 
peut ddférer de "Ci de plus de £ en plus ou en moins. 

t.2 et ^3 étant pris assez grands, £ peut être pris aussi petit qu on 

pi 



veut; donc Zi a i)Our limite — 



C. Q. F. D. 



Finalement les conclusions sont les mêmes que dans le cas où 



les l.ij sont constants. 



- 140 — 



IV. 



Systèmes de /?i H-/?2 4- • • • + Pu réservoirs avec déversoirs. 
— Au lieu de S, , je considèrey?, réservoirs cylindriques de sur- 
l'iices S^,'\ ..., S'/''', formant vin groupe S,, ..., au lieu de S/, 
fi réservoirs cylindriques de surfaces S\^\ . . ., S^^''* formant un 
groupe S/, ...; de façon que chaque réservoir du grou[)e 2/ 
(i = ij 2, . . ., n) possède un ou une série de déversoirs de crête 
arasée au même niveau pour chaque réservoir et que ses eaux 
aillent, dans une proportion quelconque, alimenter les réservoirs 
des groupes ^/^.i, ..., S,;, ou même se déversent en partie à 
l'extérieur. Je supposerai que le niveau de la crête des déversoirs 
de chaque réservoir est supérieur à celui des eaux des réservoirs 
qu'il alimente, autrement dit que les déversoirs ne sont jamais 
noyés. 

Pour la commodité du raisonnement j'ajoute un dernier réser- 
voir R de niveau inférieur aux crêtes des déversoirs de tous les 
autres, recueillant toutes les eaux que les autres déversent à l'exté- 
rieur, et les laissant échapper par un déversoir unique à crête ho- 
rizontale. Puis je pose 

s, — S(i) s — s*/'"' 

'5/>,-^...-+-/^•^-l— ^^-4-1? '•'•) '^/'i-H-..-+-/'i + p.+i — "^Z+l 1 

S/),-f- ,. + /)„-i-l = r»- 

On remarque'alors que le réservoir Sy alimente exclusivement 
un certain nomhre des réservoirs Sy^,, ..., S^,^+ ^^,^.^,. On se 
trouve donc dans le cas traité précédemment, qui est ainsi très 
général. 

Systèmes de réservoirs avec orifices de fond ou latéraux. — 
Au lieu de supposer que la vidange se fait par des déversoirs, on 
peut supposer qu'elle se fait par des orifices (vannes, ajutages, etc.). 
Chaque réservoir étant muni d'orifices non noyés dont les centres 
de gravité sont au même niveau pour un même réservoir, on peut 

raisonner comme pour établir les éf[ualions (2), (Y/ — yj)' étant 

i 
remplacé par (Yy — y j)' - On est conduit à un système d'é(|uations 



-- lil — 

dillcrcDlidlcs compris dans l(;s sysl(\'nu's 

(io) "'7/7 "^ '-"'i"* \-...-h [XJ^^Un ('). 

Systr/ncs de réservoi/s avec un nombre (/uelconr/ne d^ orifices 
noyés ou non ou de déversoirs. — Les réservoirs sotil cylindii- 
qucs, les déversoirs ont lenr erèle horizontale et ne sont pîis noyés. 
En prenant encore comme (onctions à déterminer ui des qnantités 
proportionnelles aux vitesses (moyennes) à travers cliaque orifice 
ou cliaque déversoir, on obtiendra un système de la forme 

iCtlll . ^ ^ 3 , . "î 3 

Ui —j- = Ail "i + . . • + f^ip Up -H 'u,p+l lf'})+i -!-...-!- Aiq Uq 
(It 

Dans les seconds membres, les termes linéaires proviennent des 
orifices, les termes cubiques des déversoirs. 



V. 

Indication de problèmes analogues. 

i'' Théorie de la chaleur. — Si l'on se reporte à la figure de 
la page i3i , on pourra supposer que S,, So, . . ., S« sont des corps 
conducteurs à températures T,, l'o, ..., ï,i communiqjiant, au 
point de vue calorifique, par des fils de dimensions négligeables, 
de façon que le corps S/ ne fournisse de la chaleur qu'aux corps 
S/^i, . . ., S//. On pourra supposer, ou non, négligeables les pertes 
par le milieu ambiant; T ,i communique ou non avec un corps à 
tem[)érature fixe Tq. A une première approximation, les échanges 

(') l^ans le cas de n = 3, les systèmes (3) et (lo) s'intègrent par des quadra- 
tures. 

Exemple. — Dans le cas de (3), on a 

~ H-ll "l + V-n "2 ~ H-21 "î + 1^22 "» ' 

on est ramené à une équation différentielle homogène, puis, par le changement de 
variable «2= "i^> ^ <ies quadratures. 

Le système (10) peut admettre une solution linéaire réelle u-= P.(«-H t) dé- 
pendant d'un paramétre arbitraire a. 



- Ii2 — 

de chaleur pendanl le temps dt d'un corps à l'autre étant propor- 
tionnels aux différences de température, les équalions différen- 
tielles seront linéaires et à coefficients constants. 

2° Tliéorie des gaz. — On pourra supposer cpie S,, S2, . . ., 5,^ 
sont des réservoirs d'air ou de gaz comprimé ou raréfié qui com- 
muniquent dans des conditions variées (écoulement isotherme ou 
adiabatique). Je n'insiste pas ici, comptant revenir sur ce pro- 
blème. 

3° Equations différentielles; systèmes plus généraux. — On 
peut considérer les systèmes plus généraux que (3) et (10) 

(f = 1, 7., .. ., «)• 

Je cherche une solution 

diii 

ç,k^isi{a 4- tycs^-is-i ^ ( j^., p'» + . . . -I- [jt,v, p;f ) (a 4- 0'"' ; 

je prendrai 

ks -+- ts — / = sm, 

5(A -f- / — ;?i) = /, 

ce qui est toujours possible quand k -\- ly^ni. Les p/ sont alors 
déterminés par 

pJ-+^5/= jx/i p',"-f-. . .-h \i-in9a {i = r, -^ . . ., n), 

ce (pii est toujours possible pour une infinité de s3-stèmes de 
valeurs des a/y, quels que soient /{, /, ni (A" -j- / — jji^o). La 
solution trouvée dépend d'une constante arbitraire a; A", /, /n 
peuvent être fractionnaires ( ' ). 

( ' ) Le système 

"î^:f;'--::;)=(^')' ^'■=-' "' 

où o- est une fonction de — > • • •> -^> comprend comme cas particuliers les sys- 
' ' u. u, 



— W.i - 
Si k -\- I :=. ntj nn clK^rclicia une. soliilion ///= p/r»'^' : 

(:c(|iii condml à mu; ('(jualion de (Kî^ré // en 7/ cL domic, cri ^('lie- 
rai, ni valeurs de a. (^nai)d /=i, le (dianqcmciiL de variables 
?//"= «Vf condiiiL à un système d'c(ju;»Li()ns linéaires à coenicieiils 
constants. 

On peut montrer (juc, pour certains des systèmes difTérentiels 
précédents, comprenant les systèmes (2.)^ les solutions simples ci- 
dessus sont asymptotiques à une catégorie de solutions. J'envisage 
les systèmes de la forme (') 

X i ^^? ^ = ^'1 < + • . . + >^/,^-- i ^r , - >V./ iK" ^ 

(2 ter) '. ' dt ^ i i / 

{ m > o, /x > o, m — k — i > o, X,y^ o, X,,> o, 
qui sont analogues à (2). D'abord, on a la solution 

avec 5 = -, << o, 

/v -h I — m 

pi'^i s = - Xn p'/S Pi^'-"' = - >^n(/>: H- i - m) > o, 
ou 



tèmes ci-dessus et donne lieu à des remarques analogues qui, y?ei^^ê^7-e,'n'ont pas 
encore été indiquées; en posant 

1° Pour / ^ 9, 5 r^ 5 on obtient une solution 

l — U 

u-= pi{a-h t)% 

a étant une constante arbitraire et les o- déterminés par n équations compatibles 
dans des cas étendus; 

2° Pour / = 0, on obtient des solutions 

a et les rapports —, ..., — étant déterminés par n équations compatiI)les dans 

Pi Pi 

des cas étendus; chaque solution renferme encore une constante arbitraire. 

(') On pourrait aussi prendre pour variables u-^^ = (v,. 



— lii — 

Ce syslème a toujours un système de solutions ^ o el un seul 
Le ehangement de variables 

{6 ter) Ui= uiZi (i = i, ■?.,..., n, Zi = i) 

donne 

dui= u\ dzi-\- Zi dui^ 

du I u /' dif / ( Ui dz / -h s I du / ) u '\ z / 



dt 



dui z} ( iix dzi-\- z,- dui ) 

du, [inz'l'- In ^T' — (X/i + ■ . .-+- X/,/^,^;« j )] = Xm Ux z) dzi, 

... /. , 7 du\ zf dz,- 

(7 ter) — uf-'--^ dt = ' 



Xn«i hiz'?'-'knzf^^-0.n-^-^h,i-i^^'^,) 



Je suppose les valeurs initiales des Ui positives >> o. 
D'abord, h, étant positif ainsi que u^^, —,- décroît, et 



{m — 



X:-OA,i [«'» /^-i (w«)'"-'t-ij ^ '" 



dz 
montre que u^ tend vers o quand t croît indéfiniment. --— croît ou 

décroît encore suivant que z-^ positif, est inférieur ou supérieur à 
la racine positive unique Çi\> o de 

yj{zO = hizf-Xn^f''-(hx-+--..-hh,i~iZ';^^); - 

Ci est fonction de ^2? • • -j -^i-i • 
Or 

q/h-A-1 

' a-h t 

(4 ter) Ui = ^i-— 



On admettra encore que 

uj= ^- ^ ^ (y = i,'2, ..., t-i) 

soit une solution asjmptotique des «' — i premières équations (2 ter); 



ii:; — 



Zi ,, ..., r, sont iMissi voisins (lu'ou \ (Mil (le '---7 •••>'- (l(';s (luc / 

pi ri ' 

est asscy, «^i-aiid ; z,- rcslc limih'. 

Coiniuc dans le cas où /// = .'-), /r r= i , si | '//(^<) | > '^i ('^i fixe;) 
quand t est compris cnlrc /o cl /;, ass(;/- ^lands, 






n^U'l' /• 1 :r. h, iîi 



/;/ /■ 1 



a -Jr t 



d'où rcsnlu^ une ahsiirdilc. On voil finalement (jiic z-i a ponr 
limite — quand / croit indéfiniment, et l'on conclut : 

Pour m cl A > o, m — k — i >> o, À/y^o, A/^ >- o, les solutions 
des équations (:>. tcf) dont les valeurs initiales sont toutes posi- 
lises >> o so/it asymptotiques à une solution de la famille de 
solutions 



Ui = 



(f = I, 2, 



Jl), 



/> ~ 1 



{a-\-ty 
les Pi étant déterminés par (5 ter) et ;> o ('). 

Enfin, si, pour une valeur initiale de t c[uelconquc, les Zj sont 

égaux à — , . . ., Li quand y = 2, ...,«, les U2, • • -, iti seront, (picl 

que soit t, de la forme ( /j tc/-)^ toujours en vertu du théorème de 
Cauchj. 

Je me dispense d'examiner le cas plus général où les A/y (J ^ i) 
varient légèrement avec Ui (i = \ ^ 2., . . ., n) : il est hien [)roljable 
que les résultats trouvés quand m = 3, fi =z i subsistent. 

(') Il resterait à examiner et à cliscuLer le cas où certaines des valeurs initiales 
(les w, sont négatives. 

On voit, par tout ce qui précède, rinlérèt que peut préstjnter la connaissance 
d'une solution particulière simple d'un système d'équations dillerentielles; si l'on 
peut établir que toute une catégorie de solutions lui est asymptoti(iue quand la 
variable t croit indéfiniment, dés que t est assez grand, on a une idée approcliée 
de toutes ces solutions. 



WXIII. 



10 



- liG - 

NOTE AU SUJET DE LA DÉVIATION DES GRAVES DANS LA CHUTE LIBRE: 
Par M. le Comle de Sparre. 



J'ai, clans une Note précédente, donné les équations du mouve- 
ment relatif à la surface de la Terre supposée spliérique. Dans une 
Communication, présentée à l'Académie le 23 janvier, M. Maurice 
Fouché a fait remarquer que, si l'on suppose que la surface de la 
Terre est une surface de niveau pour la pesanteur^ la déviation 
dans la chute des graves est la même pour la cliute dans un puits 
que pour celle du haut d'une tour, contrairement à ce qui a lieu 
dans le cas de la Terre supposée sphérique. Le fait est exact, mais 
M. Fouché a, dans le cours de sa démonstration, connnis une 
erreur sur le sens de la courbure des lignes de force. Je ciois 
donc qu'il ne sera pas sans intérêt de donner une autre démon- 
stration du même fait. 

Pour établir la formule que j'ai en vue je me servirai d'une 
formule due à Bertrand, mais dont je crois utile de donner une 
démonstration directe, pour mieux faire saisir ce qui a trait au 
sens de la concavité. 

Soit une première série de courbes S, S^, S^, ..., et leurs tra- 
jectoires orthogonales C, G| , Cj, .... 



Fis:. I. 




Considérons deux courbes infiniment voisines de chacun des 
deux svstèmes S, S,, C, C,. 

Soient Q, (),, P, P, leurs points de rencontre. Soient, de plus, 
PD et PB les tangentes en P à S, et C, P,, H la tangente en P, à S|, 



— 147 — 

P,1U cl (}l)AEn (l(^s pnrnllrlrs nicnccs par P, ri O à VI) oi PH. 

l/an^lc (le (M)nlin<;cnco f/^i de la cou il x' (1, csl ('^al à Al*, II, de sorlo 
(|ii(' l'on a 

m Ali . 

d(î j)liis, Ail olaiit du second ordre cl AI*, du pfcmicr, nous pour- 
rons, dans le calcul de Ali, négliger les ternies du Iroisiènn; ordiM; 
et ceux du second dans le calcul de P, A. Nous aurons d'ahord, au 
second ordre j)rès, 

AP,r= xn= I>D = PQ. 

Nous avons ensuite 

AH = QH - QA = QE + EH — QD — DA, 

E élant le point de rencontre de QH avec S|. Mais, comme QH 
fait un angle infiniment petit avec la tangente en Q à C et cjue de 
j)lus il fait aussi un angle infiniment petit avec la normale à S, eu 
un point quelconque de l'arc P, E. on a, au troisième ordre |)rèSj 

QE-QQ,, 

et de plus EH difTère d'un infiniment petit du troisième ordre de 
la distance du point E à la tangente P< H à S< en P, . Si donc ]\ est 
le rayon de courbure de S et R4- <^<^I^ celui de S|, on a, au troi- 
sième ordre près, 

QD=!*Î\ EH= P^^' 



2R 2(Hh-^K) 

Mais on a, au second ordre près, 

P,E = P,A = PQ, 

et, par suite, au troisième ordre près, 

QD = E11, 

d'adleurs, toujours au troisième ordie près, 

DA= PB = PP,, 

de sorte que l'on a en définitive 



— 148 — 
et, par siiile, j)oiir le ra^oii de courbure p de la li^ne (],, 

p IM^.IMV, ' 

la concavité étant tournée du côté où les lignes S se rapprochent. 

Si l'on a maintenant une série de surfaces de niveau qui soient 
de révolution, la section de ces surfaces par un plan méridien 
déterminera des courbes de niveau, S, S,, ..., et les lignes de 
force C, C<, ... comprises dans ce plan méridien seront les tra- 
jectoires orthogonales des lignes S, S,, .... 

Désignons par s la dislance des deux courbes de niveau infini- 
ment voisines, S et S,, et par F la valeur de la force en un point (^ 
de S, qui est normale à S; comme le produit 

F£ 

représente le travail lorsqu'on passe de la courbe S à la courbe S|, 
ce produit sera constant, et l'on a 

Fz = doi. 

o(^, z) étant la fonction des forces dans le plan méridien con- 
sidéré, 

est l'équation de S. 

On a donc dans le cas acUiel 



doi doL 



d'où 



doc doL 




P F ^ ^F 


^F 


^ F -f- ^F 


F.l*(^ 



on 



1 _ 1 ^ 
Q '^ F ds 



ds désignant l'arc de la courbe S et -7- la dérivée de F par rap- 
port à 5 lorsqu'on se déplace sur S. 

Mais, si II désigne, comme plus haut, le rayon de courbure de S 
et (D. son angle de contingence, on a 

i - -L !(ll 

Z " iYf dl ' 



— 140 - 

ce: (|ui csl la (oninilc de \l. Foik^Ik', mais la di'mousli'al loii nvrj'j'- 
(leiHc lail voir, sans aiiciiiKî aml)i<^uïl('', (juo la concuvih'; de la li^tie 
(h; force csl loiirnéc du c.ùlr où les lignes de iiivnaii se rapproeliciiL 
donc: du (;ol('' otf l<( force, vroil. Il r(''Sidl(* d(; là (|u'à la siiilacc; d(.' 
la Tenc la eoiicavilé des li<^iies de loi-ce est diri^c'c vers le nord. 
SI l'on suppose que la varialion d(; la gravité est exprim«''e par 
la rornmie g(''iiéraleuieiil admise 



on aura 



el |)ar suite 



i; = .^'0—0,0) cosO., 



d\ 



= 0,1 siiiX cosX, 



K 



o, 1 sinX cosX ; 



de plus, la coneavité des lignes de force étant dirigée ?.v?/-.ç le nord, 
l'effet de l'aplatissement se retrancfie de celui de la lotalion et 
l'on aura, pour le mouvement en |)rojection sur la tangente au 
méridien dirigée vers le sud, 



ou, en prenant 
dt 



d'-x 

'dr- 



M gr^ cosX, 



dy . ^ z 



Z — - <^f^ 

2 ^ ' 

d-x ^ ■ s ^ <),[.. , I , 

— — . = 2to2 sniA cosÀ i^r^ — A'" — rr SI 11 A cos A- A' ^, 
dt^ ^ ^ ç\\ 2' ' 



d'où 



X 



= - 0)2 siiiX cosX £t'* { i :^ — ) 

6 ^ V îKwV 



Soit, en prenant pour R le rayon niojen de la Terre sensible- 
ment, 

to2 



X 



23 



sin X cosX A'/^. 



La valeur donnée par M. P'ouelié est environ cin(| fois plus forle. 



xxxin. 



10. 



— 150 - 

SUR LA DÉVIATION DES GRAVES ET LES CHAMPS DE FORCE; 
Par M. Maurice Fouché. 

Dans une Note présentée à l'Académie des Sciences, le f>.3 jan- 
vier dernier, j'ai montré, à j)io[)os de la déviation des graves, qne 
la courbure des lignes de force ne dépend nullement de la varia- 
lion de la force, dans le sens de sa direction, mais seulement 
de la variation de TiiUensité de la force quand on se déplace 
sur une surface de niveau ('). Malheureusement, j'ai laissé 
échapper, dans celle Note, des erreurs qui m'ont été signalées 
par M. de Sparre et qu'il importe de reclifier. En premier 
lieu, la concavité des lignes de force, ainsi que je le montrerai 
tout à l'heure, et contrairement à ce cpie j'avais dit, est dirigée 
du côté où la force croit. Dans le champ de la pesanleur, 
cela fait une déviation vers le nord. De plus, j'avais omis^ dans la 
dérivée de la formule de Clairaul, un facteur 2, ce qui fait que la 
valeur trouvée pour la déviation due à la courbure des lignes de 
force est deux fois plus grande que je l'avais annoncé, et qu'elle 
doit être retranchée de la déviation due à la force centrifuge com- 
posée au lieu de lui être ajoutée. Comme cette dernière a une 
valeur absolue plus grande, il reste une déviation résiduelle qui est 
dirigée vers le sud et qui est la même, soit qu'on abandonne le 
corps d'un lieu élevé, soit qu'on le laisse tomber dans un puits. 

M. de Sparre a calculé le coefficient de cette déviation dans une 
Noie présentée à la Société malliématique, ce qui me dispense 
d'insister plus longtemps sur ce sujet particulier. Cependant, je 
crois qu'il n'est j)as inutile de donner quehpie.^ indications com- 
plémentaires sur ce problème de la déviation des graves qui a 
occupé de nombreux géomètres, et qui, si je ne me trompe, vient 
seulement d'être élucidé complètement. H n'j a rien à dire de la 



(') M. Darboux m'a iliL (ju'il avait donné dans son enseignement le moyen de 
trouver le plan osculalenr et le rayon de courbure d'une quelconque des trajec- 
toires ortliogonales à une famille de surfaces, ce qui est évidemment la même 
question; mais j'ignore la forme définitive qu'il a donnée à la formule et les 
détails de la démonsliMlion, 



- Ifil - 

(l(''viali()ii viMs Tcsl, ('iIcmiIcc (lopins loiii^hMiips. \ /.i (h'-vialion vtts 
le sud a moiilri' plus de diffii'idlés, parec; (pie les ailleurs (]iii l'oril. 
al)()r(i(''(i oui (diei(li('; à (l(''l(;i'iniMei' la eoinhiire des lignes de force 
de I altiaelion, pour eom|)()ser (MismLe ecLLe allraclicjn av(,*e la 
rore(î eeiiliK'ui^e et av(M; la forée centrifuge comj)()S(3C. De là vient 
(pTils oui ('*(('; conduits à faire des l)ypotli('ses sui la eonsi iliilion 
interne de la T(Mre, cl à distinj^uer le cas où le corps lomhe siii' 
1(^ sol de ('(dui où il p(''ii(''li'e à rinl('rieur du globe, parce (pi(', dans 
les deux cas, la loi (rallraclion est dillerente. Il S(Mnl)lail pouilanl, 
(t priori. (pTune didérencc enlie les r('sullats des deux inani(;res 
d'op('!rer (;Lail bien inviaisemblable, et je dois dire (|ue c'est cette 
invraisemblance (|ui m'a déterniint; à envisagei- autrement le [)ro- 
blème. En fait, on trouve une dillérence si l'on fait le calcul dans 
riiy|)otbèse on la surface de la Terre n'est |)as une surface de 
niveau ; mais c'est là une supposition inadmissible si l'on opère sur 
nn sol horizontal. Si l'on voulait étudier ce (]ui se passe dans le 
cas on l'on ferait l'expérience sur le flanc d'une montagne, il fau- 
diait faire intervenir les attractions locales, ce qui fait cjue la 
(|uestion perdrait tout intérêt théorique, et, comme elle n'a aucun 
intérêt pratique à cause de l'extrême petitesse du résultat, je ne 
pense pas qu'il y ait lieu de s'y arrêter plus longtemps. 

i^'erreur que j'ai commise est legrettable à nn antre point de 
vue. En disant que la déviation due à la courbure des lignes de 
force de la pesanteur est dirigée vers le sud, j'ai laissé entendre 
que sur toute planèle, quels que soient l'aplatissement et la gra- 
vité à la surface, il y aurait toujoui^s une déviation vers le sud. 
Puisque, au contraire, la courbure des lignes de force dévie les 
graves vers le nord, on peut concevoir que, sur une |)lanète autre- 
ment constituée que la nôtre, celle cause de déviation l'emporteiail 
sur la force cenliifuge composée et produirait une déviation défi- 
nitive dirigée vers le nord. Cependant, il n'est pas sûr que cela 
soit possible, parce qu'il y a des relations entre la force centrifuge, 
raj)Iatissement et la gravité. C'est un pointa examiner. 

Quant au problème en lui-même, il peut être entendu de plu- 
sieurs manières différentes. La verticale d'un ])oint est définie par 
un ï\\ à plomb infiniment court attaché en ce point. Un fil à plomb 
long donne la verticale de son point inférieur cpii n'a pas la même 
direction que celle du point d'attache. Soient A le |)oiiit cfattache, 



— 152 — 

r> le |)i('(I i\o la vcr-ticalc de A sur la smface de niveau passant par 
l'exlrëmilé C du (il à plomb long attaché en A et D le pied sur la sur- 
face de niveau inférieure de la liiine de force qui passe en A et 
qui est tangente à la verticale AB. En aucun des points B, C, 1) la 
verticale n'est parallèle à celle de A, et, par suite, aucuii de ces 
points n'a la même latitude que A. De là vient qu'il y a quatre 
déviations dinérentes à considérer suivant qu'on entend la dévia- 
tion par rapport au fil à [)lomb court, au fil à plomb long, par 
ra|)port à la ligne de force, ou enfin la déviation en latitude. C'est 
la déviation par rapport au fil à plomb court qui a fait l'objet des 
calculs de M. de Sparre et des miens. 11 suffit de tracer une figure 
grossière, la ligrie de force étant concave vers le nord, pour recon- 
naître les faits suivants (Ji,^ . i) : 



Fis. [. 



Pôle INond 




i" La verticale du point A (fil à plomb court) tombe au sud de 
la ligne de force ; 

2" La verticale de D s'élève en [tassant au sud de A. Donc le fil 
à plomb long tombe au nord de la ligne de foice; 

3" La latitude en C (pied du fil à plomb long) est plus faible 
qu'en A. Donc, le point de niveau inférieur fjui a même latitude 
que A est au nord de (^. 



De là résulte que, de toutes les espèces de déviations, la plus 
petite est celle qui est rapportée au fil à plomb court; viennent 
ensuite, par ordre de grandeur croissante, celle qui est rapportée à 



- i:;;j — 

la li!;iic (l(* foicc, celle (|tii esl r.ippoih'M; ati (il à ploiiil) Iniifj^, cl 
eiiliii la (l(''\iali<)n en laliltide, la |)liis <^ran(lc d(; Iniilcs. 

Ixemarcjiioiis enlin (|ue, si Ton suj)|)rimait l'aelion (Je la forée 
ceiihifii^cî composée, hujiiellc donne une déviation v(;rs le sud, la 
Irajecloire du niohile serait, évidenimenl comprise enlre la ligne de 
force AD et sa lanf>ente AB ('), d'où il suit (jue, fjuelle que soit 
la conslilulion de la planète, les trois dernières déviatiorjs sont 
toujours australes; seule la première [)Ourrait peut-être se trouver 
boréale, comme je fai expli([uc plus liaul. 

,1'arrive maintenant à la détermination du [)lan osculaleur et du 
rajon de courbure des lignes de force. La n)étliode analjli(|ue 
fpie j'ai suivie pour la seconde de ces déterminations a l'inconvé- 
nient de ne pas mettre en évidence le sens de la courbure. Voici 
une mélliode géométrique, d'ailleurs très simple : 

Soient A et B {/ig- 2) deux points infiniment voisins d'une ligne 



Fis. 2. 




de force. Les plans normaux en A et B se coupent suivant une 
droite (D) qui est l'axe de la courbure de la ligne de force. Donc, 
le plan osculateur de cette ligne est perpendiculaire à D. Mais les 
deux plans normaux sont tangents aux surfaces de niveau f|ui 
passent enyVet B; si, par chacun de ces points, on mènedes parallèles 
à D, on aura deux tangentes parallèles aux surfaces de niveau, et 
telles, par conséquent, que, si l'on se déplace sur l'une des deux 
surfaces, en suivant une ligne tangente à l'une d'elles, la distance 



(') Celle remarque m'a élé faile pai' M. Lalleiuanl. 



- 15i - 

du point, mohilcà l'autre surface ne siihira qu'un accroisscmcnl du 
second ordre. Donc chacune de ces droites est lang(MUe à la ligne 
de force constante tracée sui" Ja surface correspondante, d'où ce 
théorème : 

Le jdan oscillateur cV une ligne de force est, en chacun de 
ses points, normal à la ligne de force constante menée par ce 
point-là sur la surface de niv'cau correspondante. 

On peut ajouter que la trace du plan osculateur en un point 
d'une ligne de force sur la surface de niveau qui passe en ce point 
est la direction du maximum de variation de la force sur la surface 
de niveau. Enfin, il est manifeste que la concavité de la ligne de 
force est tournée du côté de la droite (D), c'est-à-dire du côté où 
les surfaces de niveau se rapprochent, ou enfin du côté où la force 
croît. 

Abaissons de A et B les perpendiculaires AH et BH sur (D). 
AH sera le rayon de courbure p de la ligne de force. Prenons, 
sur AH, un point C infiniment voisin de A, et menons, sur le 
plan A(D), les deux perpendiculaires AM et CN, limitées au 
plan B(D). 

Traçons enfin NP parallèle à AH. AM et CN représentent, aux 
infiniment petits près du second ordre, les distances de A et de C à 
la surface de niveau infiniment voisine. Ce sont deux quantités 
inversement proportionnelles aux intensités des forces qui 
s'exercent en A et C et MP en est la différence. Les triangles sem- 
blables MNP, MAH donnent 

MP _ NP 
MA ~ AH' 

]NP=:AC est le déplacement ds sur la droite AN. AH = p. On 
aura donc, MP étant un accroissement négatif, 

-^log(MA)= -, 

p 

ou, puisque MA est inversement proportionnelle à la force F, 

d\on,¥ = — -, 



— I.vi — 

ou encore 

1 _ j^ f/y 
p ~ 1^' ds ' 

\insi, /ff coiiihure de la lii^nc de force est la dérwée du loga- 
rii hnie de la. force prise dans la direction de la surface de 
niveau oit r accroissement de la force est maximum. 

SI l'on liMce dans le plan langcnl à la suiCace (!<; niveau deux 
axes rectani^ulaires Ax cl Ay, on reconnaîlra sans peine (|ue 
l'expression 

est un invariant, c'est-à-dire qu'elle conserve la même valeur cpiand 
on change les axes. Il suffit, pour s'en assurer, de remarquer que 
cette expression représente l'intensité d'une force dans un champ 
plan dont le potentiel serait F. Si les axes sont dirigés suivant AU 
et la perpendiculaire à Ail, la variation de la force le long de 
cette perpendiculaire est nulle, et l'invariant se réduit à 

Donc l'expression de la courbure se met aussi sous la forme 

qui est celle que j'ai donnée. 

Dans la même séance où j'avais présenté ma Note sur la dévia- 
lion des graves, jVI. Darboux avait présenté une Note de M. Carrus 
sur les familles de surface qui admettent des trajectoires ortho- 
gonales planes, et l'avait fait suivre de remarques complémentaires 
dans lesquelles il établit que le problème se ramène, en général, à 
l'intégration d'une équation aux différentielles partielles du second 
ordre, et admet, de plus, une nouvelle intégrale première lorsque 
les plans des lignes de force sont astreints à passer par un [)oinl 
fixe ou à être parallèles à une droite fixe. 

Interprétée dans le langage de la Mécanique, celle intégrale 
première exprime que les intersections des surfaces de niveau et 
des surfaces d'égale force sont sur des sphères concentri(|ues dans 



le premier cas, sur des |)lans j)arallùlcs dans le second. Il y a pciil- 
êlre quelque intérêt à faire observer que ce résultat découle immé- 
diatement du théorème relatif aux plans osculateurs des lignés de 
force . 

Si, en effet, celles-ci sont planes, leurs plans seront normaux 
aux liirnes d'égale force tracées sur les surfaces de niveau. Pour 
être plus précis, disons que cliaque ligne d'égale force tracée sur 
une surface de niveau est une trajectoire orthogonale de tous les 
plans des lignes de force qui jiasseutpar ses divers points. Sidonc 
tous ces plans passent par un point lixe O, leurs trajectoires or- 
thogonales seront situées sur des sphères de cenire O. Si les plans 
sont parallèles à une même droite, leurs trajectoires orthogonales 
seront dans des plans perpendiculaires à cette droite. 

Si l'on prend trois axes rectangulaires passant par le point fixe 
ou un axe des x parallèle à la direction fixe, F désignant la force, 
et r le j)otentiel, on aura dans le premier cas 



et dans le second 



F = <?(-^'- + r-+--, ^'). 



F = ^{x, v), 



puisque la force ne varie pas quand, v restant constant, on reste 
sur une même sphère ayant son centre à l'origine, ou sur un plan 
perpendiculaire à O^. Ces équations sont les intégrales premières 
dont il vient d'être question. 



— ir>7 — 
COMPTES IIENDUS DES SÉAWCES. 



SI^:ANCIi: DU AVRIL 1905. 

PRKSiniîNCIî DIC M. noRi:L. 

Elections : 

Sont élus, à riinanimilc, membres de la Société : M. JlecJrick, 
présenté par MM. Darboux et Borel ; M. Oiiivet, présenté [)ar 
MM. RadV et Es tan ave. 

Communications : 

INI. Fouché : Sur les champs de force où les lignes de force 
sont planes. 

INI. Haclamard : Sur le problème de Caucliy pour les équa- 
tions linéaires du second ordre dans le cas d\ui nombre pair 
de variables. 

SÉANCE DU 13 AVRIL 190o. 

PRÉSIDENCE DE M. BIOCIIE. 

Communications : 

M. D. André : Sur les sommes des nombres, pris de quatre 
en quatre, des combinaisons régulières d'ordre quelconque. 

M. Bioche : Sur les su/ faces algébriques qui admettent comme 
ligne asymptotique une biquadratique de quatrième classe. 



SÉANCE DU -4 MAI 1905. 

PRÉSIDENCE DE M. BOREL. 

Communications : 

M. Lebesgue : Sur les développantes successives d' une courbe 
plane et leur limite. 

M. Borel présente quelques observations sur la définition de la 
convexité, à propos de la Communication précédente. 

M. Bernstein : Sur la déformation des suif aces à courbure 
positive et celle des surfaces à courbure négative. 

M. Borel : Sur les principes de la tJiéorie des ensembles. 

M. Lebesgue présente quelques observations sur le même sujet. 

xxxni. Il 



— 158 — 
SÉANCE DU 18 MAI lOOo. 

PRÉSIDENCE DE M. BLUTEL. 

Communications : 

M. Falou : Caractères de convergence des séries trigonomé- 
triqiies. 

M. Raffy : Sur certaines surfaces dont la définition est inva- 
riante relativement à la transformation conforme par nor- 
males parallèles. 

M. Rémoundos adi^esse une Note Sur le cas cV exception de 
M. Picard et les fonctions multiformes. 

M. Autonne adresse un Mémoire Sur les droites fondamen- 
tales dans les collinéations de l'espace an — i dimensions. 



SEANCE DU i'' JUIN 1905. 

PRÉSIDENCE DE M. GRÉVY. 

Communications : 



M. Bernstein : Sur le calcul des limites de Caucliy. 
M. Grévj : Sur la détermination des fonctions arbitraires 
dans la solution d'une équation aux dérivées partielles. 



SÉANCE DU 15 JUIN 1905. 

PRÉSIDENCE DE M. BOREL. 

Elections : 

Sont élus, à l'unanimité, membres de la Société : M. PfeilTer, 
présenté par MM. Picard et Sélivanoff; M. Maluski, présenté par 
iVlM. Baire et Lebel. 

Communications : 

M. Rafly : Sur les caractéristiques de certaines équations 
aux dérivées partielles d' ordre supérieur. 

M. Bricard : Sur les systèmes linéaires, ponctuels et tangen- 
tiels, de quadriques, à trois paramètres. 



— \m - 

M. Sucliar : Sftr luic trdnsfovnïntlon rr.ciprorjiie en Mrca- 
ni</(ic. 

1\J. liernsLcin : Sui' le proton i^cmcut aïKilytùjiœ des foiicLions. 
iNI. GoiirsaL adresse un Mémoire Sur le piobicnie fie Mon<j^c. 



MÉMOIRES ET COMMUNICATIONS. 



SUR LES SOMMES DES NOMBRES, PRIS DE QUATRE EN QUATRE, 
DES COMBINAISONS RÉGULIÈRES D'ORDRE QUELCONQUE; 

Par M. Désiré Andué. 

l. Eu étudiant les nombres des permutations alternées ('), 
M. Estanave avait été conduit, vers la fin de 1902, à considérer les 
sommes des nombres, pris de quatre en quatre, des combinaisons 
simples de m objets. Il était arrivé, relativement à ces sommes, à 
plusieurs cong^ruences remarquables, qu'il avait découvertes |)ar 
l'observation, démontrées en toute rigueur, et finalement énoncées 
dans V Intermédiaire des Mathématiciens (-). C'est l'examen de 
quatre d'entre elles qui m'a amené à m'occuper des sommes des 
nombres, pris de quatre en quatre, des combinaisons simples de 
m objets. 

Dans une lettre insérée presque entièrementau même Recueil(^), 
j'ai donné sur ces sommes, dans le cas des combinaisons simples, 
un tliéorème dont les congruences de M. Estanave ne sont que des 
corollaires immédiats. Je me propose, dans le présent travail, 
d'exposer les résultats que j'ai obtenus en étudiant ces mêmes 
sommes, non plus dans le cas des combinaisons simples, mais dans 
le cas des combinaisons régulières d'ordre quelconque. Le plus 

(•) J'ai fait connaître la notion et les propriétés des permutations alternées 
dans une Note et un Mémoire : Développements de sécx et de tang^ {Comptes 
vendus de V Académie des Sciences, t. LN.XXVIII, 1879, p. 965-907); Sur les per- 
mutations alternées {Journal de Mathématiques pures et appliquées, S-^ série, 
t. VII, 1881, p. 167-184). 

(-) Questions 212 et 213, t. X, igoS. p. 'ô\. 

(■') T. X, 1903, p. 189-19.2. 



— 100 — 

important de ces résultats est un théorème très vaste, dont celui 
que j'ai donné pour les combinaisons simples n'est que le premier 
cas particulier. 

!2. J'ai appelé, il y a longtemps (^), combinaisons régulières 
d'ordre a de m objets distincts pris n à «, celles des combinai- 
sons de ces m objets, n à /i, où chaque objet peut être répété 
jusqu'à a fois, mais non pas davantage. Les combinaisons simples 
sont évidemment les combinaisons régulières d'ordre i; les com- 
binaisons complètes, celles d'ordre n. J'ai désigné par (m, n)a le 
nombre des combinaisons régulières, d'ordre a^ de m objets dis- 
tincts pris à /?, en convenant de regarder (m, o)« comme égal à 
l'unité. 

Ces nombres (/7i, n)a peuvent être disposés en un triangle où 
les lignes correspondent aux valeurs i, 2, 3, ... de ni] et les 
colonnes, aux valeurs o, 1,2, ... de n. Chaque élément de ce 
triangle est égal à celui qui est juste au-dessus, plus les a élé- 
raenls placés à la gauche de celui-ci. A chaque valeur de a corres- 
pond un triangle; dans le cas où a est égal à i , ce triangle n'est 
autre chose que celui de Pascal; aussi ai-je proposé (2) d'appeler 
tous ces triangles les triangles de Pascal des différents ordres. 

Considérons le triangle d'ordre a, et, dans ce triangle, la ligne 
de rang ///. Elle nous présente ma -{- \ termes, qui sont les 
nombres 

{in,o)a, {m, \)a, (m, 2)a, ..., {m, ma) a. 

Si nous additionnons ces termes de quatre en quatre de toutes 
les manières possibles, nous obtenons quatre sommes que nous 
représentons par les symboles 

CO Ql S 2 S -5 

^1111 ^1111 '-^ lin '^ int 

l'indice supérieur n'étant que la valeur de n dans le terme par 
lequel on commence l'addition. 

Dans le triangle d'ordre «, chaque ligne donne ainsi quatre 



(') Mémoire sur les combinaisons régulières et leurs applications {Annales 
scientifiques de V École Normale supérieure, 2" série, t. V, 1876, p. ijS-iqS). 

(^) Liste et résumé de mes principaux travaux mathématiques, p. 17 (1 vol. 
iii-S" raisin, l*aris, Gauthier-Villars, 190^1 ). 



- loi ~ 

sommes. Placées les unes sous l<;s aulres, ces sommes fornu^ul le; 
reelani;l(; 

co S' S- S'' 

O2, ^^21 -^i» '^'2» 

SO S' S^ S'» 

'^M '-'in '':n '^:») 

SO S' S- S'» 

SO S> S 2 S'» 

^5' ^~y> '^5» '^51 



donl les ([ualrc colonnes sT'lenclent indéfiniment vers le bas. (Test 
ce rectangle que nous allons éludier, d'ai)ord dans ses élémenls, 
ensuite dans ses lignes, et enfin dans ses colonnes. 

3. Gomme je l'ai démontré par des raisonnements com])ina- 
loires très simples ('), les nombres des combinaisons régulières 
d'ordre a de /?? ol)jets, c'est-à-dire les éléments constituant la 
/;i'""" ligne de notre triangle, ne sont autres choses que les coeffi- 
cients des puissances successives de x dans le développement de 
la /?i'*^""'' puissance du polynôme 

I + a:* + 372 -h ...-+- a:,- « . 

Si donc je désigne ce polynôme par C2(.r), ce sont les coeffi- 
cients du développement de C5'"(^') suivant les puissances ascen- 
dantes de Xy et les sommes 

SO SI S2 S3 

'-' /n 1 ^ /Ht ^ fin '-' m 

sont les résultats qu'on obtient en additionnant de quatre en 
quatre les coefficienls de ce même développement. 

Or, si nous appelons /' Tune quelconque des racines quatrièmes 
de l'unité, nous avons, comme on le voit sans peine, les quatre 
égalités suivantes 

4S;>,=2/-'^cp'»(,-), ^'è7„=^r^^^'n{r), 



(') Mémoire sur les combinaisons régulières et leurs applications, déjà cité, 
p. 189. 



- I(j2 — 

chaque ^ s'élendant aux quatre racines (juaLrièmes de l'unité. 

Il est, d'ailleurs, évident que les seconds membres de toutes ces 
égalités sont des fonctions symétriques de ces quatre racines et, 
par conséquent, que l'on doit pouvoir facilement en calculer, sous 
forme explicite, les valeurs respectives. 



I. Représentons par i l'imaginaire y/ — i. J^es quatre racines 
quatrièmes de l'unité seront 

-4- I , — I , -+- t, — i. 

La première opération à effectuer sera donc de calculer les va- 
leurs des expressions 

?(+0, ?(—!), ?(-t-0, ?(— 0; 

valeurs qui dépendent de la forme du nombre a. Cette forme est 
forcément l'une des suivantes 

4a-t-i, 4^ + ?., 43i + 3, 4a+4, 

la lettre a désignant un entier quelconque, égal ou supérieur à 

zéro. 

Lorsque a est de la forme 4 2^- + 1, les valeurs considérées sont 

respectivement 

a -f- I, o, !-+-«'. I — i. 

Lorsque a est de la forme 4 ^- + '>-•, elles sont 

a -h r , -t- [ , H- ï , — i. 

Lorsque a est de la forme 4<^- + 3, elles sont 

rt H- 1, o, o, o. 
Enfin, lorsque a est de la forme 4^-4-47 elles sont 

a-^-i^ -4- I , H- I , -- 1 . 

5. Nous appuyant: surlcs résultats que nous venons d'obtenir, 
sur les formules qui nous donnent 

en (onction des racines (pialrièmcs de l'unité, cl sur les quatre 



- Hûi — 
idcnlilc's suivnnlcs 

— /( I + / )'" -H /( I — / )'" — •>. ( v/'>- )'" '^i" 'f^ "/ ' 



( -h 0'"+ ( —/")'"=•>. t;o s /n 



TT 



— /( -t- t )'" 4- /( — i)'"^ = '1 sin //i - 

nous obtenons facilement, pour toutes les formes du noml)re r/. 
les valeurs de 

Si a est de la forme 4^'. + i , 

4 SOj = ( a H- 1 )'« -T- •>. (v/'2 )'« cos m y , 

4 

4 S),j = ( a -f- I )'" -i- 2 (v/'-'O'" sin m - > 

4 

4 S2j = ( ^ + [)'« — 9. (v/^.)'» cos /n ^ , 

4S?„= (a-f-i)'« — 2(v/'2)'« sin/;? -J • 

4 

Si a est de la forme f\rj.-\- 9.^ 



4 S^„ = ( a -{- I y -I- I -H 2 cos m — , 

4 



TT 



4S,V= (a 4- i)'" — I + 2 sin m — j 

4 



t: 



4 S ;„ = ( a + 1 )'" + I — 2 cos m — } 

I 

t: 
4 Sf„ = {a-\- I )'" — T — 2 sin m - • 

Si a est de la forme 4^^ -f- 3, 

4S?„=4S;„=4S?„=4S;l=(a + i)'«. 

Si a enfin est de la forme 4^- + 4 5 

I 4S«,= («-f-ir-f-3, 

4S^,= 4S^,= 4SJ^,= (a-M)--<. 



— lOi — 

0. Afin cle permettre quelques vérifications numériques de ces 
formules, et de donner une idée des rectangles que nous étudions, 
je vais transcrire ici les commencements des rectangles d'ordres i, 
2, 3, 4, c'est-à-dire des rectangles les plus simples parmi ceux 
dont les ordres sont respectivement compris dans les formes 4^-i- i ? 
4a 4-2, 4^+3, 4a -f- 4 du nombre a. 

Voici le commencement du rectangle d'ordre i : 



1 


I 








I 


2 


I 


o 


f 


3 


8 


1 


2 


4 


6 


4 


6 


6 


lO 


lO 


i() 


12 


iG 


20 


30 


28 


28 


30 


"A 


04 


56 


64 


1/ 


ir 


// 


// 



Voici celui du rectangle d'ordre 2 : 



I 


\ 


I 





2 


•1 


3 


2 


7 


6 


7 


7 


2 1 


20 


20 


20 


6i 


61 


Oi 


60 


182 


182 


i83 


182 


547 


54G 


J4/ 


547 


iG/ji 


1640 


1040 


1640 


ff 


If 


ff 


If 



Voici celui du rectangle d'ordre 3 



1 


I 


I 


I 


4 


4 


4 


4 


iG 


iG 


iG 


iG 


04 


G4 


G4 


G4 


25 G 


250 


256 


25G 



— Km - 
Voici cnliii ((liii du rectangle d'ordre /j : 



2 

7 


1 
G 


(') 


1 


32 


3r 


3i 


3i 


i57 


lôC) 


1 ")(•) 


i56 


7H2 


781 


78. 


78, 


// 


// 


// 


// 



7. Si nous examinons aLlenlivement, soit sur nos IbriTiules, soit 
sur nos rectangles numériques, les quatre valeurs de 



«so SI S2 s 



c'est-à-dire les quatre nombres formant la /?i'^'"*' ligne de notre 
rectangle, nous constatons les résultats suivants : 

Lorsque a est de la forme 4^--+-i, ces quatre valeurs sont 
égales deux à deux si m est impair ; au contraire, si m est 
pair, il y en a deux d'égales et deux d'inégales ; 

Lorsque a est de la forme /\a -\- 1^ trois des quatre sommes 
sont toujours égales entre elles, la quatrième étant éi^ale à 
leur valeur commune, plus i si m est pair, moins i si m est 
impair ; 

Lorsque a est de la forme 4^4-3, les quatre valeurs S^^^ S,'„, 
^mi ^m sontj quel que soit m, toujours égales entre elles; 

Enfin, lorsque a est de la forme 4^ + 4, les trois dernières 
sommes sont toujours égales entre elles, la première étant tou- 
jours égale à leur valeur commune augmentée de l'unité. 

Le plus remarquable de ces résullats nous paraît être celui ({ui 
se présente lorsque a est de la forme 43^ + 3, puisque, dans ce 
cas, nos quatre sommes sont égales, (^e résultat se rapproche 
beaucoup d'un théorème que nous avons publié autrefois (') en 
l'énonçant ainsi : 

Les termes, pris de a-{- \ en a-\- i dans la suite des nombres 
des combinaisons régulières d'ordre a, ont une somme cons- 



(') Mémoire sur les combinaisons régulières et leurs applications, déjà cité, 
p. i(i7. 



— \m — 

lanlc, quel que soil celui des a -h f premiers termes par lequel 
on commence. 

Quoi qu'il en soil, lous les résultais qui |)récèdenl se démonlrenl 
en toute rigueur à Taide de nos formules (5). Mais il est à remar- 
quer que plusieurs d'entre eux n'appartiennent point exclusi- 
vement à nos développements; ils se retrouvent pour les sommes 
des termes, pris de quatre en quatre, dans toutes les suites de 
nombres où les termes équidislants des extrêmes sont constamment 
égaux enire eux. 

Comme on peut le voir, en elTet, d'une manière très simple, si 
l'on appelle t le nombre des termes d'une quelconque de ces suites : 

Lorsque t est impair, deux des quatre sommes sont toujours 
égales entre elles, les deux autres étant, en général, diffé- 
rentes; 

Lorsque t est pair, les quatre sommes sont égales deux à 
deux. 

8. Partant des expressions trouvées précédemment (5), dans le 
rectangle d'ordre «, pour les quatre sommes 

4^//n ^^1111 4Sm5 4 S//n 

nous en déduisons sans peine les expressions de 

/CO /Cl /^2 /<n3 

4^m+4' 4^m+4J 4'^/«+4î 'J^/n+i' 

Comparant ces nouvelles expressions chacune à chacune avec les 
précédentes, nous arrivons aux résultats suivants : 

Lorsque a est de la forme 4^ -}- i , 

4(S44-4 + 4S4) = (a + i)'«[(a + i)^+4], 

quelle que soit la valeur de /w, et quel que soit aussi celui des 
nombres o, i, 2, 3 cjue représente U indice supérieur j \ 

Lorsque a est de l'une quelconque des trois formes 43^ + 2, 
4a + 3, 4^4-4, 

4(Si,^,-S4) = (a-+-i)'«[(a + i)i-i], 

égalité qui subsiste, comme la précédente, pour toutes les va- 
leurs possibles des indices m et j. 



- I()7 - 

(l(\s(l(.Mix ('i;;ilil('s (îlahlissonl, on le voil, des rclalions siiii|)l(!S 
CDlrc l(vs iiomhrcs dij^uianl dans I(îs lignes, pr'iscs d(; (jnalrc (;n 
qualie, de noire reclan^l(; (Tordre (( . Nous. allons leséludicr l'unt; 
après l'anlre en eonunençant par la j)lus sinij)l(.', e'esl-à-dire par 
la seeonde. 

«). Considérons la relation générale 

où a est de l'une des Irois formes 4^ -h ^7 4 y. -+->), 4'^-+ 4- 

D'abord, quel que soit m^ son second membre est divisible 
par 5. 11 en est évidemment ainsi, en elTet, lorsque {/ + i est divi- 
sible par 5; et, lorsqu'il ne Test pas, comme il est alors premier 
avec 5, le crochet est divisible par 5, d'après le théorème de Fer- 
mat. 

Supposons a de la forme 4^-4-2 ou /\y.-\- 4- Dans chacun de 
ces cas, a -h i est impair; le crochet qui figure au second membre 
est le produit des trois facteurs pairs 

(« + 1)2+1, « + •:>., a: 

donc ce second membre, quel que soit rji, est divisible par 8. 

Lorsque a est de la forme 4'^- + '^i 1^ binôme a -h i peut 
s'écrire 4 ^ + 4 ou 4 (a + 1), et il y a deux cas à distinguer suivant 
que a + i est pair ou impair. Si a 4- i est pair, (a -f- i)'" est, pour 
toute valeur de /n, divisible par 8; si a -f~ i est impair, {(f -\- 1)'" 
n'est divisible par 8 que quand m dépasse l'unité. 

Il suit de tout cela que, dans les divers cas considérés, le premier 
membre de notre seconde relation est toujours divisible par ^o', 
et, par conséquent, que la différence 

S-/ s-^ 

est toujours, dans ces mêmes cas, divisible par 10. 

10. Revenons à notre première égalité 

4(s4-^4 + 4S;j = ('a + iy«[(a + i)^+4]. 

Elle suppose, nous Pavons vu, que a est de la {"orme /\y.-h 1, cl. 
|)ar conséquent, que a + i est toujours pair. 



- 168 - 

Il s'ensuit iinméclialement que son second meml)re est toujours, 
quel que soit m, divisible par 8. En effet, le premier facteur 
[a 4- i)'" ^^^ toujours divisible par 2, et le second, qui n'est autre 
que le crochet, est toujours divisible par /\. 

Ce même second membre est toujours aussi divisible par 5. 11 
l'est, en effet, évidemment, si a -\- \ est un multiple de 5; el, 
quand a -\- i n'est pas un multiple de 5, le crochet en est v\n^ car 

il peut s'écrire 

{a -+- i)^— I + 5, 

et, dans ce trinôme, l'ensemble des deux premiers termes est divi- 
sible par 5, d'après le théorème de Fermât. 

Ainsi, quel que soit m, le second membre de notre égalité est 
divisible par 4o; et par conséquent l'expression 

est toujours un multiple de 10. 

On en conclut immédiatement, quel que soit m, que S^,^^, est 
toujours pair; ou bien, ce qui revient au même, que S;J,^ est pair 
pour toutes les valeurs de m supérieures à 4- Mais, comme on 
peut le voir parle calcul, sur les expressions (5) de SJJ^, S,',^, SJ;^, S,*^ 
qui correspondent à la forme /\ol~\- 1 de a, il se trouve que S{ est 
toujours pair. Nous pouvons donc dire que Sf,^ est pair pour toutes 
les valeurs de m supérieures à 3. 

Cela posé, remarquons que notre égalité 

S-,',,+4 -h 4S'„ = mult. de \o 
peut s'écrire 

SL+4 — ^'m = midt. de 10 — 5 S^. 

Pour toutes les valeurs de m supérieures à 3, la somme S/^^ est 
paire. Donc le nouveau second membre est divisible par 10. Donc, 
pour toutes les valeurs de m supérieures à 3, la différence 



•^ //j + ; 



est un multiple de 10. 



11. Conservant toujours aux lettres a^m^j les significations 
que nous leur avons respectivement attribuées, nous pouvons ré- 



— 100 — 

siiMirr, (!<' In m;tniriM' siii\anlo, Ions l(\s in'siiIIîiIs cpio nous venons 
d'ohlcMni' : 

r' Si a est (le l' une des formes 4^ • + '^- f^if 4^- h 4> f^' diffé- 
rence 

r.s7 ^/// multiple de lo, pour toutes les valeurs de m ; 

:>/' Si a est de la forme /\y.-\-?) et que a -|- i soit pair, la 
même dij/é renée est un multiple de lo, j)our toutes les valeurs 
de m ; 

3" Si a est encore de la forme /\a.-\-?)^ mais que a H- i soit 
impair, cette même différence est un multiple de i o, pour toutes 
les valeurs de m supérieures à limité; 

4" Enfin, si a est de la forme 4 a -}- i , cette même différence 
est un multiple de lo, pour toutes les valeurs de m supérieures 

à :\. 

Négligeant les valeurs i, 2, 3 du nombre m, nous pouvons donc 
énoncer ce lliéorème unique : 

TniioiiÈME. — Pour toutes les valeurs de m supérieures à 3, 
et quel que soit tordre a, la somme ^',„^.^ est congrue à la 
somme S[„^ selon le module 10. 

Gomme ce module 10 est piécisément la base de notre numé- 
ralion, ce théorème peut encore s'énoncer ainsi : 

Les valeurs numériques de S^,^^, et de S',^^ finissent toujours 
par le même chiffre. 

Et c'est ce qui explique que les congruences particulières de 
INI. Estanave aient été découvertes par la simple observation. 

12. Le théorème que nous venons d'énoncer est tout à fait géné- 
ral : il ne dépend ni de <7, ni dey, et il suppose simplement que /?« 
soit supérieur à 3. Il comprend celui que nous avions donné 
autrefois pour les combinaisons simples. Il établit, pour les lignes 
de notre rectangle, prises de quatre en quatre, une sorte de pério- 
dicité, analogue à celle que nous présentent les suites illimitées 
de nombres entiers^ soit en progression arilhmélique, soit en pro- 
gression géométrique. 



- 170 — 

Ce ihéorèmc général, d'ailleurs, pourrait lui-même élre géné- 
ralisé. Au lieu de eonsidérer les sommes des nombres, pris de 
quatre en quaire, des combinaisons régulières d'ordre quelconque, 
on pourrait considérer les sommes de ces mêmes nombres, pris 
de p en p. Au lieu de prendre, dans le rectangle formé de ces 
sommes, les lignes de quatre en (juatre, on les pourrait prendre 
de q en q^ sans supposer que q fût égal à p. En opérant alors 
comme nous venons de le faire, et par des moyens pour ainsi dire 
identiques, on obtiendrait des résultats analogues à ceux qui pré- 
cèdent; on arriverait à des congruences nouvelles: par exemple, 
si/? était égal à 3, et ^ à 6, à des congruences de module j. Seu- 
lement, ces congruences nouvelles, qu'on trouverait par le calcul, 
n'auraient pas, en général, pour module la base lo de notre numé- 
ration. L'observation, non aidée du calcul, serait impuissante à les 
déceler. 



RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION ds^'—dx"' 4- df + dz'^ ; 

Par M. DR MOJNTCHEUIL. 

Soient S une surface quelconque, p le segment qui relie ses 
centres de courbure, x^ jk, ^ les coordonnées de sa surface 
moyenne ; on a tout le long des lignes de cette dernière surface 
correspondant aux lignes ombilicales de S 

En effet, ^, w, u^ désignant les coordonnées d'O. Bonnet rela- 
tives à S; R, IV ses rayons de courbure; c/^ l'élément linéaire de la 
surface moyenne, on vérifie la relation 

ds' = \di — — — ) + ( — *^ ) du du 1 ( M. 

l V -2. J\ \ï-huuj 

D'où, pour R = R', 

ïd(^-^)Y=dp^=dx''-hdv^-i-dz'^. 

( ' ) La développée moyenne et les surfaces applicables ( Bulletin de la So- 
ciété nialliéinaticjuey t. WXI, i9<j.î). 



- 171 - 

Il siidira donc do se donnci" uno surfaro S (|uolcon(|uc cl d(; 
dclcriniiicr ses llf;rics ()iul)llicai(\s pour ohlciiir des expressions 
sans sij^ne de (|uadralurc des coordonnées cL de l'are d'ime eourlic 
(jnelconque de l'espace. 

On obtiendra les courbes réelles en cboisissant pour S une sur- 
face réelle à lignes ombilicales réelles. 

Si nous définissons S par l'é(jualion 

1^ = 11 Fj -f- Ui V -+- '1> H- <I>i ; 

F, <l> désignant deux fondions quelconques de u; F, , <I>, deux fonc- 
tions de ifi ; F', <I>', F,, <!>', leurs dérivées, on obtient le système de 

formules 

r = aF'— F — <l>', 

j = f(F — ?/, F'— <!>'), 

z = ip — a <\*' — F', 

5 = * — u '!>'-+- F'. 

On trouve pour les courbes réelles 



T = 


aO- 


-AS 




y = 


pe 


-13', 




z = 


("' 


+ r- 


— I 


\ 


■1 




c — 


/oc^ 


+ p» 


-+- 1 



G- aA'— ^B -h A4-B, 
O-aA'— Î3B'-+- A -f-B, 

A, B désignant ici des fonctions respectives de a, p. Ces variables 
s'expriment en fonction de 8 au mojen des relations 

A"= B"=0. 

Il faudra prendre pour A, B deux fonctions réelles permettant 
d^exprimer a, jii par des fonctions réelles de 8. 
Des relations précédentes on déduit le svstème 

dx dy dz ds 



qui permet de déterminer aisément les courbes de l'espace ana- 
logues aux courbes de direction étudiées par Lagucrrc. 



17-2 - 



SUR LES DROITES FONDAMENTALES DANS LES COLLINÉATIONS 
DE L'ESPACE A n — i DIMENSIONS; 

Par M. Léon Autonjne. 

Si l'on considère 2 n variables ^/ et Ui, j / = i , 2, . . . , /i j comme 
les coordonnées homogènes d'un point ^, ou d'un plan «, dans un 
espace à /i — i dimensions, la substitution linéaire /?-airc, 



I, a, 



• • 1 



n 



P = 



Xi 



^PU^J 



= or,- 



p[^i] N 



de déterminant |/;|^o, est une collinéation. Le point />[^J, 
ayant lesyD[^/] pour coordonnées, est le point-image par la col- 
lin éation p du points. 

On a, comme on sait, nn point fondamental x^ si x et /^[^] 
coïncident. Une délinition analogue donne les plans fondamentaux. 

Mettant à profit quelques indications données, d'après Weier- 
slrass, par M. Frobenius, dans son Mémoire Ueber lineare Siibsti- 
tutionen und bilineare Formen (J. f. r. a. a. M., t. J^XXXIV), 
j'ai pu (') mettre/) sous une expression typique simple, grâce à 
laquelle les points ou plans fondamentaux s'obtiennent |)ar une 
règle générale facile. 

Toutes CCS théories peuvent recevoir de l'extension. 

Appliquant au cas de n — 1 dimensions la terminologie de 
l'espace ordinaire, n = 4? on dira qu'une droite dm-, de degré m 
et de classe n — m, est l'intersection de n — m plans. d„i est 
aussi le lieu des points x^ qui dépendent linéairement de m points 
donnés bg^ { «^ =; i , 2, . . . , /?i } , m <in^ 

Xi=2,tffl^ffi ^^= param. variable, 

g 

Un point est une d^. Un plan est une d,i-\- 



(*) Sur le connexe linéaire clans l'espace à n — i dimensions {Comptes 
rendus, 9 nwii 1904). — Sur les formes mixtes {Annales de l'Université de Lyon, 
1905, I" Partie ). 



- I7:{ 



Une tiroilc <l„i ^('va /o/K//t/N('/t/(//r pour la collirM'alMjii 
«^sl invariante |>;n/>, aiilr(Mnenl dit : </,„ es/ fc lien, à la 
point x et du point jt^j]. 

lie travail ci-après résont complètement h; piohlèmc; r( 
construction des droites fondamentales. On (ail cncorf; 
la forme typicjue de yo. 

La rèi;;le est analo<^ue à C(;lle (jui a clé donnée d<''jà 
points et plans fondamentaux, mais, bien cnicndu, un | 
compliquée. 



/>, SI 

fois, 



(lu 



lalifà la 
isa^e d(; 



pour 

)(MI I 



les 
>lus 



1. Dans un espace à n — i dimensions prenons 

(7 = 1,9., ..., n), 



un point x par ses /? coordon- 
nées homogènes X]^ coordon- 
nées ponctuelles ; 



un ])lan u par ses n cooi'don- 
nées homogènes ///, coordon- 
nées planaires. 



!■> 



m points b^r [in^n) sont dils linéairement distincts ou indé- 
pendanis, si l'on ne peut satisfaire aux relations 



(o) 



~ /y = r, U, ..., /M 



qu'en égalant tous les tg à zéro, les bgj étant les coordonnées du 
point hg. Il faut et il suffit évidemment pour cela que le tableau 
à ni lignes et à n colonnes 



/> = KVyl = 



b\x h\n 

b„x . . . Ij^j . . . /),.„ 

'hn I '^ nui 



ail son rang maximum m. 



Si au contraire on peut satisfaire aux relations (o) sans annuler 
tous les tg^ il y aura, entre les m poinls bg^ une dépendance 
linéaire. 



2. Considérons m points b^r linéairemcnl dislincls et m [)ara- 

XXXIII. M 



— ilA — 
mèlres vniiahlos Lr. l.e lien du point .r Ici fjuc 

sera, paf déjinilion, une droite d,n, do degré m. 

On peut diic aussi que le point x est sur l'inlerscctiou de 
n — m plans et que la droite d„i a pour degré m et pour classe\e 
nombre n — m. 

{]n point est nne droite d^ de degré i et de classe a — i. Un 
plan est une droite dn-^\ de degré Ji — i et de classe i . 

3. Désignons, ce qui ne peut faire ambiguïté, par une même 
lettre p : 

I. Une matrice /«-aire 



!>=" [P'j\ 



^y = h -^i 



Pw ••• P\n 

Pn\ • ' • Pnn 

II. Une forme bilinéaire 

p{x; u)=^p,jit,a'j. 

III. Une coHinéation ou substitution linéaire 



P 






PU^J 



= \Xi p\Xi\\\ 



J'écrirai pbjs simplement 

p=\x p[or\\ 

et je dirai que le point />[cr] ayant pour coordonnées les 

p\Xi\ =-^PijXj, 

i 

est le transformé ou V image par p du point x. 
L'équation symbolique 

p\x\ ^o 



— 17;i - 
sera, par délimlioii, ('(|iii\ al<'nl<' aux // ('(jiiallons 



/>{•''] --^^P'j-^'J^-- <>• 



A. Prenons une subslil uLion p de (l('M(;rniinanL \i}\r/-.{). On sail 
(|u'un polnl x^ ou un plan //, v/r>\, fondanienial <>\ son iniai^c pai- /> 
se confond avec lui-même. 

p\x\^=.'^x ou p\n\ = ^u,. 

Le point fondamental x est invariant par rapport à p. Va\ vertu de 
la relation 

^X /-'[•37] = O, 

on voit cpi'il j a dépendance linéaire (1) entre les deux points x 
et /4-^]- 

Je me propose de généraliser cette notion de point fondamental. 

5. \}v\ç. droite d^„f de degré m f^evdi fondamentale pour la substi- 
tution linéaire /i-aire /?, si d,u est invai'iante vis-à-vis de />. 
Autrement dit p ne fait que permuter entre eux les diflerents 
points de dni- 

La construction des fondamentales d,u est le principal objet du 
présent travail. 

G. Considérons une d„i. Elle est définie par m quelconques de 
ses points, pourvu qu'ils soient linéairement indépendants. Réci- 
proquement une d,n ne peut contenir plus de /;/ points linéairement 
indépendants ou distincts. 

Prenons maintenant la suite indéfinie de points 

(^) P'^\^]^ 7 = — X, . . ., — r, o, I, 2, ..., oc. 

Je montrerai plus loin (9) qu'ils sont tous situés sur une droite jf, 
de degré fi ni h. 

Il j aura entre différents points de la suite des dépendances 
linéaires, de façon que la suite contient seulement // points 
linéairement distincts. 

\})\\*i droite x est évidemment fondamentale. 



— 170 — 
7. Soit maintenant une fondamenlale fi ,„ fjuelconqno. Si (I„i 
contient le point .r, elle contient évidemment tonte la droite x, 
(jni compte pour Ji points linéairement distincts. (l„i est évi- 
demment nne collection de dioiles x et Ton a 

Noire problème revient donc à la construction des droites ./-, de 
degré li. 

8. Prenons un polynôme 

/(/•) = Cq-H Cj/- + c-2/"2-h. . ., ^05 Ct, . . .= const. 
Frobenius (p. 9 du Mémoire cité) appelle l'expression 

fonction entière de la matrice n-aire p et désigne cette expres- 
sion par /"( />). 

Puisque dans la suite des points 

(H) p^[x] 

il n'y a que h points linéairement distincts (6), c'est qu'entre dif- 
férents points de la suite E existent des relations telles que celle-ci 

(0 (::o/>a[xJ-f-G,y9a+a.[57]+.,.= o, 

OÙ les G sont des constantes, tandis que les a sont des entiers po- 
sitifs, puisque l'on j)eut loujouis multiplier le [)remier membre 
de (1) par une puissance de /j>. 

désignons maintenant pary(/) le polynôme 

car nous verrons [)lus loin que la relation (i) ne contient qu'un 
nombre fini de termes (9), et posons 

La condition (1) s'é'cril 

( -2 ) I* I .r I — • 



— 177 — 
cl eniraiiu* diverses sujélions enlre : 

les eooidonnées du point .r ; 

les eoenieieiils de polynôme /"(/•) ; 

la siihstiliilion //-aire/;. 

Je nie propose d'éUidicr ces sujélions. 

9. On sait (Frobenius, p. ?.()) cpie toute /^-aire /y satisfait à imc 
é<j nation de degré minimum 

où le polynôme '}(/), de degré nQ^n, a l'expression construite 
|)lus loin (21). Posons 

Q = ^(/>>; 

la /?-aire Q sera identiquement zéro et, pour tout point ./•, on a 

Q[;r] = ^0 27 + ei/?[^J -i-. . .-+- en„p"'^[x] = o, 

^(r) = eo^ eir-^. . .+ e„„r"o (e„^^ o). 

De plus, pour tout entier o* non négatif, on a 



2 



T 
T =: O, I , . . ., «0 ' » l-7t = COnsL 

Tout point />^[<3;], T^o, dépend donc linéairement des /?o points 
Passons aux poinls y>'~'^[-ï]» <3" >• o, c'est-à-dire aux [)oints 

Dans le poljnonie ']>(/) on a ^o^ o, car, autrement, on pourrait 
diviser à(p) par /?, car | yo | ^ o, et l'équation 'i^(/?) = o aurait son 
degré inférieur à «o, ce que nous excluons. 

Posons 

^('') = eo-i-rr.ir), T.{r) == ei^ e-ir -r-. . .. 
On a 

E étant la //-aire unité. 



- 178 — 
Enfin 

r7T=/>-« = - — 7r(//). 

J^es points ^'^[^j dépendenl encore linéairement des /Iq points (i). 
Le présent raisonnement montre que : 

1. La droite x du n" 6 a un degré fini, égal on inférieur à n^)] 

IL Le premier membre de la relation (i) du n" 8 contient un 
nombre fini de termes. 

Je suis maintenant à même d'étudier les conditions (8) 

J'{r) étant un [)oljnome. 

JO. Désignons par des minuscules grecques des polynômes 

a(/-), ^(r), 7(/-), ••• 
et par des majuscules latines 

A = «(/?), B = p(/?), G = y(/?), 

les /«-aires correspondantes, fonctions entières dé la /i-aire/?. 

A, B, . . . sont échangeables entre elles et tous les calculs de 
multiplication et d'addition se font suivant les règles de l'Algèbre 
élémentaire, comme les calculs analogues sur les polynômes a(/'), 

?{'■),...■ 

J^EMME L — *S'/ 

Y(/-) = a(/-j(i(r) ef V,\x] = o, 

on a aussi 

C\x\ = (). 

En elFet 

C = AH, C[:?;| = AB|.rJ :^ (». 

Ainsi la condition 

K\\2- I =: () 

est /<//c' conséquence de la relation 

1) I O-J = o. 



— 179 — 

Supposons (jiio ij(/') i« un «Icji^rc siipcriciii' ou cj^al à celui de cf.( /•). 
l)i\isous |j piir a; iionirnons rry(/) I(î (juolienl (;l c-(/') le reste, 

LiMMi, M. — A^'A- deux rcUttioiis 

A|./-l^<) et r,|./;| rr: (), 

si elles coexislciil , ont pour conséquence la l'ebttion 

iq.r] = o. 
Ou a, (îu cHel, 

H = PA -+- K et o = \\\x\ ^ (l»A -i- R)[.r) =- PAI-r] -^ U|./| =..: H|,r|, 

car 

PA|:rJ = o ( lenuîic I). 

Ou peut recommencer le raisonnement sur les deux l'elalions 
A[.r] = o et R[,r] et sur les deux polynômes a(/) et p(/'). On 
continuera jusqu'à ce qu'on parvienne au plus grand commun di- 
viseur o(^/*) de a(/-) et p(/'). 

Corollaire. — Les deux relations A[x] = o et B[.r] = o, si 
elles coexistenly sont conséquences de la relation unique 
D[x] = o. 

En efl'et, on vient de voir (lemmell ) queD[j;] = o. Or A = LD 
et B = ]MD, SI a = Ao, [j =: ijio, et le raisonnement s'achève par le 
corollaire du lemme I. 

11. Soient a, [^, y, . . . divers polynômes en /• et o(/") leur plus 
grand commun diviseur. 

Théorèmi:. — Les relations K[x^^=^ i)^\^Yx^^=^o^ C[x'] = o,... 
sont, si elles coexistent, consécjuences de la. relation unique 
D[x] = o. 

La proposition découle immédiatement du corollaiie du 
lemme II. Remarquons par contre deux choses. 

D'abord, dans la présente théoiie, il est licite, en vertu du n"9, 
d'introduire seulement des polvnomes a, [3, "',... de degré limité, 
égal ou inférieur à /Zo (9). 



— 180 — 

En second Ii(Hi le ihéorcme ne serait pas infirmé si les relations 
A[.r] = o, ]^[.2'] = o, ... étaient en nombre illimité ou même 
infini. 

12. Reprenons (9) l'équation 

^{p) = o 

de degré minimum à laquelle satisfait/?. 

Soient un j)oint x de l'espace et une droite x^ qui part de x. 
On a (8, in /ine) des relations en nombre illimité 

(i) Pi[^l-o, V2[^]=0, 

I*i-Fi(/>), V,= F,{p), 
J^'(/-), F2(/'), ...= polynômes. 

On a sûrement, pour ce point x là, 
puisque 

Nommons /(/') le [)lus grand commun diviseur des divers poly- 
nômes F(/) et du polynôme ^{f) et écrivons 

Toutes les relations (i) sont conséquences de la relation unique 

r\x\ = o. 

Dès lors notre [)roblème se décompose en deux problèmes réci- 
proques JV et M. 

51 . Après avoir choisi, parmi les diviseurs du polynôme <J» (/'), 
le polynôme /(r) de degré A, trouver à quelles conditions doit 
satisfaire un poiiït x pour que l'on ait 

sans avoir, j)our ce même point x, pour un autre diviseur f^ de 

I>,[^J = o, P, = /,(/>), 

à moins que le diviseur f\ ne soit divisible par f. 



Jp. Un point ./■ i'Utnt (/(innr, Irouvci' ixirnii les (li^Lsrurs 

(le '!'(/■) ii/i polynôme J\r) de degré mlninnim li^ tel (fue Uon, 

(lit 

l>[:r-l:-(,, P =/(/>). 

La soltilioii (In prohlènic ÏI» est cx(Mnj)le (J'aml)i«^iiïL<j : si Ton 
hoiivail deux diviseurs y et /, du même degrc' //, ils ik; sauraient 
être distincts, (;ar leur plus grand commun diviseur aurait au^si le 
degré h. 

11^ Passons à la construction des droites x (6). Une pareille 
droite est connue dès qu'on possède le point x dont elle est issue. 

Donnons-nous un point. r et introduisons la suite H, (6j. Le pro- 
blème 13, une fois résolu, donne un polynôme de degré h 

/( /•) ^ Co -h c, /' H- . . . ^ eu r'>- 
diviseur de '}(/') Entre des points de la suite S existe la relation 

o = I*[.r] = CqX -\- Cl /?[.r] -+-...+ c^p'' [x\ 

qui permet d'exprimer, de proche en proche, tous les points de Z 
linéairement à l'aide des h points 

X, p[x], ..., pi^'-^[x\. 

Ces derniers points eux-mêmes sont d'ailleurs linéairement dis- 
tincts, car si l'on avait par exemple 

o = P'[^J = c[,^ -h. . .+ cirp'''[x], h' <, A, 

le polynôme f{r) fourni par la solution du problème S ne serait 
pas de degré minimum, ce qui est contre l'hypothèse. 

Donc le degié h du polynôme ./(/') est précisément aussi le 
degré de la droite x issue du point x. 

Récijnoquement, donnons-nous h et cherchons les droites x 
qui ont ce degré, ou, ce qui revient au même, les points x, ori- 
gines de ces droites x. 

Parmi les diviseurs, de degré /<, que possède le polynôme 'i'^/'), 
choisissons f{r). Le [)roblème ^, su|)])osé résolu, donne tous les 
points X cherchés. 



- 18-2 - 

On a toutes les ^, en passant en revue les dej^iés h et, pour 
chaque A, les différents diviseurs de '}(/) fjni ont ce degré. 
Il est évident que h ne peut dépasser Je degré /?,, de •^(/■)- 

En résumé : si Von sait fésoudre les problèmes Jt et ÎJ, on 
saura construire toutes les droites x. 

14. Une droite fondamentale dm, de degré ni, est une collec- 
tion (7) de droites x^ de degré A, avec m =N A. 

Donnons-nous ni et clicrchons tous les systèmes d'entiers posi- 
tifs Il tels que 

m = \ A, h^-fiii, f^o— degré de ^(r). 

On n'a qu'un nombre limité de systèmes. 

Les II une fois choisis, on construira, comme il vient d'être dit, 

les droites x dont la collection constitue d,„. 

La conclusion est celle-ci : la construction des droites fonda- 
mentales se ramène ci la construction des droites x^ c^ est-à-dire 
Cl la résolution des problèmes '^ eil&. 

C'est ce dont on va s'occuper, a|)rcs une discussion préalable 
d'algèbre élémentaire que voici. 

lo. Considérons deux suites Iv et Z de À (piantilés chacune, 
rangées par ordre croissant d'indices 

K Ko, K,, ..., K^,, ..., K)_,, 

Supposons Jes 2A quantités Ko^ et i?^ bées j)ar les À équations 11 

; Ko«i-T-.. .+ K..c.^,H-. ..H- K). i^).= o, 
^ ko ^2 ^ • • . + 1<A' %+2 -^ . • . -T- K). 2 -À = o, 

] • 

i Ko -À i-H Kicx= o, 

I • Ko->. = 0. 

Prenant successivement pour inconnues soit les z^ soit les K, on a 



- I8;{ - 



l('> deux iMiti iKM's A — ;nr<;s 



el 



K = 



Ko 


K, 


K, 


Kî 




K/ :; 


K/ 1 


() 


Ko 


K, 


K, 


. 


.... 


Ky , 


o 


() 


Ko 


K, 


• 


. . . . 


K/ . 


() 


() 






o 


Ko 


K, 


(> 


() 


<) 




<) 


o 


Ko 



-•1 


») 2 


^i 


^'l 





'^'A 2 


->/, I 


■"/ 


Z 2 


-^3 


^V 




. Zl -2 


^i I 


^). 


o 


^:j 








-3). 1 


^>, 


o 


o 


^l 1 


-^À 


o 


o 


O 


. . . . 


.... 


o 


-A 


O 


o 


. 


o 




.... 


o 



Dans K, la g-\cme colonne conlienl les coefficients que possède 
dans le système Q l'inconnue ^^+1. Dans Z, la a-ièine colonne est 
celle des coefficients que possède, dans 0, l'inconnue Kri_,. 

16. Discutons la façon dont le système ù détermine les incon- 
nues Zri. On s'assure aisément de ce qui suit. 

Si Ko^o, toutes les ^^ sont nulles. Si Ko = o, mais K,^(), 
l'inconnue z^ ne figure plus dans Q et reste arbitraire, mais les 
\ — I autres inconnues sont nulles. 



En général : si la suite Iv débute exactement par n zéros, o-^ A, 
Ko =^ Kl = . . . = K^-i = 0, K^ 7^ o, 

alors les 1 premières inconnues ^,, ..., Z(j ne Jigurent plus 
dans Q et restent arbitraires, tandis que les A — o- dernières 



-•T^-ij -'a+2» 



sont des zéros. 



La suite Z se Iciniine par A — 7 lcio^ au moi/is, car le système U 
ne nous apprend rien sur les valeurs de .3|, . . ., Za ^^l est satisfait 
indépendamnjcnt d'elles. 



— 184 — 

17. Eludions la façon dont le système iî délermine les A incon- 
nnes K^. Une discussion analogue à celle ci-dessus montre ce qui 
suit : 

Si la suite L se termine exactement par A — i zéros 

z\ = Z}-i = . . .= A(r+i = o, Zfj ^ o, 

alors la suite Jv débute par t zéros au moins 

Ko= Ki = .. .=^ K(y_i = o, 

tandis que les A — a- derniers termes de la suite 

ne figurent plus dans il et restent indéterminées. 

Les équations ù ne nous apprennent plus rien sur les valeurs 
de Ka, . . ., Kx_,. 

18. Pour résoudre les problèmes 51 et ÎJ (12), je supposerai 
(ce qui ne restreint en rien la généralité) la n — aire/?, de déter- 
minant \p\y£o^ ramenée à l'expression typique dont j'ai fait 
usage ailleurs (') déjà. 

Supposons la fonction caractéristique 

^{r)=\rE-p\ 

de /?, où E est la n — aire unité, décomposée en ses Elementar- 
teiler ou successifs 



(/•)=fj(r -/)>-, n=^\ 



l étant une racine de l'équation caractéristique (D, '^(/') = o. 
Au successif (/• — /)^ corres[)ondent : 

i"^ Une màVvvi^e partielle on composante A — aire i^; >." 2 A va- 
riables Zrx et n'a j a =::: I , .2, . . ., A j choisies parmi les 'in variables Xj 
eluj \j= i, 2, ..., n\. 



(') Sur les connexes linéaires dans l'espace à n—\ dimensions [Comptes 
rendus du 9 mai 1904 ). — Sur les formes mixtes {Annales de l' Université de 
Lyon, 1903 ) : prcinicac Partie du ÎMctnoirc. 



— isr; — 

Nommons y (^ .s) un syinholc, Ici (|ii(' 

I y(}t) = o, pour .s ni-^iilif, S < o, 

I y[s)=zi, pour .V positif ou nul, 5^0. 

î.a fonnr hiliiicairc L(:?; iv) osl (3) 

a a 

Dans cliaqiio composante L les variables Zq^, par exemple, so/// 
rans:>ées dans un ordre déterminé. 

L'expression typique est, pour la n — aire/?, 

p{x; II) =^L(:;; w), 

\ s'étendant aux diverses composantes L. 

Je range dans nn même hypersystènie (/) les diverses compo- 
santes où le / est égal à une même racine distincte de l'équalion 
(caractéristique. 

19. Reprenons le polynôme ,/(/*) et la n — aire P = y*(/?), 
déjà considérés plus haut (problèmes JV et ©). Puisque, dans 

l'expression typique, p = 7 L, on a 

I^ =/(/>) =2 A, A-/(L). 

Les relations P[^] = o se traduisent, sur les variables Zy^ de la 
composante L, par les relations 

A [ 5 ] = o, 
qu'on a à étudier. 

20. On peut écrire 

où la n — aire S est, ] a === [ , 2, . . . , Â [, 

S = I -a ^a^i/.O^ — I — ^.>!, 

tandis que E esl la // — aire unité. De plus S'^^o. 



— 18G — 
Un calcul simple nionlre fjiie 

s 
^ = o, ,, ..,,A-., K„.=._-_^_. 

Les conditions A[g] = o s'écrivent 

puisque 

Sfr = I ^a -a+^ Z( ^^ — .4'' — « ) I- 

On est conduit entre les 2). quantités Ko- et z^^ précisément au 
système ù déjà étudié (15, 16, 17). 

21. (Construisons le polynôme '|'(/), de dei^ré /?o, tel que 
'l{p) = o soit l'équation de degré minimum à laquelle satisfait />. 

Frohenius (p. 26) enseigne à construire '}(/*)• Voici la règle, 
traduite dans la terminologie actuelle. 

Nommons, pour l'hypersystème (/), ).o Tordre maximum des 
composantes L, A^Aq. 11 viendra 

la somme et le produit s'étendant aux divers lijpersjstèmes (/) 
de p. 

Je dirai que dans un hypersystème (/) une composante L est 
principale, si l'ordre ). de L est précisément égal au maximum Ay. 

Un polynôme /"(/•), de degré /«, diviseur de 6(/), est évidemment 

/(o=f|(/■-/J^ /'=2[^, 

L'exposant ja, que jjossède dansj\i') le facteur r — /, ne peut 
dépasser l'ordre X d^ une composante principale dans l' hyper- 
système (/). 

22. On a vu (20) (jue, dans une même composanle L. les z^x et 
les K,. sont liées par le système Q. 



- 1S7 ~ 
Siij)j)<)S()ns (^wc : 

la siiilc K (l('l)iil(' |)iU" T z('i*os 

Ko = ...— Kx 1 =^ o, K^/ o; 

la suite '/j se lenniiie par A — t zéros 

■"(T 7^ o, ^or4 l = . . . :^ 5X = O. 

Si Ton se donne t (cas du n"* 16) la suite Z se termine par). — t zé- 
ros <7// DioLus ; par suite A — t ;JX — t, t^ g-, 7 = 7 — c, e étant un 
entier non néi^alif. 

Si l'on se donne t (cas du n" 17), la suite R débute par t zéros 
an moins, o-^t et encore t = t — £. 

Donc la formule a- = t — £ est générale, à condition bien 
entendu que t^â, c^).. 



!23. Gomme (20) 






=t /(/•)=JJ(/•-/)^ 



on a 






si \x < X, 

si [-t>X; 



ce qu on exprmic par la lormule unique 

y (5) = o ou I suivant que ^ <C o ou a' > o. 

Si l'on a affaire à une composante principale (!21, in fine)u.'^/. 
et T = a. Enfin, pour une composante principale, il vient (2i2) 



M 



Problème ^. 



24. Le poljnome 
une fois choisi, on possède les exposants a, ainsi que les quantités 

1 ùsf(1^ 

i( ! Oh 



— 188 — 
el le nombre t, du n" %], 

z = ix-h(l—iJ.)yJix — \). 

Parmi les 1 inconnues z^^^ les ). — <j dernières sont nulles, les 
0- premières arbitraires (cas du n" 16). Enfin i = ■: — £, s = non 
négatif. 

Pour une composante principale t = [jl, (t = ji. — £. 

La solution du problème 51 se formule ainsi : après avoir chohi 
le polynôme 

/(/•) = fX(/•-o^ /'=2'^' 

c^ est-à-dire l^ exposant a afférent à cliaqne hypersystème (/), 
on annule, dans la composante k — aire L de (/), les 

(o) X _ T = X - 1 [Jl -h (X - ix)yj [jt - X); = (X - [Jl) î I - yJiJ. ^ X )1 

dernières variables z^.^ en laissant aux 

(i) T = î^-l-(X — ix)yJix — \) 

premières des valeurs quelconques. 

2o. La solution du problème %> ainsi énoncée répond-elle à 
renoncé du problème donné au n" 12? Autrement dit : existet-il, 
pour le même point x (ou les mêmes z^)^ un autre [)olynome, non 
divisible pai- f(r)^ 

tel que (avec des notations faciles à comprendre) on ait encore 

a,[g] = o, \, = A(py^ 

Non, tant que les r^, non forcément nulles, conservent des va- 
leurs quelconques, \oici comment on s'en assure. 

Puisque /(/•) ne divise pas /i('), on trouvera au moins nn 
liypers}'stème (/) dans lequel p., << [J. ou ij., =: a — 0, B = entier 
positif. Prenons une composante [)rincipale L de cet hjper- 
svslème (/). On aura à la lois à Icnir compte de A el de A,. 



ISI) — 



rODons coiunlc (le A. Soiil l()r((''Mi(;iil iiiillcs les A -: -rz /, — <x 
(Iciiiiri'cs Zy^. Les v. nicin irrcs coiiscis ;iii I do \;ilciiis (juclcninjuos, 
on iciii 



(') 



Mj./ »>; 



'[j.-f 1 — • • • — ->, — <'• 



'IV'nons coniplc de A,. I.a CormiiKî (•>) du ii" !2)> domic, ;jv(;c des 
iiolalions ia('d<'S à (•.omprcndre, 



^,^o. 



On doil (aiiHî i:^ 4- i zr=: o, ce <j(ii est coiiliairc; à (1), cai" 

•JL < a — — £ , + I . 

On nciil se (l('inaiid(M' si l(* raisoniicnicnl, snhsisic en parlicula- 
risanl les c^ arhil raiies. ('cla rcvionl à se doniici' les Zrj_ et l'on est 
ramené an prohiènie |3. 

Problème ®. 

26. Donnons-nons le poirU .r, c'esL-à-dire les Zrf_^ et cherchons 
à conslrnire le polynôme ,/(/), de de^ré minimnm, c'est-à-dire à 
calculer les exposiinls a. 

Supposons cpie dans la composanle À — aire L on ait 



-fj?^ o, 



'a+i — • • • — -^A — <^>) 



c'est-à-dire que la suite Z se termine par A — a- zéros. On possède 
le nombre cr puiscpTon possède les Zrj^. On a ( n" ':2i) 



et, comme /"(/') est divisible par (/• — /)^, fw") est divisible par 

(/• — /)'^+-. Donc 

Nommons t„ le maximum des nombres t pour les dldérentes com- 
posantes Jj de riijpersj'stème (/). On a a^cr^. Comme fij') doil 
avoir le degré minimum, on fera a = o-,,. Bien enlcndu, le 'jl ainsi 
calcub; doit être a^Af,? A,)=0''<^b'e maximum des composanles L 

'Jc(/); 

D'ailleurs, comme o ^ t ^ A, t 5 '3"o5 ^^1^ >'^oi b> condition •/ = ■7,,'^ A,, 
peut cire satisfailc. 

X \ \ 1 1 1 . 1 3 



- lUO — 

La solution du prohlcnic Î9 se foiinulc doue ainsi : quand on 
se donne le point x^ desl-à-diie, pour chaque composante 
\ — aire L de VJiyper système (l), les valeurs de z^, on possède 
le nombre a- tel que 

nommons a-,» le maximum des g- j)oui- les différentes L de (/); 
V exposant du facteur r — / dans le polvnome /(/') sei-a jnéci- 
sément u = t„. 

l\^ur un point x pris au hasard da[}s l'espace, aucune des ^^ 
n'est zéro; c- = A, ^o = ^m)^ .A'') ^^ confond avec '}(/'). 

^7. Appliquons la méthode, qui vient d êtie exposée, à con- 
slruire les j)oinls fondamentaux de />, c'est-à-dire les droites fon- 
damentales <'/, de degré i ( n"^ !2 et 3). 

On a m = i. d\ contient une seule droite x de degré h =: i , Le 
polvnomey"(/') est de degré i. J^'exposant jjl est zéro pour tous les 
iivpersjslèmes, sauf un^ (/) par exemple. Pour (/), a =r i . 

Prenons une composante À — aire L de riivpersvstème (/'), 
/'^ /. On a a = o. J^a formule (o) du n*^'2i ( problème 21 ) montre 
qu'il faut annuler les A dernières Zoi_^ c'est-à-dire les annuler toules. 

Supposons, au contraire, cpie J^ est dans ThypersYStème (/). 
Alors u. = \ . 

Si A >> 1 , la règle du n" 24 (|)roblème 51) nn^nlre que l'on doit 

faire 

;3j = a rbiii'., ^o =^ -^3 = • • • = -^À = <>• 

Si A = i, c, l'unique variable z^x, doit rester arbitraire. 

'J'out cela est d'ac'coid avec la l'èglc (pie j'ai d(''jà donnée dans 
ma Noie aux Comptes rendus i\\\ () mai \(Y'>\. 



'.Il - 



SUR LE CAS D'EXCEPTION DE M. PICARD 
ET LES FONCTIONS MULTIFORMES; 

l\ir' M. ( I i:<) lu; i;s I» k m oi; in dos. 

I, (]c, liavnil est le (Irvcloppcrnciil d une Nolo piiMiro dans les 
(\)i}}/)lcs i-cndus (le V .\c<((li''i)iii' des Sciences ( qo jniii i()o4 )• 
Diiiis iiion Mi'-moiiM', (jiii il ('[{' |)i(';s(Mil(' à la l'aciilh': d(;s Sciences 
de Paris comme llièse de 11 iniversih'', je; fais l'éLiide des /cros des 
ionclions mnllirormes en élendanl le lli('orèmc de AI. f^card cl ses 
j;énéralisalions à loiilcs les foncLions ajani un nombre (ini {\c. 
hranclies, définies par iiiu^ ('<|nalioii lelle (jiie 

J\ z , // ) = iC^ H- A I ( ô ) (C'-^ • I- A2( ^ ) uy -'- + . . . -f- Av 1 ( :? ) /A -i- Av ( j ) — o, 

les A/(c-) élanl d(\s Ionclions entières ou bien des Ionclions nni- 
fornies dans le Noisinaj^e i\\\n point singulier essenliel isolé, et à 
certaines classes de; fondions à v\\\ noml)re iiilini de branches 
(^voir Coinples rendus, 8 févri(?r i()o^). 

J'ai, à pbisKMirs reprises, signalé le lait (pie ces reclierclies ont 
j)onr base un théorème (ondamenlal de la ihéorie des fonctions, 
dû à AI. Borel. (]e théorème s'énonce comme il suit : 

Si les JoncLÏons entières i)i(z) croissent /noi/ts vite g ne el^-^'-K 
les exposants 11/ (-3) croissant tons />liis vile cpte [y-f/')]'"*"'^, ^'i' 
y. est nn nondtre positif (juelcon(iue, l' identité 

( I ) Qi ( 3 )e"''-' -^ Q,( j )6>"-^'-' -T- . . . 4- Q,, ( ;; )6'""'-^ = o 

entrctîne {^) la nullité de tons les coe//icie/tts i^i( z). 

Dans le cas où les b)nelions 0/(:;) et H/(;) sont d'ordre fini, 
le théorème de M. Bord est susce|)tible d'une générallsalion, grâce 
à (piebpies résnllats de MM. Lindelof (-) et l^outroux (^ '). 



(') Nous supposons (juc riilciilitc ne soil pas récliicliltlc à une iuilie tle même 
forme et a_)iiiiL un nombre inoindie crexponenliclles (de termes); en d'aulres 
lerifies, nous supposons (|ue toutes les diiïérences II, (■3) — U/;'-^) jouissent elles- 
mêmes de la propriété de croître plus \ile (pie | ix( /• )J' * '^■. 

(-) Ac/a Sncielatis scientiuruni Fennicœ, t. \\\I, n" L n)0.?. 

(') TFicse Sur r/iipiqucx proprU'Iesi (tes f())}rli()n'< cnfi'TC< (Stocklinlrn. Ccnlrnl- 
tryckeriet ). 



— 10-2 — 

•2. I)';i])r('3s CCS anteiirs, si le module maximum M(/) d'une 
(ouclion (Milicî'C F(r) salisfait aux iu(''i;,aIiLés 

1 1M(/-) '^ <j/- ilo^'/-,?i(lojr.,/-i?2...;io-,//-i?;A-^' 

la première à partir (run(; cerlainc valeur de /cl. la s(;condc p<jui' 
une infinité de valeurs de /' dépassant toute limite donnée, on aura 
aussi l'inégalilé 

pour une infinité de valeurs de /• de modide croissant indéfini- 
ment. C'est le lliéorème l)ien connu de M. Hadamaid (sur le 
module minimum) précisé. 

Dans son travail puhlié par \ Arklv for Malematlk, Asiro- 
nom'i, ocii Fisik, ul ^ifveiaf k. Si,venska Veienskapsakadeinien^ 
M. Wiman a précisé le théorème de lM. Hadamard d'une autre ma- 
nière relativement aux intervalles cV exclusion . D'après ses résul- 
tats, la lonj^ueur d'un intervalle d'exclusion commençant par r^ 
peut être prise éi^ale à /'oV, V étant un nondirc positif, aussi petit 
(jue l'on voudra, fixé d'avance. 

On en déduit le fait suivant, important pour notre hut, à savoir : 

Etant donné un nombre quelconque fini de fonctions en- 
tières, il y a toujours une infinité de valeurs de r de module 
croissant ijidé/iniment^ pour lesquelles toutes ces fonctions 
satisfo/)t à l^ inégalité (3). 

Dans une JNole récente du Ihilletin de la Société mathéma- 
tique de France (t. XXXH, 1904, p. 3i4) nous avons précisé 
davantai^e le théorème de M. Hadamard concernant les points 
d'exclusion, mais saLis utiliser la définition d'ordre de i^i(/■) [)lus 
j)récise de MM. Lindeliif et Boulroux. 

3. En précisant un résultat de M. Borel, M. Jîoutronx a pu 
énoncer un théorème tiès important sur la croissance de la dérivée 
d'une fonction entière : il a démontré cpie, si l'on exclut du cham|) 
de la variable certaines aires fermées entourant les pôles, aires 
dont la somme peut être rendue négligeable, la dérivée lo<;arit]i- 
micpic d'une fonction enlière de j.;enre fini est comparable, par- 



(oui iiillcms, à uik; puissance (iiiK; (l<; hi \iMii»l)l(' ( riiùsc, (i(;uxiùine 

n résiillc iiniiK'diiiIcmciil de l;i ([ik;, si uik; (oiicI ioii I''( r ) sal isfciiL 
aux mé<^alil(''S ('^.), i! <'ii sera de miNinî de sa (h'-nvéc V'( z)^ j)()iirvu 
(|ii<' Ton y remplace z par £, <^ î. l'ji (Taiilres termes, la d(riv(''(î 
!''(::) a Uî même ordre (0,0,, o^? •• •? pix) ^|"<-* '«' fonclioii l''(-3), 
même lors(jir()ii alLrilju(; à la iiolioii (1(3 Tordre le s(;ms plus lai'^(; 
cor)sidér(; par M. Lindelof. 

Considérons malnlenanl un nombre fini de fonellons Fi(3j, 
F2(^)i •••) Fw(-3) (Tordre (p, p,, p^i •••; P[jl) ^'I- ^'"^ fonelion 
ll^F,,F2, ...,F„/) ralionnelle ( ' ) [)ar rap[)orL à F, (g), I^\(g), ..., 
Fw(^); il est clair (pie les insultais ci-dessns indi(|U(3s nous con- 
duisent à Ja conclusion (jue le module de la fonelion 

sei'd compris sur une injinllé de cercles de rayons croissant 
indéjininieni \cf. Borkl, Sur les zéros des fonctions entières 
[jicta niatlieniaticci, l. X\, 189'j )], cvî^/ï? 

g/-? Oog/rMlo!,',/-)?^...(I()R.;^ /•)?;>■+' et e-''°(log/vMlo{î,'v?^..'lo;,',^/-)';^"^\ 

Dès lors, il est aisé, en utilisant les résultais exposés plus liant 
et en suivant exactement le procédé par lequel M. Bord a démon- 
tré son ihéorème, d'établir le théorème suivant : 

Si les fonctions Q/(^) croissent moins vite que 

g/-? (log /•)?! (log:^ iT-'.. .[\o'A^^ /'l^l^^ 

tandis que les fonctions 11/(3) croissent plus vite que 

a étant un nombre positif quelconque, l identité 

(4) Q,(:^)e"i<^>-^Q2(3)c^",..,_^0^^(-^^ai,r.^o 

entraîne (- ) 

Qi(-;=o, Q,(3j = o, ..., Q,,(3) = (). 

(') D'une façon plus précise, il en serait de rnènic il'unc fonelion ralionnelle 
(les F,, F.„ ..., l'\„ et de leurs dérivées d'ordre qiielcon(|ue (en nombre fini). 

(-) On suppose toujours qu'aucune des dillérenccs ll,(^) — ";(^) i*-' ^•'i'- 
d'ordre inférieur à /•>"( log/- )?i ( log, /• )?^. ..( log /•)?;<.. (J'utilise ici lu tiélinilion 
d'ordre donnée |iar .M. Lindelof.) 



- 11)4 — 

C'osI une «^cncralisalion du cas coii'cspondaiil du Lliéorc-mc de 
M. Bord; le lecteur est pi-ié de se leporler à son Mé'uioire précité 
([). 385) pour se rendre bien eoinpLe des lésullaLs de ce travail. 

I. J'exposerai maintenant une cxtcrision du tliéoiènic de 
IM. Borel, extension poussée assez loin pour permettre de consi- 
dérer des idenlilés de la forme (i), où les coeflicients Q/(g) et les 
exposants ll/( c) ne sont |)lus des fonctions analyliques. A cette 
exter)sion nous conduisent les résultats remarcpiahles auxquels 
jNJ. a. VViman est arrivé par les considérations plus |)récises du 
mode de ci^oissance de ^J(/') dues à MM. Boulroux et J^in- 
del()f : JNI. Wiman a mis en lumière le cas où les inéi^alilés 
établies par ces auteurs, entre l'ordre de grandeur du module 
n)a\imum et la distribution des zéros, ne sont plus vérifiées. C'est 
un cas d'exception de M. Picard généralisé. j\J. Wiman a montré 
(pie, lorsque ce cas se présente, la fonction entière F(:?) se décom- 
pose comme il suit : 



{')) 



V{z)^V,(z)e 






^ F(z)=^F,iz)e 






dans le cas 



dans le cas 



P = ? 



p = p. 



I, 



p désignant le genre et o l'ordre de F(3), le deuxième facteur, cpii 
croît comme une exponentielle, ayant un ordre de grandeur supé- 
rieur à celui de F,(r); j'entends par là que, si le module maxi- 
mum M(/)de V{z) est de Tordre ^'> tlo^-■.''Mlo,^./■)?^...^lo,^,,.V^ celui de 

F, (:;) reste inférieur à 6'' '""^''■'^'••"'*^> '■''■'"', a étant un nombre positif 
quelconf|U(^ Quant à l'entiei- /i,, qui figure dans les formules (5 ), 
il est délini par les inégalités 

(6) /•„^< /•< /•„, + !, 

;• élant toujours le module de z et /// celui du zéro a,i de rang n ; 
on voit bien (jue le nondjre /^i, ainsi défini, est une fonction 

oc 

de /• = I :? 1 et (pTM en est de même de la somme > —^ que nous 

" Il 
"' 
désignerons par qw). Il en résulte que le facteur exponentiel 



(7) 



i{z) = e 



q (/•! 



- wr.i — 

iTcsl pas une IoikIioii aiiiils Ii(|ii(>, |)iiis({ii(; la IoiicI ioii 

n csl pas une lonclion anal\lupi(' de z, cl il en e>l ii(';('.essair(;ui(;nL 
(le même (!<; Taulre (a(-Ieui- ^,(3). (^ommc M. W'iman Ta moniré, 
la lonehon l''(^) (loil, vAic considérée connue (;\(;epLionnell(î, 
pnis(pic aucune des fonclions V ( z) -}- /( z )^ on /'( 3) dcsij^nf; nue 
fonclion d'ordre inférieui- à celui de F(-3), ne saurait piés(;nler l(;s 
mêmes caraclèr(;s cpie F(3); nous sonunes donc en présence d'un 
cas d'exception» qui comprend comme cas parliculier le cas d ex- 
ception usuel et dont le caractère exceptionnel n'a ]mi se jirésenter 
que par une décomposilion de la lonclion F(3) en deux fa(;teufs 
non analytù/ncs par rapport à z. 

o. Su[)posons maintenant fjue le plus grand des ordres des 
coelïîcients A,(c), qui figurent dans la fonction f{z^ u), soit 

Il est d'abord facile de constater qu'il est impossible d'avoir v 
valeurs de u, z^,, t/^y • • -, if^, pour lesquelles la fonction f[z^u) 
soit d'ordre inférieur à (8), parce que, s'il en était ainsi, il résul- 
terait de la résolution des équations 

que toi/s les coefficients A/(v) seraient d'ordre inférieur à (8), ce 
qui est contradictoire aNCC notre lijpotlièse. S'il y a de telles va- 
leurs de if^ ap])eions-les valeurs exceptionnelles (E). 

Supposons maintenant qu'il j ait v + j valeurs de a autres 
que (E), j)our les(|uelles la fonction /(3, u) soit exceptionnelle 
au sens |)récis du mot, d'après M. Wiman. Je dis que cela est 
impossible. 

Soient, en elTet, u^^ a^^ Ui-, ... u^ ces v 4- i valeurs de u] on 
aura 

(10) J f(z^ Kl) =Ji{z)e ' ? , 



J ( z, uy ) = Vv [ z)c -' r- 



- 19G ~ 

les y'(^(c), /, (:;), ..., /*v(^) clt'si{;n;uil des lonclions (non analy- 
tiques, en général ) d'ordre inférieur à ((S) cl les rji dési<»iiant les 
sommes de M. A\ iman indiquées plus liaul, qui, ne déj)endant 
(|ue de 7'= (g), sont telles que les faeleurs exjionenliels soient de 
Tordre (8). 

(iOninie M. Wimaii Ta démontré dans son travail cilé, les lone- 
lions/,(i;) obéissent aux inéf^alités de MM. BoulrouK et Lindelcif 
et au théorème de M. Hadain;ird sur le modide minimum. 

D'autre [)art, si nous di(T<;rentions les deux mendjres de 
Tégalité 

(11) F,iz)=f(z,u,)=fi(z)é' 

en faisant varier la variable sur la eirconfércnce de rayon /•, nous 
obtent)ns 

(ri) F-(z)=^e^'nf,{z)-i-qifi(^)z?~^\. 

Or, le rapport l''^(3) : F/ (z) est comparable (' ), d'après les ré- 
sultats de M. Boutroux, à une puissance finie de z et, |)ar consé- 
quent, F^(;) est exceptionnelle, au sens de M. \\inian, en même 
lemps que F/(::). 

11 n'y a donc (]ue deux liy[)otlièses possibles pour la fonction 

on bien elle est aussi exceplionnelle (-), ou bien elle est d'ordre 
moindre que (8). Mais il n'est pas difficile de constater que c'est 
la seconde hypotlièse qui est vraie : si l'on divise, en effet, membre 
à membie, les deux égalités (i i) et (12), on oblient 

Le rapport F^(g) : F/(3) étant comparable à une puissance finie 
de c (si l'on exclut le voisinage immédiat des zéros), il en est de 
même de /^'(j) : fi{Z') et, par conséipient, l'ordre de fi{^) n'est 



(') Sauf \c voisinage iinmodial des zéros de K,(;;). 

(-) CVsL-à-dire susccplible d'une décomposilion de 1\I. Wiiiian ayunL un fadeur 

principal de la forme c ? . 



- Iî)7 - 

pas siijx'riciir à ccliii de J)(z). Il en im'siiIic (Jiic la (l(';ilvcf; l')(v) a 

le inrrn(^ {,\(\v\\v /niin i/xi I. r. f' (jik' la (onclioii ViCz). Il est main- 
Icrjaiil ais('' de pioiixcr (|ti<; le \\n'\vA\\' f'i(^z)-\- f/ i /){ z ) z'' ' dans la 
(lc(M>m|)()sili()u (i •.>,)()!){'' il au llH'orriiuî dv. M. Iladamaid sur co 
Mïodulc mininuim; si l'on cH'cîchKî, vu cllcl, la dccoinposluon 
régulière de la fouclion cxceplionnclle ^/(^) suivant la nnUliodc 
de M. W iujaii [voi/' le j)aragraplic 4; on pourrait ra[)peler : dc- 
composilio/i de M. U inia/i), on obtient 



(i5) 






avec 



(iG) *^'^— ^-^p {P = 9 — ^) ou bien ^'^^'fj^ iP = 9)^ 



les a\, (7/,, rt'p . . ., a],^ . . . désignant les zéros de ^'i{z) et 'f/(c) 

h,— 

avant un ordre inférieur à celui de e P. 
Nous aurons 



('7) 



f[{^) + <lifd-)^^~' = ^i{-)e'^^ ''^'^' (')■ 



Gomme nous Tavonsdit plus haut, M. Wiinan a établi dans son 
Iravail cité que la lonction 'f/(^), qui n'est pas toujours analy- 
tique, obéit au tliéorènie de M. Hadaniard sur le module minimum ; 
dès lors, l'égalité (17) nous montre bien clairement qu'il eu est 
de même de la fonction (i3). 

6. Rien ne nous manque plus pour aller plus loin : l'élimi- 
nation des coefficients -^i{z) entre les v + i équations (10) nous 
conduit à l'identité 



(18) Xo/o(-3)^ P-hA./,(^)e ^-\-\,f,(z)e ^-^...-hhvMzïC ^=1, 



(') Il est clair que la didércncc K, — rj^ croit moins vite que 
(log/-)?.(log,/-)?^ ..(logy-)VS 
c étant un certain nombre pusitif. 



108 



ou 



(.()) l,= 



I if/^\ f-Ui 



I //v nû 



y 1 



". 



X--. 



I //o //,! 



I ;/i 



I 1 ili-i iti 1 



'?-/ 



U.j 



(v.o) 



Tous ces délerniinants de Vandermonde rcprésentenl desnouihics 
csscnLielIcinenl dllïerenLs de zéro. 

il n'y a riei) à ehanger uiainlenanl à la déinonslralion de M. Borel 
pour étahlir l'impossibilité de (i8); nous remarquerons d'abord 
cpte, fpiellcs que soienl les réductions (pii peuvent avoir lieu dans 
le premier membre de cetle identité, le second membre A restera 
intact et constituera toujours le lerme algébrique unique; d'autre 
[)art, ces réductions ne sauraient nuire aux pi'opriétés caractéris- 
tiques de ridentité. Si, par exemple, la dilTérence ^/\(f'} — 7o('*) 
croît moins vite que (log/')Pi (logo/")?^. . . (logij,/" IP;^""^, a élant un 
nombre positif quelcoiupie, nous aurons 



finir)— Vl""' — 



''ÀKh 



/o(-j-^Àl/l(-K' 



0(/-) — 

9 



'^""■'F 



^' = '|(«)e 



'■>{'') = qi('') — qii('-), ^(z) = Xo/o(:;) + li/i(z)c 



P 



Ainsi les doux termes ont été remplacés par un seul de la même 
forme, puisque 'i>(v) croît moins vite que 7P(log/-)P> . . . ( logti./')P:A~*, 
b étant un nombre positif, l^ar uu procédé exposé dans le para- 
graphe précédent, ou démontrera encore que la fonction '^{z) 
obéit au théorème de M. Hadamard sur le modide minimum. En 

effet, le produit '}j{z)e " P désignant une fonction entière analy- 
iKlue^ on aura la décomposition de ]\J. \\ iman : 

-? -? 

(•2.) ^{z)e ^--^\\(z)e ^ 



où ^^ (:;) obéit au tliéorème de IM. IJadamard sui- le module mi- 
ninuim. L'ordre de '\> (z) étant inférieur à (8), il est clair (pie la 



— Iî)0 — 
(lillV'rcnci; ^^{f ) - f/o{'^') doil (;i()ili<; moins viU; (jik! 

y. ('liiiiL posilil, cl, piii' conscMnicnl, In foiicLioii 'j/ ( c ) sera r^ahî an 

-? 

prodiiil (l(^ deux lonclioiis \\ {:■) de ^ olxns'-ani an Iheo- 

rèm<» <l(* iM . Iladamard sut' le modidc^ inlninniin vX (\ i)Vi\\'v. non 
su/irriciir à celui d(î '\t{z). Il en sera donc d(; incinc de '!>( 3 ). 
Nous dcmonlrous aussi, à l'aide du lliéorètnc elle plus iiaul de 

M. Boulroux, (|iie la dciivée du produit •h{z)c ^' est une fonc- 
lion exceplionnclie de la ineine (orme. 

Gela ac(piis, si nous prenons la dérivée de (\Q,\\y. membres de 
rîdeiililé (i8), nous obliendions une idenlilé de ht nuhne forme 
avec les mêmes propriétés des coefficients et des exposants, mais 
ayant \\v\ terme de moins. 

Pour les détails de la démonstration, je renvoie au Mémoire 
précité de IM. Borel (p. 3(S5), puisque, au point de vue de la 
marche de la démonstration, il n'y a rien tjui puisse distinguer les 
identités (i8) des identilés ordinaires de M. J3orel. 

Le fait cpie les coefiicients et les exposants ne sont pas des 
fonctions analytiques n'intervient pas dans la démonstration, car 
nous avons acquis plus haut les trois éléments nécessaires de la 
démonstration : r* la conservation des conditions d'inégalité 
d'ordre entre les coefficients et les exposants dans les identités 
déduites de (i8) par des dérivations successives ; >." rap[)lication 
du théorème sur le module minimum aux coeKicienls de l'iden- 
tité (i8) ; i" l'application du même théorème à toutes les identités, 
déduites de (i8) par les dérivations successives. 

Nous sommes donc en présence d'une forme singulière^ pour 
ainsi dire, du théorème généralisé de M. Borel, que nous avons 
énoncé dans le paragraphe 3. 

7. Les considérations précédentes nous conduisent à l'extension 
au cas d'exception de M. l^icard, généralisé par M. IVinian, des 
résultats que nous avons communiqués autrefois à l'Académie ( ') 

(') Voir Compter re/icliis, io avril 1900, S février 190} cl Bultcti/i de la Société 
inalliéniatiquc de France^ MP^' P- 4 t • '^"'" ^^'■"' ^éi'os d'une classe de fonctions 
transcendantes. Ces rcsiiUals seront développés en tiélaii dans ma thèse. 



— -200 — 

sur les fonctions à v i)ranches d'ordre (iiii cl sur ccrlaines classes 
de fonctions à un nombre infini de branches. Nous avons ainsi 
jDrécisc considérablement ces résultats, i^ràce aux recherches ré- 
centes de MM. I^outroux, l.indebHet \\ iman. On a, entre autres, 
le théorème suivant: 

Si nous désignons par tf:=^M(z) la, fonction multiforme 
définie par l'équation f{z, u) = o d'ordre e/-(iofe'/)>i. .woi^.^rr,'-^ les 
zéros de l'équation 

(•2"j) to (,3) = a 

(a étant un nombre quelconque) obéissent aux inégalités éta- 
blies par MM. Boutroux et Lindelof pour les fonctions en- 
tières du même ordre. Il ne peut pas y a^oir d^ exception pour 
plus de 2 V — I valeurs finies de a. Il en est de ?)iéme des équa- * 
tions 

(•2/,) co(^)=G(^), 

G(;) étant une fonction entière d'ordre inférieur ci 

Ainsi, si la densité des zéros d'une équation (24) est inférieure 
à celle d'une fonction entière du même ordre (suivant les inégalités 
de MM. Boutroux et Lindelof), cette équation doit être considérée 
comme exceptionnelle. 

Nous appelons ordre de la fonction co(r) à v branches le plus 
grand des ordres des coeflicienls A/(:;) de /(^, u). Il est aisé de 
voir que la fonction co( .3) ne saurait croître plus vite que 

a étant y\i\ nombre positif; car, s'il en était ainsi, l'égalité 

serait inq^ossible. En cfTet, le rapj)ort de chacpie terme au suivant 
tend vers l'infini avec un ordre équivalent à celui de w(:^). 

Il est clair aussi qu'une branche, au moins, de w(^) sera d'ordre 
égal à (2j), suivant la définition de ^I. Lindelof étendue aux fonc- 



- -2(11 - 

iKtns iniill I liMiiics, car, m huiles les l)i;iîi(lif,'s (''Liinil d'didrv; 
moindre ([iic ( ■>..') ), il en serai I de iiièiiie de Ion s les eoeflIcifMil s A/( z), 
vc (|m e>l coiiliadieloife à iioire II ypollièse. \imsi se li()iiv<; iiis- 
lilié'e la définilioii d o/vZ/y? <les (oiH^lions à v hiaiielies donnée ci- 
d(\ssus. 



SUR LE PROBLÈME DE MONGE f ' ;; 

ViXV M. \']. (ioi(tSAl\ 

r.a pnhllealioii d'une INote récente de M. VjGvwos [Comptes ren- 
dus, lo a\i'il !()().)) a laincné mon allenlion sur certains résidtats, 
rclallfs an piohlèine d(; JMon^e, (jni, c|noi([nc très incomplets, 
]>envent j)eul-è[re ollVir (|uei(|ne intérêt [)our l(;s matli<''maticiens 
(pu s'occupent de ce <^enre de f|iiestions. Je les indiquerai rapi- 
dement. 

I. Il est commode, pour facililer les raisonnements et les 
énoncés, (rem|)loyer le langage de la Géométrie à n dimensions. 
Etant données (/? -|- i) variables indépendantes ^,, .z\., . . ., ^«4.1, 
nous dirons que tout syslème particulier de valeurs de ces va- 
riables représenle les coordonnées dun point dans l'espace à 
(/i-4-i) dimensions. Nous continuerons à appeler 5/^/y^/c<? toute 
variété à n dimensions située dans cet espace à(/i+i) dimen- 
sions, et courbe tonte variété à une dimension. Toute sujface est 
représentée par une seule relation entre les cooidonnées de ses 
points; si cette relalion est linéaire, la surface sera appelée sur- 
face plane ou pUm. De même, nous aj)|)ellerons droite une 
variélé liiK-aireà \\\^ç, dimension, c'est-à-dire l'ensemble des points 
dont les coordonnées X/ satisfont à n relations de la forme 

/ K _^1 ~ -^1 ^^2 ^t ^//+1 •^/'-f-1 . 

^1 ~ «2 iln-^x ' 

.r,, X2, ..-, -'i'n sont les coordonnées d'un [)oint particulier de 
celte droite, r^,, a,', .•., <^^//+i ^Qs ixiraniiitres directeurs. 

(') Clcllc Noie a élé piésentéc à la Sociélé Malliémaî.i(|uc, diiiis la sraiicc du 
ij Juia 1905. Une Noie do W. Botlasso, sur lo mémo sujet, a él('' présciUéo à 
l'Académie des Seiciices dans la séance du il juin i()nj. 



- -20-2 - 
Un plan I' j)assnnl pnv un polnldc c()ortl()nn<''e.s (.r,,.ro, ...,.r/,+,) 

(2) A,(\i — CTi) -+- AsfX. — ^2) -^. ••-+• A„+i(X;, ,, — .r,,^-,) = o 

est, en général, déterminé, s'il doit contenir /i droites passant par 
ce point (^,, ./o* • • •> -^/z+i); car les coefficients A/ doivent v('ri- 
fier un système de n éqnalions linéaiies et homogènes. 

Une droite D, passant [)ar un point /ixe iM de coordonnées 
(Xi^ x^i • • -^ .î^//_|_i), et dont les paranièlres diiecteurs dépendent 
de p variables arbitraires a/(/;-< /i), engendre uucvaiiété conL(/ne 
de sommet ]M. Si p ^^ \ ^ nous dirons cpie cette variété conicpie 
à deux dimensions est un cône de sommet M. Tout cône de som- 
met M est, d'après cela, représenté par un système de (/« — 1) équa- 
tions distinctes 

('3 ) fi{^\f ^ii • • '1 -f/i-hl'-: Xi — .r|, . . . , A,i_,-i — 3^/i-i-l ) = <^ 

(/= I, 9-, ..., /i — f), 

les /) étant des fonctions liomogènes des difïV'rences X/ — Xi. Si, 
dans les équations fi), les [)aramèlres cfi, r/,, • • ., «,/_,_, sont 
fonctions d'une seule variable indépendante a, ces droites sont les 
génératrices d'nn cône de sommet i\J(j^,, x-^, . . ., ^„^j), et à 
chaque valeur de a correspond une génératrice déterminée. 

Etant donné un cône de sommet M, tout j)lan passant par M 
renferme un certain nombre de généiatrices. Si, pai' exemjjle, les 
génératiices du cône sont représentées par les équations (i), r/), 
r/2, . . -, chi+^ étant fonctions d'une vaiiable Indépendante a, les 
valeurs de a correspondant aux générât rices situées dans le{)lan (i>,) 
sont racines de l'équation 

(4) l](a) = A,<7.,+ A2rt2 + . . .-+- A,,_^,rt,i+, = o. 

On peut disposer des coefficients A|, Ao, . . ., A,/^, de façon 
cpie ce plan au en commun avec le cône /if génératrices confondues 
avec une généiatrice déterminée. Si a„ est la valeur coi-respondante 
de la variable a, il faut et il suffit pour cola que a,, soit nne racine 
multiple d'ordre n de ré([ualion U(a) = o ; on a ainsi // é(juations 
de condition 

(pn délciinnient, en général, les ra[)ports des coefficients A,, 



- -203 - 



Xj,, . .., A„^|. Noms dirons (|ii(' le plan îiinsi oI)1(M1ii osI osculalciir 
iiii conc ('I') siiiv;»nl la i;(''n(';ialric(; (^-o)- '*^n rliniinant a,, crilre 
les // ('(juallons (5 ), on arrive, en général, à ( // — i) ('(|Malions de 
condiUon lionioi;rn('s par rappoi'l à A,, iVj, ..., A,/_^| , 



(0) I'\(.r|, .r,, ..., .r/M 1 ; Ai. Ai», •.., A,,,,) 



(f = I, '2, .. ., /l — I), 



dépendant, en onltc, des vaiial)l(;s j*,, ./.,, ..., ■f'itj^\i si les para- 
nièlics diicchMirs c/, , (i.>^ ..., ai,-\-\ d('pendenl non seulement de a, 
mais des coordonnées^,, .r^, ..., x',ij^\ du sommet. Nous dirons, 
pour al)iéj^<;r, que les relations (()) sont les ('(/ualions Ifin^cii- 
tielles du cône considéré de sorjimet {x^^ ^2? •••7 •^■//4-«)« 

Lorscpie le cône est représenté par un sjslème de n — i écpia- 
tions de la forme (3), les n équations (2) et (3) déteiininent les 
génératrices du cône situées dans le |)lan P. On obtiendra encore 
les équations langentielles du cône en exprimant que n de ces 
génératrices sont confondues. Par exemple, en éliminant n — i des 

rapports r. => •••5 — r^ entre les n relations (2) et (.))y 

on ariive à une équation pour déterminer le dernier rapport, et 
cette écpialion devra avoir une racine inulti|)le d'ordre n. 

2. Réciproquement, tout système de n — i équations de la 
forme (6), homogènes par rapport à A,, Ao, .. ., A,/.,.,, peut être; 
considéré comme représentant les équations tangentielles d'un 
cône de sommet (jt, , :i?.j, . . ., x„j^^ ). 

En ellet, imaginons cpie des [n — -i) équations (6) on ait tiré 

les valeurs de (/i — i) des rapports -7--> •''■> -4^? en fonction de 
l'un d'eux a. Le plan V représenté |)ar l'équation (2) 

U(a) = A,(Xi— .ri)-f-, ..-H A„+,(\„+,— Xn-^\ ^ = o 
ne déj)end plus (pie (Tiin paramètre variable a. Les a équations 

(;) l:(a)=(), U'(a)=^o, ..., lJ("-i'(a) = o 

repr('sentent, quand on donne à a une valeur paiticulière, une 
droite I) passant par le point ^M (./'i, x-i^ . . . , .r,/,^, ). Lorsque a 
varie, cette droite D engendre un cône de sommet M, et, d après 
la faeor) même dont on l'a obtenu, il est claii- (|ue le plan P a n gé- 
néralrico ('on»munes avec ce cône qui sont conlondues avec la 



— -20 i ~ 

généralrice (a). En cllininanl a entre les (/? — i) équations (-), on 
aura donc les équations d'un cône de sommet IM dont les équa- 
tions ((3) sont les équations tangentielles. 

3. Considérons mainlenant un s^'stème de k équations de 
Monge {kS.n — i), 

(8) //(.r,, a-2, . . ., ^//-4-i ; ^/^i, dx^_, . . ., (Ixii^^x) = o, (/ = I, -2, . . ., /{). 

les// étant des fonctions liomogènes par rapport à dx^^ r/xo, • . ., 
dx,t. Le [)rol)lèmc de l'intéi^ration de ce système consiste à ex- 
primer .r,, ^To, . .., ^//+i explicitement en fonction d'une variable 
auxiliaire /, de Ji — k fondions arbitraires de ce paramètre et de 
leurs dérivées successives jusqu'à un ordre déterminé. Ce problème 
a été lésolu par Monge dans le cas f)articulier où l'on a /i = 2, 
/• = ï . INous allons examiner le cas où l'on a, n étant quelconque, 
k = 71 — 1 . 

Si, dans les (/?, — i) é(piations (8), on remplace dxi par X,- — .r/, 
on a les équations d'un cône de sommet {x^, a'o, ..., x,ij^i). A 
chaque point de l'espace à (/i -f- i) dimensions les équalions pro- 
posées font correspondre un cône (T) avant son sommet en ce 
point, et le problème de Monge peut encore élre formulé en ces 
termes : 

Déterminei' les courbes de r espace à n + i dimensions qui 
sont tangentes en chacun de leurs points à t une des gcnéra- 
Irices du cône (T) ayant ce point pour sommet. 

Ecrivonsl'équation d'un plan passantpar le poinl(.r, j^'iv-j-^w+i) 
sous la forme 

les équations I an genti elles du cône (T) de sommet [x^^x^-, ...j^/z+t) 
sont alors de la forme 

(10) F/(a7,, ^2, . . ., r,,^, ; /),. /?->, . . . , Pu) = <), a = », ?■•, n — \). 

Si l'on considère .r,, x.^^ ..., Xn comme /? variables indépen- 
dantes, x„j^\ connne une fonction de ces n variables, et/?,, /?o, ..., 

p,i comme les dérivées partielles de x„j^^ \Pi^^ ï..^ ) ' ^^^ rela- 



lions (lo) ("ormciil un sjslèmc de (// — i) (îqualions ;m\ (l('iiv(';cs 
parlicllcs du pi(iiii(»r ordre à uih; s(miIc fonction inconnue. A loul 
sjslcnie de ( // — i) (M|ualions de Mongc 

( 9') //■ ( ^'H ^2> ^"//-H ; <J'fl , (^'^2 » • • • , ^-^rt + l ) ( i — I ,'>.,..., /i — I j, 

correspond ainsi un système (10) de (/?, — i) é([u;»lions aux déri- 
vées partielles simultanées du premier ordre, que nous appellerons 
le s)'slrf)H' associé du premier système (9). 

4-. Cela posé, il est facile de montrer c[ue la méthode de Monge 
s'étend sans peine au cas où le système associé d'équations aux 
dérivées partielles (1 o) eslc/t invohition. 

Soil, en elTet, 

Cu) V(a-i, a?2, .. ., ^,,+1; a, 6) = o 

une intégrale com[)lète de ce système. Le plan tangent à l'une des 
surfaces intégrales S passant en un point donné (.r,, X2^ • • ., x,iJf-\) 
a pour équation 

dN dN 

(12) — -(\,— a7i)+...-l- (X,,+i — a-,, + i) = O, 

les deux paramètres a et b étant liés par la relation (i i). Ce p'an 
ne dépend donc, en réalité, que d'un seul paramètre variable, et, 
d'après la façon dont on a déduit le système adjoint (10) du sys- 
tème (9'), le j)lan représenté par l'équation (12) reste osculateur 
au cône (T) de sommet (.r,, Xo^ ..., ^«+1) représenté par les 
équations 



(13) 



fiiTi. ...,Xa+i; Xi — Xi, \.2— X.2, ..., X„+i — .r„+i ) = O, 

i = \, '1, , . ., /i — I. 



Pour déduire les équations (i3) de l'intégrale complète (ii\ on 
pourrait donc procéder comme il suit. Regardons, pour fixer les 
idées, a comme un paramètre variable et b comme une fonction 
de ce paramètre définie par la relation (i i). Les dérivées succes- 
sives 

,, db , d'^'h 

da da- 

xxxm. 



(7/1 -i 
da'^ 


b 


i4 


d"b 

da't 



— i2(K) — 
soni (](''toi*iTiinées par les relations 

V, = — - -i. -—b = o, 

ôa (fh 

/ , y ^2 = — ---(-2- — -r l^ -^ —.1— f> ^ -\ r ^ = o, 

J 5 

Les équations obtenues en difléren liant {n — i) fols successivement 
l'écjualion (12) par rapport au paramètre a^ b étant supposée 
remplacée par son expression tirée de Ja relation (11), peuvent 



alors s'écrire 



0') 



-y— (\, _ a-, )+...+ (\,, + , — .r„+,) = 0. 



—^^(\l — ^l )+...+ -^ (X,,+, — a7„^i) = () 



et Ton obtiendra les équations (i3) en éliminant a, />, 6', V\ . . ., 
l){n-\) entre les 2/? équations (11), (12), (i4) et (i5). 
Supposons maintenant que l'on pose 

b = cp(a), 

la fonction '^{(i) étant une fonction arbitraire de rt, et considérons 
Je système de /i — 1 équations 

(Ib) V = O, -r— = O, -,-T^ = O. — ; = O. 

^ cla ' da^ da>' 

où l'on a posé 

r/\ ^V ^V ,, , 

(17) ^ diC- ùa^ ôadb ' ' db'^ . v / ùb ' " 
• 7 

Ces ( /t + 1) équations simultanées permettent en général d'expri- 
mer .ri, x-i^ • • •) •^«4-t en fonction de la variable auxiliaire a^ de 



207 — 



'^{((), ci'( r/ ), . . . , '^^"^(t). Je dis (|iic la courijc de Fespace à (n ^ i ) 
dliîKMisions ainsi délormiiire rsl iino inlégra/c du syslèine de 
Monj'e. Imi cUcI, si rions appelons x\, .r,, ...,.r)^^, les dcrivros 
de ees fondions par rapport à a, on déduit des ccpialions {i()) 



— \.r, ~\- . . .-J, ^^ .7- 



(i8) / O.r^ \daj' •'^•••"^ Ot„^, "^' 



— .r, M-. . .+ -— x,,^, = o, 

et le s^^slème des ?./? 4- i équations ([6) et (i8) devient identique au 
système formé des équations (i i), (12), (i4) et ( i5), pourvu qu'on 
remplace x\ , ^•!,, . . . , ^'/+, par X, — ^, , Xo — ^21 • • • ? X« — <2:'/i 
respectivement, puis o{a) par ^, ^'(«) pat* ^'5 • • .5 ^'^"Ha) par />^"^ 
Par suite, l'élimination de «, C5(a), o'(a), ..., <D^"^(a) entre les 
équations (16) et (18) conduira aux relations 

_y /( Tj, .2*2, . . . , ^«-(-1 5^15 • • • ? •^«+1 ) = O? t =: I , 2, . . . , /l I , 

identiques aux relations (9). Les formules (16) représentent donc 
l'intégrale générale du système de Monge proposé. 

o. Les systèmes précédents sont évidemment 1res particuliers; 
mais on })eut quelquefois étendre la méthode à des systèmes de 
Monge plus généraux, en imitant la méthode d'intégration de 
Lagran<;e et Charpit j)oiir une équation aux dérivées partielles. 
Etant donné, par exemple, un système de n — k équations de 
Monge ( A" >> 1), pour appliquer la méthode précédente il suffira de 
pouvoir lui adjoindre A' — i é(juations nouvelles de même forme, 
de façon que le système associé du système ainsi complété soit en 
involution . 

Considérons, par exemple, un système de Monge de la forme 

(19) //(^-^i, dxy, . . . , dx,i+i ) = O, ^ = I , •>-, . • . , n — / , 

les fondions /*/ ne renfermant pas les variahles .r,, ./o, . . ., .///^i. 



— 208 - 
Si A= I , le système associé est de la forme 
(20) F/(/?i, /?2, ...,/>«) = o, / = I, 2, ..., n — I, 

et par conséquent est en involution. Si /r est >> i , il suffira d'ajou- 
ter aux équations (19) k — i équations de même forme, par 
exemple 

dx^ ( dx^\ dxi,^x , (dx<i\ 

dx-.^^'yd^j' "" -d^^'^'-'y-d^j' 

les fonctions d/i, '^21 • • •? '\'k-i étant arbitraires, pour être ramené 
au premier cas. 

Les systèmes (19) ont été considérés par M. Darboux (Journal 
de Mathématiques pures et appliquées, 1887). ^^^ méthode pré- 
cédente montre comment on peut rattacher l'intégration de ces 
systèmes à une théorie générale, tout à fait analogue à la théorie 
de Monge pour l'équation à trois variables. 

6. Ap[)liquons, par exemple, celte méthode à l'équation de 
Serre t 

(21) dxl -h dx\ 4- dxl = dx\. 

Joignons à cette équation une relation de forme arbitraire 

dx^ / dx^ \ 

Les équations (21) et [0.0.) forment un système de Monge, et les 
équations du cône (T) correspondant de sommet (\r,, .To, x-^^ x-,) 
sont 

/ {\,-x,y = {X,-x,Y-\-{\^—x^Y + {\-, — x.,)\ 
( 23 ) \ X 3 — a:*3 / Xo — x^. 



< Xa— 3- 3 _ / X2— 372 \ 

( X, — a^i ■" ' \Xi— 37,/ 



Pour obtenir le système associé correspondant, formons l'équation 
qui donne les génératrices communes au cône (T) et au plan 

X^ — 0-4 = /^, ( X, — 3"i ) -I- />2 ( X2 — a:-2 ) + /?3 ( X3 — ^3 ) ; 

on peut poser 

Xj — .rs X.,— 3:-3 

v; = a, =ci(a). 

Aj — J"i Al — Xi 



— 200 — 
ce (|iii (loiiiic 

Xi — ^Ti , 

V = ^, -H /?2 a -+- />3 9 ( a .). 

Aj — X^ 

L'équalion en a osl alors 

|/7,-H /?2 3: -l-/>3 ?(2t)P= 1 + «24- CpH^Jj 
ou 

(2.i) P[ + Pi^ -4-/>3cp(a) = /n-a2-f-cp2(a) = U(a). 

D'a[)rès la théorie générale, on aurait les équations du système 
associé d'équations aux dérivées partielles en éliminant a entre la 
relation {'i^) et les relations (25) 

( lH^p,o'{<x) =U'(«), 
■ i />3C?"(a)=U"(a). 

Il est inulile d'effectuer cette élimination, car on aura une inté- 
grale complète de ce système en prenant le plan 

X4= />lXiH-/J>2X2 4-/?3X3-4-è, 

P\-, P'i) /h étant remplacées par leurs expressions tirées des for- 
mules (24) et (25), a et 6 étant des constantes arbitraires. 

Remplaçons maintenant b j)ar une seconde fonction arbitraire 
'i;(a); d'après le théorème général, les fonctions ^i, a?^, ^3, ^4 du 
paramètre a définies par les quatre équations 

ix!, = piXi -\- PiX-i + pzOc^-\-'h{y.), 
o = p\ Xi 4- />2 X.2 -+- p-i a-3 +<]>'( a), 
o = p'\ xi -h p\ x-i H- p\ ^3 -T- <!^"( a), 
m ,11' , "' , I '" / \ 

Pi") P'i^ Pi étant les dérivées de/>/ par rapport à a, doivent satisfaire 
à la relation proposée (21). 

11 est facile de le vérifier. On déduit en effet des relations (24) 
et (20) que l'on a 

^1 +/?2a -t-/>3 'f (a) = U(a), 
(27) { p\^ p'^cL-\- p'^ cp(a) = 0, 

p\-h p\cL^ p\o{0L) = iy. 



— ^ilo - 
D'un autre cùlé, en cl ifTéien liant les relations {'26), il vient 

/ dxt^ = pi dxy + /?2 dxo -\- p-i dx^, 

i ■>.S ) , o = p\ d.Ci -+- /?2 dj'i H- Pi dx^, 

\ o = /^'î dx\ -\- p\ dx.y-h p\ dx^. 

Les relations (^-~ ) et ('>>-8) prouvent que l'on doit avoir 

dxi dx-i dx:i dx'. 



I a « ( ^ j Ll (^ / 



et comme l'on a 



U2(a) = i + a^H- ci2(a), 

il s'ensuit que l'on a aussi 

dx'l — dx\ -h dxl + (Yj7|, 



SUR UNE TRANSFORMATION RÉCIPROQUE EN MÉGANIQUE; 
l^ar INI. Paul-J. Suchap, . 

M. Painlevé (') a étudié des transformations de mouvement qui 
constituent la généralisation de la tiansformation homograpliique 
en Mécanique, indiquée par M. Appell (-). On peut envisager 
des Iransfoinialions de mouvement distinctes des précédentes, 
que je désigne sous le nom de LransfonnaLions réciproques, et 
qui seront définies comme il suit : les mouvements de deux points 
qui ont lieu, l'un par rapport au temps t et l'autre par rapport au 
temps Z, , seront réciproques si, en deux points corres[)ondants de 
leurs trajectoires, les coordonnées du premier point sont des 
fonctions des projections de la vitesse du second point sur les 
axes de coordonnées, et réciproquement, les coordonnées du 
second point sont les mêmes fonctions des composantes de la 
vitesse du premier point. 

Si l'on suppose connues les fonctions qui caractérisent la réci- 
procité, et si, de plus, on se donne une relation entre les temps t 



(■) Painlevé, Journ. de Math., t. X, iH(/|. 
(-) Appell, American Journal, l, XII. 



- ^211 — 

cl /|, les <''(|iiiili()i)s (i(i moiivcincnL (l(;s (l(.'U\ points S(;ronl (i(;Lcr- 
inliK'CS. 

Iiivcrsemcnl, cl c'(nI le eas lo phis inléressanl, ou se donne les 
équations du njouvctncn! (11111 point matériel et l'on se demande 
si le mouvement est Iransformahle en un autre réeiprofpie. 

\jC problème; ainsi posé est, en général, im|)ossd)le, si aueiiuf; 
iivpotUèse n'est faite sur la nalurc de la force qui sollicite le p(jint, 
ainsi (jue sur la direction de la force. 

Je me propose, dans ce travail, de montrer que le mouvement 
est toujours tiansformable en un autre réciprocjne, si le temps 
n'entre pas explicitement dans l'expression de la force et si, de 
plus, la direction de la force fait, avec une droite fixe, un angle 
dont la tangente est le quotient de deux fonctions linéaires et 
homogènes des coordonnées du point matériel ; en d'autres termes, 
si les projections de la force sur les axes de coordonnées, quand 
on se borne au mouvement plan, sont de la forme 

X = {ax -+- by)u, Y ^= (a'x -i- b' y) u^ 

où rt, ^, a', y sont des constantes et u une fonction absolument 
quelconque des coordonnées du point et des composantes de la 
vitesse. Le problème comprend, comme cas particulier, le cas des 
forces centrales; c'est surtout ce dernier cas qui fera l'objet du 
présent Mémoire. 

1. Soient Met M, deux points matériels de même masse, que 
pour simplifier nous supposons égale à i. Nous supposons de plus 
que le mouvement se fait dans un plan et que les variables indé- 
pendantes pour les deux mouvements sont les temps i et ty. 

Appelons x^ y les coordonnées du premier point, x', y' leurs 
dérivées par rapport à ^ et X, Y les projections de la force sur les 
axes de coordonnées; enfin, x^-, }' \ les coordonnées du second 
point, x\^ y\ les dérivées de ^,, y s par rapport à /, et X,, \, 
les composantes de la force. 

D'après l'hjpothèse faite, les deux mouvements seront réci- 
proques, si, entre x^ y^ x^.y^^ x\ y\ x\^ y[, on a les relations 

i fi^o^x-',/). y = o{x\,y\). 



21^ 

SI les lonclioiis /cl '-^ sont couniies, cl si Ton pose 

( 2 ) ■ — ,- = - — - — -r II , 

D I /", CD 1 II- • /• 11/- I 

<^>'J 77-, — 1 — Vr esl le uelermiiiant loncUonnel de / cl ci, les cciiia- 

lions du nioiiveinenl des deux points seront connues. Nous aui'ons, 
en eflet, 



dti 
~di 



d'où l'on déduira X, Y, X,, ¥< , en ajant égard à (i) et (2). 

2. Considérons le {)i"oljlèine inverse, c'esl-à-dire le problème 
où l'on se donne les équations du mouvement du point M, et exa- 
minons tout de suite le cas où la force esl centrale. Les équations 
du mouvement seront alors 

( x" = uce. 

(0 

Nous supposons seulement que le temps / n'entre pas implici- 
tement dans l'expression de la force. 

Si ce mouvement est transformable en un autre réciproque, il 
existera deux fonctions J^ cl C5, telles qu'en désignant par a7<, j'^ 
les coordonnées d'un point Al,, on ait 

lyi = <f{x\ 7'), JK = cp(:r;,jK',). 

II s'agit de trouver ces deux fonctions. Supposons le problème 
résolu et ditïerentions les premières relations (a) par rapport à ^, ; 
on aura 



(3) 



,' = iiLx^i^-.Y^ ^' 



Si Ton pose 



dx' ôy' ) dt^ 

^'~\ôx'^^ oy^J dt, 



dt D(x\y') ' 



- 213 - 

cl (uTon remplace \, Y, piii' u .i\ ii }\ on aura 

(4) 



Oy^ ' dy'^' 



or, les fondions y et cp étanl supposées connues, x\^ y\ seront 
d'après (2) des fonctions de x et y^ en les substituant dans ces 
dernières relations, on aura évidemment une identité, ce ({ui 
exige que ces relations soient indépendantes de x' et y'; il faut 
donc que / et o soient linéaires par rapport à x' et j"', et les rela- 
tions (2) seront de la forme 

^ .Ti = ax' -r- by' H- c, x ^= ax\ -^ b y\ -\- c, 

^^^ \ y,= a'.r'-f- b' y' + c\ y = a' x\ -f- b' y\ + c', 

OÙ l'on pose 

ab'—ba'= K^. 

Si l'on substitue dans (4) les valeurs de x\^ y\ déduites de (5), 
on trouve les relations suivantes entre les coefficients 

// — rt = O, 6 = 0, c = O, «'=:(>, c'=0, 

et comme on a 

ab'—ba'= K2, 

la transformation la plus générale sera 

^1= K^', y, = Kj'. 

Donc, si un point matériel est sollicité par une force centrale 
dont l'expression ne contient pas explicitement le temps, le mou- 
vement sera toujours transformé en un autre réciproque, par la 
transformation 

i a?! = Kir', clt^ 

(6) ; 1111 = K2«, 

(ri=K/, dt 

les équations du mouvement étant 

x" = Ma7, y" = uy. 
XXXIII, i4. 



— 214 — 

3. Le point M,, transformé du premier, sera aussi sollicité par 
une force centrale. En efTet, si nous clifférentions les relations (6) 
par rapport à ^,, on aura 

en ayant égard aijx équations du mouvement et à la relation (jiii 
lie t à /, , on p^ura 

une nouvelle difTérentiation nous donne 



X 



» ./' y^ 



^1 = TFTT.r y y = 



OÙ a s'exprime à l'aide de (6) et (7) en fonction de x^ , y, , x\ , y\ . 

i. Remarquons que la trajectoire transformée, si on la rapporte 
aux mêmes axes que le premier mouvement, n'est autre chose 
qu'une courbe honiothétique de la courbe hodographe correspon- 
dant au premier mouvement, la constante d'homothétie étant K, 
et le centre d'Iioiriothétie étant le centre des forces. Si, en parti- 
culier, K = 1 , la trajectoire transformée est la courbe hodographe 
du premier mouvement, et la transformation est, dans ce cas, 
corrélative, comme nous l'avons fait voir dans une Note présentée 
à l'Académie des Sciences, le 2^ octobre 1902^ c'esl-à-dire que la 
trajectoire transformée est la polaire réciproque de la trajec- 
toire du niouveinent donné par rapport au cercle ayant le 

centre des forces pour centre et y/C pour rayon , tournée d' un 
angle droit autour de ce centre dans un sens convenable, la 
constante G étant celle des aires. On obtient une démonstration 
immédiate de cette proposition en partant du théorème des aires 
mis sous la forme yoi^ = G, si l'on remarque que l'extrémité du 
segment vitesse, porté sur la droite qui mesure />, a pour polaire, 
par rapport au cercle dont le centre est le centre des forces, la 
tangente à la trajectoire; donc, si l'on fait tourner cette polaire 
réciproque d'un angle droit autour du centre et dans un sens con- 
venable, elle coïncidera avec la courbe hodographe correspon- 



— 215 — 

(lante, c'rsl-à-dirc, dans le. cas pivseiil, avec la hajecloire 
Iransroiim'e. 



5. Sii|>|)()S()f)s loiijours la constante K - i. Il est intéressant de 
délerruinci* la iclalion à lacjiiello la force donnée et la force trans- 
lormée doivent salisfaire. On a, en ellet, en dési<»^nant par V la 
(orce donni'e et par 1'', la force transformée, 



(8) 



FF, 



rv. 



qne Ton obtient par din'érentiation des formnles (6) et (7) on /• est 
la distance du point M au centre des forces. Une antre remarque 
intéressante est qu'il y a échange entre les coordonnées polaires /• 
et 9 et la vitesse v et la direction a de celte vitesse ; c'est-à-dire que, 
dans les deux mouvements transformés et en deux points corres- 
pondants, les coordonnées polaires de l'un des points représentent 
la vitesse et la direction de la vitesse de l'autre point, ce qui résulte 
des formules mêmes de transformation. Il s'ensuit alors qu'en 
désignant par yo, la distance du centie des forces à la tangente à 
la courbe transformée, c'est-à-dire à l'hodographe, le théorème des 
aires pourra se mettre aussi sous la forme /?, /• = C, la constante G 
étant la même que dans le premier mouvement; il suffit pour s'en 
convaincre de remarquer que, si o est l'angle de la vitesse avec 
le rayon vecteur, cet angle se conserve dans les deux transforma- 
tions, et l'on déduit de la relation des aires 



(9) 



G- 



/'(^ sincp 



Pif ^pv. 



A l'aide des formules (8) et (9), nous allons établir les équations 
difTérenlielles de la trajectoire et de la courbe hodographe. Remar- 
quons que le ravon vecteur /• est la diagonale d'un rectangle avant 
pour côtés les distances de l'origine à la tangente et à la normale à 

la trajectoire ; or ces deux distances sont données par p et -7-; on 
aura dor^c. en ayant égard à (9), 



r2 = C2 




216 



el, par analogie, pour la courbe lïodographe 



-=«l;^-(-i) 



Différentions ces formules el remarquons que la dilTérenlielle 
de la force vive dans le premier mouvement est 

et dans le mouvement transformé est 

/• dr = Fi dv. 

Puisque /• est la vitesse et v le rayon vecteur, nous aurons la 
formule de Binel 



(lO) 

et la formule suivante 



F = \ 1 — 

r2 \ f/0- r 



F,= 



GM^% . 



d'où, en ayant égard à (8), on conclura finalement, 



(II) 



/■(' C- I V I 



6. Les formules (lo) et (i i) nous montrent que, si l'on sait 
déterminer la trajectoire ainsi que le mouvement lorsque la loi de 
la force est de la forme 

• F = /•/(/■, 6, r), 

on saura encore déterminer la trajectoire et le mouvement si la loi 
de la force est de la forme 

où, dans la fonction précédente /, nous avons fait l'échange entre /', 
8 et V. f^a remarque est évidente; on sait d'ailleurs que /* s'exprime 



- 217 - 

(Ml ronchon (le - vX~,--> (rn|)r(';s lo nimi('ro uv(^va'a\va\\. Si, :»loivs, 
(' r/a ' ' 

nous supposons les deux niom cnicnls lîipporU's aux rn(}mos axes 

(M l'oi-i^iiH^ phuuMî au ccnlrr des ("oiccs, le second mouvemcnl 

nous donnera d'ahord la (M)ui1)C liodo^raplie correspondant à celle 

deriii(''rc force; alors, pour oblenir la irajecloire, il faudra la 

faire tourner d'un an<;le droit autour de l'origine des axes, et 

prendre la polaire r(3cipro(pie de cette courbe {)ar rapport au cercle 

dont nous avons déjà j)arl('i. 

Considérons, comme exemple, les lois de forces trouvées par 

MIM. IJarboux et Halphen (') et cpji font décrire à leurs points 

d'application des coniques: 

, „-|' iax -V- by -\- cy^^ {ax ^ by f 

{ax'^^ibxy-^cy^Y J ' \ J' 

Ou sait déterminer le mouvement ainsi que la trajectoire pour 
chacune de ces forces; il résulte alors de notre remarque qu'on 
saura encore déterminer le mouvement ainsi que la Irajecloire, 
pour les lois de forces 

- r{^ax"^-\- ibx' y' -^ cy''^)'' ^ 
- /-{ax' -i~ by' -i- cy^ ~ r{ax' -i- by' f, 

où x'^ y' sont les dérivées de x gI y^ par rapport à t. Les trajec- 
toires correspondantes seront des coniques, puisque les courbes 
hodographes sont aussi des coniques. 

On peut se rendre compte de la nature des trajectoires décrites 
sous l'action de ces dernières lois de forces. Il suffit pour cela de 
remarquer que, quelles que soient les conditions initiales, les lois 
de MM. Darboux et Halphen donnent des coniques qui sont tan- 
gentes à chacune des deux droites ax'^-^ 'Abxy -\- cy- =^ o^ ou 
bien qui ont la même droite ax + by -|- c = o pour droite polaire 
par rapport au centre des forces, ou enfin qui passent toutes par 

(') Comptes rendii.t. t. LXXXIV. 



— 218 — 

le cenlre altractlf. Or, ces coiirl)es sont les courbes }]odo<^raplies 
correspondant aux dernières lois de forces; donc, d'après des 
lliéorèmes bien connus sur les pôles et polaires, les coniques tra- 
jectoires auront un genre indépendant des conditions initiales et 
dépendant du signe de b- — ac^ ou bien seront des coniques ayant 
toutes pour centre le point dont les coordonnées homogènes sont 
x^=^a^ y =z b, z =^ c^ ou enfin seront des paraboles. 

7. La remarque du numéro précédent nous a suggéré l'idée de 
chercher s'il n'existe pas, outre les lois de forces classiques (pi'on 
rencontre dans tous les Traités de Mécanique, d'autres lois de 
forces pour lesquelles le mouvemerU s'obtienne par d^s quadra- 
tures. En eflet, outre les lois qui ne dépendent que de la position 

du mobile, savoir /{r) et la loi de Jacobi —7^? on [)eut encore 
envisager les lois 

(12) -^/('acosO+ PsinO 4- -M, 

OÙ a, p et y sont des constantes données et y une fonction arbi- 
traire. Il est facile de voir que le mouvement peut s'obtenir par des 
quadratures. 

La proposition est immédiate pour la première loi de force, qui 
rentre dans le type de Jacobi si y =r o ; pour y^o, si l'on fait 
dans la formule de Binet le changement de fonction 

- = -- — a cos6 — 8 siriO, 

on obtient l'équation dilTérentielle de la trajectoire d'un mobile 
sollicité par une force centrale et ne dépendant que de la dis- 
lance /', au centre; par conséquent le mouvement s'obtiendra 
par des quadratures. 

La démonstration de la proposition pour la deuxième loi de 
force peut se faire à l'aide d'un théorème du à M. Appell (') et 
(pii s'énonce ainsi : 

( ' ) Ai'i'iiLL, hc. cit. 



- -21!) — 

l\tutc t lansfo/'iiHU ion h<ini<>i^r/iphi/iU(\ ffn I*' sur les roordoii- 
nccs (lufi j)(>in( soUiCilr i>«u- une force <'('iil ralj' (/m ni' (h'/tcud 
(/lie (le ht position dit inohilc, transforinc le inOLWcnicnl ni- ttn, 
(ttdrc oit ht force trdnsforniéc est ég(th'inenl cenlrale et ne 
(h'pend (/tie des eoordon nées dtt point transformé. 

ISoiis allons eircclucr la transforinalion parliciilirre 

.r = <7.r| -1- A^j, y ^z ax\-^:- b' y\^ ah' — ba' = i ^ 

que nous supposons seulement n'être pas équivalente à un clian- 
genient des axes de coordonnées; enfin, la variable indépendante 
dans les deux mouvements est toujours le teirq^s t. On trouve 
que la force transformée est du même type que la précédente^ 
savoir 

/•,/(airf -i-'^.Pia7i7i+ Yirf )' 

mais la transformation contient encore tiois constantes arbitraires; 
ou j)ourra alors disposer de ces constantes de manière à annuler le 
coeKicient j^, et à rendre ég;aux à i les coefficients a, et v, • alors 
la force transformée ne dépendra plus que de la distance. 

Remarquons en passant qu'à l'égard des deux forces (la) et 
(i3) on peut se proposer le problème suivant : 

Sachant qu'un point matériel est sollicité par une force cen- 
trale du type {12) ou du type {\?>), et que la trajectoire est algé- 
bricjue, trouver la fonction f. 

On trouvera que les seules courbes algébriques sont des co- 
niques et que les deux types (12) et (i3) se ramènent aux lois de 
]MM. Darboux et Halphen. En effet, le mouvement se transforme 
par la transformation précédente en un autre où la trajectoire est 
encore algébrique; de même, si l'on emploie la transformation du 
même numéro en posant 

^ = ^ _acos6— SsinO, 

il est évident que la Irajecloire transformée est encore algébrique ; 
or, pour les deux transformations, les forces se transforment en 
d'autres qui ne dépendent ([ue de la distance, et l'on sera ainsi 



— 2!2() — 
amené au problème énoncé et résolu par M. Koenij^s ('), qui a 
trouvé que les seules lois de forces sont a/' et —> 

Nous voyons en résumé que le mouvement peut toujours s'ob- 
tenir par des quadratures, lorsque les forces sont de Tune des 
formes 

/(,.), ^^^, — ^/ fa cos^ -^ bs'mO -h -] y rf{ax''-\-ibxy-\-cy'^). 

Il résulte alors de la remarque du n" 6, que le mouvement peut 
encore se ramener à des quadratures si les lois de forces sont de 
l'une des formes 

'"/(<0i f'^^fi'^)^ rv^flacosoL-i-bsmd-\--J7 rj{ax"^-+--}.bx'y'-^cy''-)^ 

où a est l'angle de la vitesse avec l'axe polaire. 

8. Les types de lois de forces que nous avons considérés jusqu'à 
présent et pour lesquels le mouvement s'obtenait par des qua- 
dratures étaient représentés en général par des fonctions dépen- 
dant de r, 8 et p et par l'échange de v^ a et ;•. Il est facile de re- 
marquer qu'il y aura encore réductibilité si, l'angle de la direction 
de la vitoîsse avec le rayon vecteur étant désigné par c, la loi de la 
force rentre dans le type 

En elFet, il suffît de partir de l'équation diderenlielle de la force 
vive et du théorème des aires mis sous la forme rv sino = C, pour 
ramener le problème à l'intégration d'une équation différentielle 
du premier ordre et à des quadratures; on remarquera alors que si 
1 1 loi de la force est de la forme 

le problème se ramène à des quadratures. Considérons en parti- 
culier la loi 

cot CP 



(•) Kœmgs, Bullelin de la Société Diathéinaliijuc. t. WII. 



— 221 — 
«|iii rentre dans le lj|)C précédciU; on remarciiK; fjue si à celle 
expression on njonle un l<'rin<; de la loi inc ^ et que 1 on consi- 
dère la loi 

Kcotcp /(Q) 






où R f'sl une eonslanle arbitraire et y une fonction arhitraire, le 
njouvcnient s'obtiendra par des quadratures. En eflet, on a 

et la formule de J3inet nous donne 

-CM - /' , |_ k'^^ , /(G) 



d^l 






r 




I 


cm 


~h 


/• 



d'où 



/•^ \ im r / r^ M 



/• K r I K 



^02 C2 dO 



-=-cï/(»)' 



équation dilTérenllelle linéaire du second ordre à coefficients con- 
stanls et avec second membre; on aura donc la trajectoire par des 
quadratures, puis le temps par une nouvelle quadrature. De 
l'expression précédente de la force, en s'appujant sur la remarque 
du n" 6 et en avant égard à la formule (i i) du n° 5, on déduit une 
autre loi 

K colcp + ç/{ci.)' 

pour laquelle le mouvement s'obtiendra encore par des quadra- 
tures. 

9. Nous avons montré que le mouvement est toujours transfor- 
mable en un autre réciproque, si la force est centrale. Il nous reste 
à montrer qu'en général le mouvement est transformable en un 
autre réciproque, si les équations du mouvement sont de la forme 

, x" = (ax -h by )u, 
(i) ^ , 

y" = {a X -\- b'r ) u^ 



12^2 

où II est une fonction arbitr'aire de ^,.Xi x' ^ y' . On liouve, en sui- 
vant la même marclie qu'au n"î2, que les doux fonctionsy" cl cd, qui 
permettent d'obtenir la transformation, doivent être linéaires; de 
plus, le déterminant ab' — ba' étant difîerent de zéro, les deux fone- 
lionsy et cp seront homogènes ; enfin, pour que le problème soit 
possible, il faut en outre que le déterminant ab' — ba' soit égal à i . 
Si cette condition est remplie, la transformation la |)lus générale 
sera, à un facteur constant [)rès, qu'on peut supposer égal à i, 

f x^=^{b'-^\)x'—by' dt^ 

^^ \ y,=—a!x'-^{a-\-\)y dt 

où A est le déterminant de cette transformation, qui doit être sup- 
posé différent de zéro. La condition ab' — ba' =^ \ senible res- 
treindre la généralité du type (i); mais il est facile de voir qu'il 
n'en est rien et de s'affranchir de cette condition; il suffit, si cette 
condition n'est pas remplie, de faire au préalable sur les équa- 
tions (i) un changement convenable, et le plus simple est d'effec- 
tuer un changement linéaire sur la variable indépendante t\ les 
équations après ce changement seront du même type; on pourra 
alois profiter de la constante introduite pour que le déterminant 
correspondant soit égal à i. 

10. Dans un travail qui paraîtra prochainement [Essais sur la 
réductibilité des équations du niouvenieiit d^ un point matériel 
dans un plan)^ nous reviendrons en particulier sur le type (i). 
Nous terminerons ce travail j)ar une dernière remarque. Le tjpe(i) 
outre les forces centrales comprend aussi, comme il est évident, le 
cas d'une force qui fait avec le rayon vecteur un angle constant. 
L'analogie est complète entre les deux cas; la seule différence est 
que la transformation n'est pas corrélative dans le dernier cas. 
Afin de montrer l'analogie entre les deux cas, nous allons exa- 
miner le cas d'une force qui fait un angle constant avec le rayon 
vecteur, et, pour simplifier, nous supposerons (pie cet angle est 
droit; toutes les propriétés que nous déterminerons dans ce cas 
subsisteront pour toutes les valeurs de l'angle. Nous remarquons 
que pour obtenir les équations du mouvement, il suffit dans (i) 

de faire 

a = <). A = — 1, «'=1. />' = o, 



— 223 



Vf (iiii noii.s donne 

( 3 I 

ol (l'api-rs (v>.) 

(■1.) 



i y= u .r, 



dix 



= xu. 



DinV'nMilianL les relations (4) par rapport à ^, et ayant é<»aidà (3), 

on trouve * 

/ X ^^ — X + .r 



d'où 

(5) 






r = — ^1 -^- /i • 



DiflTérenliant (5) par rapport à t, afin d'obtenir les composantes 
de la force transformée, on aura 

.'=(X,+ Y,)§, 



d'où 
(6) 



X,= 



—ri 
iii 



V "^J 

1 1 = — • 

2?^ 



Les relations (4) nous montrent que la trajectoire transformée 
est la courbe hodographe correspondant au mouvement donné et 
rapportée à un système d'axes, qui sont les bissectrices des axes 
auxquels le mouvement est rapporté, l'origine des axes étant la 
même. Les relations (5) nous montrent que la vitesse en un point 
de la trajectoire transformée est le rayon vecteur correspondant 
de la trajectoire du mouvement donné ; c'est-à-dire qu'il y a 
échange entre /' et (" ; enfin si F et F, sont les deux forces dans les 
deux mouvements, on aura la relation 



1 F,= 



/•(' 



11 s'ensuit que, si Ton sait déterminer le mouvement ])our une 



— 224 — 
cerlainc loi de force, par exemple une loi de force de la forme 

on saura encore déterminer le moiivemenl si la loi de la force est 
de la forme 



/(^'H-y, y—^-') 



Remarquons enfin que l'angle que la direction de la force fait 
avec le rayon vecteur se conserve par la transformation ; en effet, 
d'après (6), la force transformée a une direction perpendiculaire 
au rayon vecteur vj^e la courbe transformée. 

il. Dans ce travail, nous n'avons considéré que le cas où la 
courbe bodograpbe est curviligne; on j)eut voir sans peine que, si 
la courbe bodograj)lie est rectiligne, cas où le mouvement lui- 
même est recliligne, ou bien la direction de la force est constante, 
le mouvement est encore transformable en un autre réciproque et 
cela d'une infinité de manières; ainsi, dans le cas d'un mouvement 
rectiligne, on peut se donner arbitrairement la fonction qui carac- 
térise la réciprocité, puisqu'il n'y aura qu'une seule fonction et 
déduire de l'équation du mouvement la relation qui lie les temps t 
et t^ . On pourra aussi se proposer, en ayant égard à la relation qui 
lie la force donnée et la force transformée, le problème suivant : 

Si dans un mouvement recliligne la loi de la force ne dépend 
que de la distance et de la vitesse, le niouvement est tauto- 
clirone; on demande si le mouvement transformé le sera aussi. 



— ±r^ — 



COMPTES lUîNDUS DES SÉANCES. 



SÉANCIi DU G .lUILLIiT 1905. 

PRKSIDIÎNCK DE M. BORtL. 

Communications : 

M. Félix Lucas : Sur la généralisation du rapport anharmo- 
nique. 

M. Zervos : Sur un /troblème de mécanique. 



SÉANCE DU 20 JUILLET 1905. 

PRÉSIDENCE DE M. TOUCHE. 

Communications : 

M. Estanave présente deux modèles de surfaces algébriques 
applicables sur le paraboloïde de révolution (surfaces de M. G. 
Darboux). Il expose le procédé par lequel il est arrivé à la réali- 
sation de ces modèles. 

M. Rociie : Sur la détermination des surfaces. 



MÉMOIRES ET COMMUNICATIONS. 



SUR LA GÉNÉRALISATION DU RAPPORT ANHARMONIQUE; 
Par M. Félix Lucas. 

Dans une Note insérée aux Comptes rendus de V Académie des 
Sciences du 22 décembre i8-3, j'ai indiqué que la notion du rap- 
port anharmonique de quatre points en ligne droite peut s'étendre, 
de la manière suivante, au rapport anharmonique de quatre points 
quelconques du plan. 

xxxni. i5 



— ±l(i — 

Désignons par^,, z-y^ z^, z^ les coordonnées affixes (de la forme 

x-\-ysl — i) de ces quatre points relativement à un système quel- 
conque d'axes rectangulaires et distinguons les deux groupes s,, 
^2 et ^3, ;:;,. Le rapport anharmonique sera 

^3 — Zx Z\ — Z\ 



x,2 



II est indépendant du système d'axes reclangulaires adopté, car 
si l'on place une nouvelle origine au point a, p en faisant tourner 
d'un angle (o la direction des axes, la nouvelle valeur z^ de Taf- 
fixe z d'un point quelconque est liée explicitement à celle-ci par 
la formule 

Le rapport anharmonique de deux couples de points n'apparte- 
nant pas à une même ligne droite est, par conséquent, fonction 
seulement de la figure formée par ces quatre points. 

On démontre aisément que, pour que ce rapport soit réel, Il est 
nécessaire et suffisant que les quatre points constituent les 
sommets d^un quadrilatère inscriptible. 

Pour que ce rapport prenne la valeur — i (cas dans lequel il 
reçoit le nom de rapport harmonique)^ il faut et il suffit que les 
cordes i, 2 et 3, 4 soient les diagonales d'un quadrilatère inscrip- 
tible et représentent deux droites conjuguées, c'est-à-dire que 
chacune d'elles doit contenir le pôle de l'autre relativement au 
cercle circonscrit. 

Avec les systèmes de points en ligne droite et les systèmes de 
droites convergentes, on peut obtenir desy?^/</<?5 corrélatives. J^a 
notion du rapport anharmoni(]ue de quatre points en ligne droite 
conduit à la notion corrélative du rapport anharmonique de quatre 
droites convergentes. Désignons par A, B et C, D les deux couples 
de droites; on sait que leur rapport anharmonique est représenté 
|)ar l'expression 

. /\ . /\, 
sin AC sui BC 



sin AD smBD 



Il nous paraît intéressant de rechercher si l'on peut attribuer un 



^^7 

rnppori ;mliaiin()ni(jm' ;'i (Hiiilic droilcs non coiivcm'^ouLl's, (orinanl 
deux couples (|uc nous clési}:;^nerons par les indices i , s>. et .j, 4- 

Décrivons dans le plan un<î ciiconlérence (jnelcorHpie el prenons 
les pôles de nos droites relativement à cette conrix;. (domine le 
rapport anliariuoni(pie de ces cpiatre pôles est indépendant du sys- 
tème d'axes rectan«^idaires adopté, nous pouvons, pour calculer ce 
rapport, placer noire origine des coordonnées au cenirf; de la eii- 
conféienee considérée. Prenons l'équation de celle circonférence 

el celle de la prenilère droite 

<'/ , \ -i -/> 1 ^' — r , ; 

la coordonnée afllx<' du j)ole de celle droite est 

^, — K • 

Il est à remarquer (pie les coordonnées langentielles d(^ la 
droite, relaliveinenl à nos axes rectangulaires, sont 



c 



par conséquent, Vajffixe cartésien du pôle de la droite ne diffère 
pas de Vaffixe tangentiel de cette droite lorsque l'origine des 
coordonnées est au centre de la circonférence considérée. Il 
n'en est plus ainsi lorsque Torigine n'est pas au centre du cercle. 

Les valeurs des affixes s,, z-^ et z^^ 5/, montrent que : Le rap- 
port anharmonique des pôles de quatre droites relativement à 
une circonférence est indépendant du rayon de cette courbe. 

Mais ce rapport anharmonique dépend de la position du centre 
de la circonférence relativement à laquelle on prend les pôles des 
quatre droites données. Transportons, en elTet, la circonférence 
parallèlement à elle-même de manière que son centre vienne oc- 
cuper le point quelconque a, 3 et prenons ce nouveau centre pour 
origine des coordonnées. L'équation de la droite deviendra 

<■/,, \ -h hx V = — <:^, a - /;, |ii •-- c, 



— ±1H — 
cl raKlxc (Je son pùlc sera 



Z,= R2 



— a^a — 61 p -h c* 



par conséquent le rapport anliarmonique des affixes des quatre 
pôles dépendra de a et de p. 

Il est clair que nous n'arrivons pas ainsi à généraliser com- 
plètement la notion du rapport anliarmonique de quatre droites 
non convergentes. Nous devons nous contenter d'examiner le 
cas particulièrement intéressant où les quatre pôles des droites 
considérées ont un rapport anliarmonique réel, c'est-à-dire le cas 
où ces quatre pôles sont les sommets d'un quadrilatère inscrip- 
tible. 

A cet effet, considérons quatre droites tangentes à une même 
circonférence et désignons par T,, To et T3, 1% ces deux couples 
de tangentes. Leurs pôles relativement à la circonférence inscrite 
ne diffèrent pas de leurs points de contact, dont nous pouvons dé- 
signer les affixes par c, , ^2 et z^, z>,. Il suffit de construire la figure 
pour apercevoir la relation 

^3— ^1 . Zr,— Zi _ sin I T, T3 ^ sinlT, Tv 

^3 -^2 * -Sv ^i 1 -•'^^ ' 1 ^' \ 

sinlTsTj sin^T2T4 

Il est clair que le second membre de cette égalité est exclusive- 
ment fonction de la figure formée par nos quatre tangentes. Il est 
égal au rapport anliarmonique des quatre droites convergentes que 
l'on obtient en joignant un point quelconque de la circonférence 
aux quatre points de contact. On sait, d'ailleurs, que ce dernier 
lapport est égal au rapport anharmonique des quatre points 
d'intersection de nos quatre tangentes avec nne cinquième tan- 
gente quelconque à la circonférence, rapport auquel M. Chasles 
a donné le nom de rapport anharmonique des quatre tan- 
gentes. 

Les diverses considérations que nous avons exposées dans cette 
Note nous permettent d'énoncer le théorème suivant : 

Le rapport anharmonique de quatre droites tangentes à une , 
circonférence est é^al: 

D une part, au rapport anliarmonique des pôles de ces quatre 



droites relatiK'emenl à une rircon J'rrcncc fiuelcotu/iK' concen- 
tri(fU(' fn>('c ht rircoiifricinr i/tsc/itc^ 

hfy (rantic /xirt, <iu rapport nittiartnoiiùitie des a/fixes tan- 
gentiels de ces quatre droites relativement à un système quel- 
conque (Vaxes rectangulaires ayant pour origine le centre de 
la eireonférenee inscrite. 

Pour que les quatre droites tangentes à une même circonférence 
soient en rapport harmonique, il faut et il suffit que les points 
d'intersection ou sommets de chacun des couples T,, "^J^ t^'t T3, T» 
soient deux points conjugués relativement à la circonférence, ou, 
en d'autres termes, que la polaire de chacun d'eux passe [)ar 
l'autre. 



SUR QUELQUES INÉGALITÉS DANS LA THÉORIE DE LA FONCTION C(0 

DE RIEMANN; 

Par M. E. Laivdau. 



1. 



série 

(0 



La fonction ^(s) de lliemann est définie, pour R(5) >> 1 , par la 



n = l 



on sait d'ailleurs que (s — 1) '^{s) est une fonction entière de s. 

D'après l'égalité (i), ^(.v) reste finie si, la partie réelle o- de 
s = <7 -^ ti étant fixe et supérieure à i , la partie imaginaire i 
devient infinie; en effet, on a toujours, pour o" > i , 



\r{,-^ti)\ = 



nz=l 






n = 1 



n = l 



Pour o<<3-!ji, domaine où ^{s) peut être représentée par la 
série 



^ ^^ ^ - • ^(5 — 1 \(n— r|^-' n'- 



s — I 



rt — 1 



7 ('^-i/î' 



— 230 - 
M. Mcllin (') a démonlré le llicorème suivaiil : 

Si <7 reste fixe et si t va à l'infini positif (-), on a 

(3) I^(a-!-/i)| = 0(/i-'J) (3), pour o<a<i, 

(4) |^(a-f- a')| = 0(log/), (wur a = i. 

Voici d'abord une dénionslratioii simplifiée de la formule (3) de 
M. Mellin ('•) : 

Le lerme général de la somme qui (igure dans l'égalité (2) étanJL 
identique à 

/■ u du 

cette égalité peut s'écrire 



(3, ?u)=.+ -^-t-y -^(,— i— ,--^,, , 

s—\ .«4d ( 5 — i \(/i-f-i )■"- ' n"-^} \ii-t-\y\ 

n = 1 

^ Ç u du 



ni étant un entier arbitraire dont nous disposerons bientôt; (5) se 
réduit à 

m +1 a, 

/i = 1 rt — ;« -f- 1 

Donc 

m -V- 1 at 

(7) r(T-4-/i) --r -r-Y ^ ~ 7 \- \n -\- tL\ > — 

rt — 1 /» = /;i -+- 1 

(') Eine Formel fiir den Logaritlimus transcendenter Funktionen von 
endlichem Geschlecht {Acta Societatis Scientiarutn Fennicœ, t. XXIX. n" 4, 
1900, p. 48-/19). 

(^) Il suffit, eu veilu de |;i( j + /t) | — | !1( a — ti)\, de considérer les valeurs 
positives de t. 

(•^) J'entends par 0{g{t)), comme d'habitude, une fonction de t telle que son 
quotient par g{t) reste compris, pour ^ — oc, entre deux limites finies. 

(*) Quant à la formule (4) de jM. Mellin, qui n'interviendra pas dans la suite, 
on en trouvera une démonstration analogue dans mes travaux : Ueber die zu 
einem algebraischen Zahlkôrper gehorige Zetafunction und die Ausdehnung 
der Tschebyschefschen Prinizaldentheorie ouf das Probletn der Verteilung 
der Priniideale {Journal fUr die reine und angewandte Mathematik , t. CXXV, 
1908, p. 90) et JSeuer Heweis des Prinizahlsutzes und fieaeis des Primideal^ 
satzes {Mathéniatische Annalen. t. L\'I, 1903, p. 65o-65i). 



"l'Aï - 
Mil r*;!»!;»!!! /// an plus ^^land nombre entl<M* __ /, 

lo second membre de (-) <"^l, ponr o <; o* << i , de; la forme 

()/i j.()(/l rj)., (),^I ■rj^_^ ()(/^.()/l \, 

d'où, en verlu de (j), 

(3) |^(a - /t)| ^ 0(/' '^), pour o < c;< I, 

ce qui consliliie le ihéorème de M. Mellin. 

Pour o «< «s- << - ' M. MeUin (') a encore rendu plus précise 

rinégalité concernant |s:^(a-+//)| en tirant parti de la relation 
fonctionnelle de Riemaiin 



(B) 

de l'inégalité 



7iS 

t,{\ — s) = -xi-jt-)" ris) cos -— ^(5), 



(9) 



cos ' 



J 


— t + ai) 




ai) 




x 







-^e-^ 



et du fait connu que 

(10) lini : 



I . 






(8), (()) et (10^ donnent, pour !7 constant, 

■ — ti)\ = 0\e~ ■'' t"'"') .0\e''j .{lia ^ ti)\ 



,(i 



(11) =o[t^ V.K(^-H</jI, 

d'où, pour - << 0- << 1 , en appliquant (3), 



'C{^~'^-ti)\ = 0\t ■^;.0(^i-<T) = o(v/^), 



( ') Lor. cil., |). i:(. 



232 

I 



en d'autres lernics ('), pour o << ^ <! 7' 

ce qui est préférable à (3). 

Le résultat complet de M. Mellin relatif à la bande o<^R(5)<^ i, 
le meilleur qu'on possède aujourd'hui, s'énonce donc de la façon 
suivante : 

(12) \Us)\ = 0{^'t), pour o<cr<l, 

(i3) \^(s)\ = 0{t^'^), pour ^~^<'- 

IL 

L'objet principal du travail actuel est de prouver les relations 

(i4) K(5)| = o(^-^"*Vî^¥"0, pour o<a^I, 



(i5) 1^(5)1 = 0^^**' "Viog^y, pour ^-^<^ 

qui sont évidemment, pour toute valeur de o- en question, plus 
précises que (12) et (i3). 

J'y parviendrai en appliquant un théorème remarquable 
démontré récemment par M. Voronoï, dans un ordre d'idées tout 
différent. 

Soient 

T(/0 

le nombre des diviseurs de /^ et 

.7' 

n = l 

la fonction sommatoire; en d'autres termes, le nombre des solu- 

(') On n'a qu'ji éctire i t au lieu de c et qu'à observer que 

|!;(7-i-^/)l=:|;(=r-^OI- 



233 



lions des inc'j^alilcs 



ou encore 

T(a:) = 






Dirichlel avait démontré que 

(16) ':{x) = x\o^x--{-?.C — y)x-\-0{^x), 

où C désigne la constante d'Eulcr. 

Avant M. Voronoï, personne n'avait réussi à trouver une rela- 
tion plus précise que (16). M. Voronoï (') est parvenu, même par 
«ne méthode élémentaire (n'appliquant pas Ja théorie des fonc- 
tions analytiques) à prouver que 

(17) z{x) = x\o^x -^{iC — 1)37 -T- OisJxXo^x). 
Considérons maintenant la fonction 

C'est une fonction entière, comme on sait. En effet, le seul point 
douteux serait 5 = 1, et les développements dans le voisinage 
de 5 = I sont 

^(5)= T~i'^^ -HGi(5-l)-f-..., 

s — I 
Pour R(5) > I, on a 



( ' ) Sur un problème du calcul des fonctions asymptotigues ( Journal fitr. 
die reine and angewaadtc Matlieniatik, l. CXWI, 1908, p. 241-282). 







1 C 




s — I 


I 


-+- 


S — I 


(..-1)2 


I 




+ Ci 


(5-1)2 






2G2 



it'M 



La fonction V (s) est donc représentée, au moins pour H(v) >> i, 
par la série de Dirichlet 



k^ T ( /i ) — lojr n — 9, C 






en d'autres termes, on a, pour R (s) >> i , 

(.8) •'(^)=i^ 






ou 

a,i=T(/i) — log/z — 2 G. 

Cette équation (i8) est, du reste, connue ('). On n'a pas manqué 
d'observer que, en vertu de (i6), 

.r .r .T 

S (iP) = 2, *^^n " / 1 T (/l) — log- n — 2 G J = T (>) — ^ lt>g « — "2 G 07 
« ;= 1 /l — 1 « = 1 

= a^logx + (2G — i)r — a" log^ -h .r — 'iCx -\- 0{\/x) = 0\\/x) , 

ce qui prouve la convergence de la série (18) au moins pour 
K(.s)]^-> en vertu d'une propriété bien connue des séries de 
Dirichlet. Pareillement, le théorème (17) montre que 

x 

(19) S(j^) = y rt« = 0(v^log\z-), 



// = 1 



ce qui prouve la convergeiu^e de la série (18), au moins j)0ur 
R(.v)>> -. L'égalité (18) est donc valable pour R(.v) >» -• 

Examinons maintenant comment se comporte la série au second 
membre de (18) si, R(.ç) = (t étant constant et compris entre - 
et I, la partie imaginaire t de 5 augmente indéfiniment On a. 



(*) Voir, par exemple, Franel, Intermédiaire des Mathématiciens, t. III, 
1896, ji^'.~io3,~ ou KiiO'sr.cKEn, Vorlesunge/i itber Zahlcnlheùrie, l. T, Leipzig, lyoi, 
p. 3^9-oji. 



♦ — 2:{:; — 

poiii' /// (jiicIcoïKnir, 

n — l ri m t 1 



V^'T(/i) — loc/i — •). (! V^ ., / I I \ Si m) 

7 »? (_ y b\ /ni : 

n ~-l W =: M» ( I 

f'i m ;;; od . 

\^ r ( /i ) v^ I ' > U /* -^ V^ ' X^ ■ /' '^'^ S ( /;0 

► > ^— -_.)(,> . .V > ">{ Il ) I r ' : 

Jm^ n' Jmd n' Jimd II' ^^ . /„ {ll-U)'^^ { fH -h I )" 

/r ^ I /» -- 1 n - \ n : m h l 



m ni m 



« — 1 /l = 1 rt -r. 1 n =: /n -+- 1 

Nous pouvons appliquer au second membre les relations 

■ ni 



/7=^1 



0( /?i'-^loff/«), 



«r= 1 



V _1 



= 0(m'-'^), 
fi<y 



3 '' — 

S(n)| < Ay/iiogAi (pour/1^2) (^j; 



nous obtiendrons, en posant /w == | /- |, 



1-0-) \ / "^1 -.7, \ / -,I- T) 

•2 l.„.) . r.(;-2 |og^j+OV^2 



1F(5)|=.0V^-^ log// + 

= 0V<^ log/j. 

'■(^) ITo^,. p-ap exemple, le ■Vrénrinire rie M. Voronoï, p. 28^1. . . - > 

(') A désigne une constante abàoluc. Celte inégalité n'est autre chose ciue(iQ). 



- 236 - 
Or, on a 

donc, pour - < <t < i , 



3 

■d-T) 



(2o) ^U'(^)I + '^CK(.)I + o(/^""''*iogO- 

Dans (2o), le terme 2C|s(^)| peut être néglige vis-à-vis du 

/ ?(.-(T) \ 

dernier terme 0\/" log^/j en vertu du théorème (3) de 
M. Mellin 

Quanta IsX-^)!? o" peut traiter cette expression parla méthode 
appliquée plus haut à |Ç(^)|. On a, en différentiant (6), pour 



m -h 1 



w. . ^ _ __} I i_ log(m-i-i) _ "y log/i 



C'(a+/Oi 



1 log(m-T-i) 



^<I-l 



I a — I + /i |2 ( m -h I )<J -1 1 a — 1 -T- /« [ ( m -^ i )« 

d'où, pour m r=[^], en supposant o <C 0- <C I ('), 

+ 0(««-<JlogO-r- 0(^-'^) -i-0(Mog /.<-<?) = 0(/'-^logO, 
quantité négligeable vis-à-vis du dernier terme de l'inégalité (20). 



(') Pour notre objet, il s'agit seulement des valeurs de c comprises entre 
' et r. 



- 237 - 
(^cllc iiiéj'alilô so r<'(lui( doiK* à 

(7.1) K(.v)| = o(/'*""''Vï^J. 

Celle relation (21) vient d'être démontrée pour - -< t << » • 
Pour ô < ^ <C • j on peut conclure de (?o) et de 

(11) \r(i — n~^ti)\z= ow'^~^).ir(7-h /t)l 

que 

donc, en remplaçant t par i — t, pour o << t << x? 

(2-2) I^(^)| = 0(/^"*^V/Î^l). 

Pour -x <i'7 <i i^ les deux formules (21) et (22) sont valables; 

• , T 'il • > Il 

on voit aisément que, pour -<<3-<<^> la première est la plus 

précise et que, pour - <C '3" <C 7' c'est la seconde. 
J'arrive donc au résultat final 

(,4) \lis)\ = 0\ê"''' y/ï^tj, pour o<a^ 

annoncé au commencement de ce paragraphe. 



/Il \ 

1^(*)| = 0W* ^"^ v/lôg7/, pour o<ai- 

(|5) K(.v)l = 0U^*'*~''Vï^J, pour ' 



m. 

Je viens de démontrer un nouveau théorème sur la fonction 'C{s), 
en appliquant un théorème de la théorie élémentaire des fonctions 
numériques. Dans un but inverse, je vais maintenant préciser une 
formule connue de la théorie élémentaire des fondions numé- 
riques en me servant de certaines propriétés analytiques de la 
fonrlion ^( f) Irouvées il y a quelques années. 



— -238 - 
Voici la formule connue (') dont il s'ugil : 

(23) 0(07)= — x-i-O(V^), 

71'' 

OÙ Q(^) désigne le nombre des nombres ^x qui ne sont divi- 
sibles par aucun carré >- i , en d'autres termes, qui ne contiennent 
chacun de leurs facteurs premiers qu'à la première puissance. On 
peut aussi définir Q(.r) par la somm^î 



Q(^)=2î.a(/0;% 



n = 1 



où u(/i) désigne la fonction de Mobius. La relation (a.V) se dé- 
montre, comme on sait, facilement au moyen de l'identité connue 

n = l 

en elfel, on tire de (^4) 



n = 1 



ou 



d'où 



[A] l^] 

n—l n = l 



n—l 
f) 



_2 ^ -t- I X 



1 ;fi)-o(v/^) 

n = [^^] + l J 



= A^-f-0(v/^').' 



(') Voir, par exemple. Gf;gknbauer, Asymptotische Gesetzc der Zahlen- 
theovie { nfiilsrliriffen fier haisrrUrhen Aknrleinic rlrr Wisscnsc/ia/fen in 



- i'M) — 

IjV (HM)fi(Mll 

()( x ) .r 

(7.^1 

resle donc compris, pour loiis les x^i^ entre deux limites finies. 
Je prouverai dans ce (\\ù suit que le quotient ('^.;^) tend, pour 
jr = oc, vers la limite o ( ' ). 

Pour cela, j'a[)pliquerai le théorème suivant, que j'ai déduit (- j, 
\\ y a quelqu(^s années, des recherches modernes sur la fonction 
'Ç{s) de Hiemann : 



n = i 



(9.G) M(T)= y |..(/i) = ( r^ ). 

On a (•') 



lo^' loK.r \'j- 



n—l n=i 



loir loir.f 



Wien, Mathcmalisch-naturwisserischaflliche Klassc, t. XLIX, i.S85, p. 47)» et 
Berger, Recherches sur les valeurs moyennes clans la théorie des nombres 
{Nova Acta regiœ Societatis Scientiarum Upsaliensis, 3* série, t. XIV, 1887, 
p. iio). 

(') J'ai déjà fait allusion à ce théorème, sans entrer dans les détails, dans mon 
Mémoire Ijeber die zahlentheoretische Function [J.(A) {Sitzungsberichle der 
kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien, Mathematisch-nalurwis- 
senschaftliche Klasse, t. CXII, II", igo^, p. 662, note 3). 

( - ) Ueber die asy mptotischen Werte einiger zahlentheoretischer Functionen 
{Mathematische Annalen, t. LIV, 1901, p. 585). Dans mon Mémoire cité dans 
la note précédente, j'ai démontré un théorème beaucoup plus précis; mais il me 
paratt intéressant de constater que la relation ('<6) suffit pour le but actuel. On 
peut aussi aborder le problème directement en appliquant à la fonction génératrice 



n = \ 



Xi'2S) 



les théorèmes sur la fonction %{s). 

(^) Pour simplifier, j'écris les limites de sommation sans le signe [ ]. l'ne 
somme étendue de a h b floit signifier que la variable parcourt les valeurs entière*; 
dr [^1 à \h\. 



-2-40 



l^ans (2-), on a d'abord 



log IO(?.r 



y ,. 



.Là 



(28) 



in 



/.»• 



-[5] 



\o% loif.r 



- 1 



./.7- 



log log.r 



= n .(«-^-e„.„. =. :s i^^ 



iiL'i' H- 



« — 1 



^|— 1 



\Jx 



X 



log logiT 



— — X — X > i— h O , — -. 



v^- 






lOg lOfe' .f 



M(n) — M(n — \) 



= -.r-x 


2- 


n = 


v'..- 


log: loga- 


6 
= —X — a? 

712 


M 

1 



O 



/i- 



yAr 



log loga" 



M(«)(i- ' 



/' 



log loffa- 



M 



r /^ ] 



— 1 



7*2 i^n-hi)- 



/; 



og log^r 



Llogloga^J 

— x-hxO 7 , i j 

7:2 ^^ log/i log log/i /i* 



' log log .r 



^O f ^ (loglog.r-VA _^ ^ / y/x \ 

\loglog^.loga^-.loglogJ7 X j \loglogj"/ 



= -— ^ -f- xQ 

7t^ 



v/^ 



n- log /t 



O 



/ 



X 



log^ 







v/^ 



log log.r 



I 



log log X 

lo2 loff.r 



^ \v/^-'og 



X 



o\±-\ + o^ ^"^ 



iog^ 



log log J- 



x-\-0 



^/x 
log log.r 



±i\ - 



La (IrrniciMî somme (|iii lij^tiKî diiiis réciualion (''-7) osl 

£ ^■<")([i:.J-[r;r^]) 



lot; loi; r 



lot! Utg.f 

— M 



_Llof;log.rJ J 

y/1' 



lofT loj; r 



o 



v/^ 



log log.Z*.logiC.logIoga7 



(log loga?)^ 



O 



O 



\fx 



luga? log logd" 



2j \\_n^\ V(n-^xf\)~^^\\o^xJ 



■ losr losr j:- 



\/on 



\q^X log log jT' 



X 



\l X 



_Ll0gi0gJCj _j 







/ 



X 



XOi'X 



^ ^ J y/^logloga -^i _^ Q /^ /^ 



loi; a? 



loga? 



(^^9) 



O 



v/a- log log:r 



loga? 
En combinant (27), (28) et (29), on obtient finalement 

-^ \loglog^/ 



d'où 



Iim = o. 



^x 



C. Q. F. D. 



X 



XXXIII. 



16 



2i2 — 

SUR CERTAINS GROUPES D'ORDRE p'" q" \ 
Par M. .). DE Sé(;uieu. 

Dans la recherche des groupes d'ordre p"Uf^ [p^ q premiers) 
pour les premières valeurs de ni et de n^ un cas s'impose de suite 
à l'attention : c'est celui où le groupe considéré G contient nor- 
malement un g/,'« abélien principal (') A, aucun e^^") n'étant per- 
mutable à tout élément de A. 

C'est ce cas et un autre cas voisin que je vais considérer. 

1. V> étant un g^" quelconque de G, on a G = AB, et comme B 
divise ici le groupe \^[m, p) des isomorphismes de A(-), G divise 
l'holomorphe K de A. Je supposerai K, L, et B pris sous la forme 
de groupes concrets de substitiitions linéaires, en sorte que G est 
complètement déterminé par B (tout système de générateurs réels 
de B joint à une base de A forme un système de générateurs de G 
sur lequel on lit les équations du groupe). Soient ill> un système 
de générateurs de B, (i)l>) Fensemble des conjugués de ilî> dans L; 
ill), ^)i)', . . . , des systèmes de générateurs de B non conjugués dans L. 
J'appellerai l'ensemble ( iil> ) -f- ( ili>' ) -h . . . la catégorie des sys- 
tèmes des générateurs de B. Si ill) parcourt un système de repré- 
sentants des catégories des divers g^" de L, jA, \il) j fournira tous 
les types cherchés chacun une fois, car deux g^" distincts de L ne 
[)euvent être formés des mêmes isomorphismes de A avec lui- 
même. 

On remarquera que, l'ordre de B étant premier à /?, la forme 
canonique d'un élément quelconque de B est complètement déter- 
minée par la fonction caractéristique de cet élément. 



(') Je me servirai de la même terminologie et des mêmes notations que dans 
mes Éléments de la théorie des groupes abstraits ( Paris, Gauthier-Villars^ igo'j ), 
auxquels je renverrai par la lettre E. 

(-) Cf. HoLDEB, M. A , t. XLVI, 1895, p. 325. Le groupe L(m, p) est le 
groupe des substitutions linéaires (mod/?) à m variables. Sur ce point et sur la 
(léfinilion de l'iiolomorplic, voir MooRE, -S. M. A., t. II, 189.'), p. 33; IIolder, 
toc. cit.. ou BiJiiNsiDi;, l'heory of groups, p. •>'|3, :>•>?). 



- 2i3 - 

*2. Soit (li'sorm.iis B= \h\ cycli(|ii('. On sail coiisl iiiiic a jniori 

loiilcs les Ioi'hh's cimoiiKiiics de h. ( .licrclions les /yi' ;iy;iii I rn«''in(; 

(oiMnc cnDonKjiic (jiic //. Si (/>i -;(/;i^) ([i csl, iilors prTinidi" à y), 

on a ('vidrinmcnl (/>•'■) r:r (/>P-^'). Si donc (/y) :— (/yi^) -rr (Ai'^'j, on a 

(/>) = (Ai^i^"). Donc ^i, f^', ••• roiincnl nn ;;ioii|)c l)„ (|ni divise 

le i^ç(,/") cni;rndrc par une racine |)rin)ilive a de q" . I)„ est donc 

cjcli(jne; soit Bo= [pj. (H,,, f ) = ocsL l'ordre; de Jj inody". (/>-^), 

(/>P''), .. ., (/>P*'''") coïncidant (|nel f(ncsoit.r, lescD(^"j classes (//'j 

.. • 1 ^ > > I 9<^7" ) I l'- 

on .r est premier a ri coincid(!nL o a o el les -^-^^ — classes dislinctcs 

' ' 

se réunissent en une caléj^orie. Supposons que ^"^' soit diviseur 
propre de /?'' — i (/=o, ..., n\ ff^^z r). Les facteurs irréduc- 
tibles de la fonction caractéristicpie A/, de /; appaitiendront chacun 
à un des q"~^. Soit p^ le nombre des facteurs irréductil)les ap|>ar- 
tenant à l'exposant </"~^ (ils sont tous de degré 77), pis le nombre 
de ceux cpii sont de multiplicités que je désignerai par P/>t, ..., 
A^^p,,- po= p sera ^\ et p/i= ffi — ^JJ 'p^/v est le nombre des fac- 
lenis linéaires de racine 1 . Si $ est une racine de Pist et ç' de P/^f 
(t'^ t), ^•'^ sera, pour x premier à ^, de même ordre que ç et dis- 
tinct de 5'*^, car, si xx' ^^ i mod^", Tégalilé ^•'^^^'•^ (je sous- 
entendrai toujours le module p) élevée à la puissance x' donnera 
^ ^E ç'. Les nombres //, o/^ sont donc les mêmes pour b^ que 
pour bj et l'on pourra dire que G, b, (6), A^, B appartiennent à 
la répartition (pon po2: ••• 5 pm p«2j •• •) (lorsque les pis seront 
donnés, je supprimerai dans la parenthèse ceux qui sont tous nuls 
à partir d'un certain rang). 

Bo étant formé de tous les x mod ^" tels que (^b-^) = {b) ou 
A/,r=^ ài,, à chaque x de Bq répondra une substitution (^, z^) des 
lacines z de A/,. Donc Bo est isomorphe au groupe B, = j(:;, z^)\ 
et Von peut définir "^ et ^ par la condition que (c, z'^) soit une 
substitution d^ ordre maximum conservant A^. Je dirai que 
es>\.V indice de A^. Si ^appartient à l'exposant^""', le cvcle de(^, z'^) 
où il figure est (3, ^^, . . . , ^P''^' ^ j, O/ étant l'ex|)osant auquel ap|)ai- 
tient |j mod <y"~' [0/ divise o/_, et Oo=o divise cs(«y")]. Si J^"^' est 
la première puissance de [B qui soit congrue mod<y''"' à une puis- 
sance de ^, {z^ z^) permute 1^^,, . . ., P/^p.^ par cycles de to/; donc 
oj/ divise p/^, p/^ divise o/, et le plus petit commun multiple th des to^ 
divise celui des p/,? et celui g des 0,. |j^ est la [uemière puissance 



- UA — 

de i^ congrue mod rj"^ à une puissance de p, cl (^, ^P)^ est la 
première puissance de (^, z^) qui ne permute pas les Vist- Donc 
(s, 5^)^^=: I et ô divise wr. On remarquera que B, devant con- 
tenir \(z, zP)\, est multiple de r. Si o = Ar, (^, ^P)^ est d'ordre r; 
donc [ti^ est d'ordre ;• mod q" et est par suite une puissance de p 
(13, n'a qu'un diviseur d'ordre /• qui est \(z, zP)\). Donc A' est mul- 
tiple de 7TT et = wr. 

Soit /?g le nombre des fonctions caraclérisliques d'indice o 
répondant à «ne répartition (pot? •••)• ^^ nombre Np^^^ des types 

de G répondant à la répartition sera Sg , „, ♦ 

3. En particulier la répartition (i) donne lieu à ^ fonctions 

caractéristiques. Si /'>i, on peut supposer p est, pour chacune 
d'elles, ^ /^ mod ^", et comme /? est d'ordre /• mod q"^ on a o = ;•, 
d'où N, = i. Soit donc B d'ordre q" dans Cpv et ^' — ^''^'^y^ih'. 
Si « = i , 

{q, diviseur propre de />'' — i, divise SJj~*/?/). La forme canonique 
générale de Z> répondant à la répartition (i) est 

ljK; = e/''jKr, JKy = Jyl (f = o, ..., r-i; y = /•,..., m — I); 

y^ est une fonction des variables réelles à coefficients dans G^', 
yj une fonction des variables réelles à coefficients dans G;,. Si 
yi=:^''~^^''i'\xh^ yj=^ Xj^ la forme canonique réelle qui s'obtient 
en prenant les x pour variables est 

b = \x'(^— «o^r-l, x'i = Xi^x + '3.iX,.-x, x'j = Xj \ 

{i = \, ..., /• — i;y = /•, ..., m — i). 
Les substitutions 

a/,. = 1 a:-/^. = x/^ -r- 1 , x'i = 37/ 1 (t, /{ = o, . . . , /?i — i; i ^ A) 

engendrent A., et les équations de G s'obtiennent en adjoignant à 
celles de A 

bn"=\, b-'^anb = a,i+\ (h = o, . . ., r — i), 
6-' a^-i b = IT(,'"' af', b~^ a/^b = <7/, (/, = /•, . . . , m — i). 



— ti:i - 

Clonimc CCS équations sont véri(i(''('s par (l(;s suhsliLiilions cnj^cn- 
(Iraut cncclivcmciil un '^/, '",/", on csl assuré {i p/'iori (\u^c\\ch cléfi- 
nissenl hicn un i;^,"',^// ( /i'.^ 1^). Il (;.sl clair (jiic \ù\ n'csl primaire (' ) 
que si /• = /;/, et le f^ronpfî G corresponclani divise le ^p"'(p"^.-i) de 
INIalliien. On voit (railleiu's (pie, pour la répartition (i)(r<^m)^ 
G est le produit direct d\in diviseur du ^/>'{p'--i) de Mathieu [)ar 
un groupe ahélien principal. Ces résultats complètent ceux obte- 
nus par MINI. Miller et Moreno sur les groupes dont tous les 
diviseurs sont abéliens (Transacf. of tlie Am. math. Soc, 
t. IV, i()o3, p. .'^98). 



4. Soit n = i et p =: 2. (Considérons d'abord la répartition (2). 
Elle donne lieu à - ( -^-— 1 ) fonctions caractéristiques de 

'2 /• \ /• / * 

la forme A^=:PP', V et P' étant distincts, irréductibles, de degré /*. 
Si ;• >> I , ^esl ici >* 2. Si /* = i et ^ = 2, le nombre des fonctions 
caractéristiques est i et il n'y a qu'un tj'pe dont on trouvera les 
équations au n° o. Soit donc </ >> 2 et p ^ ^"^mod ^, g étant une 

racine primitive de ql'îi= ^ ^ y On sait a priori que = /• 

ou 2 7". Cherchons dans quel cas = 2/'. Alors [3- est de la 
forme g'^'^j t étant premier à /* et pris mod r. tû ne peut pas être 

impair, car /• et t seraient pairs et j3 ^ ±: p' serait une puissance 

de p \ — \ ^ p- mod q). Soit donc 71= 27:' et d'abord /• pair = 2/'. 
Alors — i ^ p^' mod q et les racines de tout polynôme P ou P' 
sont deux à deux inverses l'une de l'autre. De plus t est impair, 

sans quoi ^ = p^ serait une puissance de p. En remplaçant au 
besoin [^ par ji"^! (tt, ^ i mod /') on peut supposer que ^^^ g"^ et 
que [i ^E g"^' . Alors {z^ z'^) est bien d'ordre ir et pour chaque P il 

y a un seul P' avant les racines z^. c'est-à-dire que PP' a = - 

déterminations pour lesquelles = 2/'. Soit maintenant ;* impair. 
En changeant au besoin t en t -j- /•, on peut supposer t pair = i-J . 
Alors p^ — z?"^', P' est déterminé par la condition que ses racines 



(') Jordan, 7'raitc des substitutions, p. 110. 



:24G 



soienl les inverses de celles de P et il J a encore- l'onclions W 
telles cjiie o =■ :»/•. 13onc si p est non carié xrxoà rj {^alors r: est 
impair donc r pair)^ ?jz=r'^ /i,.z=: -7z(r^ — i); ^2= ^ 

Si p est carré niod €[ [alors ti est pair)^ o =z r oit 2/-; n.2, = --> 



/?; 



^.< 



TT 






-K' 



T.; N, 



■2 r 



Soit par exemple r =z i . En remplaçant au besoin j)ar une de 
ses j)uissances, on peut toujours représenter la catégorie de b par 

ù\ = I a^y = a^o, x\ = oi^^ari, Xi =^ Xi\ {i = '-"j . ... ni — i ; A ^ i mod </), 



a étant une racine primitive aibitraire de a*/^ i. Les 



Ijpes 



s'oblienncnt alors en Taisant parcourir à X un système de valeurs 
^ I mod q dont aucune ne soit inverse d'une autre mod^; car, 
pour que />x et by appartiennent à la même catéi^orie, c'est-à-dire 
pour que b^ soit conjuguée de by dans L(/>i,/>), il faut et suffit 
(si A ^ a' mod fj) que a"^ a^', a"^^^ a ou que Aâ'^ i mod q. De 
là les types 



« 



b'i=\, aiajT=ajai^ b-^a^b^^a^^ b^^aib^^a'^, b~^ a/ib =^a/i\ 



{ij 



in 



i; Ji 



m 



U- 



La répartition (o, i ) donne de suite No,i = i . Les équations du 
lj|)e corresjjondant se déduisent des précédentes en y faisant A= i . 



5. Considérons pour /• = i la répartition (ooi ,..., pov) -'^6 ne sera 
^o que si : i" o divise p^, = A, ô, ..., pQ^^n/^^o et o(q")= Q = K o ; 
2" on peut ranger Spo^=po=p des Q nombres z appartenant à 
l'exposant q'^ en séries de 3 termes, la r'^''"'' étant ^/, z-f^ . . . ., zf 
Alors on pourra prendre pour les poi l^ou '^^ racines de h^ quel- 
conques de ces séries, puis pour les O02 ^^o2t celles de Ao quel- 
conques des séries restantes, etc. Le nombre 



K — /i, 
ho 



K! 



hilh. 



des déterminations de A^ ainsi obtenues, est ^ n^ (car on peut 
seulement affirmer cpie ces A^^ ont pour indice un multiple de o); 
il est égal à si ô est le plus grand commun diviseur des po^ et 



(>) 



— !2i7 — 

(\c () ; si (T j)Iiis -i;iii(l coiiimun diviseur ff csl picmicM", o prend les 

r 1 y Q- 
seules valeurs i , (t, el //, = — j j — /',/. 

P0l'?0ol... 

A clia(|iie choix des 3/ répoudeuL une forme canorii(|ue <le h et 
des équalions de (i (jui s'écrivent immédiatement. Mais il est plus 
simple encore de formera la fois tous les types répondant à une 
valeur de o. La forme (canonique générale correspondante de h est 

Les types de G qu'elle détermine sont 

(A, A =0, .. ., m— i; t = o, ..., p — i; y = p, ..., m — i). 

On peut prendre 9/= a^'(^ i), a étant une racine primitive arbi- 
traire de a'/"= I, >.o= ï et X,. . • ., )vp__, parcourant des valeurs 
telles que, dans deux des systèmes a, a^-, . . -, aV', les exposants 
n'aient jamais de valeurs proportionnelles mod 7", quel que soit 
Tordre où l'on prend les aM, 

6. Cherchons enfin les gp"'q" G ayant un gp^ normal K de 
figure (i) (i 1 . . . i) et un g g» cyclique y lorsque G/D (D étant le 
central de A) répond à la répartition (i) pour r ^= m — i . 

m étant impair (E., 1^3), soit m z=: 2v + i- G aura des équa- 
lions de la forme {E., 144, 145) 

an = yr =ï, c'( = a'-, cV[ = an, c',[ = d'I, = \ ( A = 2, . . . , v ), 

a cu — eu c/, di dk — dj^ di. Ci d^ = d^ c/, c7 ^ dtct — di a 

{i, k = \, ...,^i\ i^ k), 

j-^aj = al, j-^Cij = a^Wicful^^', r'^dij = a^-iWicY^d^', 
si /? > 2, £ = o, I , ■/; = o ; si p = >, s = y] == o, 1 , 

les a, [B, y, satisfaisant aux conditions suivantes : 

\ et le déterminant A des a, (3, y^ sont ^ o, 

S -y<^2C//0y/^.— p^,Yy/c) = o si iV /^% = ^ si i = X', . 

^ l, J , K — I , . 

< -y ( ^'y/ 'h h — 'pji '^jk ) = :^y ( ^iji OyA- — Oy,- yy/, ) = O, 

et, en observant cpic n/cf''<^[^'' par exemple est égal à 

uUi— Il ^-, o 



— 248 — 
et que, si /? = 2, tout nombre x est :^ x-^ 
{•}.) si /? > '2 et E = i, «11^;, «1/, = 0, 7u=o, A>i, «^i, 



£ SI t = I, 

o si t > I. 



Ce sont les conditions d'aiitomorphisnie, etc. (^6'., 19). Un calcul 
direct montre que, d'après (i), A-^ ^^''. 

7. Pour l'intelligence de ce qui va suivre je présenterai d'abord 
sous une forme particulière des résultats dus à M. Jordan {^Traité 
des substitutions). 

Remplaçons un instant l'équation j'i" ^=: i pary^'^i et consi- 
déronsy comme un isomorphisme de A avec lui-même, remplaçant 

a par aX=.a\ ci par a^'ri/c^''<:/jr''= a^'C/ , 
di par aV-^ Wi cY' û?f '' = «H-' «^i • 

On aura les équations de |A,y|. Or le groupe des substitutions 
I Dcf-, \^di\ Dc^, D«?^ I (D = jrtj) qui représente l'action du 
groupe J des isomorphismes de G sur G| D est le groupe H des 
isomorphismes contragrédients de G (Holdeii, Burjvside, toc. cit.) 
et divise le groupe L(2v, p) des isomorphismes deG| D. GjD est 
isomorphe au groupe G des substitutions \xi.iyk\ Xi-\- gi^yk-h /^a | 
et H à celui /) des substitutions 

( 4 ) s = \xi,yi\ Z^:{ a//, x^: + Y//, y^), ^a{ ?'i/c ^/c + ^^ ik fk ) | • 

Un calcul direct montre d'après (i) que 

s'= I Xi, jK/; ^k{'^ikXk+ Vkjk), ^ki p'ikXk-+- o'iuyk) I 

vérifie ss' = i toujours et seulement si Ça^.^. =zô^^, ^T/a^^ — Tao 
?P^-^ = — pA/, ?S^vt=: oLifi. Les conditions (i), (2), (3) écrites pour5~' 
donnent donc les conditions suivantes respectivement équivalentes 
en vertu de (i) : 

. ,. \ ^ji^i/^kj—p,j^(kj)^o si i^A-, =^ si t = A:, • • /. _ 

( -y(a/yP/.y— ^ij'^kj) = Zj(OijO;,j— o,j^(,,j) = o, 
(2') si /? > 2 et £ = i, 0,1 = ^2^ o/„ = o, Ya^o, /i>i, t^F, 

( 3' ) si p = 2, Z/, Y//, 0//, -f- z ( ^/i -4- 0;,) = 1/, OC//, Y//. + £ ( «/ 1 -i- y/i ) = i \ . 

( o SI t >^ I. 



— 2i0 - 

(A)innu! (i') (loiiiKî, (l'jipros (2), o,, = i, {'jJ) montre que 5- ^ i 
(lors<|ue/) est > /• cl £ = 1). La condition (i) ou (i')cjui dérive 
des c(|iiah<)ns de A est nécessaire et suffisante pourquc; l'exposant 
F = )ùi[\iyi — Y/.r/) de a dans l'un des commutateurs de Il/r'-t/^', 
IÏ/C,^'>/>' garde sa forme (mod/;) au facteur ç près lorsqu'on lui 
appli(|ue la substitution s (o])éranr sur les X,, Y/ comme sur 
les Xi^ yi). Si s multiplie F par ^, s~^ multiplie F par ç"'. Si/? > '^^ 
{•à) ou {•>.') qui dérive des équations de A est la condition néces- 
saire et suffisante pour que le carré x] de l'exposant de a dans 
{\\ic}'^d?-')P garde sa forme (mod/?) : si /> = 2, (3) ou (3') est né- 
cessaire et suffisante pour que l'exposant S/X/jK^-h ^{■'^i-^ y]) ^^ « 
dans [Wc^'d^Y garde sa forme (mod 2). 

On voit donc que les substitutions s vérifient (1) ou (i') quand 
^(^o) et les coefficients sont dans un C,,: (tz =z p^) formant un 
groupe X(2y, tt). C'est le groupe linéaii^e abélien générai 
quand ; reste indéterminé. Son diviseur relatif à ; = i est le groupe 
linéaire abélien spécial c.lo,(2v, tt). Lorsque p=^i, le diviseur 
yo(2v, 7:) de X vérifiant (3) ou (3') pour £ = est le premier 



groupe hypoahélien d'ordre — ' , , ,, ; — (Jordan, loc. cit.; 

DicKsoiv, Linear groups). Le diviseur /3,/(2v, tt) de "A. vérifiant (3) 
ou (3') pour zz^d^ d rendant Z'-\- ^ -1- ^ irréductible dans G^ 

{E.y io) est le second groupe hypoahélien d'ordre- — '^^, ^_ . — 

(Ibid.). Pour/? >> 2, le diviseur de X qui vérifie (2) ou (2') sera 
désigné par ^(2V, Ti). 

8. Revenons maintenant au groupe G du n'' 6. On voit comme 
au n* 1 que G divise l'holomorphe K de A. Supposons que la 
substitution (4) corresponde à l'élément y du n" 6. Cette substi- 
tution appartient alors, pour /? >> 2, à X{iv^ p) ou à ^(27,/?), 
pour/? = 2, à 5o(2V, /?) ou à 5i (^v, p). Par h) pothèse la fonction 
caractéristique o{z) de s est irréductible. Donc, si /?>>2, il 
faut £ = 0, sans quoi, d'après (2), o{z) aurait le facteur i — z\ 
nous retrouverons d'ailleurs ce résultat tout à l'heure. II faudra en 
outre que q'^ soit diviseur propre de /?-^ — i, en sorle que q"^ 
divise/?' -h i- Donc, si/? = 2 et v = i, y"= 3 divise l'ordre de 5i 
et non celui de ^«7 cest-à-dire que s est dans y, et que s z= 7, =: 1 . 



— srjo — 

(jr|D n'ajant qu'un Ijpe déjà trouvé (2), on pourra, par un clian- 
gement de générateurs, ramener les équations de G à la forme 

ai> = j'I" — I , cf = rtï', cVl — «5,^ Cl * aci = d, * adi = rt, 
CiCu= c/iCi^ didii— du di^ Cid/i= d^ c,-, c^^diCi= dia, j~^(ij = oX 

(f, /i = 1, ..., v). 

fjsv — v2^v-ijj^.Q,__y^Q^^ étant irréductible dans C^ et appartenant à 
l'exposant ^". Les conditions (i) donnent ç = i , ao = i (siv = i, 
elles donnent seulement ç= — ao ; mais alors — 7-0=^'"^^^ et q"^ 
divise i H-yo) et, si v >> i , a.^,^^ z=. . .= a2v-i = 0. Si /^ >> 1 , ou si 
p = 2 avec V > I , les conditions (2) et (3) donnent e = o et, sauf 
si v = i avecyD>>i, a, r=. . .==1 av_, = o. Donc 6: est dans ol,i si 
/?>>2 et dans ,% si/?=^2 avec v >> i . Si y? = 2 avec v = i , on a 
vu que £ = 1 et que 5 est dans /),. En prenant C/<'/'"' pour C/et^Z/a^v+ï 
pour di^ \/ç est remplacé par )v^H- ^x/ç — X/(^i (^ =: i, . . ., 2v — i) 
et lov pai' ^^2v+ i-^sv — So^^^'-^'+f ^^^^ équations obtenues en 
annulant ces quantités mod p déterminent ^27 •••? -^^sv en fonction 
de^i, puis ^, par une équation linéaire où le coefficient de ^, 
esty(^) ^ G (/est irréductible). On pourra donc supposer nuls 
).,, . . . , )wv Si /; >> 2, ou si y? = 2 avec v >> i , on sait a priori 
{E,, 14i, 145) que A n'a que des Cy, ; donc ^'i=- Oi= o. Au con- 
traire, siy^ = 2 avec v= i, A a des e^s en sorte que les y/, oi ne 
peuvent pas être tous nuls. D'ailleurs (5) montre que C|, ..., Cv, 
<f, , . , , y dy sont du même ordre; donc y/= ^i= i- Ainsi on na 
qu'un type pour />^ 2, et ce type n'existe que s' il y a un poly- 
nôme irréductible de la forme 9-^ — aO'^ — i appartenant à 
C exposant cj'^ mod p {il faut d^ abord pour cela que cj'^ soit dlKi- 
seur propre de p-" — i). 



- TM — 



SUR QUELQUES THÉORÈMES DE M. PETROVITCH RELATIFS AUX ZÉROS 
DES FONCTIONS ANALYTIQUES; 

Par M. E. J.AIN DAU. 



1. 

Dans un Mémoire qu'a inséré ce BuUeLui (') M. l'clrovilch 
démonlre, par une mélhode très intéressante, le théorème sui- 
vani C^) : 

A. Si Von désigne par \ le plus petit module des zéros de la 
série 

(i) aQ-ha\z -^ a-iZ'-h. . , 

(où «0 est supposé diflerent de o) et si Von forme la fonction 

Z' .^M 



w(z) = 



ofi aura 






(•) ftemarque sur les zéros des séries de 'laylor, t. WIX, 1901, p. 3o3-3i2. 

(-) Ibidem, voir p. 3o6. 

(•') Je change ici, dans l'énoncé de M. Petrovitch, le signe >> en ^. En réalilé, 
sa démonstration prouve seulenîcnt que la série (i) n'a pas de zéro dont le mo- 
dule soit inférieur à — " Avec le signe >- dans Tinégalité (2), le tliéorènjc 

\ju{z) 
ne serait plus exact, comme l'exenjple suivant le fera voir. La série 



admet, dans son cercle de convergence (de rayon 1), la seule racine -• Donc 
X = -• Or, pour z = —-•, on a 



y- 



2 



— 2o2 — 

quelle que soit la valeur de la variable complexe z à V intérieur 
du cercle de convergence de la série (i). 

En d'autres termes, si R est Je rayon de convergence de la 
série (i) et /■ une quantité positive inférieure à R, on a 

(3) XI '"»"■ 



Si 

f{z) =■ aQ~\- a^z -\- a=>z'^-\-. ,. 

est une fonction entière, l'inégalité (3) s'applique à toutes les 
valeurs positives de r. 

M. Petrovitch a déduit de son théorème A, vers la fin de son 
Mémoire, une autre proposition. 11 se sert de l'inégalité 



^\anV-r^n^[y\an\rA 



dont le second membre représente le carré de la fonction majo- 
rante Jll(/') relative à f{z) pour la circonférence de rayon r. 
M. Petrovitch conclut donc de (3) l'inégalité 



qu'il énonce sous la forme suivante (') : 

B. Une fonction J\z)^ holoniorphe dans une circonférence C 
décrite autour de l^ origine comme centre, ne s^ annulant pas à 
Vorigine, ne saurait avoir de zéro de module inférieur à 

l'expression 

1/(0)1 

oii M désigne la plus petite (^) valeur que prend le module du 

(') Idem, voir p. 3ii-3i2. 

(-) Je corrige ici une faille d'ccrilurc, en remplaçant, dans l'énoncé de 
M. I^elrovilch, le rnot grande par petite. 



rapport de ht fonction nidjorantc de. f{z) à la variable z\ 
pour les valeurs de z comprises à U intcrienr de la circonfé- 
rence C 



II 



Je feiai observer eu premier lien cjiie ce ihéorème B doit être 
considéré coinnie presque évident; en effet, en vertu de l'inégalité 



^\an\r'^ 



n = 



pour 



1 ^0 1 /• ^ 

- u -^ — ■ — ' ''^^^ 



2 






on a aussi 



^\an\r- J ^\an\r- 



n — O y n = 



d'où 

00 

\f{z) — ao\ = \a^z-ha^z^-^...\^^\a,n\\z\' 



< 1^0 



■ 2l«mk'"<l«oI, 
^ Idn \rf' ,n^l 
n — O 

\f(z)\ = \ao-\-\f{z)-ao\\^^\a,\-\f(z)-ao\>o. 

m. 

On peut obtenir une proposition plus instructive que B en 
interprétant l'inégalité (3) de M. Petrovitch de la manière sui- 
vante. 

Les formules connues de la théorie des séries de Fourier, si on 



— i254 — 
les applique au carré du module de 

f(z)=f{re'i')=^anz" 

00 ce 

= ^ ( ^/iT" cosncû — Y„/-«sin/i9) + * ^ ( P/«'*" sin ^lo -!- y//'*" cos/i (^) 

« — «^0 

(où Ton a pose a,i=^ '^f,-i- y,ii), donnent 

/» — n = 

où, dans l'intégrale, z parcourt la circonférence /'(??'. Cette iden- 
tité (5), connue, quoique pas très usuelle, montre qu'en désignant 
par M(/) le maximum de | f{^) \ pour | :; | = /•, on a 



(^>) 



^|«, 12,-2/' <;M(r)'r (1). 



De (3) et (6), on conclut l'inégalité 



(7) 



X>Ii^ (2). 



Si la fonclion \/(z)\ n'est pas constante pour | :; | ==r /•, on a 
même 



^\an\'-r^"<]M(ryr', 



« — 



'> ¥T7T' 



(') L'inégalité (G) a été déruontiée, sans faire intervenir les intégrales, par 
M. Gulzmer dans sa Note : Fin Satz iiber Potenzveilien {Mathematische Anna- 
len, t. \\\II, i888, p. SçjG-fkx)). Ce fait intéressant ([ue jM(;-);- est supérieur on 
égal non seulement à chacune des quantités l»,,]'-/-" (/i = o, i, 2, ...), ainsi que 
Caucliy l'avait déinontié, mais aussi à leur somme, n'est mentionné presque dans 
aucun traité. 

(-) Dans l'exenïple contenu dans la troisième note de la page l'n, la limite indi- 
quée par le second mcmhre de (7) est atteinte. Car on a M ^ -::: ) = \'î. D'ai 



leurs, pour | c ! = —zli on a, indépendamment de f, \ f{z) 



,1-. 



— i-hiz 



V 2. 



— 2:;r> — 

ce f|iii, en vertu de l:i rchilum 



entra me l iiiei;aliLe 



(4) 



X> 



141 ( /• ) 



SI !./('•) I est constant pour \z\ = rj on a certainement 

M(/')<itt(/-), 
de sorte que (7) entraîne l'inégalité (4). 



IV. 

Cependant l'inégalité (7) n'est pas nouvelle; au contraire, elle 
est une conséquence presque immédiate du théorème de M. Jen- 
sen ('), dont voici l'énoncé dans le cas des fonctions /{z) régu- 
lières pour I :; I ^ /• et difierentes de o pour ^ = o : 

Si z-i^ z.,, . . . ^ Zk sont les zéros de la fonction dont le module 
ne surpasse pas /*, on a 



(8) 






i 1 s 2 ... « A- 



oii z parcourt la circonférence l'C^^ 
11 résulte de (8) que 



loa 



(9) 






^logM(/-), 



■'1Z.1...Z1C 
Donc, pour | 0, |^^' < | ^2 1^ en posant A- =: i, | :;, | = X, on a 



A^ 



\ao\r 
U(r)' 



(') Sur un nouvel et iinporlaiiL tkéorème de la lliéorie des fonctions {Acta 
matheniatica, l. WII, 1H99. p. ?>:n)-?>(\'\) . 



— 256 



C'est l'inégalilé (7), pour | ^i | ^ /' <C | ^2 |- Pour A- = o, c'est-à-dire 
pour o <</'<< I ^( I, elle résulte de ce que 

M(r)>|ao|, 



X = |-sil>r> 



«0 



M(/-) 



Pour A" ^2, c'est-à-dire pour \z2\Sr et /• inférieur au rayon du 
cercle de convergence de la série (r), elle résulte de 



M(/-) 



/( o ) r^' I _ ] «0 I /• r 

A ^9 



■ ^k 



'k[ 



I «0 k 
X 









De cette façon, M. Lindelof (') est même arrivé à déduire du 
théorème de M. Jensen, pour tous les v, l'inégalité 



(10) 



M(r)^ 



«0 I r^ 



Zi\...\Zy 



OÙ les racines ^,, Z2, . . . sont rangées par ordre de modules crois.- 
sanls et où /' désigne un nombre positif quelconque inférieur au 
cercle de convergence de (i). Il est vrai que M. Lindelof ne parle, 
à l'endroit cité, que des fonctions entières; mais il n'y a rien à 
changer à son raisonnement pour le cas général. Seulement il faut 
mettre ^ à la place de >>, pour embrasser tous les cas, ce qui est 
fait dans la formule (10). Voici donc la démonstration de l'inéga- 
lité (10) : 

Soient 2, , . . . , :;y^ les zéros dont la valeur absolue est 5 ;•. 

i^ Pour A' = V, c'est-à-dire pour | :^v | ^ '' < | ^v+» K (10) n'est 
autre chose que (9). 

2" Pour A* << V, on a o<;r<C|^v|7 et (10) résulte de (9) en 
vertu de 



«0 \r' 



«0 I r' 



an \r 



I . . . I = 



'1 



Zlc 



'A-Hl 



«1 



-/c 



3* Pour A" >> V, on a /'^l^v+i |; ('o) est alors la conséquence 

(') Mémoire sur la théorie des fonctions entières de genre Jini {Acta Socie- 
tatis Scientiarian Fennicœ, t. XXXI, 1902, p. iS-i.^j). 



- 257 



tic (()) cl (le 



I ^0 I r'' i__ _ _ ^ jr_ . , [ an \ r' ^ _ \ ap \ /-v 



-t 1---1 -vl I -v-M I I -/ri 1-1 ...|-vl \Zi ... Z^> 



V. 



Je vais mainlcnaiiL inonlrcr cjiic non seulement Finégalilé ('^), 
lirce du ihcorènie A, peut être déduite du théorème de M. Jensen, 
mais (|ue le llicorème A lui-même est contenu dans le théorème 
de M. Jensen. 

Eu a|)j)li(|uant l'identité (5), on voit qu'il s'agit de démontrer 
l'inégalité 

(M) X^ '"^""' 



1 r''' 

en parlant du théorème de M. Jensen. 
Celui-ci peut s'écrire 

• = e c 

l--,l...l^A.l 

Le premier membre étant, comme on l'a vu, toujours supérieur ou 

' I . \cio\r 
Cirai a — ; — > on a 

^ A 

(l'î) - — ^ — £ e "^0 

Soit g{'-f) une fonction de cp, continue pour o 5^9^ 27:. La 
moyenne géométricpie de n nombres positifs étant inférieure ou 
égale à leur mojenne arithmétique, on a 



1 -^71 I 
li ,'/l - 1) ( 






= e v^o 



V —0 

XXXIII. I- 



258 



(roù, en pnssanl à la liinilo, 



(i3) 






g^^i'l'-? I 



■Lr 






Sn|)poson.s d'abord (jue f{z) n'ait pas de zéros sur In cireonfé- 
renee | ^ | = /', et posons, dans (i-^), 



nous aurons 



^r"io.i,/(.)M^) ^ , 

e' '^ '> 



donc, en vertu de (i^i), 

(1--.) 



/"; 



t^^s/'^j: i/(=)i-'. 



Les deux membres de (i5) étant des fonctions continues de /•, 
cette inégalité subsiste aussi dans le cas où f{z) a des zéros dont 



le module est égal à /■. 
Donc on a 



I<^ol'' 



y/jLy-^\/(.)|^rf, 



ce qui constitue, comme nous l'avons vu plus haut, le théorème A 
de M. Petrovitch. 



V[. 



Soient, plus généralement, À, , Xo^ . . . , Xv les modules des v pre- 
miers zéros de la fonction /(z), situés dans le cercle de conver- 
gence de la série 

«0 + <^l - -+- «2 -S^ -t- . . . . 

On a vu, au paragraphe IV, que, pour tout /• inférieur au rajon de 
ce cercle, on a 



Xi...A\ 



h' • -^/r 



209 — 



i)ù -., . . . , c/, <l('sii;n(Mit les /cros iloiiL le module no siirj)assc pas /• 
Donc, pnr \c llu-oiènic de M. Jenscn, 



X| . . . Xy 

ol, (Ml iippliqiianl (i/j), 






S^'-\/rjy<-<-'>' 



ce cjui, en vcrUi de (5), peut se meUrc sous la forme 

I «0 I ry 



>MX2...Xvi 



s/ 



n 



2 

Pour 7 = 1, on retrouve le théorème de M. Petrovitcli. 



VII. 



Enfin, j'indiquerai nne démonstration directe et très élémentaire 
du théorème A. L'inégalité en question 

(3) \l •''«''' 



v/ 



n = 



1 

n = 

sera évidemment démontrée si l'on réussit à prouver que 
(iG) ^1«, 



^ I «0 1 ; 



1/1 = 1 / * 

car, pour 



I ^0 I r 

00 






2r,() — 



on aura alors 

|/(-)-«ol 



an,z"' 



in = \ 



00 



n, 



I^ol '"/•'" 



«0 V 



m — l 



m-i 



\ n — / 

En d'autres lermes, si l'on pose dans (16), pour m = \ , 2, 



Clj 



«0 



= Pni' 



il suffit de prouver : si /),, p^, • • • som des quantités réelles et si 
la série 



converge, on a 



(•7) 



S = 



00 

1 



Pm 



::i I 

/;/ — 



Cette inégalité (17) peut être déduite d'une inégalité plus géné- 
rale établie par M. Pringsheini (< ) dans un autre but. Elle s'établit 
directement de la manière suivante, en excluant le cas banal de 
^i , = ^.^ = . . . = o , où S = o < I . 

On a, [)Our a et [i réels. 



Appliquons cette identité à 

Pm 



a = 



[pj + pl +...)- 



r m * 



OÙ m désigne un des nombres i, 2, . . .; nous aurons 



(18) 



■^Pm 



P'\-^ P-I-^ 



(n-/>ï+/>l+---)" 



P'I-^Pl-^ 



{i-^p'i-^P'i-^"-)' 



(') Voir, par exemple, Ele/uentare Théorie der ganzen trauscendeiUen 
Fiinktionen von endlicher Ordnung [Mathematisclœ Annalen, t. LVIII, Hjo'h 
p. 268, formule (6), cq lisant, eiilre les deux iiieiubrcs, ^ au lieu de <]. 



Ajoulons CCS inr^^aliu'îs (i8) poui- />/ — i , >., ...; nous ohlicndrons 






c'est riiu'i;alitc (i^) qu'il fallait dcmonlrcr, ou, en d'autres 
termes, le théorème A de M. Petrovitch. 



CORRESPONDANCE. 



CINQ LETTRES SUR LA THÉORIE DES ENSEMBLES. 

T. — Lettre de M, Iladamavd à M. Borel. 

J'ai lu avec intérêt les arguments que tu opposes (3® Cahier 
du tome LX des Matlieinatische Annaten) à Li démonstra- 
tion de M. Zermelo parue dans le Tome précédent. Je ne partage 
cependant pas ton opinion à ce sujet. Je n'admets pas, tout 
d'abord, l'assimilation que tii établis entre le fait qui sert de point 
de départ à M. Zermelo et le raisonnement qui consisterait à numé- 
roter les éléments de l'ensemble les uns après les autres, ce numé- 
rotage étant poursuivi Lransjlnitnent. Il j a, en effet, nne difïé- 
rence fondamentale entre les deux cas : le raisonnement qui vient 
d'être cité en dernier lieu comporte une série de choix successifs 
dont chacun dépend des précédents ; c'est pour cela que son 
application iransfinie est inadmissible. Je ne vois aucune analogie 
à établir, au point de vue qui nous occupe, entre les choix en 
question et ceux dont parle M. Zermelo, lesquels sont indépen- 
dants les uns des autres. 

C'est d'ailleurs dans le cas d'une infinité non dénonibrable 

de choix que lu récuses cette manière d'opérer; mais, à mon tour, 

je ne vois pas de différence, à cet égard, entre le cas d'une infinité 

non dénonibrable et celui d'une i*nfinit('' dénonibrable. La diffé- 

xxxm. 17. 



— 2G-2 — 



rcncc serait manifeste s'il y avait une dépendance quelconque 
cnire les choix en question, ])arcc qu'il faudrait alors avoir égard 
à l'ordre dans lc(iuel on les opérerait : elle me paraît, encore une 
fois, s'évanouir complèlement dans le cas des clioix indépendants. 
Ce qui est certain, c'est que M. Zermcio ne donne aucun moyen 
d'exécuter effectivement l'opéralion dont il parle, et qu'il reste 
douteux (pie personne puisse, dans la suite, indiquer ce moyen. 11 
aurait été assurément plus intéressant de résoudre le problème 
sous cette forme; mais la question ainsi posée (détermination 
elTective de la correspondance cherchée) n'en est pas moins com- 
plèlement distincte de celle que nous examinons (une telle cor- 
respondance existe-t-elle?) : il y a entre elles toute la différence, 
laquelle est fondamentale, qui existe entre ce que M. Tannery (') 
appelle une correspondance qui peut être défuiie et une corres- 
pondance qui peut être décrite. Plusieurs questions importantes 
de Mathématiques changeraient totalement de sens, et de solutions, 
si l'on substituait le second mot au premier. Tu emploies des cor- 
respondances dont tu constates l'e^i^^e/ice sans pouvoir cependant 
les décrire, dans ton important raisonnement relatif aux séries qui 
admettent leur cercle de convergence comme coupure : si l'on se 
bornait aux séries entières dont la loi de formation peut être dé- 
crite, l'opinion ancienne (à savoir, que les séries entières admettant 
leur cercle de convergence comme^ coupure sont l'exception) 
devrait, à mon sens, être considérée comme la vraie. C'est d ail- 
leurs une pure question de sentiment; car la notion de correspon- 
dance (( qui peut être décrite » est, pour reprendre ton expression, 
(( en dehors des Mathématiques » ; elle relève du domaine de la 
psychologie et est relative à une propriété de notre esprit, c'est 
une question de cette nature que celle de savoir si la correspon- 
dance employée par M. Zermelo pourra jamais être indiquée en 

fait. 

Quant à l'existence de cette correspondance, elle me paraît aussi 
adéquate à la possibilité de prendre un élément dans un ensemble 
quelconque donné, que la proposition suivante : 

A. Un nombre x étant donné, il existe des nombres y qui ne 



(') liexue f^e'iierale des Sciences, l. VIII, lï^o;, p. i3o cl suiv. 



— 2G3 — 

aont /f'rs à r par (lucunc (''(juation al i:^*' brique à coejfficients 
entiers, 

l'csL à C(;llc-('i : 

H. H existe des fonctions y de x telles que, pour aucune 
valeur de x^ y nait ni une valeur al^^éhriquc, ni une valeur 
liée à X par une équation algébrique à coefficients entiers. 

On pourrait (l'aillciirs, sans doute, former de telles fonctions. 
INlais ce que je prétends, c'est que cela n'est nullement nécessaire 
pour affirmer l'exactitude du théorème B; et je crois (pie beaucoup 
de malliémalicicns ne prendraient pas plus que moi cette peine 
s'ils avaient à employer le théorème en question. — J. Hadamard. 

II. — Lettre de M. Baire à M. Hadamard. 

Borel me communique la lettre où vous lui exposez votre ma- 
nière de voir sur le grand débat soulevé par la Note Zermclo. Je 
vous demande la permission de vous adresser quelques réflexions 
qu'elle me suggère. 

Je suis, vous le savez, de l'avis de Borel, en gros, et si je m'en 
écarte, ce sera pour aller plus loin que lui. 

Supposons qu'on fasse un efl^ort pour essayer d'appliquer la 
méthode de Zermelo à l'ensemble M des suites d'entiers positifs. 
On prend dans M un élément distingué ni^ ; reste l'ensemble M — /?i, , 
dans lequel on prend un élément distingué m^'. etc. Ces choix 
successifs dépendent bien chacun de ceux qui le précèdent. Mais, 
dites-vous avec M. Zermelo, les choix sont indépendants les uns 
des autres, parce qu'il admet comme point de départ un choix 
d^ élément distingué fait clans toute partie de M. Ceci ne me 
|)araît pas satisfaisant : c'est, pour moi, dissimider la difficulté en 
la noyant dans une difficulté plus grande. 

L'expression ensemble donné est employée à chaque instant : 
a-t-elle un sens? Pas toujours, selon moi. Dès qu'on parle d'infini 
(même dénombrable, et c'est ici que je suis tenté d'être plus radi- 
cal que Borel), 1 assimilation, consciente ou inconsciente, avec 
un sac de billes qu'on donne de la main à la main, doit com[)lè- 
lemenl di-<pnraitre, et nous sommes, à mon avis, dans le virtuef 



- 204 — 

c'esl-à-dire que nous faisons des conventions qui nous permellent 
ulléiieurernent, un ol)jeL élanl défini par une nouvelle conven- 
lion, d'affirmer certaines pro[)riétés de cet objet. Mais croire qu'on 
est allé plus loin ne nie paraît pas légitime. En particulier, de ce 
qu'un ensemble est donné (nous serons d'accord pour dire, par 
exemple, que nous nous donnons l'ensemble des suites d'entiers 
positifs), il est faux pour mol de considérer les parties de cet 
ensemble comme données. A plus forte raison je refuse d'attacher 
un sens au fait de concevoir un choix fait dans chaque partie d'un 
ensemble, 

M. Zermelo dit : « Concevons qu'à tout ensemble partiel de M 
corresponde un de ses éléments. » C'est là une conception qui n'a 
rien de contradicloire, d'accord. Aussi, tout ce qu'il démontre 
pour moi, c'est que nous n'apercevons pas de contradiction à con- 
cevoir que, dans tout ensemble qu'on nous définira, les éléments 
aient entre eux des relations de position identiques à celles qu'ont 
l^s éléments des ensembles bien ordonnés. Pour dire après cela 
(ju'on a établi que tout ensemble peut être mis sous la forme d'un 
ensemble bien ordonné, il faut donner aux mots une extension 
extraordinaire et, j'ajouterai, trom|)euse. 

Dans ce qui précède, je ne suis arrivé que bien incomplètement 
à rendre ma pensée. J'ai dit ma manière de voir dans la phrase 
qu'a bien voulu transcrire Borel dans sa Note. Pour moi, le pro- 
grès, dans cet ordre d'idées, consisterait à délimiter le domaine de 
ce qui est définissable. Et, en fin de compte, en dépit des a[)pa- 
rences, tout doit se ramener au fini. — R. Baire. 



111. 



Lettre de M. Lebesiiue à AI. Borel. 



Vous me demandez mon opinion sur la Note de INI. Zermelo 
(il/atli. Annalen, t. LIX) sur les objections que vous lui avez 
laites {Math. Annalen, t. LX) et sur la lettre de M. Hadamard 
(jue vous me communiquez; la voici. Excusez moi d'être long, j'ai 
essayé d'être clair. 

Tout d'abord je suis d'accord avec vous pour ceci : M. Zermelo 
a très ingénieusement démontré que l'on savait résoudre le pro- 
blème A : 



— 2(;:i - 

A. Mt'tli (' un cnscnihlc M sous forme bien, oriloiinér, 
touirs l(*s lois (jii'oii savait rcsoudrc; le prohlcmc W : 

I>. lùtivc correspondre à cIkkjuc ensemble ^V formé avec des 
éléments de iM un élément jKirtieuller m' de M'. 

Malliciiiotiscriiont le prohlèmc l> n'est faeil<; à r(*s()ii(ln;, à ce 
(liTil seiiihle, cnie j)()iir les eiisenihlcs qu'on sait l)i(Mi ordonner; 
par suite on n'a pas une solution générale du prohlèine A. 

Je doute fort (|u'on puisse donner une solution générale de ce 
problème, du moins si l'on admet, avec M. Gantor, cpie définir un 
ensend)le ]M c'est nommer une propriété P appartenant à certains 
éléments d'un ensemble iN précédemment défini et caractérisant, 
par définition, les éléments de M. En elFet, avec cette définition, 
on ne sait rien sur les éléments de M d'aulre que ceci : ils pos- 
sèdent tous les propriétés inconnues des éléments de N et ce sont 
les seuls qui ont la propriété P inconnue. Rien là-dedans ne per- 
met de distinguer deux éléments de M, encore moins de les classer 
comme il faudrait le faire pour r('soudre A. 

(^ette objection, faite a priori à tout essai de solution de A, 
londje évidemment si l'on particularise N ou P; l'objection tombe, 
par exemple, si ]N est l'ensemble des nombres. Tout ce que l'on 
peut espérer faire de général, c'est indiquer des problèmes, tels 
que B, dont la résolution entraînerait celle de A et possibles dans 
certains cas, particuliers, mais cpii se rencontrent fréquemment. 
D'où l'intérêt, à mon avis, du raisonnement de M. Zermelo. 

Je crois que M. Hadamard est plus fidèle (jue vous à la pensée 
de M. Zermelo en interprétant la Note de cet auteur comme y\\\ 
essai, non pas de résolution eirective de A, mais de démonstration 
d'existence de la solution. La question revient à celle-ci, peu nou- 
velle : peut-on démontrer V existence d'un être mathématique 
sans le définir? 

C'est évidemment une alTaire de convention; mais je crois (juon 
jie peut bâtjji" solidement qu'e/i admettant quon ne démontre 
V existence d'un être qu'en le définissant. A ce [)oint de vue, 
voisin de celui de Kronecker et de M. Dracli, il n j a pas à dis- 
tinguer entre A et le |)roblème C : 

G. Tout ensemble peut-il être bien ordonné? 



— 26G — 



Je n'aurais rien de pins à dire si la convcnlion que j'ai indiquée 
était universellement admise; mais je dois avouer que l'on emploie 
souvent, et que j'ai moi-même souvent emploj'é, le mot existence 
dans d'autres sens. Par exemple, lorsqu'on interj)rète un raison- 
nement J^ien connu de M. Gantor en disant : il existe une infinité 
non dénonibrable de nombres, on ne donne cependant pas le 
mojen de nommer une telle infinité. On montre seulement, vous 
l'avez dit avant moi, que, chaque fois qu'on aura une infinité dé- 
nombrable de nombres, on pourra définir un nombre ne faisant pas 
partie de cette infinité. (Le mot définir "à tout le temps le sens de : 
nommer une propriété caractéristique du défini). Une existence 
de cette nature peut être utilisée dansnn raisonnement et de la ma- 
nière suivante : une propriété est vraie, si, la nier, conduit à 
admettre qu'on peut ranger tous les nombres en suite dénombrable. 
Je crois qu'elle ne pewt intervenir que de cette manière. 

M. Zermelo utilise V existence d'une correspondance entre les 
sous-ensembles de M et certains de leurs éléments. Vous voyez 
que, quand même l'existence de ces correspondances serait hors 
de doute, suivant la manière dont cette existence aurait été prouvée, 
il ne serait pas évident qu'on ait le droit d'utiliser cette existence 
comme le fait M. Zermelo. 

J'arrive au raisonnement que vous énoncez ainsi : « Il est pos- 
sible, dans nn ensemble particulier M', de choisir ad libitum 
l'élément distingué irî \ ce choix pouvant être fait pour chacun des 
ensembles M', peut être fait pour l'ensemble de ces ensembles », 
et duquel semble résulter l'existence des correspondances. 

Tout d'abord. M' étant donné, est-il évident qu'on puisse choi- 
sir m"? Gela serait évident si M' existait, au sens presque kronecké- 
rien que j'ai dit, puisque dire que M' existe serait alors aHirmer 
que Vow sait nommer certains de ses éléments. Mais étendons le 
sens du mot exister. L'ensemble F des corres[)ondances entre les 
sous-ensembles M' et les éléments distingués m' existe certai- 
nement pour MM. Hadamard et Zermelo; ce dernier représente 
même le nombre de ses éléments par un produit transfini. Gepen- 
dant, sait-on choisir un élément de F? Non, évidemment, puisque 
ce serait donner de B, pour M, une solution déterminée. 

Il est vrai que j'emploie le mot choisir dans le sens de nommer 
et qu'il suffit peut-être pour le raisonnement de M. Zermelo que 



I 



— 2G7 — 

choisir >\\i^\\\[\r penser à. Mais il faiil (Mîpcndanl rcîtnaicjiicr fuTon 
iriiulKjiK* pas celui aïKiucI (u\ pcrisfî cl (jtTil (;sl ncaninoiiis ncccs- 
Stiirc an raisoniHMncnlihî INI. /crinclo (iiTon pense à une corres- 
potuUmee déterminée loujonrs la niénic. iM. iladainard croij, il 
me scnil)le, (pi'il ii'csl pas nécessaire (jn'on démontre (jn'on [)eiil 
déterminer un élément (et un seul); c'est de là, à mou avis, que 
viennent les diflTérences d'appréciation. 

Pour mieux vous faire sentir la dilïicullé que je vois, je vous 
raj)()elle (pie, dans ma thèse, j'ai démontré l'existence (sens non 
kroneekérieu et peut-être difficile à préciser) d'ensembles mesu- 
rables non mesurables B, mais il restait douteux [)our moi qu'on 
pût jamais en nommer un. Dans ces conditions, aurais-je eu le 
droit de fonder un raisonnement sur celte hypothèse : je suppose 
choisi un ensemble mesurable non mesurable J3, alors que je 
doutais que personne pût jamais en nommer un? 

Ainsi je vois déjà une difficulté dans ceci « dans un M' déter- 
miné je puis choisir un m' déterminé », puisqu'il existe des 
ensembles (l'ensemble C par exemple, qu'on pourrait considérer 
comme un ensemble M' provenant d'un ensemble plus général) 
dans lesquels il est peut-être im[)ossible de choisir un élément. Il 
y a ensuite la difficulté que vous signalez relative à l'infinité des 
choix, ce qui fait que, si l'on veut considérer le raisonnement de 
M. Zermelo comme tout à fait général, il faut admettre qu'on parle 
d'une infinité de choix, infinité de puissance peut-être très grande; 
on ne donne d'ailleurs ni la loi de cette infinité, ni la loi d'un des 
choix ; on ne sait pas s'il est possible de nommer une loi définissant 
un ensemble de choix ayant la puissance de l'ensemble des M'; on 
ne sait pas s'il est possible, étant donné un M', de nommer un m' . 

En résumé, quand j'examine de près le raisonnement de M. Zer- 
melo, comme d'ailleurs plusieurs raisonnements généraux sur les 
ensembles, je le trouve trop peu kroneckérien pour lui attribuer 
un sens (en tant que théorème d'existence de la solution de G, 
seulement, bien entendu). 

Vous faites allusion à ce raisonnement : « Pour bien ordonner 
un ensemble il suffit d'y choisir un élément, puis un autre, etc. » 
Il est certain que ce raisonnement présente des difficultés énormes, 
plus grandes encore, au moins en apparence, que celui de M. Zer- 
melo; et je suis tenté de croire avec M. lladamard qu'il y a progrès 



— 268 — 

à avoir remplace une infinilé de choix successifs et dépendant les 
uns des autres par une infinité, non ordonnée, de choix indépen- 
dants. Il n'j a peut-être là qu'une illusion et la simplification appa- 
rente tient peut-être seulement à ce que l'on doit remplacer une 
infinité ordonnée de choix par une infinité non ordonnée, mais de 
Jouissance plus grande. De sorte que le fait qu'on j)eut ramener à la 
seule difficulté, placée au début du raisonnement de M. Zermelo, 
toutes les difficultés du raisonnement simpliste que vous citez 
prouve peut-être simplement que cette seule difficulté est très 
grande. En tout cas, elle ne me paraît pas disparaître parce qu'il 
s'agit d'un ensemble non ordonné de choix indépendants. Par 
exemple, si je crois à l'existence de fonctions y{oo) telles que, 
quel que soit x^ y ne soit jamais lié à x par une équation algé- 
brique à coefficients entiers, c'est parce que je crois, avec M. Ha- 
damard, qu'il est possible d'en construire; mais ce n'est pas, pour 
moi, la conséquence immédiate de 1 existence, quel que soit .r, de 
nombres y qui ne soient liés à x par aucune équation à coefficients 
entiers (* ). 

Je suis pleinement d'accord avec M. Hadamard quand il déclare 
que la difficulté qu'il v a à parler d'une infinité de choix sans en 
donner la loi est aussi grave, qu'il s'agisse ou non d'une infinité 
dénombrable. Quand on dit, cojnme dans le raisonnement que 
vous critiquiez, « ce choix pouvant être fait pour chacun des 
ensembles M', peut être fait pour l'ensemble de ces enseuïbtes », 
on ne dit rien si l'on n'explique pas les termes employés. Faire un 
choix, ce peut être écrire ou nommer l'élément choisi; faire une 
infinité de choix, ce ne peut être écrire ou nommer les éléments 
choisis, \\ï\ à un : la vie est Irop courte. Il faut donc dire ce que 
c'est faire. On enlend par là, en général, (pie c'est donner la loi 
qui définit les éléments choisis, mais cette loi est pour moi, comme 
pour ]M. Hadamard, aussi indispensable, qu'il s'agisse d'une infinité 
dénombiable ou non. 

Peut-être cependant suis-je encore d'accord avec vous sur ce 
point parce que, si je n'établis pas de différences théoriques entie 



(') Kii corrigoant les épreuves, j'ajoute qu'eu fait le raisonnement, par lequel 
on légilinie orcliuairen)eut l'cnoucé A de M. Hadamard (p.v>f»2), légitime en mcine 
temps l'énoncé li. I^t, à mon avis, c'est parce qui! légitime B qu'il légitime A. 



- 2()0 - 

l(îs (l(ii\ mnnilés, an |)(»iiil. (I(î vue jualKjiK;, je fais uik* jurande 
dillérencc entre elles, (^iiand j'enlends parler d'une loi définissant 
iiiK* iiifinilé Iranslinie de «.hoix, je suis très méfiant, j)aree (\[\(t je 
n'ai jamais eneore vu de |)areilles lois, tandis (jue je eonnais des 
lois délînissant une in(init(; di'noiuhrahle de elioix. Mais ee n'est 
(|u'une afl'aire de routine et, à la réllexion, je vois parfois des dif- 
lieultés aussi j^raves, à mon avis, dans drs raisonnements où n'in- 
terviennent qu'une infinité dénomhraMe de elioix que dans des 
raisonnements où il y en a une translinité. Par exemple, si je ne 
considère pas comme étaljli par le raisonnement classique (pie lout 
ensemble de puissance supérieure au dénombrable contient un 
ensemble dont Ja puissance est celle de l'ensemble des nombres 
translinis de la classe II de M. Gantor, je n'attribue pas plus de 
valeur à la méthode par latpielle on démontre qu'un ensemble non 
fini contient un ensemble dénombrable. Bien que je doute fort 
qu'on nomme jamais un ensemble qui ne soit ni fini, ni infini, 
l'impossibilité d'un tel ensemble ne me paraît pas démontrée. Mais 
je NOUS ai déjà parlé de ces questions. — H. Lebesgue. 



IV. — Letlie de M, Iladainard à M. Bond, 

La question me paraît tout à fait claire maintenant, après la 
lettre de M. Lebesgue. De plus en plus nettement, elle tient tout 
entière dans la distinction, exposée dans l'article de M. Tannerv, 
entre ce qui est déterminé et ce qui peut être décrit. 

Lebesgue, Baire et toi, adoptez à cet égard la manière de voir 
de Kronecker, que je croyais jusqu'ici lui être particulière. Vous 
répondez négativement à la ([ueslion posée (ci-dessus, p. 263) 
par M. Lebesgue : Peut-on démontrer l'existence d'un être mathé- 
matique sans le définir? J'y réponds alfirmativenient. Je prends 
pour mienne, autrement dit, la réponse (pie Lebesgue fait lui- 
même (p. 266) à son objection relative à l'ensemble F. 

Qu'il nous soit impossible, au moins actuellement, de nommer 
un élément de cet ensemble, j'en conviens. C'est là la question 
pour vous; ce ne l'est pas pour moi. 

11 n'y a qu'un point sur lequel il me semble que Lebesgue ne 
soit pas loiiique avec lui-même. (>'cst lorsqu'il se reconnaît ou ne 



— 270 — 

se rcconnaîl pas le droil d'iilillser une existence, suivant la manière 
dont elle a été démontrée. Pour moi, les existences dont il parle 
sont des faits comme les autres. Sinon, elles n'ont pas lieu. 

La question se pose de même vis-à-vis de Baire. Je n'ainicrais 
pas beaucoup la placer, comme il le fait (p. 264 ), à la façon de 
M. Hilbert, sur le terrain du non contradictoire, qui me paraît 
encore relever de la psychologie et faire entrer en ligne de compte 
les propriétés de nos cerveaux. Je ne comprends même pas bien 
comment M. Zermelo peut awoiv démontré que nous n'apercevons 
pas de contradiction, etc. Cela ne se démontre pas, cela se con- 
state : on en a aperçu ou l'on n'en a pas aperçu. 

Ce point écarté, la question principale, celle de savoir si l'en- 
semble peut être ordonné, n'a évidemment pas pour Baire (pas plus 
que pour Lebesgue et toi) le même sens que pour moi. Je dirais 
plutôt : l'ordination est-elle possible? (et non pas même peut-o/j 
ordonner, de crainte d'avoir à penser à ce qu'est cet on) : Baire 
dirait: \)Ou\ons-nous ordonner? Question toute subjective, à mon 
avis. 

Ce sont donc deux conceptions des Mathématiques, deux men- 
talités qui sont en présence. Je ne vois, dans tout ce qui a été dit 
jusqu'ici, aucun motif de changer la mienne. Je ne prétends pas 
l'imposer. Tout au plus ferai-je valoir en sa faveur les argu- 
ments que j'ai indiqués dans la Revue génércde des Sciences 
(3o mars iqoS), savoir : 

r* Je crois que le débat est au fond le même qui s'est élevé entre 
Riemann et ses prédécesseurs, sur la notion même de fonction. 
La /oi qu'exige Lebesgue me paraît ressembler fort à l'expression ( ' ) 
anal^licpie que réclamaient à toute force les adversaires de Riemann. 
Et même à une expression analytique pas trop bizarre. Non seu- 
lement la numérahilité des choix ne me paraît pas changer la 
question, mais il en est de même de V unicité. Je ne vois pas 



( ' ) Je crois devoir insister un peu sur ce point de vue qui, s'il faut dire toute 
ma pensée, me paraît former le fotid même du débat. Il me semble que le progrès 
véritablement essentiel des Mathématiques, à partir de l'invention même du Calcul 
infinitésimal, a consisté dans Taniiexion de notions successives qui, les unes pour 
les Grecs, les autres pour les géomètres de la Henuissancc ou les prédécesseurs de 
Riemann, étaient « en dehors des Malhémaliqucs », parce qu'il était impossible de 
les décrire. 



— 271 — 

connnoiU nous aurions le droiL de (lire : <( Pour cliaqiic val<!ur {\(t x 
il existe uit nonjhiMî salisfaisanl à — Soit jk <'C noinhrc... », alors 
que, parce (|iie <( la mariée est trop belle », nous ne [)Oiivons pas 
(lire : u Pour elia<pi(^ valeur de x il existe une infinilé de nond)res 
salisfaisanl à .... Soilj^ Tun de ces noudjres ... ». 

2° Les choix arbitraires de Tannery conduisent à des nombres v, 
(pie /loifs serions incapables de définir. Je ne conçois pas que ces 
nombres n'existent pas. 

Quant aux raisonnements présentés par M. Bernstein [Math. 
Annalen, t. LX, p. 187), et, par conséquent, à ses objections 
à la démonstration de M. Zermcio, je ne les considérerais pas, 
pour ma part, comme probants. Celte opinion est d'ailleurs indé- 
pendante de la question que nous discutons actuellement. 

M. Bernstein part du paradoxe de M. Burali-Forti [Circolo 
matematico di Palernio, 1897) l'^'^^'f ^ l'ensemble W de tous 
les nombres ordinaux. Pour échapper à la contradiction mise en 
évidence par M. Burali-Forti, il suppose le nombre ordinal W tel 
qu'il soit impossible de lui ajouter i. Cette opinion est, pour moi, 
inadmissible, ainsi que les arguments imaginés en sa faveur par 
INI. Bernstein. L'ordre établi (d'après la théorie de M. Cantor) 
entre les éléments de W et l'élément supplémentaire (c'est à cet 
ordre que s'attaque l'auteur) est une pure convention, qu'on est 
toujours libre de faire et à laquelle les propriétés de W, quelles 
qu'elles soient, ne sauraient mettre aucun obstacle. 

La solution est autre. C'est l'existence même de l'ensemble W 
qui implique contradiction. Dans sa définition, la définition géné- 
rale du mot ensemble est incorrectement appliquée. On n'a le droit 
de former un ensemble qu'avec des objets préalablement existants 
et il est aisé de voir que la définition de W suppose le contraire. 

Même observation pour l'ensemble de tous les ensembles (Hil- 
bert, Congrès de Heidelberg). 

Revenons à la question primitive. Voici encore, à cet égard, non 
un argument, car je crois que nous coucherons éternellement sur 
nos positions, mais une conséquence de les principes. 

Cantor a considéré l'ensemble de toutes les fonctions qui, dans 
l'intervalle (o, i),ne prennent que les valeurs o, i. Cet ensemble a, 



- 272 - 

j)Our moi, un sens clair et sa j)uissance est 2*"^, comme l'énonce 
Cantor. De même, l'ensemble de tontes les fonctions de ^ a pour 

moi un sens, et je vois clairement (jue sa puissance est J^*" . 

Qnel sens tout cela a-t-il pour toi? Il me paraît évident que 
cela ne peut en avoir aucun, (^ar à toute fonction tu imposes une 
condition supj)lémentaire qui n'a aucun sens matliémati(pie : celle 
d'être descripilble pour nous. 

Ou plutôt, voici ce (pie cela signifie : on ne doit considérer, à 
ton point de vue, que les (onctions définissables en un nombre 
fini de mots. Mais, à ce compte, les deux ensembles ainsi formés 
sont dénombrablcs, ainsi que tous les ensembles possibles, d'ail- 
leurs. — J. Hauamard. 



V. — Lelire de M. Bord à M. lladamard. 

... Je voudrais d'abord te signaler une intéressante remarque 
faite par M. Lebesgue à la séance de la Société du 4 rnai : Comment 
M. Zermelo peut-il être assuré qu'aux divers points de son raison- 
nement il parle du même clioix de réiément distingué, puisqu'il ne 
le caractérise par rien /.>ow/' Uii-mêrne (il ne s'agit même pas ici d'un 
contradicteur possible; il s'agit d'être cobérent avec soi-même). 

Quant à ta nouvelle objection, voici quelle est ma situation à 
son égard. 

Je n'aime guère écrire des aleplis, mais je consens cependant à 
faire des raisonnements équivalents à ceux dont tu parles, sans 
me (aire guère illusion sur leur valeur intrinsèque, mais en les 
regardant comme pouKant guider pour d autres raisonnements 
plus sérieux. Comme exemple pratique, je puis te citer la Note llï 
que j'ai insérée à la fin de mon dernier petit Livre (^Leçons sur les 
fonctions de variables réelles, etc., rédigées ])ar Maurice Fré- 
cbet); le raisonnement qui y est employé est manifestement sug- 
géré par le raisonnement de Cantor, que j'ai rap[)orté dans mes 
premières Leçons sur la théorie des fonctions ('), page 10-. 

(') Dans les Noies I cl II de ce pelil Livre, je fais conslamiueiiL des raison- 
nements du lypc de ceux que lu me refuses le droil de faire; je suis d'ailleurs à 
chaque instant rempli de scrupules cl chacune de ces deux .Notes se termine par 
une phrase très reslrictivc. 



— 27:{ — 

L:i loiiiic (jiic j'iidoplc (l.iiis (;('II<' Noie; III n'nsi pns encore al).so- 
liiinciil s;il isriiisiiiilc, comnic je riM(li(|Uc .iii Las de li» dcrnièic pji^c 
{{(' iiioii Lixic:, mais le i ai^oimcmciit, .'irialo^^iin do. M. Lobosj^uc 
dans SOI) M(' iiioirc parti dans \c. Journal de Jordan, (i()()5) est, 
je cidis, loiil à lail irr(''|)ic>(:lial)l(', v\\ (•(• sens (jii'il (tondml à un 
loidlal |)i((is, ('\|)iimal)I(; an moyen d nn nondjrc (ini de mois; il 
a eepcndanl son on^^inc dans ceini de Canlor, 

On |)(Mil se demander (|nellc est la valeur réelle de ces laison- 
nemenls (|ne je ne re'^arde pas comme valables absolnmenL et qni 
cependanl eondnisenl idlérieurement à des résnkats efTectils. Il 
semble en eirel (pie, s'ils étaient déponrvns de lonle valeur, ils ne 
ponnaient condnire à rien, car ce seraient des assemblables de 
mots vides de sens. Je crois rpi'on serait ainsi trop sévère et cpi'ils 
ont une valeur analogue à celle de certaines théories de Physicpie 
malli(;mati(pie, par lesquelles nous ne prétendons pas exprimer la 
réalité, mais avoir un guide qui nous permelle, par analogie, de 
découvrir des pliénomènes nouveaux, qu'il reste ensuite à vérifier. 
Il y aurait nn travail considérable à faire {)our savoir ([uel est le 
sens réel et [)récis (pie Ton peut attribuer à des raisonnements de 
ce genre; ce travail est inutile ou du moins hors de proportion 
avec son utilité; les rapports avec le concret de ces raisonnements 
trop abstraits apparaissent d'eux-mêmes lorscpie le besoin s'en fait 
sentir. 

Je serai d'accord avec toi sur le fait qu'il est contradictoire de 
parler de 1 ensemble de tous les ensembles, car, par le raison- 
nement de In page 107 citée plus haut, on peut former un ensemble 
de puissance plus grande, mais je crois que cette contradiction 
tient à ce que l'on introduit des ensembles non définis réellement. 
— Em. Bouel. 



SUR LE PROBLÈME DES AIRES; 
Par M. H. Lebesgle. 

Je m'aperçois que, dans une Note de ce Bulletin (t. XXXT, 
p. 197), où je rectifiais une erreur commise dans ma Thèse, j'ai 
de nouveau laissé passer une inexactitude. 



— 274 — 
Au lieu de prendre pour aire de D le nombre 

m + m(A) -i- (i — 0) m(B), 

il faul, en efiet, prendre 

m-j- m(A) + (i— O)m(B) -hlm{E), 

/??(E) désignant la mesure superficielle des points du contour 
de D qui ne font partie ni de A, ni de B. 

Faute de ce terme t,/?ï(E), que j'avais écrit correctement dans 
ma Thèse, il arriverait parfois que le domaine formé par la réu- 
nion de deux domaines, sans points intérieurs communs, n'aurait 
pas pour aire la somme des aires des domaines composants. 



riN nu TOMK xxxni. 



TAI5LK DES MATIKIŒS 

DU TOME XXXIII. 



(LcsIeUics cl luiméios qui piéccdciU les lilrcs indiquent les classificulions 
(lu licpertoire bibliographique des Sciences mathématiques.) 

Pages. 
\'A,i[ de la Société niathémyli(|uc au commencement de 1906 v 

T.islc dos Présidents de la Société depuis sa fondation xiV 

Liste des Sociétés scientificjucs et des recueils périodiques avec lesquels la 
Société échange son Bulletin xv 

Comptes rendus des séances i, 81, 157, 225 



MEMOIRES ET COMMUNICATIONS. 

n2b] Andoyer (H.). — Sur la sommation des séries 3G 

Jlb|3] André (D.). — Sur les sommes des nombres, pris de 

((uatre en quatre, des cornbiaaisons régulières d'ordre 

quelconque 169 

Q2] Autonne (L.)- — Sur les droites fondamentales dans 

les collinéalions de l'espace an — i dimensions 172 

A 5 b ] Bernstein ( S.)- — Sur l'interpolation 33 

.M^2b] Bioche (Ch.)« — Remarques sur un cas de symétrie 

dans l'espace i3 

M^6a] Bioche (Ch.). — Sur les courbes gauches de 4* ordre 

et de 4° classe 18 

J 1 a a] Bioche (Ch.)- — Sur les permutations polyédriques... 88 

J 2fJ Borel (Em.). — Remarques sur certaines questions de 

probabilité i23 

H9f] Clairin (J.). — Sur l'intégration des équations aux 

dérivées partielles à deux variables indépendantes.... i4 
Il 7 c] Clairin (J.)- — Sur certaines transformations des équa- 

tions linéaires aux dérivées partielles du second ordre. 90 
J 4d] Cotton (E.). — Généralisation de la théorie du trièdre 

mobile 4^ 

IM a] Denjoy (A.). — Sur quelques propriétés des fonctions 

(le variables réelles 98 

I.' 17 d, K 14 g] Fontené (G.). — Sur l'extension à l'espace du théorème 

dis polygones de Poncelet par des polyèdres de genre un. n.) 
Rida] Fouché (M.) — Sur la déviation des graves et les 

champs de force i3o 



— 27() — 

PfIgOS. 

Goursat (E.)- — Sur le problrrne de Monge joi 

Hadamard ( J). — Sur quelques questions de calcul des 

variations •j.'î 

Landau (E.)- — Sur quelques inégalilés dans la tliéoiie 

(le la fonction î^(.s) de Hieniann 229 

Landau (E.)- — Sur quelques théorèmes de M. Petro- 

vilch relatifs aux zéros des fonctions analytiques 25i 

Lucas (F.). — Sur la généralisation du rapport anhar- 

nionique 22,') 

Maillet (Ed.)- — Sur les rnouvenDents d'une nappe sou- 
terraine, particulièrement dans les terrains perméables, 

spongieux et fissurés 2 

Maillet (Ed.) — Sur les solutions de certains systèmes 

d'équations diderentielles ; a[)plication à un système 

hydrauli(|ue de n réservoirs 129 

Montcheuil (M. de). — Détermination des surfaces de 

révolution admettant une surface de révolution donnée 

pour surface moyenne 17 

Montcheuil (M de). — Résolution de l'équation 

o^.s' = dx"- + dy- H- dz' 1 70 

Montessus (R. de). — La résolution numérique des 

équations 26 

Rémoundos (G.). — Sur le cas d'exception de M. Picard 

et les fonctions multiformes 191 

Séguier (J. de). — Sur certains groupes d'ordre /^'"ry". 242 
Sparre (M. de). — Note au sujet des mouvements à la 

surface de la Terre 65 

Sparre (M. de). — Note au sujet de la déviation des 

graves dans la chute libre 146 

Suchar (P.-J.). — Sur une transformation réciproque 

en Mécanique 210 

"Weill (M.). — Sur une classe d'équations irréductibles 

du cinquième degré, résolubles par radicaux 82 



CORRESPONDANCE. 

I J 5] Baire, Borel, Hadamard, Lebesgue. — Sur la théorie 

des ensembles 2G1 

[02a] Lebesgue ( H. ). — Sur le problème des aires 27.3 

Table des matières du Tome XXXIII 2-5 



FIN DE LA TABLE DES MATIERES DU TOME XXXIII. 



3G3ii» l'aris. — Imprimerie (JAimiIEIl VII, I.AHS, quai des (Jrands-Ausnsliiis, 5:. 



[Il 9 h a] 


[J3cl 


[D6ipi 


[D3ba] 


[K7a] 


[S3] 


[Hla, S3a?] 


[ 6 a a ] 


[05n] 


[A3g] 


[D5d] 


[J4a] 


[RldaJ 


[Rida] 


[R8g] 


[A4e] 



BULLKTIN 



DE LA 



SOCfÉTÉ MATHÉMATIQUE 

DK FRANCE. 



37519 Paris. - Imprimerie GAUTHIER-VILLARS, quai des Grands- Augustins, 55. 



y 



HULLF/rrN 



SOCIÉTÉ MATIIÉMATIQUE 



1)1*^ FRANCE, 



PUULIE 



PAR LES SECUETAIKES 



TOME TRENTE-QUATRIÈME - ANNÉE 1906. 






y 



V" 



w 



t 



-t 



PAïas, 



AU SIEGE DE LA SOCIETE 

A LA SORBONNE. 

1906 



1^ 



ÉTAT 

Dlî LA SOCl^yri: MAillfiMATIQUIÎ Dlî I-IIANCJÎ 

Ail COMMliNCKMKNT Dli I/ANNl'ili 1900 (•). 



/ MM. 



MrmlnH's lioiioraircs tlii Biirean. . . 



APPELL. 

DAKBOUX. 

GUYOU. 

HATOIN DE LA GOUIMLLIÈRE. 

HUiMBERT. 

JORDAN. 

MANN H El M. 

MITTAG-LEFFLER. 

PICARD. 

POINCARÉ. 

VOLTERRA. 

ZEUTHEN. 



PréBiilent MM. HADAMARD. 

RIOCHE. 



Vice-Présidents 



Secrélnires 

Vice-Seciélaiies. 



Archiviste. 
Trésorier. , 



Meiiilii't'H liii Conseil (') 



RLUTEL. 
BRICARD. 
PERRIN (R.). 

GRÉVY. 
RAFFY. 

ESTANAVE. 
MAROTTE. 

SERVANT. 
CLAUDIï-LAFONTAlNE. 

ANDOYER, 1907. 
ANDRÉ, 1907. 
ROREL, 1909. 
BOURLET, 1908. 
CARVALLO, 1908. 
FONTENÉ, 1908. 
FOURET, 1907. 
LAISAÎST, 1909. 
LÉVY (L.), 1909. 
MAILLET, 1908. 
D'OCAGNE, 1909. 
PAIN LEVÉ, 1907. 



(•) MM. les Membres de la Société sont instamment priés d'adresser au Secrétariat 
les rectifications qu'il y aurait lieu de faire à celte liste. 

(') La date qui suit le nom d'un membre du Conseil indique l'année au cora- 
njencenicnt de laquelle expire le mandat de ce Ynombre. 



— vt — 

Date 

de 

l'admission. 

1872. ACIIAHI», ancien directeur de la Compagnie d'assurances sur la vie la J'oncièi r, 
rue de la Terrasse, G bis, à Paris (17®). 

1000. ACKI':iniA\i\-TEUB\ER, éditeur, à Leipzig (Allemagne). 

1900. ADilÉIMAIl (vicomte Robert n), professeur suppléant à la Faculté libre des Sciences, 
place de Genevières, i/|, à Lille (Nord). 

1896. AXDOYEH, professeur à la Faculté des Sciences, rue du Val-de-Grâce, i, à Paris (5"). 

1891. AIVDKADR, professeur à la Facultédes Sciences, rue de la Mouillière, i, à Besançon. 

1872. A^DIll'i (Désiré), docteur es sciences, rue Honaparie, 70 bis, à Paris (6"). 

1879. AlTKLfj, membre de l'Institut, doyen do la Faculté des Sciences et professeur à l'École 
Centrale des Arts et Manufactures, rue Jioiiaparte, 17, à Paris (6"). 

1900. Al'RIC, ingénieur des ponts et chaussées, à Valence (Drôme). 

1882. AU'i'01\iVE, ingénieur des ponts et chaussées, rue Mont-Bernard, g, à Lyon. 

1900. RAIllE, charjfé do cours à la Faculté des Sciences de Dijon. 

18^6. BAkEK, professeur à l'Universilé de 'l'oronto (Canada). 

1891. BAMTRAiXD, ingénieur, à Métlaoui (Tunisie). 

19Q5. BAIlllE, lieutenant du génie, à Verdun. 

1889. OEGIi!\, ancien élève de l'École Polylechnique, rue du Cliamp-de-Mars, 22, h 

Paris (7«). 

1875. BElJDEIiLE, ancien garde général des forêts, à Rioz (Haute-Saône). 

190i. BEKXSTEIX, docteur es sciences, rue Pouchkinskaïa, 10, à Saint-Pétersbourg (Russie). 

1888. BlOnilî, professeur au lycée Louis-le-Grand, rue Notre-Dame-des-Champs, 56, à 
Paris (6«). 

1875. BISCIIOFFSIIEIM, membre de l'Institut, rue Taitbout, 3, h Paris (9"). 

1898. DLAKE ( Edwin-M.), Université d'Arizona, à Tucson (Arizona, États-Unis). 

1900. BLL'MEi\ITIIAIi (Otto), docteur en philosophie, Vinccnzstrasse, à Aix-la-Chapelle (Alle- 

magne? ). 

1891. IWillEL, professeur an lycée Saint-Louis, chargé de conférences à la Faculté des 

Sciences, rue Denfert-Rochereau, iio, à Paris (l'i^). 

1902. BOBElUIi (vicomte Roger du), rue d'Orléans, 3o, à Rennes. 

1892. BO\APAUiE (prince Roland), avenue d'Iéna, 10, à Paris (i6«). 

1895. BOBCL, professeur-adjoint à la Faculté des Sciences, boulevard Arago, 2, h Paris (iS"). 

1890. BOULA\GEIl, professeur-adjoint à la Faculté des Sciences, rue Caumartin, 78, à Lille. 

1896. BOUBGEr (Henry), professeur adjoint à la Faculté des Sciences, rue Saint-Jacques, 

2a, à loulouse. 

189t3. BOIIBI/Ei, ])rofesseur à l'École des Beaux-Arts et au lycée Saint-Louis, avenue de 
l'Observatoire, 22, à Paris (i4')« 

1903. BOLTI.X, rue La Vieuville, 26, à Paris (18"). 

1901. Bl)HTHOll\ (P.)? niaître de conférences à la Facultédes Sciences, rue Saint-Firniin, 2, 

à Montpellier. 
1900. BUEiriilX'G, proviseur du lycée Saint-Louis, boulevard Saint-Michel, 44> à Paris (6'). 

1897. BBICABI), ingénieur des manufactures de l'État, répétiteur à l'École Polytechnique, 

boulevard Raspail, 296, à Paris (14" )• 

1873. BBOCAKD,chef de bataillon du génie en retraite, Ville-Haute, 76, i» Bar-le-Duc. 

1001. BUIIIj (Adolphe), maître de conférences à la Faculté des Sciences, rue de Ville- 

franche, 6, à Montpellier. 

1893. BIJBKIIABDT, professeur à l'Université, Kreuzplatz, i, à Zurich (Suisse). 

1897. (ÏABUEMU, membre de l'Académie royale des Sciences, rua da Alegria, 32, à Liàbonnc. 



— VM — 

Itjte 

du 

l'jiliuission. 

1894. CAIIliX, professeur au collt'jjo Holliri, rue (',(»rliiiiil)<r(, /|(), à Paris (iG"). 

189:î. f.M.DAKRUA, prolossoiir à rUniversilc, palaz/.o Gianipaolo, via dolla Mborla, à Païenne. 
1888. CA\ET (Giislave), infjéiiieiii- civil, dircclriir di; l'artillerie de MM. Schneider el C'% 
avenue Henri-Marliii, 87, à i'aris (i')°). 

1885. CAUOiV, professeur de (réométrie descriplivc, nie Claude-Uernard, 71, à Paris (f)' ). 

1892. CAUOiVl\I'yr, docteur es scieurcH nialliémaliques, rue Deniours, 62 bis, à Paris (1-'). 

1896. CAKIAX, chargé de cours h la Facullo de» Sciences, rue du fanhour^j Saiut-Jcaii, ^n, 
à IVancy. 

1887. CAUVAliliO, examinateur des élèves à l'iicole Polytechnique, rue Clovis, i, h Paris (.V). 

1890. CKDEUCIIEITZ (baronne INanny), llnionsgatan, 4, à llelsinclors (Finlande). 

1892. CELLÉniEll (Gustave), eoiirs de Rive. 12, à Genève (Suisse). 

1887. CEUIllTI, jirofesseur à l'Université, piazza S. Pietro in vincoli, 5, h Konie (Italie). 

1888. fdIAILAN (Edouard), rue Berthollet, 16, à Paris (5"). 

1896. CHAUVE, doyeii de la Faculté des Sciences, cours Pierre-Puget, Go, h Marseille. 

1884. (lIlinSTAL, professeur à l'Université, à Édinibourg (Fcosse). 

1901. CLAIHIV, docteur es scierices, maître de conférences à la Faculté des Sciences, rue 
Jacqueniars-Giélée, 5-^ bis, à Lille. 

1875. CliAUDE-I.AFOKTAI^E, banquier, rue de Trévise, Si, à Paris (r/). 

1890. COLOr, château du Seuil, à Gérons (Gironde). 

1898. COMBEBIAC, capitaine du génie, docteur es sciences, rue de Dun, 82, à Bourges. 
1900. COMTE (Firmin), ingénieur des ponts et chatissées, à Commercy (Meuse). 

1896. COSSEHAT (E.), professeur à la Faculté des Sciences, rue de Metz, i, à Toulouse. 

1896. COSSERAT ( F.), ingénieur en chef desponts et chaussées, rue d'Alsace, 28, à Paris (lo*). 

1900. COTTO\ (Emile), professeur adjoint à l'Université de Grenoble. 

1904. CLRTISS, Shcrman avenue, 1989, à Evanslon (Illinois, États-Unis). 

1872. DAUBOIIX, secrétaire perpétuel de l'Académie des Sciences, doyen houoiaire de la 
F'aculté des Sciences, rue Gay-Lussac, 36, à Paris (5*). 

1885. DAVTIlEMliLE, doyen de la Faculté des Sciences, cours Gambetta, 27, à Montpellier. 

1901. DELASSLS, professeur à la Faculté des Sciences, chemin de Chastrc-Monjoux, à 

Besançon. 

1895. DELAli\AY (N.), professeur à l'Institut Polytechnique Empereur Nicolas II, h Varsovie. 

1899. DELEMER, ingénieur des ponts et chaussées, place Simon-Vollant, 10, à Lille. 

1885. DEMARIR'.S, doyen de lu Faculté des Sciences, avenue Saint-Maur, à la Madeleinc- 

lés-Lille (Nord). 

1892. Dli.MOlLIlM ( Alph.), professeurà l'Université, rue de la Vallée, 79, à (iand (Belgique). 

1883. DKRUVTS, professeurà l'Université, rue des Augustins, 3.S, à Liège (Belgique). 

1894. DESAIIVT, docteur es sciences, boulevard Gouvion-Saint-Cyr, 47> àParis(i7*). 

1900. DICKSTEIIV, Marszatkowska, 117, à Varsovie. 

1902. DIEGUKZ (D.-F.), professeur de mathématiques à l'École provinciale des Arts et 

Industries, calle del Orzan, 4~3'', à La Corogne (Espagne). 

1899. DRACIl (Jules), chargé de cours à la Faculté des Sciences, rue dos (Carmélites, 68, 
à Poitiers. 

1896. DIjMAS (G.), docteur de l'Université de Paris, privat-docent à l'École Polytechnique 

fédérale, à Zurich (Suisse). 

1897. BLMOINT, professeur au lycée, avenue Bouvard, 6, à Annecy (Haute-Savoie). 

1886. I)l.\CA\, Consulting Engineer, Empire Building, Broadway, 71, New-Vork City. 



r 



— VIII — 

f)atc 

de 

l'adnilHslon. 

1897. l)ïlIlA\-[iOniGA (commandant), plaza de Maria Pila, 20, à la r.oro[;nc ( Fîspagnc), 
1885. DYCK (Wallher), Technischc Hochschule, à Miinicli (Havicie). 

1902. KGOROFF (Dimitri), professeur à l'Université, Ra7.(;oiilaï, 2' gymnase, à Moscou 

( Russie), 

1903. ESPAIV'ET, ingénieur civil, rue Rerthollet, 2, h Paris (5"). 

1900. ESTA\AVFi, docteur es sciences, à la Sorhonno, à Paris (5"). 

1896. EIVKRTE, ancien élève de l'École Polytechnique, ancien capitaine d'artillerie, ingé- 
nieur aux Forges de Denain (INord). 

1888. KARHY, professeur à la Faculté des Sciences, 17, rue (lliaptal, àMonlpellier. 

1904. FATOII, astronome-adjoint à l'Observatoire, rue des l rsulines, i"), à Paris (.')"). 

1891. FAIIQIEMIIKUGIIE, professeur au lycée, à Monl-dc-Marsan. 

1892. FEIIU (Henri), professeur.! l'Université, rue Ph.-Plautamour, ifj, à Genève (Suisse). 
1885. FIEIjDS (J.), professeur à l'Université, Toronto (Ontario, Canada). 

1881. FliOQUET, professeurà la Faculté des Sciences, rue de la Conin)anderie, 21, à ^ancy. 

1872. FliYE SAI\TE-MAKIE, clief d'escadron d'artillerie e») retraite, ancien répétiteur à l'École 
Polytechnique, place Royer-Collard, à Vitry-le-François (Marne)^ 

1896. FONTANEAU, ancien officier de marine, cours liugeaud, 8, à Limoges. 

1897. FOXTENÉ, inspecteur de l'Académie de Paris, rue I.e GolT, 7, h Paris (')«). 

1891. FO\TVIOIiAXT (de), professeur à l'École Centrale, rue d'Erlanj^er, 29, Paris (i6«). 
1903. FORD (W'ALTER R.), h Ann Arbor (Michijfan, États-Unis). 

1889. FOtCllÉ, répétiteur à l'École Pol\teclMU({ue, rueSoufllot, 5, à Paris (5'). 

1905. FOUlir (l'abbé), professeur à l'Institut catholique, rue Féroji, 11, à Paris (6'). 
1872. FOIRET, répétiteur à l'École Polytechnique, avenue Carnot, !f, à Paris (17'). 

1901. FRÉCIIET, agrégé de Mathématiques, rue Bausset, 7, à Paris (1')"). 

1892. FROliOV (le général), quai des Faux-Vives, 36, à Genève (Suisse). 
1903. FIETER, Seevogelstrasse, 7, à Râle (Suisse). 

1900. GAliUEAlVO (Z.-S. de), professeur à l'Université, corso 99, 3, à Saragosse (Espagne). 

1872. GARIEL, ingénieur en chef des ponts et chaussées, professeur à la Faculté de Médecine, 
rue Édouard-Detaille, 6, à Paris (17"). 

1896. GALTIIIER-VIIiliARS, ancien élève de l'École Polytechnique, éditeur, quai des Grands- 

Augustins, 55, à Paris (6"). 

1890. GEBBIA, professeur libre à l'Université, à Palerme (Italie). 

1872. CEIVTY, ingénieur en chef des ponts et chaussées, avenue Rapp, 20, à Paris (7'')' 
1890. GERBAliDI, professeur à l'Université, via Daila, 11, à Palerme (Italie). 

1897. GERRAIVS, professeur à Worcester Collège, Saint-John street, 20, à Oxford (Grande- 

Rretagne). 

1896. CIRARDVILliE, capitaine d'artillerie, rue Michelet, 6, à Montreuil-sous-Rois (Seine). 

1903. GODEY, ancien élève de l'École Polytechnique, rue du Rois-de-R<mlogne, 7, à 
Paris (16*). 

1881. GOURSAT, professeur à la Faculté des Sciences, répétiteur à l'École Polytechnique, 
boulevard Raspai 1, 270, à Paris (i 4*). 

1896. GREEMlIlilj, professeur à l'École d'artillerie, à Woolwich (Grande-Bretagne). 

1896. GREYY, professeur au lycée Saint-Uouis, rue Saint-Placide, 62,0 Paris (6'). 

1899. GUADET, ancien élève de l'École Polytechni(iue, boulevard Saint-Germain, 2'|0 bis, h 
Paris (7^). 

1880. CICCIA (Jean), professeur à l'Université, via Ruggiero Scttimo, 3o, h Palerme (Italie). 



I 



— IX ~ 

Dntn 
tic 
odlllissioli. 

11)00. (illCIlAHD, professeur à riJriivcrsilc <lo (^lerinont-FerraJid. 

1891. ClIMAUAKS, onicior du {;éni«, membre «le l'Acadcinie des Sciences de I,isl)ouMe, 

à Klvns ( Portu{;al ). 

1881 . GLiVTIIKU (I)' Sigisniond), professeur à l'Iicolc PoIyle<;liiii(|uc, à Muriidi ( Bavi«'',re). 
1885. ClIVOU, membre de l'Iiisliliit, capilainc de frojjale, nie Mar{jiieriii, /|, h Paris ( i4*). 

1873. IIAAG, inf[énieur en clicf des ponts cl chaussées, professeur à l'École Polylcchniquet 
rue Cliardin, ii bis, à Paris (i6"). 

1882. ilAKICII, directeur de l'École des ln{jcnieurs, à I.ima (Pérou). 

1896. ilADAMARI), ])rofcsseur adjoint à la Faculté des Sciences, professeur suppléant au 
(Collège lie France, rue Ilumboldt, 'jf), à Paris (i'|"). 

1901. lIAIjBKUSTAm', in{;énieur des Arts et Manufaetures, boulevard Saint-Germain, 68, à 
Paris (')"). 

189'i. IIAIiSTEl), professeur au Kenvon Collepe, à ()aml)ier (Oliio, Éta«s-I'nis). 

1901. IIAXfiOCK ( Ilarris), professeur à l'Université de Cincinnati, Aubiirn Holcl (Ohiu, 
États-Unis). 

1900. IIAIlDKfi, villa italienne, à Dieppedalle-Croisset (Seine-lïiférieuro). 

1872. IIAT0\ DK LA COlJPIMdÈKE, membre de l'Institut, inspecteur njéuéral des mines, direc- 
teur honoraire de l'École des mines, rue de Vaugirard, 56, h Paris (6*). 

190."). IIEDRICK (Karle), ]>rofesseur à l'Université, South INiuth street, 3o2, àColumbia (Mis- 
souri, États-Unis ). 

1892. IIRKMAXN, libraire-éditeur, rue de la Sorbonne, 8, à Paris (T)^). 

1893. IIIOllX, professeur en retraite, rue des T'ossés-Saint-Jacques, i6, i» Paris (5*). 

1879. IIOliST (Eiliup), professeuràrÉcolePoIytechnique,à Hôvik, près Christiania (Norvège), 

1895. IIOTT (Stanislas), professeur à l'École S'»-Geneviève, rue Rausset, [\, à Paris (i5*). 

1880. III].)IREIIT, membre de l'Institut, ingénieur eu ciiof des mines, professeur à l'École 

Polytechnique, rue Daubigny, 6, à Paris (17"). 

1881. IMBEU, directeur des études à l'École Centrale, 33, boulevard Voltaire, à Paris (11"). 
1903. ISSAIiY (l'abbé), rue Poquelin-Molière, 9, à Hordeaux. 

1896. JACQlEi (E.), professeur au Prytanée militaire, rue Couchot, 8, à la Flèche. 

1898. JAII\KE (D*^ E.), professeur à l'Académie des Mines, Ludwigskirchstrasse, 6, à Berlin W* 
(Allemagne). 

1898. JARRY (N.), ingénieur civil, avenue du Hel-Air, 7, à Paris (12*). 

1872. JAVARY, chef de bataillon dugénieen retraite, chef des travaux graphiques à l'École 
i*olytechnique, rue du Cardinal-Lemoine, i, à Paris (5''). 

1903. JE^SE\ ( J.-L.-W.-V.), ingénieur en chef des Téléphones, GI. Kongevej, 80, h Copen- 
hague, V (Danemark). 

1872. JORDAiV, membre de l'institut, professeur à l'École Polytechnique et au Collège de 

France, rue de Varenne, 48, à Paris (7"). 

1875. JIIVG, professeur à l'Institut technique supérieur, via Fatebenefratelli, 19, h Milan 
(Italie). 

1890. KORB (Guslaf), maître de conférences à l'Université, à Stockholm (Suède). 

1892. KOCH (II. von), professeur à l'École Polytechnique, à Djursholra-Slockholm (Suède). 

1880. KŒiMCS, professeur à la Faculté des Sciences de Paris, répétiteur à l'École Poly- 
technique, boulevard Arago, loi, à Paris (i^®). 

1897. LACAUCIIIE, ingénieur civil, chef du laboratoire de la Compagnie générale des Omni- 

bus, rue de Douai, 48, à Paris ( 9*). 

1873. IiAISA[\iT, docteur es sciences, répétiteur et examinateur à l'École Polytechnique, 

avenue Victor-Hugo, 162, à Paris (16"). 



I 



— X — 

Uale 
do 

l'adDiission. 

1893. liVXCIÎFilX, astronome adjoint à l'Obsorvatoiro, nie Hoissonnado, 3, à Paris (i^"). 

1899. L.4\l)Al] (Edmond), prolesscur à riJiiiversiti! do Herlin, Hardenbeiirstrasse, i3, à 

Gharloltcnbiir^f ( Allenia{îii(> ). 

1896. LAIGKL, ancien attaché a'aml)assade, villa Knsolcilléc, à Heanlicn-sur-Mer (Alpos- 
Maritimcs). 

1873. IjAITII, manufacturier, h Tliann (Alsace). 

1896. LKAU, professeur au lycée Miciielet, rue Vavin, 6. à Paris (6*). 
1880. I-EAUTE, membre de l'Institut, boulevard de Conrcelles, i8, h Paris (17*). 
1896. LEBEL, professeur au lycée de [Montpellier, villa Mout-Carmcl, avenue liouisson- 
lîerlrand, à Montpellier. 

1902. LEBESGUË, docteur es sciences, maître de conférences à la Faculté des Sciences, rue 

de la Palestine, 82, à Kennos. 

1903. LEBEIJK, directeur de robservatoire de liesançon. 

1893. LEfiOIlMl, inffénieuren chef des mines, professeur à l'École Polytechnique, meCay- 
Lussac, 3, à Paris (S*'). 

1895. liEiMEUAY, licencié es sciences, inffénieur civil du fjénie maritime, boulevard de 

l'Océan, 5i, à Saint-Nazaire ( Loire-Inferieure ), 

1872. liEMOliVE (Emile), ancien élève de l'École Polytechni(|ue, place Pereire, 5, h Paris (17*). 

190i. LEMOYi\E (T.), rue des Anglais, 9, à Paris (o"). 

1879. LE PAIGE, professeur à l'Université, à l'observatoire de Cointe, à Liège (Helgique). 

1895. LE UOIX, professeur à la Faculté des Sciences, rue de Châteaudun, 17, à Rennes. 

1898. LE UOY, docteur es sciences, rue Notre-Dame-des-Champs, 27, à Paris (6*"). 

1891. LEKY, agent voyer d'arrondissement, à Pontoise (Seine-el-Oise). 

1900. LEVl CIVITA (T.), professeur à l'Université, via Allinate, i4, à Pa<loue (Italie). 

1882. LEVY (Lucien), répétiteur et examinateur d'admission à l'École Polytechnique, nie 
du Regard, 12, à Paris (6"). 

1872. LEVY (Maurice), membre de l'Institut, inspecteur général des ponts et chaussées, 
professeur au Collège de France, avenue du Trocadéro, i5, à Paris (lO*). 

1875. LEZ (Henri), à Lorrez-le-Bocage (Seine-et-Marne). 

1898. LI\l)ELOF (Ernst), professeur à l'Université, Sandvikskajan, i5, à Helsingfors (Finlande). 
1877. LINDEMANiV, professeur à l'Université, Franz-Josephstrasse, 12, à Munich (Bavière). 
1886. LIOUVILLE, ingénieur des poudres, examinateur des élèves à l'École Polytechnique, 

quai Henri-IV, 12, à Paris (4^). 
1900. LOVETT (E.-O), professeur à Princeton University, New-Jersey (États-Unis). 

1888. LICAS (Félix), ingénieur en chef des ponts et chaussées, rue Boissière, 3o, à 
Paris (16"). 

1902. LlCAS-CilIlARDVILLE, ingénieur à la Mantifaclure des Tabacs, rue de Charonton, 3iq, à 
Paris ( 12'). 

1902. LLCAS DE PESLOL'AX, ancien élève de l'École Polytechnique, rue Marbeuf, 8, à Paris (8«)- 

1886. LVO\, docteur es sciences mathématiques, chemin de la Roseraie, 26, à Genève (Suisse). 

1882. IMAdE DE LEIMNAY, professeur de mathématiques spéciales au lycée Henri IV^, rue 
Claude-Bernard, 79, à Pai-is (5*). 

1895. MAILLET, ingénieur des ponts et chaussées, répétiteur à l'École Polytechnique, rue 

de Fontenay, 11, à Boiirg-la-Reine (Seine). 
1905. MALUSKI, professeur au lycée de Montpellier. 

1872. MAWlIEIiM, colonel d'artillerie en retraite, professeur honoraire à l'École Polytech- 
nique, boulevard Beauséjour, i, à Paris (16*). 

1905. MAXTELL ( M"« L.). rue Du tôt, 3o, à Paris (.5«). 

1904. MAROTTE, professeur au lycée Chariemagne, rue de Rcuilly, 35 bis, à Paris (12*). 
188-i. MAKTIX (Artcmas), IN. Street, 915. >', \V., à Washington D. C. (États-Unis). 



— XI — 

Dnie 

•le 

l'mliiilsBlon . 

1889. MARTIX (Éiuilc), ancien ôlùvc »Ic l'Kcolo l>()lyl<'cliiii((iKî, prof»;ss(;iir de (natliénui- 

tiqiics, rue des Fossés-Sainl-Jactjnes, '.r.>, à Paris {■)"). 
1001. M.VSS.Vll (J.), professeur à rUnivcrsilé, av.'iuip des Arts, f^'.), à (;aiid ( nt!l[;i<inc). 
18U4. M.\Uri\, professeur an collèce, rue de l'Arcean, 3o, à Saintes ( Charenle-Infcrienre ). 

1897. MEIIMKK, professeur h l'Iîcole teciiniqiie supérieure, Woisseinburgstrasse, 29, à 

Stultjjard ( Wurlemherg). 
1889. MEXUIXAIIAL TAMIIOIIKL (nr:), membre de la Société de Géo(jrapliie de Mexico, cailede 

Jésus, i3, à Mexico (Mexique). 
188i. iMEIlCKIlKAlI, licencié es sciences, rue de l'Université, U)?>, à Taris (7"). 
190'2. MEKLIN (K.), avenue Né{;rié, .^i, à Forcst-lès-HruxelIcs (Bel{;ique). 
1902. MESW (U.), professeur d'bydro{{rapliie à SainlTiopoz (Var). 
1904. MEiZIiER, professeur à l'I niversit<', à Syracuse (État de New-York). 
1893. MICIIEfi ( François), cbef de parcours de la Compagnie des cbemins de fer du Nord, 

faubourg Saint-Denis, 210, à Paris (10"). 

1899. MILLER (D' G.-A.), professeur à Stanford IJniversity, Californie (États-Unis). 
1873. MITTAC-LEFFLER, professeur à l'Université, à Stockbolni (Suède). 

1904. MIWA, professeur à l'Université de Kyoto (Japon). 

1902. MOLK (J.), professeur à la Faculté des Sciences, rue d'Alliance, 8, à Nancy. 

1897. MOXTCIIEUIL (l'abbé de), docteur es sciences, rue du Languedoc, 9, à Toulouse. 

1898. MO\TESSl]S DE DALLORE (vicomte Kobert de), professeur suppléant à la Faculté libre 

des Sciences, boulevard de la Liberté, 121, à Lille (Nord). 

1903. MILLER (J.-O.), Kirchweg, 1% à Gôttingen (Allemagne). 

1885. IVEUBERG, professeur à l'Université, rue Sclessin, 6, à Liège (Belgique). 
1897. \IC0LL1ER, professeur, à Monlreux (Suisse). 

1903. KIELS IVIELSEIV, inspecteur général de l'enseignement secondaire, Norrobrogade, 67,3 
Copenliague (Danemark). 

1900. NIEWENGLOWSKI, docteur es sciences, inspecteur général de l'Université, rue de l'Ar- 

balète, 35, à Paris (5" ). 
1882. OCAGIVE (M.d*), ingénieur des ponts et cliaussées, professeur à l'École des Ponts 
et Cliaussées, répétiteur à l'École Polytechnique, rue La Boëtie, 3o, à Paris (8''). 

1905. OLIVET, licencié es sciences, rue d'Allemagne, 60, à Paris (19*). 

1873. OVIDIO (Enrico d'), professeur à l'Université, Corso-Oporlo, 3o, à Turin (Italie). 

1901. l'ADE (H.), professeur à l'Université, rue de Turenne, 8g, à Bordeaux. 

1893. PAIXLEVE, membre de l'Institut, professeur à la Faculté des Sciences et à l'École 

Polytechnique, rue d'Assas, 33, à Paris (6"). 
1888. l'APELlER (Georges), professeur de mathématiques spéciales au lycée, rtie de Ke- 

couvrance, 20, à Orléans ( Loiret). 
1884. PARAF, professeur-adjoint à la F^aculté des Sciences de Toulouse. 
1881. PELLET, doyen de la Faculté des Sciences, rue Pascal, 3o, à Glermont-Ferrand. 
1900. PERCllOT, astronome adjoint à l'Observatoire, avenue de l'Observatoire, i,à l*aris (G*). 

1874. PERCIN, général de division, rue de la Faisanderie, 116, à Paris (16*). 
1881. PEROTT (Joseph), Université Clark, à Worcesler (Massachusetts, États-Unis). 
1873. PERRI\ (R.), inspecteur général des mines, rue de Grenelle, 80, à Paris, (7^. 
1892. PERRIiV (Élie), professeur de mathématiques, rue Tarbé, 3, à Paris (17*). 

1896. PETROVIiClI, professeur à l'Université, Kossantch-Venac, 24, à Belgrade (Serbie). 

1902. PETROVITCll (S.), capitaine d'artillerie de la garde, professeur adjoint à l'Académie 

d'artillerie Michel, Sabalkansky prospect 17 log. i5 ,à Saiut-Peiejsbourç. 

1887. PEZZO (del), professeur à l'Université, piazza San Marcellino, 2, à Naples (Italie). 

1905. PFEIFFER. maître de conférences à rLniversilé de Kicw (Russie), lue Toullier, 9, a 
Paris (5"). 



— XII 

Dole 

(le 

l'atliiiissiuri. 



1879. PICARD (Emile), mombrc de l'Inflilnt, professeur à la Faculté des Sciences et à 
l'École Centrale des Arts et Manufactures, rue liara, 4» " Paris (6*). 

1872. IMCQUET, chef de bataillon du Renie, examinateur des ('lèves à l'Ecole rolylech- 
nique, rue Monsieur-le-Prince, .], à Paris {^y"). 

1896. IMEUOX, inspecteur général de l'Instruction publi(jue, rue du Cherche-Midi, 91, à 
Paris (6" ). 

1899. IMERPO\T (James), professeur à l'Université Yale, Mansfield street, 42, à New Haven 
(Connecticul, États-Unis). 

1882. P0I\CAIIE, membre de l'Institut et du lUireau des Longitudes, ingénieur en chef 

des mines, professeur à la Faculté des Sciences, rue Claude-Bernard, (33 (ô"). 
1894. POTROX, docteur es sciences, rue d»i Val-de-Gràce, 11, à Paris (5*). 
1872. POI,IGi\AC (prince C. de), à Radmannsdorf (Carniole, Autriche). 

1899. PlU\GSIlEliM, professeur à l'Université, Arcisstrasse, 12, à Munich (Havière). 

1896. PHUVOST, inspecteur général honoraire de l'Instruction publique, 11, rue de la 
Tour, à Paris (iG"). 

1902. PLX (Victor), ancien élève de l'Ecole Polytechnique, professeur de Mathématiques, 

rue des F'ossés-Saint-Jacques, 16, à Paiis (5«). 
1896. OlIQUET, actuaire de la Compagnie /« Nationale, rue Laffitle, 17, à Paris (9*). 
1898. UABUT, ingénieur en chef des ponts et chaussées, rue Duplessis, 77, à Versailles. 

1883. IIAFFY, professeur à la Faculté des Sciences, rue Pierre-Nicole, 7, à Paris (5*). 

1903. UEMOINUOS, professeur de mathématiques, rue Soultani, 17, à Athènes (Grèce). 

1900. KE\'ARD, rue de la Tour, 7, à Paris (iC). 

1903. RICHARD, professeur au lycée, place du Kosoir, i, ii Dijon. 

1893. RIVEREAl (l'abbé), professeur à l'Institut catholique, à Angers (Maine-et-Loire). 

1903. ROCHE, agrégé de l'Université, rue d'Assas, 76, à Paris (6"). 

1872. ROUART, ingénieur civil, rue de Lisbonne, 34, à Paris (H"). 

1872. ROIICHE, membre de l'Institut, boulevard S'-Germain, 2j3, à Paris (7''). 

1896. ROIGIER, docteur es sciences, rue Sylvabelle, 84, à Marseille. 

1885. ROLQIET (V.), professeur honoraire de mathématiques spéciales, à Relpech (Aude). 

1900. SALTYKOW, maître es sciences mathématiques, professeur à l'Institut Polytechnique, 

rue Pankovskaïa, 10, à Kiew (Kussie). 

1872. SARTIAUX, ingénieur en chef des ponts et chaussées, chef de l'exploitation à la Com- 
pagnie du chemin de fer du Nord, à Paris. 

1885. SAUVAGE, professeur à la Faculté des Sciences de Marseille. 

1897. SCIIOI] (Erik), Gl. Antvorskov, à Slagelse (Danemark). 

1881. SCHOUTE, professeur à l'Université, à Groningue (Hollande). 

1901. SEE (Thomas-J.-J.), Observalory Mare Island (Californie). 

1896. SEGIjIER (J.-A, de), docteur es sciences, rue des Saints-Pères, 56, à Paris (7^). 

1882. SÉLIVANOFF (Démétrius), professeur à l'Université, Fontanka, 116, log. 16, à Saint- 

Pétersbourg (Russie). 

1900. SERVANT, docteur es sciences, rue des Saints-Pères, 8, à Paris (7''). 

1900. SPARUE (comte Magnus de), avenue de l'Archevèciié, 7, à Lyon. 

1879. STEPHA\OS (D' Cyparissos), professeur à l'Université, à Athènes (Grèce). 

1901. SiETSO.\ (Orlando), à Franklin (Massachusetts, Éta's-Unis). 

1898. STORMER (Cari), professeur à l'Université, Davesgade, i4, à Christiania (Norvège). 

1903. Sl'CllAR, docteur es sciences, rue Saint-Lazare, 43, à Paris (8''). 

1904. SIDRIA, professeur à l'École pratique d'électricité indusirielle, rue Ernest-Renan, 28, 

à Paris (lô"). 

1904. SIXDMAX, maître de conférences à l'Université d'Helsiugfors, Villagatan, j, Ifos 
Kosenqvist ( Finlande ). 



— XIM — 
Dnir 
lie 
l'niliiil*isi()i). 

IST"?. SYI,0\V, professeur à l'Univcrsilë, à Pioderiksliuld (Noivôije). 
189G. TAIWEXIIKIKJ (nr.), nie d'Assas, ii8, à Paris (()'). 

1875. TAN\KUY, prolcsscur à la Facilité <1<'S SciciHMîs, sons-direcleur d«; rKcoli; Normale 

sii|)crieure, nuî d'IIlm, \r>, à Paris (f)"). 
188'2. TAHUY (Gaston), houlcvard Pcreire, 177, à Paris (i7«). 
1872, TKKUIKU, professeur an collège Cliaptal, avenue Léoiiie, i, à Sainl-Cloud (S.-etO.). 

1899. TllYBAri (Alexandre), docteur es seieiices, |(rofesseur au lycée Carnot, rue du Ho- 

cher, loi , à Paris ( 8"). 

187;]. TISSOT, ancieiiexaniiiiateur d'admission à rEcolePolyteclinlc|ue,à Voreppe (Isère). 
189(5. ilSSOi, eiisei{;ue de vaisseau, professeur au /ion/n, à Brest (Finistère). 
189G. TOIIRMS, membre de l'Académie dos Sciences, Valifamo Dios, 3, à Madrid (Kspa{;ne). 
1893. TOUCHE, lieutenant-colonel d'artillerie territoriale, rue Triilîault, 2.3, à Paris (17"). 
1872. TIIESCIA, in{îénienr en chef des |)oiits et chaussées en retraite, rue du {;énéral 
Henrion-Herthier, 7, ù Neuill y-sur-Seine (Seine). 

1893. VAfiljEK-l*Ol]SSI\ (Cii.-J. de l.v ), professeur à l'Université, rue Léopold, 38, à Lou- 
vain (Belgique). 

190i. VA\ l)EllltK\, lieutenant du génie, avenue Macan, iG, à Bruxelles. 

1905. YAIV YfiECK, professeur de Mathématiques. Hesleyan Uuiversity, à Middietown (Con- 
n(!cticut, Etats-Unis ). 

1897. VASSlIiAS-VITALIS (J.), professeur à l'Ecole militaire supérieure, rue Epieure, 3G, à 

Athènes ( (irèce). 

1898. YASSILIEF, président de la Société physico-mathématique, à Kasan (Russie). 

1901. VESSIOT, professeur à la Faculté des Sciences, chemin des Granges, ^5, à Lyon. 

1888. YOliTElUlA ( Vito), professeur à l'Université, via Lucina, 17, à Kome. 

1904. VOIIOXOI, professeur à l'Université, rue Vilcza, 18, à Varsovie (Russie). 

1900. YUlBEIli, éditeur, boulevard Sainl-Germain, 63, à Paris (5^). 

1880. WALCKEiVAEK, ingénieur en chef des mines, boulevard St-Germain, 218, à Paris(7''). 

1879. WElMi, directeur du collège Chaptal, boulevard des Batignolles, 4^, à Paris (8"). 

1878. WOIIMS DE HOMILLY, ingénieur en chef des mines, rue Balzac, 7, à Paris (8«). 

1882. ZABOIIDSKI, membre duGomité d'artillerie et professeur à l'Académie d'Artillerie, rue 
Znamenkaia, 22, h Saint-Pétersbourg (Russie). 

1890. ZAREMDA, docteur es sciences, professeur à l'Université de Gracovie (Autriche). 

1903. ZERYOS, docteur de l'Université, rue Filis, 7, à Athènes (Grèce). 

1881. ZEITIIEX, professeur à l'Université, Rosenvonget, Sanct-Kanulkestrœde, 11, à Co- 

penhague (Danemark). 

1898. ZIWET, South Ingalls street, 644, à Ann Arbor (Michigan, États Unis). 



— XIV — 



s C I K T A I l\ K S V K II I' K T U K i;« . 



ACKE«MAXi\-TKlB\E«, à Leipzig.— BK\OIST (décédé).— BKKIJKMJ;, à Uioz. — IMEXAVMi: 
(décédé). — RIOCIIE, ix Paris. — lUSCIIOFESIlEIM, à Paris.— IIOIIEKIL (vicomte R. du), 
à Rennes. — nOHCIIAKDT (décédé). — DOHEL, à Paris. — BROCAUI), à Rar-le-I)iic. — 
CAXET, à Paris. — CAUV'ALLO, à Paris. — CIIASI-ES (décédé). — CLAIDE-LAFOMAIXE, 
à Paris. — COTTON, à Grenoble. — l'OlKET, à Paris. — (.AlilllEU-VIlLAItS (décédé).— 
COURSAT, à Paris. — HALPHEN (décédé).— IIALSIED, à Austin. — IIADAMARD, à Paris. 

— IIATON DE LA fiOlJlMLLIÈRE, à Paris. — IIERMITE (décédé). — IIIRST (décédé). — 
non, à Paris. — JORDAN, à Paris. — LAFFON DE LADÉRAT (décédé). — liAlTÉ, à Paris. 

— MILLET, à Hourg-la-Reine. — MANMIEIM, à Paris. — DE MENDIXADAL TAMROREL, à 
Mexico. — MERCEREAII, à Paris. — D'OCAf.\E, à Paris. — l'EROTT, à Worcester. — 
PERRLX, à Paris. — POI.XCARÉ, à Paris. — POLIGNAC (prince C. de), à Radmannsdorff. — 
KAFFY, à Paris. — SALTVKOW, à Kiew. — SÉLIVAXOFF, à Saint-Pétersbourg. — SPARRE, 
(comte M. Dj;),à Saint-Georges-de-Reneins. — SVLOW, à Frederiksliald. — TANNERY 
(F'aul) (décédé). — TARRY (G.), à Paris. — TCIIEBICIIEF (décédé). — VIELLARD (décédé). 



LISTE 



PRÉSIDENTS DE LA SOCIÉTÉ niATIIEllATIQUE DE FUAACE 

DEPUIS SA FONDATION. 





m\. 






iMll. 


1873 


CHASLKS. 




18U0 


IIATON DE LA GOliPILLlÈRE 


1874 


LAFFON DE 


LADÉBAT. 


18'.)1 


(:OLLIG\Oî\. 


1875 


BIEiXAYMÉ. 




1892 


VICAIRE. 


1876 


DE LA GOllRi\ERIE. 


18'J3 


IIUMBERT. 


1877 


AIAIVIVIIEIM. 




1894 


PICQIET. 


1878 


DARBOIJX. 




1895 


GOURS.Vr. 


1879 


0. BONXET. 




1896 


KŒMGS. 


1880 


JORDAiV. 




1897 


PICARD. 


1881 


LAGIJERRE. 




1898 


LECORNIJ. 


1882 


IIALPIIE\, 




1899 


GIVOU. 


1883 


ROUCIIE. 




1900 


POIXCARÉ. 


1884 


PICARD. 




1901 


D'OCAGXE. 


1885 


APPELL. 




1902 


BAFFY. 


1886 


POIXCARÉ. 




1903 


PAIXLEVÉ. 


1887 


FOIRET. 




1904 


CARVALLO. 


1888 


LAISANT. 




1905 


BOREL. 


188'J 


A\DRÉ (DÉSIRÉ). 







— XV 



Liste des Sociétés scientifiques et des Recueils périodiques avec lesquels 
la Société mathématique de France échange son Bulletin. 



Arnstei'ilam . 
Amsterdam , 
Amsterdam , 

Hàlo 

hallimor<>. , 

Berlin 

Herliii 

Herliii 



Berlin. 



Bologne. . 
Bordeaux. 
Bruxelles. 



Bruxelles. . 
Cambridge, 
Cambridge 
Christiania . 
Coïnjbre. . 



Copenhague, 
Cracovie.. . . 
Edimbourg. 
Edimbourg. 

Gand 

Gôttingen . . 

Halifax 

Hambourg.. 

Harlem 

Helsingfors. 

Kansas 

Kasan 

Kharkov. . . . 
Kharkov. . . . 
La Haye.. . . 



Leipzig. 

Leipzig. 
Leipzig. 
Leipzig. 



Académie Boyale des Sciences d'Amsterdam. 

Société mntiiénialiqiic d'Amsterdam. 

Ilcvite semestrielle des ixihlicalions niathénin- 

tiques . 
iNaturrorscluMide (iescllscliart. 
American Journal of Mathemntics. 
Académie des Sciences de Berlin. 
Archiv fur Mathematih mul Physih. 
JaJirbuch iïber die Fortschritte der Mathe- 

matik. 
Journal fit r die reine und anv^ewandte ]\In- 

thematih . 
Académie des Sciences de l'Institut de Bo- 
logne. 
Société des Sciences physiques et naturelles 

de Bordeaux. 
Académie Royale des Sciences, des Lettres et 

des lieaux-Arts de Belijiqiio. 
Société scientiliqiie de Bruxelles. 
Cambridge philosophical Society. 
Annals of Mathematics. 

Archiv for Matliematik o^ Natnrvidcnshab. 
Annaes scicntificos da Acadcinia Poljiech- 

nica do Porto. 
JSyt Tidsshrift for Mathematily. 
Académie des Sciences de Cracovie. 
Sociolé Boyale d'Edimbourg. 
Société mathématique d'Kdimbourg. 
MatJtesis . 

Société Royale des Sciences de Goltingen. 
Nova Scotian Institute of Science. 
Société mathématique de Hambourg. 
Société hollandaise des Sciences. 
Société des Sciences de Finlande. 
Université de Kansas. 
Société physico-mathématique. 
Annales de l'Université. 
Société mathématique de Kharkov. 
Archives néerlandaises des Sciences exactes 

et naturelles. 
Société Royale des Sciences de Saxe. 
^lathematische Annalen. 
Archiv der Mathematik und Phjsik. 
Bibliutlicca juathematica. 



Pays-Bas. 

Pays-Bas. 

Pays-Bas. 

Suisse. 
Ltats-Unis. 
Allemagne. 
Allemagne. 

Allciuiagnc . 

Allemagne. 

Italie. 

France. 

Belgique. 

Belgique. 

Grande-Bietagd*^. 

Massachusetts. 

Norvège. 

Portugal . 

Danemark . 

Autriche. 

Grande-Bretagne . 

Grande-Bretagne. 

Belgique. 

Allemagne. 

]N"^-Écosse (Canada) 

Allemagne. 

Hollande. 

Finlande. 

États-Unis. 

Russie. 

Russie. 

Russie. 

Pays-Bas. 
Allemagne. 
Allemagne. 
Allemagne. 
Allemagne. 



— XVI 



Liéjn 

Livourne .. . . 

Londres 

Londres 

Londi'cs 

LnxemljoiM[;. 
Marseillo. . . . 

Mexico 

Milan 



Moscou. 
Munich. 
Naples. 



Ncw-Havon 



New- York 
Odessa. . . 
Palerme. . 

Paris 

Paris 



Paris. 
Paris. 
Paris. 
Paris. 



Pise 

Pise 

Pise 

Praijue 

Prague 

Prague 

Rome 

Sainl-Pétersbourg 

Stockholm 

Tokyo 

Toulouse 



Turin. . . 
Upsal. .. 
Varsovie 
Venise. . 



Vienne 

Vienne , 

Washington. 
Zurich 



Société Koyale des Sciences. 

Periodico di Matematica. 

Société astronoinif|ue de Londres. 

Société matliéniatique de Londres. 

Société lîoyale de Londres. 

Institut Uoyal de Luxembourg. 

Annales de la F acuité des Sciences de Ma rseille. 

Socicdad cienlifica Jnlonio Jlzate. 

Institut Hoyal lombard des Sciences et 

Lettres. 
Société m:«llirmati(|ue de Moscou. 
Académie des Sciences de Munich. 
Académie Uoyale des Sciences pliysicpies et 

matliémalifjues de Naples. 
Académie des Sciences et Arts du Connec- 

ticut. 
American nnitheraatical Society. 
Société des naturalistes de la Nouvelle-Russie. 
Rendiconti del Circolo matematico. 
Académie des Sciences de Paris. 
Association française pour l'avancement des 

Sciences. 
Société philomathique de Paris. 
Uulletiti des Sciences mathématiques. 
Journal de l'École Polytechnique. 

Institut des Actuaires français. 
Intermédiaire des Mathématiciens. 

licolc Royale Normale supérieure de Pise. 

Université Royale de Pise. 

Il Nuovo Cimenlo. 

Académie des Sciences de Kohème. 

Casopis pro péstoi'dui mathematikj a fysihj . 

Société mathématique de Rohème. 

Académie Royale des Liucei. 

Académie Impériale des Sciences. 

Acta Mathematica. 

Mathematico-physical Society. 

Annales de la Faculté des Sciences de Tou- 
louse, 

Académie des Sciences. 

Société Hoyale des Sciences d'Upsal. 

Pracc Malemalyczno l'izyc/ne. 

Institut Royal vénitien des Sciences, r^ettres 
et Arts. 

Académie Impériale des Sciences de Vientïe. 

Monatshefte fur Maihematik und Physik. 

Phiiosophical Society. 

Naturforschende Gesellscliaft. 



Relgique. 

Italie. 

Grande-Rretagnc. 

Grande-Rretagne, 

Grande-Bretagne, 

Luxembourg. 

I""rance. 

Mexique. 

Italie. 

Russie. 

Bavière. 

Italie. 

États-Unis. 
Ktats-Unis. 

Russie. 

Italie. 

France. 

France. 
France. 
France. 
France. 
France. 
France. 

Italie. 

Italie. 

Italie. 
Autriche. 
Autriche. 
Autriche. 

Italie. 
Russie. 

Suède. 
Japon. 

France. 
Italie. 
Russie. 
Suède. 

Italie. 

Autricluî. 

Autriche. 

Étals-L'nis. 

Suisse. 



lUlLLKTlN 



SOCIÉTÉ MAIIIÉMATKIUE DE FlIANCE, 



COMl^TES UENIJU'S DlîS SÉANCES. 



SÉANCE DU 2 NOVEMBRE 190;). 

l'KKSIDKNCI': 1)1-: M. KOHi:i.. 

Communications : 

M. Andoyer : Sur [^éclipse de Soleil du 3o août igoo. 

M. Lecormi : Sur l'herpolodie. 

]\1. Foniené : Sur une configuration remarcjuable dans Vea 



pace. 



M. de Sparre odressc une Note au sujet du valet de menuisier 



SÉANCE DU 16 NOVEMBRE 11)05. 

PRKSIDKNCK Dl!: W . BOREL. 

Communications : 

M. Hadamard : Sur les caractéristiques des systèmes aux 
dérivées partielles. 

M. Frécliei : Sur la formule dUnterpolation de M. BoreL 

M. Sucliar : Sur les lois de force centrale qui font décrire à 
un point matériel une conique. 

M. Hadamard présente quelques observations à ee sujet. 



xxxiv. 



^2 

SÉANCE DU 7 DKClîMIiUE 1005. 

PHÉSIDKNCK Dli M. BRICARI). 

Élections : 

Sont élus, à runanimilé, membres de la Société : M. Bniré, 
présenté par MM. (^lairin et Demartres; M. Denjoy, présenté par 
MM. Balre et Borcl ; M. Van VIeek, présenté par MM. Hadamard 
et Borel. 

C ommu nicatio lis : 

M. Hadamard : Conférence sur la théorie des équations aux 
dérivées partielles linéaires. 

M. cie Sparre adresse une Note au sujet du frottement de 
glissement. 



SÉANCE DU ^i DÉCEMBRE IDOo. 

PRÉSIDKNGK DE M. TOUCHE. 

Communications : 

M. Fatoii : Sur un point de la théorie arithmétique des formes 
quadratiques binaires. 

M. Andojer : Sur la discussion des problèmes. 
M. Fouché : Sur le théorème de Dupin. 



SEANCE DU 11 JANVIER 1906. 

PRÉSIDENCE l)K M. BOREL. 

La Société, réunie en Assemblée générale, procède au renou- 
vellement de son Bureau et à l'éleclion de membres du Conseil. 
Elle entend et approuve le Rapport de la Commission des finances 
sur l'exercice 1904-1900. 

Communications : 

M. Suchar : Sur les lois de force centrale qui font décrire 
à un point matériel une conique. 

M. RafF)- : Sur V équation d'Ossian Bonnet pour le problème 
de la déformation y considérée comme équation de Laplace. 

M. Hadamard : Sur les transformations planes. 



3 - 



MÉMOIKES ET COMMUNICATIONS. 



SUR UNE CONFIGURATION REMARQUABLE DANS L'ESPACE; 
l^ar iM. G. Fonteni^:. 

I. 

i. Dkfinitioiv d'un ocïuple gauche complet. — J^c's trois 
couples de sommets d'un quadrilalère complet sont trois couples 
de points tels que la droite joignant un point du premier couple 
à un point du deuxième couple passe par un point du troisième 
couple; le nombre de ces droites est 2 x 2. La (i^ure corrélative, 
en géométrie plane, est le quadrangle avec ses trois couples de 
côtés. L'exlension à l'espace va donner une figure qui est sa propre 
corrélative. 

(Le lecleur fera bien de se familiariser immédiatement avec la 
figure 1, où Ton voit nettement deux quadrangles situés dans les 



Fig. I 




plans P4 et V\^ deux autres dans les plans l^ et P'^, et, avec un peu 
d'attention, deux encore dans les plans P21 1^2' <Jcu\ dans les 
plans P3, P3, d'après les indications du Tableau ci-après. Les 
deux contours quadrangulaires /\ •! /\' 2' et 3 1 3' i , par exemple, 
sont des contours gauches.) 



— '/ 



Soient dans l^ espace quatre couples de points 

(I i'), {'1 -2'), (3 3'), (.1 4'), 

tels Cjue le plan détermine par un point du premier couple, un 
point du deuxième couple et un point du troisième couple, 
passe par un point du quatrième couple; le nombre de ces 
plans est r^ x 2 x .>., et, si l'un d^eux est (i :i3 4), les sept 
autres sont (i2 3'4'), ..., (i'2'3^4')) ^<^ nond)re des accents 
étant pair. 

Ces plans forment quatre couples : 

p, = (4 I '2';v), P'i = (i' i'-2 3), 

V,= {.\ 1 3'i'), P; = (4'-a'3 I ), 

P3=(4 3 x'i'). P^.:=(4'3'i 2), 

P4=(i -2 3 4), P.; = (r9/3'4'); 

et, coiuiÉLATivEMKAT, CCS quatre couples de plans sont tels que 
le point commun à trois plans pris dans les trois premiers 
couples appartient à un plan du cjuatrième couple : 

, = (P,P,P;P'3), I'=:(P1P;P2P3), 

Chacun des 8 plans contient quatre des 8 points, et par chacun 
des % points passent quatre des 8 plans. 

Nous nommerons la figure ainsi définie un octlple gauche 

COMPLET. 

2. Conditions et paramètiiks. — Les 8 conditions apparentes 
imposées aux 8 points par U existence des 8 plans se réduisent 
à 7 ; la figure dépend de paramètres en nombre 3x8 — -j r= 17. 

En efi'et, soient donnes Irois conpies de plans (P,, P',), (Po, P.',), 
(P3,P!j) formant un liexaèdre avec ses qnalre couples de sommets 
(i , 1') (2, 2'), (3, 3'), (4, 4') ; le trièdre l^ , Po, 1^3 aura pour som- 
met le point 4j et pour arêtes les di-oites 4 i', 4 2', 4 3'. Ces 8 pojiits 
communs à trois quadri(|ues (P^, P,), ... sont 8 |)oinls de Lamé; 
dès lors, si l'on suj)[)ose que les 4 points 1,2, 3, 4 ''Ont dans un 
même plan, la même cdose a lieu pour les 4 autres. Un raisonne- 
ment corrélatif peut être fait en parlant d'un octaèdre. On se 
rappellera que les 8 points du système sont 8 points de Lamé; les 
8 plans du sjstème sont de même 8 ])lans de Lamé. 



'A. DlNI'.llS IM)|,\'IS III, WV. (t. I.C COtllilc (/(' /fhdIS {V ',, V .J 

l'on lie ni di'nx (nutdiutii 'j;lc^ \ x'S f\ et i''>/.'')'4', Ich (/un (Jeux 
côlcs (le nohtdnns (h'Ifri-cnlcs '.>.?) et /\ v' sont, dans un nu'me 
phm, et coupent par suite en un ni Ame point /a flroite (V in- 
tersert ion (les deux pld ns ; on a ainsi les (S plans W 

Si Ton se (loniic les |)laiis l^, cl V',,, av(M; le (|ii<'Kirai)i;l(; i -à 3 /\, et 

si, par les poinls I*,, l*^, l\i on '(3S droites 4 '? 4 '-^^ 4 •^> reneonlrcnt 

raièle (hi dièdre, on mène 3 droites dans le plan l*'j, de manier*; à 

former le triangle i'i>/3', on pcMil d('monlrer diieelem<:nl. e(M:i : 

V\, P.,, P!, élanl les poinls on les eôLés du lrianj>le i 'j. 3 reneonlrenl 

l'arèle dn dièdre, les trois droites (jni joignent respeetivement ees 

■ points anx points i', p/, 3' eoncourent en nn même point /\ ] il y a 

H là nne condition remplie d'elle-même. (Les notations P,, l^^? •• •? 

r (pii repi'ésentent réellement des plans, ont été employées ici pour 

repr(;senter les sommets d'angles contenus dans ces plans.) 

b. Si Ton partage les 8 j)oinls en 2 couples, de manière que 
chacpie cou])]e renlerme les 4 indices et un nond)re impair d'ac- 
cents, on obtient deux tétraèdres dont chacun est inscrit à 
VauiiC : tels sont les tétraèdres i'2 3 4 et i 2'3'4'; on a bien les 
8 |)lans P. La (igure donne 4 couples de tels tétraèdres. AL G. 
Humbert, dans un ]Mémoire inséré au Bulletin (t. XXXH, H)o4, 
p. i4o-i44)i ^ rencontré des couples de tétraèdres dont chacun se 
trouvait être inscrit à l'autre par la nature de la question ét.udiée, 
et il a observé (pic les 8 sommets et les 8 plans des faces pouvaient 
se grou|)er quatre à quatre de trois nouvelles manières pour former 
deux tétraèdres analogues. 

c. On a considéré jusqu ici les ])oints et les plans du système. 
Considérons les droites qui joignent 2 points n'appartenant |)as à 
un même couple; ce sont en même temps les droites d'intersection 

de 2 plans n'appartenant pas à un même eoujjle; leur nombre 

(i X S , ■ , . I . • • . « 

est — ^ — -ou 24, puis(|ue chaque point, })ar exemple, est joint a 

6 autres. Ces 24 droites se partagent en 3 groupes de 8, que 
Jious appellerons les groupes 1, II, lli, et cbaquc gioupe s(* sub- 
divise en 2 sous-groupes; les droites du groii|)e L j)ar exemple, 
>ont 

I 4 ". 4'i'' -2 3', 2' 3, 

/ t i , 4 1 , ?. ). '2 i , 



(i — 



ou 



((p„p,), (p;,p;), (P2, !•;), (P'2,P3), 

j(P2,P3), (P;,P'3), (P4, P'i), (P'4,Pl). 

Les 8 droites d\iii même groupe sont 8 génératrices d' un 
Jiyperboloïde, 4 d^ un système et 4 de l'autre; I.1 droite 4 i ou 
(P/,,P<), par exem|)le, l'enconlre les 4 droiles /\ \' ^ l\' \ ^ (P/,P',), 
(P^P<). Les 8 droiles du groujDe [ (marquées d'un liait sur la 
figure i) forment sur un hyperboloïde H, deux contours quadran- 
gulaires 4 ' 4' i' et 'à 3 ^/ 3' ayant pour sommets les 8 [)oints du sys- 
tème; ces mêmes droites forment deux autres contours quadran- 
gulaires dont les plans des angles sont P4, P,, P'^, P', et Po, P.-,, 
P!,, P'3. Chacun des groupes II et IIl donne des résultats ana- 
logues. 

Sur la figure 'à^ où la disposition des 8 points n'est pas la même 




que dans la figure i (déplacement des poinis j et i'), on a repré- 
senté seulement les groupes de droites II et III, que l'on aura à 
combiner plus loin; on voit nettement l'hvperboloïde du groupe II 
avec les deux contours 4 ^^4' 2'; 3i3'i' et les deux contours 
P4PoP;P;,, P;,P,P;P', ; rhyperboloïde du groupe llI ne se détache 
pas, mais" les contours 4 ^> 4'3', 1 2 \' 1' et P,PaP;P; P,PoP;P; 
sont bien visibles (les derniers au centre de la figure). 

Les \'j paramètres sont les 9 paramètres de l'hjperboloide Ho, 



ft 



- 7 - 

|);ir exemple, el les H |);ii;mièl ics des «^(Miéraliiees. ()ii obliefiL eii- 
vove ce nonihrc de. i" piuiuuèlres en obseivîinl (jiio les ideotidl- 
lloiis (rinlei'S(M:li()n «les (S «lioiles du groupe II, p;ir exemple, se 
rédiiisentà i 5 condilioiis dislincles (^2 — i T) z=: i - ) ; |;i iG'condi- 
lion est remplie (relh^-mème. 

c' . (^Iiaeiin des 8 plans l^coruient, par dcliiiilloii, un (piadrangU; ; 
le nombre des cùlés d(; ees (piadrangles esl — ; — on :>./{, cliaqne 
côlé élanl commun à deux (piadrangles. Chacun de ees (piadrangles 
enij^runle un couple de c(')lés à cliacun des groupes I, M, III, et 
donne lieu à trois contours quadiangulaires en nc^gligcanl \\\\\ 
des couples de c(Ut''S. (Corrélativement, chacun des S points du 
système esl le sommet d'un angle tétraèdre complet donnant lieu à 
trois angles tétraèdres ordinaires.) 



iMs:. 3. 




Si le groupe négligé esl, par exemple, le groupe I, on a 
ceci {/ig- 3) : Les huit quadrilatères 



I 2 I O . 



4 2 I 3, ^' '1 \ y , 

4 1 i' 3', 4' 2 i' 3, 4' '^' I 3, 



4 ■! i'3; 



4 'ï \ S 



sont les faces d'un polyèdre II,, lequel a 8 sommets^ 8 faces, 
i6 arêtes^ les faces étant groupées quatre par quatre autour 
de chaque sommet. Les 8 points el les 8 plans d'un ocUiple 
gauche complet sont ainsi les sommets et les plans des faces de 
trois polyèdres difTérents de l'espèce indicpiée. 



- 8 — 

(Avec la figure i, si l'on néglij^e les droites du groupe 111, les 
8 faces du polyèdre II3 sont les cpialrc f|uadrilatères convexes 
4 I 3 2, 2.3 1^4'? •••; cl les cjunlre (juadrilalèi-es à colés croisés 

Ces polyèdres à 8 sommets, 8 faces, 16 arèles, renlrenl dans la 
catégorie des polyèdres homogènes de i^cnie un (P^-4-S==A), 
que j'ai considérés en vue de l'extension à lespace du théorème 
des j)oljgor)es de Ponceict [Bulletin, t. XXXIJ, p. 28/1). Les 
polyèdres homogènes de genre un comprennenl des polvèdres 
létrjigonaux, dorU les faces sont des (juadrilatères assemblés 4 
par 4 autoui' de chacpie sommet; pour ceux que j'avais indiqués 
tout d'ahord, le nomhie des faces asl prj, />>3, 7>3. M. Bricard 
a signalé le premier le jvolyèdre de la (igure 4 (Nouvelles Annales, 
f\^ série, t. ]V, p. 554); j'si' ensuite retrouvé ce polyèdre en fai- 
sant/) ^z: 4, ^/ = 4 et en supposant que les sommets se confondent 
deux à deux {Bulletin , t. XXXIIl, p. i i5; la (igure donnée à cet 
endroit représente un polyèdre identique, comme disposition, au 
polyèdre Us de la figure i dont il est (pieslion ci-dessus). 

IL 

I. OCTUPLES CAUCHES COMPLETS, EN IN'OAIBKK TIUPLEMEJNT INFINI, 
INSCRITS A UNE BIQU ADllATIQUE. CoUPLES DE POINTS EN INVOLUTION 

SUR UNE BrQUADiiATiQUE; Hiiois SÉRIES. — La cousidéia tion des qua- 
driliilères complets inscrits à une cubique plane introduit pour une 
telle courbe une correspondance bien connue (couples steineriens) 
etlon saitavec quelle élégance les fonctions elliptiques expriment 
la relation entre dcw^ points associés. Une correspondance ana- 
logue s' introduit poui' une hiquadratique gauclie par la consi- 
dération des ocluples complets qui lui sont inscrits; i\J. Hum- 
beil, dans le Mémoire déjà cité, a renconlié cette corresjiondance 
par l'intermédiaire de rpiadriques que nous retrouverons au para- 
graphe 111, et en considérant, comme il est dit plus haut, des sys- 
tèmes de deux tétraèdres inscrits l'un dans l'autre : il y a intérêt à 
établir la correspondance en question sans le secours de ces qua- 
driques. On peut d'adieurs donner à une telle correspondance le 
nom (Vinvolutio/i, et (m^s involuli(^ns sont au nombie de trois; 
nous les nommerons à Toccasion ^' ^ -">", A"'. 



Appelons hiqiKulntliquc poiuiurllc la coiirlx; (riiil.crscclion (]<; 
deux cpiadricpies, cl hu/Uftdra lifjiic Uni ^ca licllc la CDiirbe dont 
les plans oscnlaUMirs sont les pians lanj;enls communs à deux (pia- 
dricpies (arcle de rchroussemenl de la (It'veloppal)le eireonserite 
aux deux (piadricjucs) ; l'une ou l'aulre de ces couihes dépend de 
16 paramèlres. Toulc bicpiadralique poncluelle (pii passe par 7 
des 8 poinls d'un ocLuple gauche complet passe par le 8*"; il passe 
donc |)ar ces 8 points des l)iquadratifpies ponctuelles en nombre 
doublemeni inlini. De même, toute biquadratique tan-^entielle qui 
admet pour plans oscidateurs, etc. ; il existe donc, en nombre dou- 
blement iidini, des biquadraliques tangenlielles admettant f)Our 
plans osculateurs les 8 plans d'un octuple gauche complet. 

L'ensendjie d'un octuple gauche complet et d'une biquadratique 
circonscrite dépend ainsi de 17 + 2 ou 19 paramètres. Si l'on se 
donne la biquadratique (16 paramètres) et un plan (3 paramètres) 
qui la coupe aux 4 points i, 2, 3, 4, il existe donc sur la biqua- 
dratique 4 autres poinls 1', 2', 3', 4'? formant avec les premiers un 
ocluj)le gauche complet. La question est de savoir si la position du 
point i' dépend uniquement de La position du point i. Or, dési- 
gnons par a l'argument elliptique d'un point de la biquadratique, 
la représentation paramétrique étant supposée telle que les argu- 
ments de quatre points de la courbe, situés dans un même plan, 
aient une somme nulle; soit (o l'une des trois demi-périodes des 
fonctions elliptiques introduites. Les arguments des quatre pre- 
miers points étant a,, 7.2, . . ., si l'on prend 

l'bjpolhèse 

«i-T- a2+ agH- «4=0 

donne six égalités telles que 

«i -4- aj -+- ag -H «4^ o (mofliw), 

et une dernière égalité 

a', 4- a, -f- ag H- «4 ^ o (mod2w); 

réciproquement, même si l'on se borne aux cinq plans 

(I 2 3 4». (l'-i 3 f), (i 2' 3 4''). (i 2 3' 4'). (i'2'3'4'). 



— 10 — 

c/est-à-dirc si l'on |)arl du plan i -2 d f\ el du point '\ pour déler- 
miner les points i', i\ 3', et obtenir un plan l'a'S' passant par le 
point 4^ on obtient 

a'j = ai-l- 10, .... 

Les arguments des l\ couples de sommets d'un ocluple gauche 
complet inscrit à une biquadralique sont donc a, et a, -h o), a^ 
et a^H- oj, . . ., ce qui démontre le fait annoncé; deux points asso- 
ciés ont des arguments qui diffèrent de o). Les octuples gauches 
complets inscrits à une biquadratiquc dépendent de 3 paramètres. 

On aurait des faits corrélatifs. 



IIL 

O. Octuples cauches complrts, en nombre doublement infijni, 

INSCRITS A UNE B [QUADRATIQUE ET CIRCONSCRITS A UNE QUADRIQUE. 

— Un quadrilatère complet étant inscrit à une cubique plane, si 
l'on inscrit une conique à ce quadrilatère, il existe une infinité de 
quadrilatères complets inscrits à la cubique et circonscrits à la 
conique; le système de la cubique et de la conique dépend de pa- 
ramètres en nombre 94-2 + 1 — 1 ou 11. On peut se donner la 
conique, les coordonnées de ses points étant exprimées en fonc- 
tions rationnelles d'un paramètre /, et définir les quadrilatères 
complets par les valeurs que prend le paramètre t aux 4 points de 
contact, ces valeurs étant fournies par l'équation du quatrième 
degré 



/(0-^X«>(0 = 0, 



où A est variable; le nombre des paramètres est 54-9 — 3 ou 11, 
en raison de la substitution linéaiie que Ton peut effectuer sur A. 
La question suivante se pose alors pour l'espace : 

Un octuple gauche complet étant inscrit à une biquadra- 
tiquc Qj si Von considère une quadrique S tangente aux 8 plans 
de cet octuple, existe- 1- il une double infinité d^ octuples 
gauches complets inscrits à la biquadratiquc et circonscrits à 
la quadrique? 

Le nombre de paramètres pour le svslèinc de la biquadralique et 



- Il - 

(l(î la (jiia(lrlc|uo serait i (i + -> H- :>. — '.>., on 19. La biqnadratiqiie 
étant donnée, la quadrique dépendrait de 3 paramètres, 

6. Une courte (ligression est ici nécessaire. J'ai donné en 189g 
[Nouvelles Annales, p. 67) le tliéorème suivant que j'ai démon- 
Iré analytiqucment : 

Etant données deux quadriques S' et S, pour que les té- 
traèdres inscrits à S' et circonscrits à S dépendent de 5 para- 
mètres, au lieu de 4, il faut et il suffit que les deux quadriques 
aient 4 génératrices communes (soient quadritangentes). Si l'on 
se donne à volonté l'un des sommets du tétraèdre sur l'une des 
quadriques, et le plan de la face opposée tangent à l'autre qua- 
drique, le tétraèdre dépend encore d'un paramètre. Au début du 
Mémoire cité plus haut, M. G. Humbert a établi géométriquement 
le même théorème, et il lui a donné sa portée véritable en obser- 
vant que, dans les conditions indiquées, de quelque façon que Ton 
commence et que l'on poursuive la construction d'un tétraèdre 
inscrit à l'une des quadriques et circonsciit à l'autre, cette con- 
struclion aboutit toujours : on peut se donner à volonté le som- 
met D sur l'une des quadriques, le trièdre DA, DB, l)C circonscrit 
à l'autre par les plans de ses faces. 

[Klein a montré que la surface de Kummer admet une série cinq 
fois infinie de tétraèdres à la fois inscrits et circonscrits; or une 
telle surface peut dégénérer en un système de deux quadriques 
quadritangentes; le théorème en question est un cas singulier du 
résultat obtenu par Klein.] 

7. Revenons à la question posée plus haut. On peut chercher la 
condition nécessaire et suffisante pour qu'une biquadratique Q et 
une quadrique S admettent une double infinité d'octuples gauches 
complets inscrits à Q et circonscrits à S; on va voir que la biqua- 
dratique doit passer par les sommets de deux quadrilatères 
tracés sur la quadrique. 

Pour montrer que la condition est nécessaire, considérons l'un 
des 8 points communs à Q et à S, soit A/,, et désignons par G, G^ 
les deux génératrices de S qui passent par ce point {fig- 4)- ^" 
plan quelconque mené |)ar G est un plan langent à S; s'il cotipc 



- 12 - 

encore 12 aux points A^ cl i, 3, il cxisic donc un ocluplc; gauche 
coniplcl, inscrit à Q cl circonscrit à S, admettant pour (pialrc de 
ses sounncts les points A,, A._,, i et .'^. Des trois j)lans 

(A4, I, a;, 3'), (Av, A2, 3', i'), (A., 3, 1', a;), 

tangents à la quadrique S, le deuxièinc, par exemple, passe par G 
comme le plan d'où l'on est parti, les deux autres passant par G'; 



Fig. 4. 



G^- 




le point Ao est donc sur G, le point A', sur G', f^a hiquadi'atique iî 
passe ainsi par les sommets A4, Ao, A^^, A!, d'un quadrilatère tracé 
sur la quadrique S. Elle passe encore parles sommets d'un second 
quadrilatère A3 A, AJj A', analogueau premier. On remarquera que 
les 8 points A sont les sommets d'un octuple gauche très particu- 
lier, inscrit à 12 et circonscrit à S. 

Réciproquement, soit une biquadratique 12 (pii passe ])ar les 
sommets A de deux quadrilatères tracés sur une quadrique S; nous 
supposerons que le point A/ est le ])oint / de la figure 3, où l'on 
négligera les lignes pointillées. La quadrique S' menée par 12 eL par 
la corde 4 2 contient les cordes 3 1 et 3' i' qui s'appuient sur 4 2, et 
aussi la corde 4 2' qui s'appuie sur 3 1 : celte quadrique contient 
donc le contour quadrangulalre P, Pol^'^P!, tracé sur S; une autre 
quadrique S" menée par 12 contient le contour quadrangulalre 
P;j l- , V.^ [\ : la biqLuulnihqiKi 1> est ainsi i' intersection de deux 



- i:{ - 

<jU(f<h'i(jU('Sy S' cl S", (luiidrildii ^('ulcs à S. Si l'on iiiAik; a S un 
plan lan^oiil (iuclci)n(/iic, on voil aisénicnl, |)ai' \v. lln'orrtnc; dn 
n" (), ([ne VA\ plan (oiirnil un ocinpic «^ancln; coinjjh'l inscrit à 12 fl 
circonscrit à S. 

Le raisonncnuînL précédenl appai"Li(;nl j)()Mr h; fon<l à M. Hnin- 
heri; ce i^conièlre, après avoir établi le ihcorènie cln n" G, s'(ist 
proposé de rccluMclier à quelles coridilions une bi(piadrati(pie il et 
une (|ua(lri(pie S aduietlcnt une douille infinité de tétraèdres 
inscrits à il et circonscrits à S; il a tionvé la condition énoncée ci- 
dessus, et introduit à ce proj^os les couples de tétraèdres men- 
tionnés précédemment. 

I^e nombre de paramètres dont dépend i('i le système de la qua- 
drique et de la bicpiadratique est 9 H- 8 + >. ou i (). (>omme c'est le 
nombre de paramètres indiqué à la fin du n'' o, il y a tout lieu de 
croire que la question posée dans ce numéro se résout par l'affir- 
mative. 

[Le théorème rappelé au début du n" G donne cette conséquence : 
Etant données deux quadriques (|uelconques S' et S, si l'on 
considère les tétraèdres en nombre doublement infini qui sont 
inscrits à S' et circonscrits à S, l'un des sommets étant donné sur S', 
le plan de la face oj)posée passe par un point fixe; si l'on considère 
en effet le cône qui a pour sommet le point donné et qui est cii- 
conscrit à S, il existe une quadrique So inscrite à ce cône et qua- 
dritangente à S', et le plan dont il s'agit est langent à la (jua- 
driqueSo; ce plan dépend d'un paramètre, et, quand on l'a choisi, 
on obtient une infinité simple de tétraèdres répondant à la question. 
En ce qui concerne la biquadratique et la quadrique S, si l'on 
se donne sur Ù le sommet 1' du tétraèdre 1' 2 3 4, ce tétraèdre 
dépend encore d'un paramètre, et le plan de la face 284 passe 
par un point fixe, le point 1: ce fait se comprend bien d'après ce 
qui précède, en considérant une quadrique passant par Q, à 
l'exception des deux quadriques S' et S" qui sont (piadritangentes 
à S.] 

IV. 

8. TÉTUAliDUES Ex\ ?JOMBIŒ SIMPLEMEIVT IJNFIJVI, liVSCr.ITS A UIVE 
BIQUADRATIQUE PONCTUELLE, ET DONT LES PLANS DES FACES SONT 
OSCULATKL r.S A l NE ni(^ l A UK ATlQ L E TANGENTIELLE . La COudition 



- l/j. — 

donnée au paragraj)lje III, pour qu'une hiquacJralique il vl une 
quadrique S admellent une double iidinilé d'octuples gauelies 
complets inscrits à 12 et circonscrits à S, peut, comme on l'a vu au 
cours de la démonstration, s'énoncer ainsi : il faut et il suffit que 
l'on puisse faire passer |)ar la biquadiatique deux quadriques S' 
et S" quadritangentes à S. M. Humbert, qui considère dans son 
Mémoire deux tétraèdres (par analogie avec les triangles de Pon- 
celet), indique en terminant le théorème suivant : 

Pour qu'il existe une série simplement infinie de tétraèdres 
inscrits à une quadrique S' et circonscrits à la fois aux qua- 
driques S, et So, il iiiifjit que, parmi les quadriques du faisceau 
tangentiel déterminé par S, et So, il y en ait une qui soit quadri- 
tangente à S'; le lieu des sommets de ces tétraèdres est nne biqua- 
dratique tracée sur S'. On a ainsi une série simplement infinie 
de tétraèdres inscrits à une biquadratiqne ponctuelle t:, et 
dont les plans des faces sont osculateujs à une biquadratique 
tangentielle t. Et il j aurait à rechercher si, à toute quadrique 
passant par t:, correspond une quadrique tangente aux plans oscu- 
lateurs de t, par la condition que ces deux quadriques soient qua- 
dritangentes; cela n'est pas certain, la condition ci-dessus n'étant 
pas donnée comme nécessaire. 

V. 

9. OcTLPLES GALCHP:S COMPLETS IJNSCIUTS A UIVE QUADRIQUE ET 

ciiicowscRiTs A tJNE AUTRE. — Lc problème de construire un 
octuple gauche complet, circonscrit à une quadrique S et inscrit 
à une quadrique S', est un problème triplement indéterminé en 
apparence : un octuple gauche dépend en effet de i^ paramètres, 
et on l'astreint à r4 conditions seulement, les 8 points d'un octuple 
formant un système de points de Lamé, ses 8 plans formant un 
système de plans de Lamé. J'ai déjà rencontré ce problème à un 
autre point de vue. On a remarqué, à la fin du paragraphe I, que 
les 8 points et les 8 plans d'un octuple gauche complet sont, de 
trois manières différentes, les sommets et les plans des faces d'un 
polyèdre H qui rentre dans la catégorie des polyèdres tétragonaux 
de genre un {Jig- 3)-, et j'ai montré {Bulletin, t. XXXlll, p. i i8) 
que le problème de construire un polyèdre FI, circonscrit à une 



— I." - 

(|ii;ulii(jiM' S cl insciit à iino f|iia(Jri()(ic S', est li'rs probablement 
un problême p;énériilemcnt impossible, et (/ni ne devient possible 
qu'en devenant quadruplement indéterminé; s'il en est bien 
ainsi, In coïKlilion (l'indiUciminalion est (jiio les racines du discii- 
niinant de la forme AS -\- S', soit 

vérifient la relation 

d -^ a — b -^ c. 

J'ai rencontré cette même condition ponr nn autre problème [Nou- 
velles Annales, 1900, p. i 19). J'ai alors été conduit à remarquer 
que, si elle est satisfaite pour deux quadriques S et S', elle l'est 
encore lorsque l'on remplace la (piadrique S' par une quadrique 
quelconque du faisceau ponctuel déterminé par S et S', ou la qua- 
drique S par une quadrique quelconque du faisceau tangentiel 
déterminé par S et S'. J'ai également été conduit, en traitant ce 
nouveau problème, au résultat suivant : la lacine carrée du poly- 
nôme 

étant 

A -f- B/t + G/i2 4- D A3 4_ K/,4 4_. . .^ 

la condition ci-dessus est simplement 

D = o. 

NOTE I. 

En ce qui concerne les trois involutions ^ sur une biquadratique, d'après 
les formules 

a' = a -h tOf ( i = 1 , 2, 3 ), 

j'indiquerai les faits suivants, qui ne sont d'ailleurs pas des faits nouveaux. 
Considérons les couples de points de la biquadratique dont les arguments 
elliptiques satisfont à l'une des relations 

m -\- II' = o)i, în -\r n" = t02, m -H ri" = 0)3, ni -{- n = o, 

le double de chacune des quantités Wi, w.2, tos, o étant de la forme 
Tt/joii-t- ikui-i^ les choses étant d'ailleurs telles que 4 points coplanaires de 
la biquadratique aient des arguments de somme nulle. 



— i() — 

Si l'on prend, par exemple, la première relation, deux couples, ///, n' et 

ni, n\ sont dans un même plan, puisque la somme des 4 arguments est 

nulle, à une période près, de sorte que les cordes mn' et m n' se coupent 
en un point A; une troisième corcje du même système doit rencontrer cha- 
cune des deux premières, et par suite passer en A. Les cordes rn/i' sont 
donc les génératrices du cône de sommet A qui j)asse par la biquadralique, 
et l'on a de même les générati'ices des 3 autres cônes (sommets B, C, D) 
qui passent par cette courbe. Si l'on mène alors par 1)A un plan sécant qui 
coupe la courbe aux j)oints m, ni\ /«, /«', les cordes /nn et fn' /i' pa'>senl 
en 1), les cordes /fin' et /n' /i passent en A, et l'on a 



On a donc 



fU -H /i = o, 
ni' -T- n' — o, 

ni' = /n + (Oi, 



jn 
ni' 



n = ojj, 
n = (Oj. 



n = n -4- (.oi, 



de sorte qn<', dans le quadrilatère muni' n' , deux sommets opposés m et m', 
ou n et /i', se correspondent dans Vinvolution A'. Un plan sécant mené 
par BG donnerait le même résultat. Les cordes telles que mm' lencontrent 
DA et BG. 

En second lieu, si ab est une corde fixe de la biquadratique, prise arbi- 
traiiement, il y a involution entre les plans abni et ahm! \ car un plan 
mené par ab donne les points m et |x avec les arguments ;« et — a —b — m, 
et les points associés m! et jji' ont |)()ur arguments 



m 



Wi 



et 



a 



ni 



(Oj, 



de sorte que les plans abm' et ab\x' sont identiques. 



NOTE II. 



Si Ion voulait représenter sur une figure les 24 droites dont il est ques- 
tion au no |}, on pourrait dessiner les 8 droites qui sont en trait plein sur 

la figure 2, mettre Pi, Poj • • -i P'i, P'2' • • • '*' O'' •' y ^ '5 '-^-i • • 5> ^ 1 '^■' 1 • •> 
et inversement, puis dessiner les iG droites qui portent les derniers côtés 
des quadrangles i 2 3 4> i'2'3'4', 4^1' 3', \' •>.' \ 3. 



— 17 — 



SUR CERTAINS SYSTÈMES LINÉAIRES, PONCTUELS ET TANGENTIELS, 

DE QUADRIQUES; 

l\ir M. 11. BiiicAiin. 

1. Soil (S) lin syslc'inc linéaire ponclucl, à trois paramètres, de 
([iia(lii(|nes, représentées par l'équation 

(i) S = XiSi -4- X2S2 -f- >^3S3 -hX^Si = o, 

où s,, S2, S3, s., sont les premiers membres des équations de 
quatre quadriques fixes, X,? ^2? ^^3, ^v, des coefficients variables. 
l.e système (S) ne comprend évidemment en général qu'un nombre 
fini de quadriques dégénérées en un système de deux plans; les 
conditions d'une telle dégénérescence sont, en ellet, au nombre de 
trois^ et l'on dispose de trois paramètres. 

M. Reye a montré que le nombre de ces quadriques dégénérées 
est, en général, de dix (*). Peut-il ariivei' qu'un système (S) 
contienne une infinité de quadriques réduites à deux plans ^ et, 
dans le cas de U affirmative, comment définir un tel système >^ 
Tel est l'objet de ce travail. 

Le problème peut êlre aussi posé sous sa forme corrélative : 
trouver les systèmes linéaires, tangentiels, à trois paramètres, 
de quadriques^ qui contiennent une infinité de quadriques 
réduites à deux points. Il arrive que c'est ce second problème 
qu'il est le plus avantageux d'aborder : c'est donc ce que je vais 
faire. 

2. Je commencerai par établir un théorème qui semble, au 
premier abord, étranger à la question qui nous occupe, mais dont 
la connaissance préalable me permettra tout à l'heure d'éviter 
une digression; ce théorème est le suivant : 

Considérons une cubique gauche G et une involuiion (l)sur 
cette cubique. Soient (<;/, a'), {b, b'), (c, c) trois couples de 
points de C, conjugués dans (I). Construisons V octaèdre 

(') Journal de C relie, t. 86, 1879, p. 8;). 

XXXIV. 2 



— 18 — 

{abca h' c')^ qui n pour sommets les points «, r//, b, b\ c, c\ et 
pour arêtes les droites qui joignent ces points deux à deux, 
à V exception des trois droites aa' ^ bb\ ce' . Les faces de cet 
octaèdre se répartissent en deux groupes de quatre faces, deux 
faces quelconques d'un même groupe ayant en commun un 
sommet et un seul. Je dis que les quatre faces d'un même 
groupe {que j'appellerai faces associées) ont un point commun , 
qui se trouve sur la corde de G dont les extrémités a, et 3, sont 
les points doubles de (I). 

Remarquons tout d'abord qu'il existe sur G une involulion (1'), 
dont trois couples de points sont (a, [^), («, ^), («', b'). On le 
voit rapidement comme il suit : faisons corresj)ondre homogra- 
])lHquement G à une conique G, et soient a, , Z>, , a\ , ^', , a, , ^, , les 
points de G qui correspondent à a^ b, a', b\ a, [3; a, et [3, sont 
sur G les points doubles d'une involution dont deux couples sont 
{ai,a\) et (^,, b\). Autrement dit <7,^/', et btb\ passent par \c 
pôle de a, (3, par rapport à G. De là résulte que <r/, b^ et (f\ b\ se 
coupent sur a, ^,. Par conséquent (a,, j3,), («,, ^,), {a\, b\) sont 
trois couples de points en involution sur G. Donc, etc. 

On peut encore dire que a|i, ab et a' b' sont trois génératrices 
d'un même système d'une quadricpie (Q) qui contient la cu- 
bique G. Soit alors D la génératrice de (Q), de l'autre système, 
qui passe par le point G : D rencontre ab^ a' b' et a,3. En d'autres 
termes, les plans (a^c) cl (a' b'c) passent par le même point <:/de a^. 
On verrait de même que le pointe/ appartient aux plans (ab'c') 
ei{abc'). On a donc établi que les quatre plans [abc)^ (ab'c'), 
(a'bc') et {a' b'c) passent par un même point d de la corde a|îi. 

On reconnaît de la même façon que les plans (a'bc), {ab' c)^ 
{abc'), {a' b'c') passent par un même point d' de a,3 (*). 



3. Voici encore une remarque qui nous sera utile : soient {a, a'), 
{b, b'), {c, c') trois couples de points dont quatre ne sont pas 
dans un même plan, et 



A = o, 



A ' = o , 



B = o. 



IV 



C = o, 



C =: O, 



(') On peut encore dciuotUrer que les points d et d' divisent harmoniqucnient 
lesegMienl a,3. Mais on n'aura pas besoin de ce iHJsultat. 



I 



- iî) — 

leurs (;(Hiali()n.s lanj^cnlicllcs rcspoclivcs. I.cs (|u;ulii(jiics du rc'- 
scaii langciilicl icprôscnU' par l'rcuialion 

XAA'h- lalUV^-vCG'r^o 

sonl ovidcnimcnt inscrilcs à roclaèdrc ^abca' h'rJ). 

Ce réseau pcul-il encore contenir une qiiadricpie déf^énérée en 
nn syslènic de deux points d^ r/'? 

S'il en est ainsi, l'un de ces points devra appartenir à cpiatre 
faces de l'octaèdre, qui, on le voit tout do suite, sont nécessairement 
(juatre laces associées. IléciproquemenI, si quatre faces associées 
sont concourantes en un point d, le réseau tangentiel considéré 
contient une quadrique dégénérée en deux points dont l'un est<^/; 
les quatre faces associées de l'autre groupe concourent alors né- 
cessairement en un autre point d' ^ qui complète avec d la qua- 
drique dégénérée dont il s'agit. 

Ainsi, dans ce cas, le réseau tangentiel contient quatre qua- 
driques réduites à deux points; il ne peut contenir d'autre cjua- 
drique ainsi dégénérée. 

4. Abordons maintenant la question posée. Soit (i]) un système 
linéaire tangentiel à trois paramètres, de quadriques, que nous 
supposons satisfaire à la condition énoncée. (S) contient une infi- 
nité de quadriques dégénérées en deux points m^ ni' . Ces points 
décrivent une certaine courbe C irréductible ou non (il pourrait 
arriver que l'une des parties de C fût décrite par le point tn^ l'autre 
|)ar le point ni'). Je supposerai expressément que C n est pas 
une courbe plane et, plus généralement, que deux couples de 
points constituant une quadrique dégénérée de (S) ne sont pas, 
en général, dans un même plan. Les cas ainsi exclus sont plus 
faciles à traiter et ne paraissent présenter que peu d'intérêt. 

L'ordre total de C est, d'après cela, au moins égal à trois. Je 
vais montrer que C est une biquadratique gauche. 

Montrons d'abord que C ne peut être une cubique gauche seule. 
Si, en edet, il en est ainsi, il est bien clair que les points ///, m' 
engendrent une involution sur cette courbe. Soient alors (a, a' )^ 
(è, b')^ (c, c') trois quadriques dégénérées du système (S). 
(S) comprend toutes les quadriques du réseau défini par ces trois 
quadriques dégénérées, c'est-à-dire loules les quadriques inscrites 



— 20 - 

à roctacdre {abc a' h' cJ). Mais on a reconnu que qnalrc faces asso- 
ciées de cet octaèdre vont concourir en l'un ou l'autre de deux 
points {d^ d')^ situés en dehors de C (n" 2). (2) contiendiait donc 
des (|uadri(|ucs dégénérées en points n'appartenant pas à (^, ce 
(pii est contraire à l'hypothèse. 

Il résulte de là que C est une courbe d'ordre au moins égal ù 
quatre. Soient alors (r/, a'), {h, b'), (c, c'), {e.,c') quatre qua- 
driques dégénérées de (2), les divers points qui les constituent 
n'étant pas quatre à quatre dans un même plan. C doit rencontrer 
le plar) {abc) au moins en un points/, autre que les points «, 6, c. 
Si l'on désigne par 

A = o, A' = o, . .. , E'= o, 

les équations tangentiellcs des points a, a.\ . . . , e', on a 
(i) D = aA-h pB-f-yG. 

Mais, par hypothèse, 
( 'X ) ï)\y = X A A' + \i Bir + V ce + p EE'. 

On en tire, en combinant les identités (i) et (2), 

D'(aA-H- PB + yG) = XAA'^- [jiBB'-i- v GG' -r- ? EE', 



ou 



pEE'=(aD'— XA')A-h(?D'-|JiB')B-+-(YD'-vG')G. 



Si n'est pas nul, cette identité montre que la quadrique ré- 
duite à deux points e et e' est inscrite dans l'octaèdre dont les 
sommets ont pour équations respectives 



aD'— XA' = 



o, B = o, G = o, 
[iD'-|j.B' = o, yl^' 



'G' = o. 



Chacun de ces points doit donc (n" 3) appartenir à quatre faces 
de l'octaèdre en question ; mais une de ces faces est le plan {abc), 
(pii devrait, en conséquence, contenir un des points e, e' : or on ii 
supposé expressément le contraire. 

Jl faut donc que p soit nul, et l'identité (2) se réduit à 

D D' = X A A' + fji BB' -h V GG' . 



— 21 — 

H n'sullo (\c loiil cela (jiic : 

r* JjC lieu drs points consliluanl les (|ua(lri(jues (li'îgéin'irces du 
svsLrme (S) esl une coiiilx^ {gauche du quaUirme ordre C; 

'.i" Si (a^ r//), (/>, //), (cj c') sont Irois couples de |)C)inls cou • 
slliuaul l'uncî de ces (|uadri(|ues dégénérées, quatre faces asso- 
ciées de l'octaèdre {^(ihca' b' c') [)assent par l'un ou l'autre des 
tieux points r/, (l\ rpii appartiennent à G; les deux points r/, d' 
forment une quadricpie dégénérée de (2). 

On sait qu'il existe deux espèces de courbes gauches du cpia- 
Iriènie ordre : les biquadvatiqaes gauches, et les qaartiqucs 
gauches de seconde espèce, qui sont tracées sur une seule qua- 
drique. 

G ne peut être une quavtique gauche de seconde espèce. En 
efîet, les points «, a', ^, U ^ c, c', d, d' peuvent être répartis de 
quatre manières dans deux plans, comme l'indiquent les groupe- 
ments suivants : 

a h c d et a' b' c' d\ 

a b' c' d et a' b c d' , 
a' b c' d et a b' c d\ 
a b' c d et a b c d' . 

Ges points forment donc un système ponctuel de Lamé {^)^ 
c'est-à-dire que les quadriques qui les contiennent sont en nombre 
doublement infini. 

Si donc m est un point quelconque de G, il existe une infinité 
de quadriques contenant les ne;(/ points a, a\ b^ b' y c, c', d^ d' ^ m 
et, par suite, la courbe G tout entière. Gette courbe, appartenant à 
une infinité de quadriques, est donc une biquadratique gauche. 

Introduisons maintenant lareprésenlation de la biquadratique G, 
supposée sans point double, au moyen de paramètres elliptiques, 
cette représentation étant faite de telle manière t[ue (juatre points 
de la courbe, situés dans un même plan, aient des paramètres de 
somme nulle. Désignons l'argument elliptique d'un point par la 
lettre même (jui désigne ce point, mise entre ])arenlhèses. On a les 



( ' ) Il siiflirait pour cela que ces points fussent répartis dans deux plans de //«/^ 
nnaniércs différentes. 



C>C) 



(I ou 



(le lucnic 



rclalions 

(a) +ih) -h (c)-h (f/) ^ (), 

{a')-i-(b')-\-{c)^(d) = o; 

ia)-^(ù) = {a')-^{b'); 

(a)-^(c) = (a')-h{c'), 
(fj)-^(c) = {b')-^(c'). 
Par suite 

(a) -+-(/>) + (c) = (a') -^ (^') -h (c') -h une demi-période. 

Celte demi-période n'est pas nulle, sans quoi les poinlsrt,^', ... 
coïncideraient deux à deux. 

Appelons-la (o,. On aura alors, par des combinaisons simples, 

(a')-{a) = (b') — (b) = {c')~{c) = (d')-{d) = uii. 

Ainsi, deux points constituant une quadrique dégénérée 
de (i]') ont sur C des arguments différant d^ une demi-période. 
Ils sont donc conjugués dans l'une des trois involutions fonda- 
mentales bien connues, qui transforment cette courbe en elle- 
même (' ). 

5. En résumant l'analjse précédente, nous pouvons dire que : 

Si le système (S) satisfaisant à la condition imposée existe, 
il est défini de la manière suivante : Soient G une hiquadratique 
gauche^ [a^a'), (^, //), (c, c'), (d^d) quatre couples quelconques 
de points conjugués sur cette courbe, deux points étant dits 
conjugués lorsque leurs arguments elliptiques diffèrent d^une 
même demi-période to,. Le système (S) est le système linéaire^ 



(' ) La c()nri;;uralion formée par les points «. a', 6, b\ c, c', rf, d' est bien 
comme. On pourra consulter à son sujet une Note de M. Ilutnbert : Sur les 
tétraèdres inscrits et circonscrits à des quadriques (ce Bulletin, 190 ), p. i35), 
et une autre de M. Fontenc : Sur une configuration remarquable dans l'es- 
pace, et qui figure dans ce mcme Bulletin (t. XXXIV, p. 2), dont l'auteur a bien 
voulu me communiquer le manuscrit. 

La configuration dont il sagit est désignée dans cette dernière Note sous le nom 
d'octuple gauche complet. J adopterai celte expression dans la suite du présent 
travail. 



- ±:i — 

tangentiel, à frais paramrtrcs, dcfini par les quatre qua- 
driqucs réduites à deux points (a^ a'), (6, />'), (r;, c'), (c/, <^') (' ). 

Je vais in.ilnlenaul monircr (|iie, r(''ci|)rofjucincnt, loiil sysIrnK; 
ainsi dénni (i]) est salisfaisanl, c'est-à-dire (pTil eonlienl iiue iiifi- 
nilé de (|uadri(|ues réduites à deux j^oinls; l'une cjuelconcjue de 
ces (juadriques dégénérées est constituée par deux [)oints conju- 
gués sur C 

A cet elTct, rappelons tout d'abord que, si a et b sont deux 
points fixes de C, m et m' deux points conjugués variables sur la 
même courbe, les plans (a^m) et (abm') engendrent un faisceau en 
involution. [La démonstration de cette propriété connue est im- 
médiate. Un plan (V) quelconque passant par a^ rencontre G en 
deux points m et /nj, dont les arguments (m) et (nit) satisfont à 
la relation 

(m) + (mi) 4- («) -t-(^) = o. 

Leurs conjugués m' et m\ sont donc tels que Ton ait aussi 

(m') H- (m, ) -\-{a}-h{b) = o. 

Donc, au plan (abm) ne correspond qu'un plan (abm'), ce qui 
suffît à établir la proposition.] 

Cela posé, considérons sur C cinq couples de points conjugués 
(a,a'),(b,b'),(c,c'),{d,d'),(e,e'). 

Soit Q la quadrique unique du faisceau tangentiel défini par les 
quadriques réduites à deux points (df, d') et (e, e'), qui touche le 
plan (abc). Les deux plans tangents menés à Q par ab sont con- 
jugués dans l'involution définie par les deux couples de plans 
(abd)^ (abd') et (abe), (abe'). Mais, l'un de ces plans tangents 
élant le plan (abc)^ l'autre est nécessairement (abc'), en vertu de 
la propriété rappelée un peu plus haut. 

De même, (Q) étant tangente au plan (abc') est tangente au 
plan (ab'c'). En continuant ainsi de proche en proche, on voit 
que (Q) est inscrite à V octaèdre (abca' b' c'). 



( ' ) G, clans cet énoncé, est supposée indécomposable et sans point cl«)ublc. II 
existe des cas de dégénérescence d'un certain intérêt : par exemple, C peut se 
réduire à une cubique gauche et une corde de cette cubique. 



— 24 



Désignons alors ])ar 

A = o, 



E'=:0 



les équalions lan^cnlicllcs des points n^ ..,<?', comme je l'ai fait 
précédemment. Soit aussi 

Q = o, 

Téqualion langentielle de (Q). 

Puisque (Q) a})partient au faisceau tangentiel défini par (<:/, d!^,, 
(Cj e'), on a une identité de la forme 



(3) 



Q = oDD'-hcEE', 



6 et £ étant des nombres. Puisque (Q) est inscrite à l'octaèdre 
{abca' b' c')^ on a 



(4) 



Q = aAV-4- Î^BB'h-yGC, 



a, [j, Y étant d'autres nombres. En éliminant Q entre (3) et (4) il 
vient 

£EE'= aAA'H- |il3B'-i- yCC— oDD', 

ce qui montre bien que le couple [e, e) constitue une quadrique 
du système tangentiel (S) défini |)ar les couples (c^, a)^ (6, b')^ 
'c, c'), {d., d'). La proposition (fue jUivais en vue est donc dé- 
montrée, })uisque les cinq couples de points conjugués considérés 
sont absolument quelconques, 

6. Le système (2) contient oc^ quadriques et x- coniques. Pour 
les définir d'une façon aussi simple que possible, je ferai d'abord 
la remarque suivante : 

Considérons l'identité 

EE'= a AA'+ § BB'h- yGG'+ oDD', 

à laquelle donnent lieu les ciu(| couples de points conjugués (^, a'), 
{b, b'), (c, c'), {d, d'), {e, 0'). 

Si, les quatre premiers couples restant lixes, le cinquième varie, 
les rapports des coefficients a, [i, y, o, pris à deux à deux, ne 
peuvent être constants. 

Supposons, eu ellct, qu'un autre couple quelconque [J\ /') 



- ±-; - 

(loiMic lu'ii à ri(l(;nlit('^ 

oïl lircra dos tlouK idcnlilcs préccdcnlcs 

KEIî:'— FF' = (y — y') CG'h- (o — 0) DD', 

ce qui exigerait (|uc les points / ciy' soiciil les deux [)oiuls par- 
où vont passer respectivement les deux j'roupes de faces associées 
de Toctaèdre {cdcc' d' e'). Or cela contredit le fait que (/, /') 
est un couple quelcon(|ue. 

On en conclut ([uc, si {c^ e') varie, tous les rapports tels que -^ 
prennent au moins une fois toutes les valeurs j)ossiI)les. 

Gela posé, soit U une quadrique (pielconque de (2). On a 

U =aAA'-i- jiBB'+Y^G'+oDD', 

Il résulte de la remarque précédente que je puis trouver un 
couple (6', e) tel que l'on ait 

EE'= aAA'H-fBB'H-Y'GG'-i-G'DD'. 

On peut donc écrire 

U = EE'-f- (y — T ) GC'-^ (0 - o') DD'. 

Autrement dit, U est inscrite à l'octaèdre {dced' c e'). 
Donc : 

Les diverses quadriqiies du système (S) sont les quadriques 
inscrites dans les divers octaèdres qui ont leurs sommets oppo- 
sés conjugués sur G. 

INIais ces divers octaèdres sont en nombre oo^, et chacun d'eux 
est circonscrit à oo- quadriques. Gomme il n'y a que co^ quadriques 
dans (S), il faut en conclure que chacune de ces quadriques est 
inscrite à oo- octaèdres définis comme on vient de le dire. Ainsi : 

On peut inscrire à G une double infinité d^ octaèdres circon- 
scrits à une quadrique quelconque de {'^). 

On peut inler[)réter autrement ce résultat. Soit [abca'b'c') 
l'un de ces octaèdres; les quatre faces associées ((7^c), (ab'c')^ 



— 20 - 

(a'hc'), {a' b' c) vont concourir en un même point d de C, elle 
lélracdre a'b'c'd esl inscrit à G et circonscrit à la quadrique con- 
sidrrce. Par conséquent : 

On peut inscrirr à C une double infinité de tétraèdres cir- 
conscrits à une cjuadricjue quelconque de (2) ('). 

Or, M. Hunibcit a détermine {loc. cit.) les conditions néces- 
saires et suffisantes pour f|ue l'on puisse insciire à une biquadra- 
tique gauche oc- tétraèdres circonsciils à une quadrique. En 
tirant parti de son résultat, on voit que : 

Les huit points oii C coupe une quadrique quelconque de (Jl) 
sont les sonitnets de deux cjuadrilatères de génératrices tracés 
sur cette quadrique. 

On peut d'ailleurs retrouver ce résultat de la manière suivante : 
soient (a, a'), (/>, b') deux couples variables de points conjugués 
sur C. Les quadriques représentées par l'équalion tangentielle 

(5) AA'-f-XBB'=o, 

où A esl un paramètre variable, sont en nombre oc^ et appartien- 
nent au système (S) : elles se confondent donc avec l'ensemble 
des quadriques de ce système. 

Ce raisonnement ne tomberait en défaut que si toute quadrique 
du système (S) pouvait être représentée par une inOnité d'équa- 
tions de la forme précédente. S'il en était ainsi, on trouverait 
(d'une infinité de manières) de nouveaux couples (ai, a',), 
(6,, ^', ), («27 ct'-^)-, (b'i-) b[,) donnant lieu aux identités 

AA'4-XBB'= A,A;-+-XiB,B', = Aj A', + XoBaB',. 

Cela exige que les couples («, «'), (b, b')^ (<7,, a',), (^,, b\) 
soient les sommets d'un octuple gauche complet. 11 en sera de 
même pour les couples («,, a\), (/y,, b\)y («o? «2)5 (^^' ^2) ^^ 

(«2, Cl'-2)^ (^2, ^2), («, «')' (^5 f^')' 

On aurait donc les relations suivantes entre arguments ellip- 



(') On peut donnei" une Iroisicnic intcrprétalion de ce même résultat, en fai- 
sant intervenir des octaèdres tctragonaux de genre un. Je renvoie pour cela à 
la Note citée de M. Fontené. 



■>7 — 



::/ 



licjues : 

(rt) -h (h) -f-(rt,)-f-(Ai) = o. 

(a,) -h (/>,)-+- ('''2) -^ (^2) --^ o, 
{((i)-\-{bi)-\- (a) -h (h) — o. 

D'où l'on lire aisément 

(a) -{- {b ) = (Iciui-périodc, 

ce qui contredit le fait que les couples (a, a') et (^, b') varient 
ind é pc ncla niment . 

Cela posé, la qnadrique représentée par l'éqiiation (5) contient 
le quadrilatère aba b' . Gela est bien d'accord avec le théorème de 
M. Humbert. 

7. Proposons-nous maintenant de trouver les oc- coniques du 
système (S). 

Elles sont représentées, comme toutes les quadriques du sys- 
tème (2), par des équations de la forme 

AA'-f-XBB'. 

Or une telle équation représente une quadrique qui contient 
les côtés du quadrilatère aba' b' ^ et qui ne peut se réduire à une 
conique que si le quadrilatère est plan. Réciproquement, si celle 
dernière condition est réalisée, l'équation représente bien une 
conique inscrite dans le quadrilatère aba'b' , 

Les coniques du svstème (S) sont donc les coniques inscrites 
dans les quadrilatères plans ayant leurs sommets opposés conju- 
gués sur (2). Un tel quadrilatère donne lieu à la relation 

{a) + {a')-^{b)-^{b') = o 

ou (a) -\- (^b) = demi-période. Autrement dit, la droite a6 est une 
génératrice de l'un des quatre cônes contenant G. 

Ges quatre cônes correspondent respectivement aux demi- 
périodes o, CO,, CJo, W3. 

En désignant leurs sommets respectifs par So, 81,82,83,00 
parvient aisément au résultat suivant : 

Tout plan passant par la droite 808, ? encontre G en 
quatre points qui forment deux couples de points conjuij^ués 



— 28 — 

(<7, a') et (h^ b'). Une premier c série de coniques du système (S) 
est constituée par les diverses coniques inscrites dans les qua- 
drilatères tels que aha'h' . 

On obtient une seconde série de coniques du système (I) en 
remplaçant dans l'énoncé précédent la droite SoS, par la 
droite S2S3. 

On a cdnsi toutes les coniques du système (iJ). On voit que 
les plans de ces coniques passent par V une ou V autre de deux 
droites fixes. 

8. Il est à remarquer que l'élude précédenle fait connaître 
l'extension à l'espace de propriétés bien connues des réseaux 
lan^cntiels de coniques, dans le plan. 

On sait qu'un tel réseau contient oc' coniques qui se réduisent 
à deux points, dont le lieu est une courbe du troisième ordre, la 
cayleyenne du réseau. Les deux points qui constituent une 
conique dégénérée sont conjugués sur la cajlejenne. 

Des faits analogues ne peuvent se ])résenler relativement à un 
système langentiel à trois paramètres de quadriques, que dans le 
cas des systèmes (2) dont j'ai montré l'existence. On peut dire 
(pie la biquadratique C est la cayleyenne du système (S). 

9. li y a lieu de signaler une particularisation métrique du 
système (S), que l'on obtient en suj)posant cpi'une des coniques 
de ce système se réduit à l'ombilicale. On voit alors aisément 
que C est la courbe commune à deux cylindres de révolution. 
Cette courbe possède un axe de symétrie, et deux points conju- 
gués sont symétriques par rapjiort à cet axe. 

Pour ne pas allonger outre mesure cette Noie je me contenterai 
d'énoncer les lésultats que l'on obtient dans ce cas remarquable. 

Soit {abca' b' c') un octaèdre, tel que ses sommets opposés 
soient symétriques par rapport à une droite D. // existe 
une infinité de quadriques de révolution inscrites dans cet 
octaèdre ('). Leurs foyers ont pour lieu une biquadratique G 



(') On peut dciiioiUrcr que Ton défniiL ainsi le réseau tangenticl le plus géné- 
ral, à part certains cas de dégcaércscencc, contenant une infinité de quadriques 
de révolution. 



_ 20 

(/ni coudent 1rs snnimcts de r octaèdre, et qui admet D poai- axe 
de symrlfic. Les deux foyers dUne (/uadrif/ue de revota lion 
inscrite dans l octaèdre sont syi)ièitri(/ues par l'apport et D. 

Les quadri(jiies inscrites dans Voctaèdre sont en nombre 
doublement in fini. L' ensemble des cjuadrirjues qui leur sont 
homofocales constitue un systètne linéaire tangentiel^ à trois 
paramètres, (ï), (jui contient une infinité de quadriques ré- 
duites à deux points : deux tels points sont sur G et symétriques 
par rapport et 1). 

Les diverses coniques du système (S) sont les focales des 
quadriques inscrites ci Voctaèdre, 

Le svsLcme (S), particularisé métriqueinciit comme je viens de 
le dire, se rallaclie à certains systèmes articulés. C'est ce que je 
ierai voir dans un prochain travail. 

10. Les résultats de cette Note |)cuvenl s'étendn; à l'espace à n 
dimensions. En répétant, mutatis mutandis^ le raisonnement du 
n** o, le lecteur établira sans peine le théorème suivant, que 
j'énonce, en me bornant [)ôur plus de simplicité au cas de l'espace 
à quatre dimensions; l'extension au cas général se fait d'elle- 
même. 

Considérons la courbe C de genre un et d^ ordre cinq, repré- 
sentée, dans ^espace ci cjuatre dimensiotis, par les équations 

X\ X=, T:x T<^ .r- 



j ]) a p a p a p it 

OLipu est la fonction de JJ'eicrstrass, de périodes aco, et ^li),- 
Deux points m et m' de cette courbe seront dits conjugués quand 
leurs arguments elliptiques diffèrent de la demi-période cj,. 

Cinq couples de points conjugués, sur la courbe C, déter- 
minent un système linéaire, tangentiel, ci trois paramètres, (S), 
de quadriques ('); le système S contient une infinité de cjua- 
dricjues réduites ci deux points ; les deux points constituant 
une telle quadrique dégénérée sont conjugués sur C. 



C) Il est l)i('n clair (|uc j'entends ici par quadrique la variclc rc|trcscnléc 
par réqualion liomo^ùnc du second degré f(x^, x.,^ x^, x^, x^) = o. 



— liO — 
On pcul encore dire, en emj)lovant le langage analytique : 

Considérons les six polynômes lioniogènes^ du second degré, 
à cinq variables y ^, y., y ^, y ^,, j-^, 

i*/ = (r«+ ,p i^iy-i-'- p' "/j3 -i- 3>" iHy\ -^ v" «/j5 ) 

(« = I, 2, ;i, 4, 5, G), 

oit les arguments ui sont des constantes cjuelconques : il existe 
entre ces six polynômes une relation linéaire et liomo gène. 



PROPRIÉTÉS D'UNE FONCTION HOLOMORPHE DANS UN CERCLE 
Oij ELLE NE PREND PAS LES VALEURS ZÉRO ET UN ('); 

Par M. PiEiir.E Boutroux. 

1. M. Landau a démontré le théorème suivant (-) qui se pré- 
sente comme une généralisation du ihéorème de M. Picard sur les 
fonctions entières : 

Soit une fonction entière 

F(a7) = a^-\- a^x -\- aix""' -V- . . . 

et soit «ot^o? ^ot^Ï) rt,^o. Il existe ww nombre R indépen- 
dant des coefficients 6f3, «4, ..., c'est-à-dire fonction de «0 et de a, 
seulement, tel que F (^) prenne sûrement l'une des valeurs oou i 
dans le cercle de rayon R ayant son centre à l'origine. 



(1) Les rcsulUiLs que je vyis exposer ont élé résumés chms une Noie présentée 
à rAcadémic des Sciences le 3i juillet 1905. A cette époque j'ignorais absolu- 
ment l'existence du Mémoire très important que M. le Professeur Schollk}' avait 
publié quelques mois plus tôt sur le théorème de A[. Picard {Sctzangsberic/ile 
d. k. pre assise h en AA. d. W., 27 octobre 1904), Mémcure qui contenait une 
série d'énoncés semblables à celui que j'ai obtenu. M. Landau vient d'être assez 
obligeant pour me signaler celle inadvertance. Je me décide néanmoins à publier 
ce travail tel qu'il est, quitte à revenir ultérieurement sur la même question en 
m'inspirant des beaux résultats de IVl. Schotlky. J'ajoute qu'une démonstration, 
extrêmement élégante et précise du principal théorème exposé ci-dessous a été 
récemment obtenue par M. C. Carathéodory ( voir Comptes rendus, 2G dé- 
cembre 1905. ) 

( - ) Landau, L'cber eine Verallgenicincrung des Picardschen Satzes (Sitzungs- 
berichtc d. A . preiissisc/ten Âk.d. If^, juillet 190'! ). 



- 31 — 

J'ai (U(î conduit (lo|^uis lors à quelques résullals d'un caraclèrc 
analo<:;iie que je vais hiirvcuient exposer. 
Ces résullals se résument coniine il suit : 

Considérons la fonction F(jc) dans un cercle G, ayant son 
centre à l'origine, oti elle est holoniorphe et dans ler/uel elle 
est supposée ne pas prendre les valeurs o et i . Soit M le mo- 
dule maximum que prend 1' (^) dans un cercle concentrique à 
C et de rayon XU, (). <^i), par exemple dans un cercle il! de 

3R 
rayon — • 

Le module maximum M est i]nfi':iiieuk a un nomuue i ixe J. qui 
IVE dépend que du coefficient «0* 

2. Soit la fonction 

(i) F(a^) = «0+ «1^" H- nç2-ï'- -+-. . . 

holoniorphe dans un cercle C de rayon R, ayant son centre à 
l'origine, et ne prenant dans ce cercle ni la valeur o, ni la valeur i. 
Dans le cercle C, logF(a^) estime lonclion holomorphequi ne prend 

pas les valeurs o, 2«Tr, 4'"^» De même Jog — ^^-^ =:r,(^^j 

est une fonction holomorphe qui ne prend dans C aucune des 
valeurs suivantes : 



(I) 



. . , ^•o,_2 = — 2 î TT, X"o,() = O, Uq^i = -.1 « TT, . . . . 

.., A-.> -.2 =log2— 2tTC, /r2,0 = log2, /r2,2 = l^g ^ -+" '^ ^* - , ••-, 

/i"3-2 = l0g3 — 2t7r, Â-3,o = Iog3, /.•3,2 = l0g3 + 2i-, ..., 

De F, (jc) on pourrait passer à la fonction log '^ !_ — et ainsi 

de suite. Je m'arrêterai pour l'instant à la fonction F,(j;) que 
j'étudierai en place de F(^). 

3. Lemme I. — Soit une fonction entière 

cp(a7) = i-i-aj^r -h o^-z x- -h . . . . 
Posons 

1^1 = /-, 0]1{r) = i -\- \oci\ r -i- \ oL-il r- ~ . . . 



— 'A± — 

cl appelons A(;) /a plus f:^rai\d(i valeur posilive de la partie 
réelle de ^{x) pour |.z| = /-, A(r) étant assujetti à être ^ par 
exemple^ supérieur {^^)à lo. Quel que soit ;*, on a 

(2) OH(0r)<ioA(/-)logA(/-) pour 0^ i 



logA(/-) 



La dcmonstration de ce lemrne résulte d'une remarque due à 
M. Borel (2). Soit x = re^^ et soit P(/', to) la partie réelle de zi{x). 
On vérifie (juc 

^/•'"h//.| + '-^-7r< / (|P|4-P)t/to<4^.Af/'), 

et, par suite, que 

OrL(0/-j<i4-[4A(r)-i--^]Y^ <[4A(r)-f-3]IogA(r). 

On en déduit l'inégalité (2). Nous pouvons ajouter que l'inéga- 
lité subsiste si 0(0) au lieu d'être égal à i est assujetti seule- 
ment à avoir un module inférieur à 4~. 

4. Lemme 11. — Supposons que pour \x\<^V\.le module de 
cp(^) reste inférieur à un nombre donné X. Dans ces condi- 
tions, je dis que l'on a pour 

|a:|<XRf,---L-V X<i, 
l'inégalité 

(3 ) I n,nOo"^ I ^- | a,„+, a:'«+> | h- . . . < X^.l,, 

POURVU QUE m DÉPASSE UNE CERTAINE VALEUR CHOISIE DE TELLE 
MANIÈRE QUE 

(î) (^y >Iol0g.;l,. 

En cllet, supposons que l'inégalité (3) ne soil pas vérifiée. Alors 



(') Je n'.ii point clicxchc ù donner aux conslantcs numériques leur valeur 
minimum. Elles ne figurent ici que pour fixer les idées. 

(-) Voir BoRKL, Sur les zéros des fonctions entières {Acla math., t. XX). 
IVI. Landau a fait usaire d'un Icmme voisin. 



:{;{ — 



on îuira pour Il'= Iw i — ; ) rinriiallh'' 



I 



\oi,„\\\'"'-\ |a,„.M| ir'"-^iH-...>— cAo, 

cl Ton en conclura, (raprès le lemnic 1 et l'inégalllr (4), qnc l'on a 
en cerlalns points du cercle de rayon R 

l9(^)l>oAo, 
ce qui est contraire à nos hypothèses. 

5. Lemme 111. — Soie f{x) une fonction holonioiphe dans 
un cercle C de rayon K, et soit M(r) le module maximum de 
cette fonction pour \x\"^r. Je suppose (') que Von ait par 
exemple (' ) 

I<R<2, \\iX^\>io\ 

ON AURA, POUR UNE INFINITÉ DE VALEURS /'o DE /*, COMPRISES 

3R 7R , , 

ENTRE -y- ET ^> L INEGALITE 

M(/')<M2(/-o) POUR r</'o+ '° 



v/M(ro) 

On voit en effet immédiatement que, s'il n'en était pas ainsi, la 
fonction y*(c^^) deviendrait infinie dans le cercle C. 

D'ailleurs il existera pour |:27|^/'o <ies points x où l'on aura 



/'(5) 



M(;-„)-|/(o)| 



X 



En ces [)oints x on aura donc simultanément : 

yv(-)> M(/-o) -1/(0) 1 



^^^ ^: , -, 

M(Ia:l)< M2(/'o) pour \x—x\^ 



V^M(/-o) 



(') Les nombres -.y ^ peuvent naturellement être remplacés par des nombres 

quelconques inférieurs à i. 

xxxiv. 3 



u — 



avec 



} W 7 R 

— </'o< V 



M(/-o)£:M 



R 



G. Revenons mainlenanl à la (oncLion F,(x) du n" 2, cl 
appelons ]M,(/") son module maximum dans le cercle (l de 

rayon 11. Je vais monli'er (jue M ( ^;- ) ('sl inférieur à un nombre 

fixe qui ne dépend que de cio, c^est à-dire de F,(o). (On ob- 
tiendrait le même résultat si l'on remplaçait le coeflicient numé- 
rique ^ par un nombie quelconque inférieur à i.) 

Ij'unilé de longueur restant arbitraire, nous avons le droit de 
supposer [après avoir fait au besoin un cliangement de variable 
de la l'orme x' = l.x^ lequel n'alFectepas F, (o)] que 

I < R < 2. 
Nous admettions, d'aulre part, (juc 

et nous chercherons à étudier F, (./■) dans ces conditions. 

Soit^o un point de C où Ton ait les inégalités (5 ) du lemme Ilf. 
F,(^) est holomorphe dans un cercle T, de centre x^ et de ravon 
su [)é rieur à 






v/Mi(/-o) 
On a, dans ce cercle, 



avec 

(6) 



|^il> 



M,(/-o)-|F,('o)| 



Considérons dans le cercle Fi la fonction 

Gi(:r) = Fi(r) -- Â" = ^ -;- b^{x — ^o) +• • -, 

la constante /: étant l'un des éléments du Tableau I (n'^ J) que Ton 
choisira de telle manière (|uc 

■i-<\b\<\-. 



— :{:; — 

I\ir liypollitsc (i,(./) no s'annule pas dans le rerele F, el n'y 
|)ren(l pas nn ensemble de valeurs k'^j (pii (eoninie les clénienls 
du 'J'ahleau 1) soni deux à deux à un(; dislauee au plus «'j^alc à 27:. 
D'aulre part, le nuxlule maximum de G,(^)pour|JC — ^ol^pi 
est, d'après le lemme 111, inCérieurou éj;al à M; (/•„). Nous le dési- 
gnerons par ijL,, el le supposerons plus ^rand que lo. 

7. Considérons maiiilenanl la fonclion 

G2(^) = log-^^-t^ H- 7?^= c-h -7^(:r — ^)-l-...= c-hci(.r — Xo) -h..., 

la conslanle A' élan L encore choisie de lellc sorle que 27:< |c| <4^. 
Comme on a 

c = loc: —. V k' ?.7i < I 6 I < 4'?^, 

on aura (') évidemment 

La fonclion ^-i^x) est liolomorphe dans le cercle F,, ne s'y annule 
pas et n'y prend pas un ensemble de valeurs k\^j dont la dislance 
deux à deux est an plus égale à 27r. D'autre pari, dans le cercle F<, 
la plus grande valeur positive de la partie réelle de Go est com- 
prise entre log M^ — 2;: j et log ( ^ + 27û j ; elle est a fortiori 
inférieure à logjji, (puisque nous supposons |jl, >> 10). Il en résulte, 
d'après le lemme I, que, dans un cercle Fo concentrique à F, et de 
rayon 

la somme des modules des termes de G^ 

OlCsCl ^ I) = I c I -h I Ci(:p — ^0) 1 + I C'i^x — ^0)^ I -+-. . . 
est inférieui-e (' ) à 10 log|Ji, loglogpi, . 

(') Nous supposerons toujours que l'on considère la plus petite détermination 
du logarithme. 

(') De la fonction G^{x) on passerait par le même procédé à une fonction 
G, (a;), et ainsi de suite. La fonction G-{x) aurait un module maximum a- com- 
parable à log[x-_,, et la somme des modules de ses termes serait inférieure à 
iolog!x^_, loglog|x,._, dans un cercle l\ de rayon 

' ' ' ri' ; loglog;jL^ 



— 'M'y — 

Cela posé, il va nous élrc facile de moni rer (|iie l'on aboiilirail 
à \\x\Q^ contradicllon si l'on su[)posall (jiie u., satisfasse à l'inégalité 

(7) j-ii>c'l., 

où X est nn nombre fixe [fonction de F,(o)] (|iie nous allons 
déterminer. 

8. Nous supposerons que l'on ait déterminé le nombre positif ^lo 
de manière à satisfaire aux conditions suivantes : 

i" L'inégalité (7) entraîne 



>T. 



loglog{a,/ 8 
a" Si l'on a l'inégalité ('y), on a, a foriior'i, 

Mi(/'o)>/X. 
Nous supposerons que X soit assez grand pour que Ton ait 



3" Enfin, nous assujettirons as, à être supérieur à 10 et à satis- 
faire à la condition 

(9) V/^, >'2|F,((3)|. 

9. Cela posé, considérons la fonction G2(^). Nous savons que, 
dans un cercle To de centre x^ et de rayon supérieur à ' c,, la 

o 

somme Ollad-^l) <ies modules des termes de cette fonction est 
inférieure à lologjjL) loglogtJLi. Je vais montrer que nous serions 
en présence d' une contradiction si nous admettions que a, est 
supérieur au nombre positif X déterminé au n" 8. 

En efïét, nous avons vu que G2(^*) se développe, à 1 intérieur 
de r2? sous la forme 

c4 ?i(x — a^o)-^..., 



— ;{7 



|r, I c'Iaiil siinrricm* à -r^ y r/csl-à-dii-c, (l'ii|)i"ôs ( ()) ol(()), à 

Il I 1 t; 



M, 



2 Lro 4 T^ 



[m, = M,(/-o)1 



On en conclina (nic Ton n, |)our les points x' de Tj voisins du 
conlour do ce cercle, 

7pi ^L^. 



c)H2(l-r1)> 



8 . 



Or, on a 



P« — 



''o 



•^. .r„ ,71 



> U'o M 1 



\/Mi(/-o) 
On aura, dès lors, en verlu de l'inégalité (8) ; 



;)R2(|a7'i) > 



7V^M, 
1 6 X 4 u 



> 20l0g(ai loglogf^,. 



Or, par liypollièse, OII2 l'esle inférieur à lologu., loglogjji, dans 
le cercle f^ ; donc rinégalité (7) conduit à une contradiction. 



c. Q. F. D. 



10. Ainsi se trouve démontré le théorème que j'ai annoncé. 
Résumons, en effet, pour plus de clarté, les résultats acquis aux 
n"^ 6-9. Nous avons considéré la fonction F, (x) dans un cercle C 
de rayon R dans lequel, par hypothèse, elle ne prend aucune des 
valeurs kij du Tableau I, et nous avons appelé M,(/') le module 
maximum (pour |^|r=/') de F<(^) dans ce cercle. Nous avons 
ensuite supposé que Ton ait l'inégalité (7), laquelle résulte par 
a fortiori de l'inégalité 



(10) 



M, 



Ci) 



>> <!J%> , 



OÙ tlo est un nombre fixe qui ne dépend que de F, (o), et cette 
hypothèse nous a conduits à une contradiction. Nous en concluons 
que l'inégalité (10) ne saurait avoir lz( a. 

Revenant maintenant à la fonction F x) qui ne prend dans C 
ni la valeur o, ni la valeur i, et appelant VI (/•) son module maxi- 



— ;{8 ^ 

mil m pour \x\^_r, nous pouvons aflirmcr que /'o/? a 



M 



(t)<-- 



Jlo, étant un nombre qui ne dépend que de F (o), c^ est-à-dire 
du coefficient «o- 

H. De celte proposition on déduit immédiatement le théo- 
rème de M. J.andau. Considérons en effet la fonction 

(i) F(ir) = «0 + «1^7 + rt2<^^-+-- • -1 

les deux premiers coefficients étant iixes et les coeflicients suivants 
variables. D'après le lemme I, si R' est un nombre positif quel- 
conque, on aura en certains points de la circonférence de rayon 

R'fi-I- 



looM(IV) 

io|F(ir)lloglF(.r)l > 1 «d + ] a, | IV. 

On peut donc évidemment déterminer un nombre R, fonction 
des seuls coefficients «o et «,, tel que le module INI ( — j soit supé- 
rieur à tin,, par suite tel que F(jc) prenne sûrement Tune des 
valeurs o ou i dans le cercle de rayon R. 

Nous sommes d'ailleurs en mesure de varier l'énoncé du théo- 
rème en prenant pour coefficients fixes, outre «oi i'^ ou plusieurs 
coefficients de (i) autres que a\. Quels que soient les invariants 
choisis, il existera toujours un cercle ne dépendant que de ces 
invariants dans lequel F(j;) prendra sûrement l'une des va- 
leurs o, I . 

12. Une autre conséquence du résultat que nous avons établi 
sera la suivante, relative à la convergence du développement de 
F(a;) dans le cercle C. 

D'après le lemme 11^ si \ est un nombre inférieur à i, on peut 
déterminer un entier m tel que l'on ail pour 



loir-l. 



:{9 



riiu'g^nlité 



£ étant un n()inl)r(' ai hilraircmenl petit .issif^^rK; à l'avance. D'ail- 
leurs, ici comme plus liaul, on peut remplac(îr icicoefficient numé- 

3 
rique - par un nombre cpielconque inférieur à f. 

Kn d'autres 'einies, soit un cercle C de rayon 11 dans lequel la 
fonction liolomorplie F(.Z') ne prend pas les valeurs o et i, et 
soit G' un cercle concentrique à C avant pour rayon 

X'R( I — -. ;— ) (X'<i, 'Jloi fonction de a^ exclusivement). 

\ logo-Ui/ 

// existe un entier m, dépendant exclusivement du coeJfL- 
cient (7o, tel que l'on ait dans le cercle C V inégalité (12). — 
Quels que soient les coefficients a,, «o, ... la partie principale de 
la valeur de F(^) en un point quelconque de G' est déterminée 
par uu nombre de termes du développement (i) qui est au plus 
égal à /??, în étant fonction de a^ seulement. 

13. J'observe, en terminant, que le mode de démonstration 
employé plus haut conduit à une généralisation du théorème qui 
fait l'objet de cette Note. 

Tmaginons que, dans un cercle G, une fonction holomorpbe 
F(.2) ne prenne qu'un nombre fini y? de fois les valeurs o et i. On 

pourra déterminer à l'intérieur de G un cercle F de centre x^^ où 
F(.z) ne prendra aucune des valeurs du Tableau I et où Ton aura 
l'inégalité (6) : la limite inférieure du rayon de F sera d'ailleurs 
d'autant plus grande que p sera plus petit. On en conclura que 

M \—r) ^^^ nécessairement inférieur à un certain nombre A.^, 

fonction de a^ et de p exclusivement. 



— 40 — 

SUR L'HERPOLHODIE; 
Par ]\1. L. Lecornu. 

L'absence de points d'inflexion dans l'herpolliodie s'établit aisé- 
ment de la manière suivante : 

Soient A, H, C les moments d'inertie principaux du solide rela- 
tivement à son point fixe 0(A > B > C); A, la constante des forces 
vives; k, l'axe résultant des moments des rpiantités de mouvement. 
L'équation, par rapport aux directions principales, du cône décrit 
j)ar l'axe instantané est 

Le vecteur OE ajant pour composantes 

est normal au cône, pour la génératrice — > — > - coïncidant avec 

^ l D P Ç '' 

l'axe instantané. Cherchons la vitesse absolue de l'extrémité E de 
ce vecteur. La vitesse relative aux axes mobiles a pour projec- 
tion sur O^' 

A(A-2_A/i;^ = (7.2- A/t;(B-G)^/-. 

IjU vitesse d'entraînement a pour projection sur la même 
direction 

^v — /■;jL = [G(A2— GA) - B(A2— B/t)J^/-. 

La vitesse absolue a pour projection la somme des deux précé- 
dentes, c'est-à-dire 

(B — Gj(B-t-G — A)//^/-, 

Le vecteur OE est éj^alement normal au cône de sommet O 
contenant Iherpolliodie. Si celle-ci j)résenlait une inflexion, la 
direction de OE serait momentanément stationnaire et, par suite, 
la vitesse absolue de E aurait la direction de OE; d'où les rela- 



- il - 

Lions : 

(li_C)(B-l- C — A) ~ ("C — A)(C-l- A — B) ■" (A — B)(A-f-H — C)* 

Or on sait que ]] + C — A, A + B — C., A- — C/i sont posilifs, 
tandis que Â- — AAcst négatif. On arrive donc à une impossibi- 
lité, qui démontre la proposition. 

L'absence de rebroussements s'établit plus facilement encore. 
Pour qu'il y ait rebroussement il faut cjue la vitesse angulaire 
de OE soit infinie : car, en excluant le cas particulier où la rota- 
tion s'efTecluc autour d'un axe principal et où l'herpolbodie se 
réduit, comme l'on sait, à un point, le chemin élémentaire par- 
couru par le pôle sur cette courbe est toujours du même ordre 
que dt. Comme la vitesse de E est finie, il faut que OE soit nul; 
d'où 

(Â2 — AA)/7 = o, (/v2— BA)^=o, (A-2— C/t)r = o. 

Deux au moins des binômes k^ — A/i, k- — B/i, /c^ — CA étant 
différents de zéro, il faut que deux des composantes/?, ^, /' de la 
rotation soient nulles, c'est-à-dire que, contrairement à l'hypo- 
thèse, la rotation s'effectue autour de l'une des directions princi- 
pales. La conclusion est que, pour une herpolhodie non réduite 
à un point, il ne peut j avoir de rebroussements. 



NOTE AU SUJET DU VALET DE MENUISIER; 
l^ar M. le Comte de Sparre. 

M. Painlevé avait signalé un certain nombre de problèmes où 
les lois du frottement de glissement semblent à première vue 
conduire à une impossibilité ou à une indétermination. 

Toutefois, M. Lecornu a montré dans deux communications 
des 6 et 27 mars iQoS, à l'Académie des Sciences, que cette im- 
possibilité disparaît si l'on admet (|ue, lorsque deux corps en 
mousemciil sont mis eu contact, le coclficicnl de frottement 



- 4^2 - 

prend la valeur limile lelalivo au monvement, à moins fju'll 
n'exisle une valeur plus pelile de ce coefncienl de froUeinenl (|im 
rende certaines des réaclions infinies, auquel cas il se produit 
des percussions entraînant un archoulement dynamique, enlière- 
nient semblable aux arcboulements statiques depuis lonj^tcmps 
connus. 

J'ai eu également occasion de revenir sur celte question dans 
nne communication du 3i juillet 1900 et de montrer que rir)dé- 
termination disparaît, aussi bien que l'impossibilité', si l'on lient 
compte du mouvement antérieur qui a produit les conditions 
initiales. 

Je me propose dans celte petite Note de revenir, en quelques 
mots, sur la théorie d'un appareil bien connu, le valet de menui- 
sier, qui présente ce phénomène remarquable de pouvoir pré- 
senter soit l'arcboutement statique seul, soit en même temps 
Tarcboulement statique et l'arcboutement dynamique; de plus, 
cet appareil se prêterait facilement à des expériences sur la ques- 
tion, si l'on jugeait utile d'en organiser. 



Fig. I. 




Soient EBKALCDF l'élabli, MOA le valet et G son centre de 
gravité. Désignons de plus par : 

P son poids; 

m sa masse; 

a l'inclinaison de la partie rectiligne sur la verticale: 

r le diamètre de cette partie rectiligne: 



- a:\ - 

(^ la loictî vrrll(;al(î cl (liri<;i;c de l)as on liaiil, appllcjuéo en A à la 

pince; 
N et N, les coniposanlcs normales au valeL des réaclions rpn 

s'exen;cnt en B el (]., 
(f^ 0, 0, cl / les (lislances du ecnlre de gravité du valet à sa partie 

rcctiligne ainsi qu'à N, N, et ()\ 
h l'épaisseur de l'élabli; 
/ le coefficient de frottement. 

Supposons d'abord que le valet puisse prendre nn déplacement 
rectiligne parallèle à sa partie rectiligne dans le sens ascendant. 

Si l'on considère un axe Gx parallèle d cette direction, on aura, 
pour les é(pialions du mouvement, 

mx" = Q cosa — (N -+- Ni )/ — V cosa, 
(i) / N + Qsinof — Ni — Psina = o, 

Nô-f Nioi— Q/ — N/(«-t-e)— N,/a = o; 



d'aill 



eurs 



-. r. h ^ 

(9.) 4-01= h e lanfra. 

cosa 

On tire des deux dernières équations (1) ! 

, N[o + 01 -('2^4-6)/] = Q/— (Q-P)($,_,r/)sina, 

(3) ! Ni[o + o,-(2a-r-e)/J =Q/-+-(Q— P)[o-(a-l-ej/]sina, 

( (N + Ni)[o-f-o, — (2« + e)/J = 2Q/-(Q — P)(oi— o + e/)sina. 

De plus, pour que ces équations soient applicables, il faut que 
les valeurs de N et de N, soient positives, puisque les réactions 
en B et G ne peuvent s'exercer que dans un sens. 

On doit supposer la force Q très considérable, par rapport au 
poids P du valet ('). Nous supposerons donc cette force assez 
grande pour que l'on puisse négliger P devanl elle et, de plus, 
ainsi que cela a lieu en réalité, l'angle a assez petit pour que l'on 
puisse négliger les termes qui le contiennent en facteur, devant 
ceux qui en sont indépendants. 



(') On réalise cette condition dans la pratique en ussujcttissanl le valet au 
ino}CM d'un coup fie maillet applique sur sa tète. 



— ii — 
Dans CCS CondiLions les écjualions (i), (i>.) cl (.j) doniiciiL 

ô -h Oi = /i, 

Ql 



(4) N = N 



h ~ {2a -h e)f 



... „ .. 9.QI/ h — {'>J-\-ia-\-e)f 

(^) mx = ( ) — -7— -^-^ ;: = Q -, zr-^ • 

' ^ h — (:ia^e )f ^ h — {'?.a-^e)f 

Clierclioiis (ral)ord la condition d'archoulcnienL staliqnc; pour 
cela, il faut que l'on [)nisse salisfaire à l'équalion obtenue en fai- 
sant x" z=z dans (5) par une valeur f de f plus petite que celle 
qui correspond au mouvement, c'est-à-dire qu'il faut que l'on ait 

la condition de rarchoulenient slatique est donc 



la 



condition à laquelle on j)Ourra toujours facilement satisfaire en 
prenant / assez grand. 

Toutefois cette condition (6), nécessaire et suffisante pour qu'il 
y ait arcboulement statique, n'est pas suffisante [)our qu'il j ait 
arcboutement dynamique. Si, en effet, on a 

, ^ h h 

^ -Àa -h e 'il -\- 'la -T- e 

le mouvement ne pourra pas se produire à partir du re|)os, 
quelque grande que soit la force Q, puisqu'il y a arcboutement 
statique; mais imprimons au valet une vitesse parallèle à Gx (') : 
le mouvement se continuera. Ce mouvement sera un mouvement 
uniformément retardé, si nous supposons Q constant, puisque la 
valeur de œ" est constante et négative; une fois la vitesse du valet 
devenue nulle, il restera indéfiniment au repos, quelque grande 



(') Condition toujours facile à réaliser, car il suffit pour cola de ne pas appli- 
quer au début la force Q et de faire glisser le valet parallèlement à MO, en l'ap- 
puyant en B, mais sans qu'il touche le point C, tout en en étant très voisin, et 
d'appliquer ensuite la force Q en A., lorsque le valet a pris la vitesse voulue, 
parallèle à Gx. 



— Ary - 

(jiie soil la Ibice (}, jiniscuic nous sominos alois dans le cas de 
rarchoiilenu'nl slali(|iM'. 

On rcinarcjiKMa (railleurs (|iie les valeurs de l\ <!l de N, doutiées 
par (4) sont |)Osilives, eondilioii iiidispensable pour (pie les for- 
mules soient applicables. 

Supposons mainlenanl (' ) 

(8) /> 

Si, dans ce cas, on applicpiail lelles quelles les formules (4) et (5) 
on aurait un résultat évidemment absurde et même doublement 
absurde, à savoir que, quelque grande que soit la force Q qui 
tend à faire tourner le valet de droite à gauche, autour de son 
centre de gravité, les léactions N et N, tendraient à le faire 
tourner dans le même sens, et ensuite que le mouvement, qui 
était retardé, pour une valeur de y satisfaisant aux conditions (7), 
deviendrait accéléré dans le cas actuel où /est [)l us grand, jc" étant 
alors positif. 

INlais, ainsi que l'a fait remarcpier M. Lecornu, cette impossi- 
bilité apparente tient simplement à ce qu'il y a alors arcbou- 
lement dynamique; en effet, lorsque après avoir fait prendre au 
valet une vitesse déterminée parallèlement à Gx on fait intervenir 
la force Q, les réactions N et N, croissent au delà de toute limite 
puisque la valeur du coeflicient de frottement 



•2 a 



qui les rend l'une et l'autre infinies, est plus petite que celle de ce 
coefficient qui correspond au mouvement. 

On peut d'ailleurs facilement vérifier que, dans le cas actuel, le 
frottement peut produire une percussion capable d'arrêter le valet. 

Soient en effet H et H| les composantes normales au valet des 
percussions qui se produisent en B et C au moment de l'introduc- 
tion de la force Q; les composantes tangentielles seront H/' 



(') Nous nous supposons toujours dans le cas où l'on peut négligea P devant Q, 
el aussi les termes qui contiennent a en facteur devant ceux qui ci\ sont indé- 
pendants. 



— /tG — 
el IIi/'j f étant assujelli à la seule condilion 

Si l'on applique alors le théorème de d'Aleniberl pour les forces 
de percussion, v désignant la vitesse de translation du valet au 
moment où la percussion se [)roduil (la vitesse finale étant par 
hypothèse nulle), on aura 



(9) 

d'où Ton déduit 

(10) 

où, comme H |> o, 



mP-II/-H,/'=o, 

II — lI, = o, 

Ho -4- II,o,_ II/'(a -^e) — WJ' a = o, 



II = II 



II[o 



Oi — (/ia-]-e)f'] = o, 



/' = 



<^\ 



'2 a 



c'csl-à-dirc, si l'on piend cosa= i, 



À a 



Donc la condition pour qu'il y ait aicboutement dynamique est 

1 a -+■ e 

On voit donc que, suivant ses dimensions et sa construction, le 
valet de menuisier peut présenter ou simplement l'arcboutement 
statique ou à la fois l'arcboutement statique et l'arboutement dyna- 
mique. 

On pourrait toutefois faire à ce qui précède l'objection sui- 
vante : 

Nous pouvons supposer que l'on ait fait prendre au valet une 
vitesse initiale déterminée parallèle à Çtx en lui appliquant pen- 
dant un temps voulu une force de direction et d'intensité conve- 
nables, le valet pendant celte période touchant Vétabll seulement 
en B mais étant infiniment voisin du point G, sans toutefois tou- 
cher ce point. Pendant cette période, la rc'aclion en G est nulle, et 



— 47 - 
la iciiclioM ni I) a pour romposanlc, suivaiil la normale au valet, 

N — F cosY — !* bin a, 

I^' élanl la force (jui sollicili; le val(îl pendant celle période (;t y 

son an^le avec JN, et pour eoniposanle tan<;entielle M/, f étant la 

valeur du coef(ici(Mit d(* IVottenient pour le mouvement. 

Au nu)ment où la force () inUîrvient il faul, pour (pie la [)er- 

cussion se produise, (jue le coelïicient de frottement [)rennc une 

valeur 

/' 

/' r= < f 

si nous nous sup[)osons dans le cas de l'arebontement dynamique; 
or il peut paraîtie anormal de supposer cpie l'intervention de la 
force Q fasse diminuer la valeur du coefficient de frottement en B. 
Toutefois, bien que cette objection soit spécieuse, il est facile d'j 
répondre. 

En ellet, le coefficient de frottement est le rap|)ort entre la com- 
posante tangentielle et la composante normale de la réaction; ce 
rapport est sensiblement constant, en vertu des lois de Coulomb, 
une fois que le mouvement est établi. Mais il n'en est pas de même 
pendant la période d'établissement du mouvement, ou an moment 
d'une variation brusque des forces qui entrent en jeu. 

Le frottement en effet est dû, pour la majeure partie au moins, 
à la déformation des surfaces en contact, déformation qui est le 
résultat de l'action de forces en présence. 

Si, par suite, la réaction normale éprouve une augmentation 
brusque, la déformation correspondante sera sans doute très 
rapide, mais elle exigera cependant un temps fini et, par suite, 
l'augmentation de la réaction tangentielle sera un peu en retard 
sur celle de la composante normale. Le coefficient de frottement 
qui est, comme nous l'avons rappelé, le rapport de la composante 
tangentielle à la com])osante normale, commencera donc par dé- 
croître, pendant un temps très court, pour reprendre ensuite sa 
valeur y relative au mouvement, à moins qu'il n'existe une valeur 
plus petite f rendant la réaction infinie, et c'est précisément ce 
qui a lieu dans le cas actuel. 



4JS — 



SUR LES CARACTÉRISTIQUES DES SYSTÈMES 
AUX DÉRIVÉES PARTIELLES; 

Par M. ïlADAMARn. 

Beiidon (') est parvenu à éLendre au cas d'une équation aux 
dérivées partielles, à un nombre quelconqnc de vaiiables indépen- 
dantes, la notion de caractéristique. 

J'ai pu obtenir le même résultat (^) relativement aux systèmes 
de /; équations à p fonctions inconnues qui satisfont à la condition 
postulée par Cauclij et JM'"^' Kovvalewski dans la démonstration de 
leur célèbre théorème fondamental, c'est-à-dire qui sont résolubles 
par rapport aux dérivées d'ordre le plus élevé des inconnues rela- 
tivement à une même variable indépendante. 

Mais on sait aujourd'hui que le cas où la condition précédente 
peut être réalisée est loin d'êtie entièrement général. M. Bour- 
let (^) a indiqué des systèmes qui, par aucun changement de 
variables indépendantes, ne peuvent être ramenés à la forme de 
M"'^ Kowalevvski. 

Il est à remarquer qu'on n'a point besoin de recourir à des sys- 
tèmes lormés ad hoc j)our rencontrer cette circonstance singu- 
lière : elle se présente dans l'un des plus connus et des plus im- 
portants que la Géométrie moderne ait eu à considérer : je veux 
parler des équations de la déformation des sur/aces 



1 



S)'*(S)'-"->. 



du 



, ôx ôx dy dy ùz âz ^ , 



(^v-mvr^y=G(«,.). 



âa âv du âw au âv 
Il est visible que de telles équations ne sont pas résolubles par 



(') Ce Bulletin, année 1897, p. 108-120. 

(^) Leçons sur la propagation des ondes, Chap. VII, 

(^) Thèse {Annales de l'École normale supérieure, suppl., 1891). 



- A\) - 

. ôx ôy ()z ... . . ^ • 1 . 111 

rai)i)orl a -— » -f- y -r- ; f*l •• csl non moins cvidonl (iii cll(;s ne sau- 
' * Ou ou Ou ' 

raient le devenir |)ar nn chanf^ernent de varial)Ie.s indépendantes, 
puisque ce clian*^cnH'nt n'altère (pie la forme des seconds membres 
et non celle des premiers. 

MM. Méray et Hitpiier d'une pari, M. Delassus de l'autre, ont 
appris à Irouver les conditions d'existence des inlégrales, non 
seulement pour les systèmes dont je viens de parler, mais aussi 
pour ceux où le nombre des inconnues n'est pas égal à celui des 
équations. En reprenant leurs travaux pour y étudier de plus près 
l'inlluence des changements de variables, on parviendrait évidem- 
ment à une tliéorie entièrement générale des caractéristiques. 

Beudon a fait un premier pas dans cetle voie ('), en ce qui 
regarde les systèmes de plusieurs équations à une seule fonction 
inconnue. 

Nous resterons, au contraire, dans l'hypothèse où le nombre 
des équahons et celui des inconnues sont égaux entre eux, el 
donnerons quelques indications sur la manière dont interviennent 
les caractéristiques dans celte hypothèse. 

Soit, par exemple, avec les notations de l'Ouvrage cité (-), le 
système de trois équations de second ordre 



f V " , V 



b'ikqnc -^^j^"ik f'i/i + i" = '^ 



aux trois fonctions inconnues u, i', iv et linéaires par rapport aux 
dérivées secondes (•"'). Les variables indépendantes sont or^, 

X'2f • • • î ^/i • 

Si l'on se donne les valeurs de u, v^ w et de leurs dérivées pre- 
mières sur la multiplicité 

(3) Xu = /{xuCCi, ...,Xn-i), 



(') Annales de l'École normale supérieure, 1896. 

(^) Leçons sur la propaf;ation des ondes, Cl»ap. VU, § I. 

(^) On sait que celle hypoilirse ne reslreinl pas la géiiùialité. 

XXXIV. 



k 



- m - 

les (J<'rivécs secondes p„fn ^Inm ''un ^<>'>' f<)urni<;s piir l(;s ('(jiia- 
lioiis (') 

( >^Pnn -^ ^^fjnn "^ G/',,,, — K r^ O, 
(4) ' ^' I>nn — ^>' </nn-. ^- t'nn '~ K' — (), 

avec 

'H 



A.-y..//..p/P/ 



^^-è <^-''^^ 



, n — I ), 



P. = - • 



et des expressions analoj^nes pour B, — 

Lorsque le syslèine donné est susceptible d'être mis sous la 
forme de M'"*' Kowalewski, la condition pour que la multiplicité (o) 
soit caractéristique est donnée par l'équation aux dérivées [)ar- 
tielles du j)renner ordre 



(.^) 



H 



A P> C 

A' B' G' 
A" B" G" 



Si elle est vérifiée, saris que tous les mineurs de H soient nuls, 
les équations (4) (si elles sont compatibles) ne déterminent plus 
entièremenl p„in ^Jim-, J^im • <^t'S quantités dépendent encore d'un 
paramètre inconnu p. Mais la considération des dérivées troisièmes 
montre que ce paramètre doit vérifier, sur la mullij)Iicilé (3), 
l'c'quation aux dérivées pai'tiellcs du premier ordie 



(^^) 






qui lie entre elles les valeurs de p sur cliacune des lignes [bicarac- 
téristiques) définies parles équations dinérentielles 



d.Ty 



d.r=) 






Moyennant celle écpialion (6), les dérivées troisièmes deviennenl 
à leur tour indéterminées et dépendent, à leur tour, d'un para- 



(') Loc. ci/., j). •?.--;. 



- :ii — 

mrlic ai hiliairc o,, nssiij(!lli à rcMjdalion (linV-roiilicllo 

M - 1 

.4^ (t.f, (i\ , 

cl ainsi (l(î siiilc. 

IN csl (en général) (juadralifuic en p. Mais N, esl linéaire en pi 
el, de même, les ('(jiialions anaioj^iies servant à calcnl(M' les déri- 
vées snivanles sont linéaires par rapport aux inconruKîs qn'elles 
doivent déterminer. De plus, le coefiicient de ces inconnues est 
ciia(jue fois le même, savoir 

Jp' 

Ce\i\ ()osé, passons aux. svstèmes qui ne peuvent pas être mis 
sous la forme de M'"^ Kovvalevvski. 

Ces systèmes sont caractérisés par celte circonstance que 
r équation H = o est une identité. 

S'il en est ainsi, sur chaque multiplicité (3), les équations (4) 
forment un système indéterminé : leur solution dépend (en 
général) d'un paramètre o, qui satisfait encore à l'équation (6). 
Mais ici cette équation est une équation en termes finis, savoir 
une équation quadratique ]N = o. 

Cette équation, une fois résolue, l'équation en p,, savoir l'équa- 
tion (6'), ainsi que toutes les équations analogues suivantes, sont 
également en termes finis et même du premier degré. 

En un mot, ici, comme dans le cas où H n'était pas identique- 
ment nul, les dérivées successives des inconnues sont déterminées 
d'une manière parfaitement univoque. 

La condition pour qu'il n'en soit plus ainsi est 

¥ = "• 

autrement dit qiie l'équation ]N = o ait une racine double. 
O est cette condition cjui définit les caractéristiques. 

Il resterait, bien entendu, à rechercher (en la supposant vcri- 
fiée) ce cpi'on doit entendre par bicaractéristiques. 



_ r;-> — 



Si, par exemple, on a[)pliqiie ceci aux sjslèines (i), on trouve 
que les caracléristicjues de ce système ne sont autres que les lignes 
asymplotiques des surfaces correspondantes. 

C'est bien le résultat que l'on obtient dans l'étude du problème 
de la déformation, mais cet énoncé n'avait jusqu'ici de sens que 
grâce à la réduction du système à une équation unique. 



SUR UNE FORMULE GÉNÉRALE D'INTERPOLATION; 
Par M. l^OTROiv. 

\. M. Borel a démontré (') le théorème suivant : 

Soie ^p,q{^) (p Gt q étant deux nombres entiers et p = q) une 
fonction égale à o pour o^x^- — 



et pour ~ Sj;1i 



= • 7 



à qx — /> H- I poui 



. P 



< 



< ^ 



X ::i —y à — q X -^ p -\- \ pour 



E<^<P. 



; soit Pp^q(x) un polynôme tel que ron ait, entre o 

7 7 

e/ 1, I (Dp^q(x) — Pp^q(x) I < — ;; si /(x) désigne une fonction 



définie et continue entre o et i ; si e^ est un nombre tel que 
P inégalité \x^ — ^2 | <C - entraine partout, entre o et i^ 
\f{Xi ) — f{^'i) I < ^y ? ^'* ^ toujours^ entre o et i^ 



^^0 



(x\ 






M étant la limite supérieure de f{x) entre o et i .3e me propose 
de donner une expression générale des polynômes Pp^q(x). 

2. L'équation de la ligne brisée JK = '^p,q{^) peut, d'après une 



(') fierons sur les fondions de variables réelles, Cliap. IV, p. 8î. 



- :v.\ — 

fonmih^ (le IVl. S. Bcrnslciii ('), s'c(;rir(î 



/i=0 



h\ 
ce \, 

7 1 



[?.,7(^) +?/^7(^') -^^?...(;^-)] 



A/,- 



A,=:- 



'7 

7-! 



h = 



\,j.,...,q — i 



^?/^7(o) + 7?/^7(^^ j -(7-0?p,y(0j 



En appliquant ces formules et remarquant que 

h\ { o, si h ^ p, 



^P,'! 



( I, si h =z p^ 



on trouve 



Oo,<f(^)=— 1^1 + 



X I + -|.r — 1 I, 



?/',7(-^) = 



X — 



p-l 



T 



?7,7^-^) = rl-^ I 



37 



-7 



P 



X 



/?H-I 



' /? == 1 , 2, 



q - I 



r/-i 



37 I 



Si je remplace chacune des expressions 
nome U/((a:) tel que l'on ait, entte o et i, 



k 

X 

7 



par un polj- 



n/,(r)- 



X — 



< 



iq' 



les expressions obtenues seront les polynômes P/),7(^) cherchés, 
car l'erreur commise sur chaque second membre sera toujours en 
valeur absolue <; — r* On aura donc 



Pf/,gr — —Do H- — n^_i 



q—\ 



n^. 



(') Bulletin de la Société mathématique de France, L XXXIII, 190.3, p. 33. 
XXXIV. 4' 



34 - 



3. Pour déterminer Uh{ûc) je pose, suivant une remarque de 
M. Lebesgue (< ), 



/ ^'\' ^1 . // /''\' / 

Comme ^ et - sont compris entre o et i, il en est de même 
de i-f-^, et par suite z est compris entre o et — i. J'ai donc 
pour \/i -\- z le développement en série 

\ I „ 1.3 „ , i.3...(-2/z — 3) ^ , 

l-i- -Z -Z^-^ — r23-...-i-(— I)«+1 y ^ Z'^ -^nn{z) 

2 2.4 2.4.6 2 . 4 ... 2 Al 

convergente pour z = — i et, par suite, absolument et uniformé- 
ment convergente pour — i ^ ^ ^ i . Il est aisé de trouver une limite 
supérieure de | K,i{z') |. J'ai, en effet, 

h = aa 

|R«(-3)|^ 2 "^" 

en posant 

i.3...(2A-3) /_ I 

U/i = ; -, A ^ 2, Mo = I , u 



1.4. . .1 h \ 2 

Je vais chercher deux entiers a et jB >• a tels que, à partir d'un 
certain rang, on ait 

Le terme de plus haut degré en h est -(3a — 2Ji)A^~'. Si 

donc - "> -> l'inégalité cesse d'avoir lieu à partir d'un certain 
a 2 ^ ^ 

rang. Si a =2, p =: 3, le premier membre devient -{?>h — 1); 

4 

l'inégalité est donc vérifiée pour /i ^ i . Or, «0= 7^' donc, 
pour Ji'^ 1^ on a 

(2/0-^ 

(') Bulletin des Sciences mathématiques, 1898, p. 278. 

(-) Ce résultat peut encore s'établir au moyen de la formule de Stirling 



1 _0_ 
n ! = v -^ '^ ^ '^ 2 ei2 « , o < 9 < I ; 



un 



- S5 - 
Je dis maintenant que 

Il -=.00 

•V D / \ i.3...(>,n — i) 

/j = /n- 1 

Ce tlicorcmc est d'abord vrai pour n^=\. Kn cfT'cl, si j(; fais 



on a, en c(Tct, 

I ( 2 /i — 2 ) ! 

M. = 



'■ -j/i 22'-2[(/t_i)!]-^ 

Rcnnplaçant le numérateur et le dénominateur par leurs limites supérieure et 
inférieure données par la formule de Stirling, on trouve, après simplification, 



"fc < — — -= ~ Vj, 

2 y/ï: h \/h — i 

Posons 
il vient 






2 ^it y I — t 2 y/ir 
Lorsque ^ tend vers o par valeurs constamment décroissantes à partir de i, 

â T 

T tend vers i par valeurs constamment décroissantes, donc A^ t'/, tend vers — zz 

2 V^lt 

par valeurs constamment décroissantes. Ainsi, T„ désignant la valeur de T 
pour h = n, on a, pour h > n, 

1 1 T 

,2 - •> ^ • 



h^ Uj^ < h^ V,, < 



On a, par exemple, 

T2=2^/^ 

En intervertissant les limites, on trouve de même 

I 



Wfc > 



2\pKh^h — I e6 [Il -1) 



, I 
et, en posant li ~ -> 



^11 T' 

2 Jt. , 2 i/i: 

I _ 5 
La dérivée de ^p a le signe de t :• Donc, lorsque t tend vers o par valeurs 

constamment décroissantes à partir de -> ï' tend vers i par valeurs constamment 



— 56 — 
tendre z vers — i dans le développement (a!)solnnient et iinilor- 
mément convergent pour — i £ s£ i) de la fonction continue \J \-\-z^ 
j'obtiens, à la limite, 

A = 00 



O = I — ^ M/i, 



d'où, comme Mo = i , je conclus 
alors 

T 



Ri == ■?. — {uq-{- ui) = 



2 



Si maintenant la formule est vraie pour R,/, on a 

l^n-^\ — — ', 

1 ri -\- -1 •}. Il ^ 1 

or 

R„+l = Kn — Un+\ = ■ = ( 2 /l + J) Un-^\ ( ^ ). 

';>, n -f- 2 
décroissantes. On a donc, pour h ^ i, 



et, par suite, pour h> n^i^ 



h^u, 


>/r 


<> 


n» 

2 s/tz 


1 

2 sJtz 


<h^ 


Uh< 


2 \/ïz 



(^) On peut encore écrire 



^ _ (2/ï)! _ {2n)\ 



Or TTTjyf' nombre des combinaisons de 2/1 objets n à n, est entier, donc la 



" (2.4. ..2/1)- 22"(n!)^ 

(2n) ! 

fraction irréductible égale à R„ a />om/' dénominateur une puissance de 2. 
Comme w„ = H„.|— n„, «/ en e5^ c?e même pour w„. En procédant de proche en 
proche, on voit qu'en général, si l'on pose 



_l.'^...{2p — 1). I .3. , .( 2/1 — 2/? — i) f ri.-\-\ 

^"'P~ 2 . 4 ... 2 /i 



(P < ^^ ' "„ ,0 = R,. »«„,! = «„ j , 



o/i a 



^n,p ^'n-I,p-l "„jP_ii 



ei que la fraction irréductible égale à u„ a pour dénominateur une puis- 



— :i7 — 

Je conclus de là 

l*oiir avoir \\n< - , il suffil (lotie, de prcMidrc -^ -.^ — "^ — -• 

Soit // = ar/P (a et jS enlicis, [i ^ (jj, il faiil 

Pour que celle inégalité ait lieu pour toute valeur de </, il faut 
que le terme de plus haut degré en q ail son coefficient positif, ce 
qui exige d'abord 

3p^-2p + () ou p^f), 

puis, en supposant jîi = 6, 

9. a' — f\rL^^o ou a ^2. 

Comme d'ailleurs — — ^peut s'écrire ^ — -> en faisant 

h= ^q^^ cette expression devient 

27-* 87-' 

On a donc bien une solution de l'inégalité en prenant 11 = iq^ . 
Ainsi, on peut toujours prendre pour W^i^x) V expression 



1 -4- 



h = t 

de degré f\q^' en x. Ordonnons-la par rapport à x. 

sancc de ■).. On voit aussi que 

\^ ■}. n — > n -+- I 

Pour les grandes valeurs de n, //„ est donc de l'ordre de 



— oS — 
I. On a, en supposant d'abord / (A" — y ) ^ o, 

[('-»'-']*^['-î"(?-)]"=24M-^'^/C^--'r 






( a -+- (i -^ Y = /i ) 

ce que l'on peut écrire 

/, l (_ , )//- a ^ .^. /- ^^ fi / /^ '^ h -y -[i 

Le coefficient de ^5^ dans cette; expression s'obtient en réunis- 
sarït les termes correspondants aux systèmes (a, j3) de solutions 
entières et positives de 

•2 a H- p = [ji. a -^ ^"^ h. 

On voit aisément que ces solutiorjs n'existent que pour 

( '2 h si tJL est pair, a i 

( 'À/i ^ I SI [Ji est impau-, '^ m 

Je les désignerai par (a^^^i^, ji/^ p.). Le ( oefficient de x^ dans nA(jr) 
est donc, si jjl >> o, 

C^,j,= y/i\a/, >, (-1 a+1 ^5 ~ ~ ^— I 



h = l.^ a/, jx, [5/, IX 

ou bien en désignant simplement par a^;., pjj, deux entiers positifs, 
solutions de 2a + [^ == [^ (o^[a^ 4^^) 



(_,)'A.+ 1(— V^'^ /'-2^« 



a.x.P;x ' " /' = aix-^,3jx 

On peut encore écrire 

a^,[lx //:=a;x+P:x 

On a d'ailleurs directement 

li — lq 



(3) ^0,,.= !- 2 (-0^ ''^a('4-') 



- 59 - 

On pt'iif (ihn's ('nirc , </U('l (jnc soit u.. 






r/3Cjx f {lu (;„ /^. 









et r('H)(ir</U('r (/ne (i,,^, se contjtosc des .''«y" ; i pic mit' rs termes 
(lu (lé\'el()pj>eiuent de ' fxn- idppnrl «(tu: puissances eroissnntes 

(le I 



Si A =r^ (), on 

!(A — a^! 






l^e (xxîKîi'.leiU, (le ^H- dans W^^i^x) est donc o si u, est Impair, el, 
SI iJL est pair cl ^ o, 



^ (^)'(''-^] 



on bien 

On a d'ailleurs directement 

(">) Go,„ = I — 2^ ^^'' *^'^- 

On voit que Co^o -^^ compose des icj^-\-\ premiers termes du 
développement de (i + z)'' oit l'on fait ^ = — i et que G(j.,o <^'-^^ 

( ' ) On a (iéjà vu (}iie 

A := 00 






Donc 



Arrl 



(10 — 



le quotient par - 1 de la I '- l dérivée de celle expression, 
pour z = — I . On peut faire rentrer ce résultat claus les formules (:>.) 

et (o) en v laisant Pj/,= <> et remplaçant — tt— j — [)ar 

Si k r^ ^, on a 



a=:0 



Pour avoir le coefficient de x^ dans Wq[x)^ remarquons qu'un 
terme de rang k de ^q{x) fournit un terme en x^ toujours et seu- 
lement si 

9. /t, si \i est pair, 

'}.Ji - I , si \k est impair, 



/l£fJL 



en sorte qne, si a ^ o. 



li = ln 



{[x — U)\{-}.k— |x) 



(si tJL >> ?.<7*^, la limilc supérieure de It sera :^7^'). Ou a d'ailleurs 
directement 

(7) C:o.,, = r. 

o. Désij'nons maintenant par t)|x, /^,v 'e coefficient de ^t^ 
dans IV,v('^)' '^^ formules (i) donnent 



"^ jt '^ -2 "^ 'J 



f n - ' r -^ ^7 p V — ' c 

Ces formules (8), jointes aux formules (a)-! 7), déterminent 
complètement les polvnomes l*^,y(.r)= N D(x,/>.y.ï'^- 



61 



COMPTES RENDUS DES SEANCES, 



SÉANCE DU :2r) JANVIER 1900. 

l'RKSIDENCIi: DE M. IIADAMARI). 



Elections 



Sont élus, à l'iinaniinilc, membres de la Sncictc : M. Rémy, pré- 
senlé par MM. Hiimberl et d'Ocagne; M. Marcus, présente par 
MM. l\ainlevé et Borel ; M. Gérardin, présenté par MM. Laisant 
et Brocard; M. Philippe, présenté par MM. Laisant et Lemoine. 

Communications : 

M. Andoyer : Sur U équilibre relatif de n corps et sur les 
solutions périodiques infiniment voisines. 

M. Hadamard : Sur un théorème de M. Osgood relatif au 
calcul des variations. 



SÉANCE DU 1*"^ FÉVRIER 1906. 

PRÉSIDENCE DE M. HADAMARD. 

Communications : 

M. RalFy : Sur certains systèmes simultanés d^ équations aux 
dérivées partielles d^ ordre supérieur. 

M. Hadamard : Sur les sommes de Gauss. 
,M. GouRSAT adresse un Mémoire intitulé: Remarques sur 
quelques théorèmes d^ existence. 



SÉANCE DU 15 FÉVRIER 1906. 

PRÉSIDENCE DE M- BLUTEL. 

Communications : 

M. Félix Lucas : Sur la génération anharmonique des 
courbes algébriques. 

XXXIV. 5 



— G2 — 

M. Fréchcl : S(ir une question proposée par M. Hadamard 
relativement à la théorie des ensembles de fonctions. 
M. Lecornu : Sur les liaisons non holonomes. 
M. 13liitci : Sur un problème d^ optique géométrique. 



SÉANCIi DU P' MARS 1906. 

PRÉSIDENCE DE M. HADAMARD. 

Communications : 

M. Touche : Historique du problème de la résistance des 
fluides. 

M. Rafiy : Sur Céquation s^^=^ /\pq\{x^ y). 

IVJ. Hadamard allire l'attention sur un travail de M. i^e Roux 
{Journal de Math., 5^ série, t. IX, ujoS), dans lequel la notion 
de caractéristique est définie pour le système d'équations aux 
dérivées partielles le plus général, et sur les relations que l'on 
pourrait établir entre cette définition et celle qu'il avait envisagée 
dans une précédente Communication [-5';//' les caractéristiques 
des systèmes aux dérivées partielles {Bulletin de la Société 
Mathématique, t. XXXI V, 1906)]. 



SÉANCE DU 15 MARS 1906. 

PRÉSIDENCE DE M. HADAMARD. 

Elections : 

Sont élus, à l'unanimité, membres de la Société : M. Paraggi, 
présenté par MM. Raflj et Estanave; M. Popovici et M. Wilson, 
présentés par MM. Hadamard et Borel. 

Communications : 

jNI. Bricard : Sur la Géométrie de direction. 

MM. Borel et Hadamard présentent quelques observations à ce 
sujet. 

M. RalFj : Classification et détermination des surfaces dont 
les coordonnées s^ expriment explicitement au moyen de fonc- 
tions arbitraires des paramètres des lignes de longueur nulle; 
application aux surfaces isothermiques. 



— g:î - 



MKMOIhES n COMMUNICATIONS. 



SUR L'APPLICATION DES ÉQUATIONS DE LAGRANGE A LA DÉTERMINA- 
TION DES ACTIONS EXERCÉES PAR UN FLUIDE PARFAIT INCOMPRES- 
SIBLE ANIMÉ D'UN MOUVEMENT IRROTATIONNEL; 

l*ar M. CoMitinrAC. 

C'est dans l'Onvraijc de TJionisoii cl rail : Natural Pkilosopky 
qu'il a clé fait, pour la première fois, application des équalions 
de Lagrange à la délermination des actions exercées sur ses parois 
par un fluide parfait incompressible animé d'un mouvement irro- 
lalionnel et acjciique. Si q^^ ^o? • • •? fjr désignent les paramètres 
qui déterminent la position des parois, la force vive T< du fluide 
s'exprime, dans le cas spécifié, par nne fonction quadratique des 
dérivées q\^ q'^^ . . ., q\. des paramètres, et les forces extérieures Q 
relatives aux paramètres q et faisant équilibre aux forces dues 
à l'inertie du fluide ont pour expression 

^ dt àq' ôq 

exactement comme si les paramètres q étaient ceux du système 
formé par le fluide. 

Dans le cas où le mouvement du fluide n'est pas acjciique, la 
force vive du fluide peut, comme sa vitesse, être décomposée en 
deux parties qui se déterminent indépendamment l'une de l'auJre 
et dont TuneTi correspond à un mouvement acjciique dépendant 
uniquement du mouvement des parois, tandis que l'autre Tq ne 
dépend que de la position de ces parois et des modules de circula- 
tion, c'est-à-dire des valeurs de la circulation le long de certaines 
lignes fermées convenablement choisies. Les équations de Lagrange 
ne sont plus ap[)licables et Cari Neumann (') a établi la formule 
générale donnant, dans ce cas, l'expression des actions exercées 
par le fluide sur ses parois ( j compris celles des corps qui pour- 



(') C. Nkumann, Hertràge zii einzelnen Tcilen cler matlieniatischcn Physik. 
p. 2o.}-'i3S. Teiihner, Leipzig, 1890. 



_ 64 - 

raient cire baignes dans le flnide). Lorsque la partie T, (\v. 
l'énergie liydrocinétique qui correspond à la partie aeyclique du 
mouvement s'annule (parois au re[)Os) ou est négligeable par rap- 
port à l'autre (parois limitant des corps filiformes), la formule de 
Neumann se réduit à 

où Q désigne la force extérieure relative au paramétre q ; Tq est 
exprimée en fonction des paramètres q et des modules de circula- 
tion, qui d'ailleurs doivent être considérés comme constants si le 
fluide est parfait (dépourvu de viscosité). 

Cette formule diffère par le signe de son second membre de 
celle qui résulterait de l'application pure et simple des équations 
de Lagrange, et l'on sait que cette différence de signes se retrouve 
lorsqu'on compare les forces d'origine hydrodynamique aux forces 
électromagnétiques dues aux courants électriques. 

On se propose de montrer que les équations de Lagrange sont 
encore applicables dans le cas étudié moyennant un cbangement 
de variables dans l'expression de l'énergie hydrocinétique, de sorte 
que la masse fluide s'assimile alors à un système cyclique dont les 
coordonnées contrôlables seraient les paramètres q déterminant la 
position des parois. 

I. 

Considérons un fluide parfait incompressible animé d'un mou- 
vement irrotationnel et occupant un volume V à connexion mul- 
tiple, soil, pour fixer les idées, l'espace extérieur à des surfaces 
annulaires ne s'entrelaçant pas. La partie du mouvement corres- 
pondant à l'immobilité des parois donne lieu à une vitesse ^^07 ^^^^ 
les composantes u, ç^, (v, suivant les axes de coordonnées, sont des 
fonctions linéaires homogènes des modules de circulation [j., et la 
force vive To correspondant à cette vitesse est une fonction qua- 
dratique de ces modules, les coefficients élant des fonctions des 
paramètres q. Cette force vive peut aussi s'écrire 



To= -p f {li''-^ V'-^ (V2)0T, 



— eri - 

où OT (U'si^iio u\\ vAvn\r.i\l (m(;l(;()H(|ii(! du volmiu; V cl p la dcn.sihi 
du fluide. 

\a) v(H'l(Mir i'„ adini'l nue foiiclioii polcnl icllr luidliformo, do 
soi'lo (|uc Ton poiil ;i|)|)li(|U(;r la formule do (jr('(;n à l'oxprcssloii 
procédoiUe on rciidaul, an préalable;, le; volume V simplement 
eoniiexe au nio^cu de eoupures consliluées j)ar des suiTaees eonve- 
uablcmenL disposées. On obtient ainsi, en dé.si<;nant par A le flux 
airéi-ent à la eoupurt; qui correspond au module de circulation jx : 

(i) 'iT^^p^ixl. 

Lorsque les modules varient et (jue les parois se dé[)laccnt, 
l'accroissement de Tq a pour expression 

<^To = p / {u du -h V dv -h- w dw ) Sx h — p / {u- -h v^-h iv'^)^o dn, 



= p j {u du -[- V dv -\- w dw ) Sx H — p / 



en désignant par Sa- un élément de la surface des parois, par S la 
surface totale de ces parois, par dn la composante normale dti 
déplacement de l'élément superficiel ôo-, enfin par du, r/v^, da' les 
expressions différentielles 






dix ^ ^ ôq 
dw . '^n dw 



^'''=Ed^'''^^24*'' 



, "v^ ôw , -^^ ow , 



On peut appliquer la formule de Green à la première intégrale 
moyennant les précautions déjà spécifiées, et l'on obtient 

/ {u du -^ V dv -\- w dw ) Sx = ^ ^ d\x. 

D'autre part, du s'exprime linéairement en fonction des accrois- 
sements des paramètres q^ c'est-à-dire que Ton a 

dn = y a,idq. 
Il vient donc 

JTo =^ p N^ X JiJL-l- ^ - p / {u^--^ v"- -^- W^ ) Un OG d(J. 



- 66 - 

Celle expression de dT^ m on Ire (|ue pX esl la dérivée de i\ \)uv 
rapporl à jjl. Chaque flux A esl évidemmenl, de même que chaque 
composanle de la vilesse, une fonction linéaire homogène des mo- 
dules ijl; réciproquemenl, les modules |ji sont des fonctions 
linéaires homogènes des flux X et, par suite, Tq peut s'exprimer 
par une fonction quadratique homogène des flux A. On désignera 
par Ty l'expression de To eu fonction des modules de circulation 
et par Tx l'expression de To en fonction des flux. En dérivant la 
formule (i) par rapporl à X et tenant compte de la propriété de pA, 
on a 



2 






et, par conséquent, on peut écrire la double formule 
On a également 

et, par suite, eu égard aux relations (ri) : 

d'où, par comparaison avec la formule (i) dilTérenliée, 

Les formules (i), (2) et (3) sont symétriques par rapport aux 
quantités [Ji elX; mais celte symétrie ne se maintient pas dans le 
domaine dynamique. La formule de Cail Neumann déjà men- 
tionnée devient, en efTet, en vertu de (3), 

^^^ ^ u(j dq 

La seconde des expressions de Q esl conforme à celle qui résul- 



— ()7 — 

lerait cl(^ l'applicalion des «'(jualioiis de L:i';ijinj;<' à la masse fluide ; 
cellc-ci est done assimllahUî, dans le cas (|iii nous occupe, à i\n 
système cvcli(|ue doiil l(!S cooidoniK'CS conlrolahles seraient l(!S 
paramèlres q ri donl les vitesses ('yeli(|U(;s s(M-aienL l(;s (lux ).. Il 
est su|)erllu (rohserver que la léf^ilimilé de e(;lle assimilalion ne 
pouvait pas vive admise ri piiori. 



W. 

On peut j)Ousser plus loin l'assimilation en montrant que rajipli- 
calion des équations de J.agrange fournit encore des résultais 
concordants avec une détermination directe de l'expression des 
forces F relatives aux coordonnées cycliques, c'est-à-dire aux va- 
riables (0 définies par la relation 

" dt ' 

o est le volume du fluide qui a traversé la coupure correspondant 
au flux \ à partir d'un instant pris pour origine du temps. 

Si F est la force extérieure relative à la coordonnée C5, l'expres- 
sion F 8.5 doit représenter le travail changé de signe des forces 
d'inertie du fluide dans un déplacement virtuel pour lequel les 
accroissements de toutes les variables autres que o sont nuls. On 
reconnaît que l'on a, dans ces conditions, 

^^ ^^ dt ~ dt dK 

(Démonstration en quaternions : 
Si l'on pose 

le déplacement d'une particule fluide dans le déplacement o^ 
a pour expression A oc5 et, par suite, le travail virtuel des forces 

fictives élémentaires p -i-^ ot a lui-même pour expression 






Fr>^ = p / -S(A^')§.$'.; 



- G8 - 



d'où 



P = p/--s(a^-.-,o. 



dvQ 
clt 



= p^ r-S(..„A)ox_pr_s(..§) 



ûx. 



Comme nous supposons négligeables les forces d'inerlie dues aux 

dérivées premières et secondes des paramètres <y, le vecteur -j- 

provient uniquement du déplacement subi par la particule fluide 
en raison de la vitesse Vq et, dans ces conditions, en tenant compte, 
en outre, du fait que les vecteurs A et Vq ont des distributions à 
la fois solénoïdales et irrotationnelles, on reconnaît que l'on a 

/VA 

2^=V(SApo) + V[V(VApo)], 

et, en appliquant certaines formules de diflerentiation géomé- 
trique : 

/VA 

2Spo^ =S[V(poSApo)]-S[V(V.^^oVAc^o)] 

==S[V(PoSAPo)]-S[V(i;oSAPo-At^i)] 
= S[V(A.^)1; 

enfin, en appliquant la formule de Gauss, on a 

en désignant par A/^ la composante normale du vecteur A en un 
point de la surface des parois, composante qui est nulle en raison 
des conditions qui définissent A. La deuxième intégrale de 
l'expression de F est donc nulle et cette expression, réduite à son 
premier terme, devient 

= P^,. 0. c. d.) 



- (JO - 



I.(îs ('Xpi'cssions ( /j ) cl (;')) (l«vs forces (|iii |)(u\(;nl. n^ii" sur l(; 
lluitlc salisft)iil il'iilllciir.s an llu'orrjiu; des lotces vives, car on a 



ou enfin 






(0) .rr„ = 2pf'-</?-H2-'^'^'^=I^"''-^-E'^'''/- 

Les résultais exposés ci-dessus peuvent élrc résumés de la ma- 
nière suivante : 

Une masse fluide limitée par des parois au repos et suscep- 
tible d^être animée de mouvements cycliques mais irrotationnels 
est assimilable, en ce qui concerne les réactions de toutes sortes 
dues à son inertie, à un système cyclique qui admettrait pour 
coordonnées contrôlables les paramètres de la position des 
parois et pour vitesses c^'ciiques les flux afférents aux mouve- 
ments possibles du fluide. 



iir. 

Maxwell a montré que les forces électromag^néliques et les 
forces électromotrices d'induction peuvent être déterminées par 
l'application des équations de Lagrange en assimilant un système 
de courants électriques à un système mécanique cyclique dont Jes 
coordonnées contrôlables seraient les paramètres déterminant la 
position des corps conducteurs et dont les vitesses cycliques 
seraient les intensités des courants et en prenant pour l'énergie 
cinétique du système le potentiel électrodynamique changé de 
signe, expression appelée pour ces motifs énergie éleclrociné- 
tique du système de courants. 

En désignant par T^ l'expression de l'énergie électrocinétique 
en fonction des intensités des courants, par Q' la force extérieure 
relative à l'un quelconque q des paramètres qui déterminent la 
position des conducteurs, par E la force électromotrice qui ferait 
équilibre à la force électromolrice d'induction relative au courant /, 



— 70 — 
on a 

On connaît, d'aulre part, les frappantes analogies qui exislent 
entre les élémenls du champ déterminé par des courants élec- 
triques et ceux du mouvement d\in fluide parfait incompressible 
qui occuperait l'espace extérieur aux corps conducteurs (supposés 
filiformes) et qui serait animé d'un mouvement irrotationnel 
admettant pour modules de circulation les intensités des courants : 
identité, à un facteur numérique près, du champ magnétique dû 
aux courants et du chamj) des vitesses du fluide; identité, à un 
facteur numérique près, des expressions de l'énergie électrociné- 
tique et de l'énergie hjdrocinélique ; égalité, au signe près, des 
forces électromagnétiques et des forces exercées par le fluide sur 
les corps qui y sont baignés. 

L'étude qui vient d'être faite du cas hydrodynamique met 
nettement en lumière la raison de celte diflérence de signes; elle 
tient à ce que, dans l'assimilation du système hydrodynamique 
à un système cyclique, ce sont les flux qui jouent le rôle des 
vitesses cycliques, tandis que, d'après les analogies hydro-élec- 
triques, ils doivent correspondre aux flux magnétiques, éléments 
qui, dans la théorie dynamique de Maxwell, jouent le nMe de quan- 
tités de mouvement. 

La divergence s'accentue encore si l'on compare les expressions 
des forces F et E données respectivement par les formules (5) 
et (5'). Dans le système hydrodynamique, les forces F sont nulles 
lorsque les modules de circulation restent constants et, dans le 
système électrodynamique, les forces correspondantes E sont 

nulles lorsque les flux magnétiques -rr^ demeurent constants. 



71 



SUR LES TRANSFORMATIONS PONCTUELLES 
Par M. IIadamahi). 



l. Soient données les éqiialions 

i-^ 1 ^^ y I ( -^ 1 1 '^1 1 • • . • ^ n '» 
^ 2 =^ ./a ( -^1 > ^2 1 • • • 1 ^n}i 
? 
A„ = y,t( 372, ^:), ....X,i), 

qui peuveDl être considérées comme faisant correspondre A nn 
point qiielconqne (^, , x-^-, .-•, .r,,)d'nn espacée,, à n dimensions, 
un point (X,, Xo, ..., X„) d'un espace analogue E,,, point que 
nous nommerons ici V image du premier. 

Ces équations sont-elles résolubles en ^,, x-^, ..., ^/, ? A tout 
point de E^, peut-on faire correspondre d'une manière univo(|ue 
un point de e,i auquel il serve d'image? 

Il est clair que la question est double. Les valeurs de Xj, 
X2, . . ., X„ étant données, elle consiste à se demander : 

I. Si les équations (1) admettent toujours (en x^^ x^-, .-., x,i) 
une solution ; {possibilité) 

II. S'il est impossible que ces équations admettent plus d'une 
solution. [unicité) 

Les méthodes du Calcul différentiel conduisent à en chercher la 
solution dans les propriétés infinitésimales des fonctions /" qui défi- 
nissent la transformation. Une condition nécessaire bien connue 
est (en supposant que les fonctions /*<, y^2j •• -^fn admettent des 
dérivées premières continues) que le déterminant fonctionnel 

(2) D(/h/2, .. .,/.) ^ 

soit de signe constant. 

Cette condition prise au sens étroit est d'ailleurs suffisante loca- 
lement, c'est-à-dire que, a («<, r/., a,i') étant un poinl do r„ 

où le déterminant (3) n'est pas nul (I A( A,, Aj. .... A,,) sou 



— 72 — 

image, on peiil, autour de ce deriiier point, décrire une sphère 
assez petite pour qu'un point quelconque pris à son intérieur soit 
l'image d'un point et d'un seul voisin de a. 

2. On a quelquefois admis que la condition précédente était 
suffisante d'une manière générale, c'est-à-dire qne, si elle était 
vérifiée quels que soient (a,, «21 --m ^n)-, elle entraînait, quels 
que soient X,, Xo, ..., X,/, une réponse affirmative aux ques- 
tions I et II. 

Il est pourtant clair, dès le cas d'une variable {n = i), que l'on 
n'est pas ainsi assuré de remplir la condition I. Si la fonc- 
tion X = y(x) admet une dérivée première f toujours |)ositive, 
l'équation 

considérée comme équation en x^ n'admet jamais plus d'une 
solution, mais on peut choisir X de manière qu'elle n'en admette 
aucune, à moins que les deux intégrales 



(3) J nx)dx, J f'{x) 



dx 



ne soient infinies. 

Pour /i supérieur à i, il est visible qu'il ne suffit pas de remplacer 
la dérivée f^ par le déterminant fonctionnel (2). Par exemple, 
pour la transformation 

X=/(:r), Y = ^(a;)9(^), 

le déterminant fonctionnel e^l f [x) '\{x) ^'{y)\ on peut, en le 
supposant supérieur à un nombre positif fixe et même indéfiniment 
croissant (et cela d'une manière aussi rapide qu'on le veut) avec x 
ou y, admettre néanmoins que les intégrales (3) sont finies et que, 
par conséquent, X n'est pas susceptible de prendre toutes les 
valeurs réelles. Une aire, indéfiniment étendue dans tous les sens, 
du plan des xy^ a alors pour image une aire qui s'allonge indéfi- 
niment dans le sens parallèle à l'axe des Y, mais qui reste com- 
prise entre deux ordonnées fixes. 

3. La quantité qu'il convient d'introduire ici, à la place du 
déterminant ibnctionnel, est évidemment Vaxe niineur ]x de 
V ellipse ou de V ellipsoïde de déformation, c'est-à-dire la plus 



- 73 — 
pclilc valeur du rappoil 



• 



. /\f -i-(^x:;^-i-...-t-^/x?, 



cl la condition (ju'il y a lieu de se donner à cet é^ard csl : 

[Condition (C^)], que, jjip désignant le minimum de jx .ç;^/' /« 
sphère 

(4) ar2 -h:r|+...H-a7,\ = p2 

de r espace Cn, V intégrale 

( 5 ) / t^P «^P 

50i7 infinie. 

Si cette condition est remplie, une ligne de longueur infinie 
tracée dans Cn ne pourra pas avoir pour image une ligne de lon- 
gueur finie. 

4. Mais la question est loin d'être ainsi résolue. Car, contrai- 
rement à ce qui arrive dans le cas d'une variable, on sait que le 
non-évanouissement du déterminant fonctionnel, dans une région 
finie quelconque de e,,, n'assure même plus Vunicité, Les 
fonctions 

f X2==/2(:r,,a72), 

étant définies dans une région déterminée (a-) du plan des x^ , x^ et 
ayant, dans toute cette région, leur déterminant fonctionnel positif 
et non nul, une aire 5 intérieure à cr, limitée par une courbe fermée 
unique (sans point double) y peut avoir pour image une aire se 
recouvrant partiellement elle-même, y ajant pour image une 
courbe F à points doubles, analogue à celle qui est représentée 
figure 1 ('). Un même point de cette aire peut alors être l'image 
commune de plusieurs points de .ç. 

En un mot, les données précédentes ne fournissent aucun ren- 
seignement sur la résolubilité des équations (i'), sauf à l'intérieur 



(•) Voir, par exemple, Goursat, Cours d'analyse, t. I, p. 299. — Plusieurs 
auteurs (LiPscniTZ, Lehrbuch der Analysis, t. Il; Kneseh, Math. Ann., t. XLV; 
AhzelA, liendic. Ac. Dolos;nc, 24 mai 1900) se sont efforcés de remédier à cette 
défectuosilé, moyennant l'introduction d'autres hypothèses. 



- 74 - 

de cercles suffisammenl petits — dont les méthodes classiques ne 
font même pas connaître explicitement le rayon ('). 

o. Le fait que je me propose d'établir, et qui pent être de 
quelque utilité dans la discussion d'équations telles que (i), est 
que les propriétés infinitésimales des fonctions y* suffisent au con- 
traire à étudier leur inversion, si elles sont connues dans tout 
V espace en- L'énoncé est le suivant : 

Si [Ji est différent de zéro {') en tout point de e,i et si, en outre, 
la condition (C) (n° 3) est remplie, les propriétés 1 et 1/ ont 
lieu : autrement dit, V inversion des équations (i) est possible 
et unii'oque. 

Ainsi, une transformation définie à l'intérieur d'une aire 
peut présenter à l'intérieur de cette aire la singularité décrite au 
n" 4. Mais, dans ce cas, la transformation ne saurait être, de 
quelque manière que ce soit, prolongée indéfiniment en dehors 
de 0-, si l'on impose (') (outre |jl ^ o) la condition (C). 

J'ai indiqué, clans les Comptes rendus de V Académie des 
Sciences (séance du 8 janvier 1906), une méthode pour démon- 
trer la propriété précédente, méthode dont je donnerai le principe 



( ' ) Ce rayon est calculé pour n ~ i par M. Goursat, loc. cit\, p. t\i. 

(^) La quantité \i est nulle ou difTérente de zéro en même temps que le déter- 
minant fonctionnel. 

(^) Il est à peu près évident que cette dernière restriction (ou une autre ana- 
logue) est nécessaire, et que la condition jx ^f o, même vérifiée dans tout le plan, 
ne suffit pas à assurer l'unicité. 

Soit, par exemple, 

X,=: Il cos(-), Xj^Usint), 
avec 

R = e'^t, = Att: = A tt tanhx,, 

où k est un nombre plus grand que i. L'image du cercle jtj -h ^j = p' aura la 

forme représentée figure 1 dès que tanhp dépassera la valeur -• 

A' 

11 en sera encore de même si, avec la même valeur de R, on fait 

[la fonction 9(0:,) étant toujours plus grande que i et croissant, pour a:, très 
grand et négatif, plus vite que e~-^i, par exemple 9 = Ch.{'6a:^)]^, et dans ce cas 
le déterminant fonctionnel sera indéfiniment croissant. Il serait constamment égal 
à I si l'on faisait = cc^e~-^t (toujours avec R = Ci). 



— 7r^ — 

un peu plus loin. J'ai reconnu depuis cpic la cicinonstration pou- 
vait s(' faire (ruiKî manière loul élémentaire : qu'il suffisait de 
reprendre, avec d'insif^nifianles modincalions, un raisonnement 
clàssicpie de théorie des fonctions (le rais()nnem(;nt non modifié 
est celui qui servirait à dcMUontrer le théorème dans le cas de mul- 
tiplicités fermées telles (|ue la sphère). 

G. Supposons toujours (pie les n quantités X,, X^, ..., X,, 
soient des fonctions de ^, , x^-, ...., J"«, fonctions dont le déter- 
minant fonctionnel n^est jamais nul. Tout point a [a^ , c/o, ...,««) 
de l'espace en est le centre d'une sphère 

(6) {xx— a^y-^{x^- a^y-¥-. . .-\-{Xa— any- = d\ 

telle que deux points distincts pris à l'intérieur de cette sphère ne 
puissent avoir la même imag^e dans l'espace E,, ; et l'image (A,, 
A2, . • ., A//) de a est le centre d'une sphère 

(7) (Xi-A,)2 + ... + (X,-A„)2<D2, 

telle que tout point X intérieure cette sphère soit l'image d'un point 
et d'un seul intérieur à (6), point qui varie continûment avec X. 

Si, en quelque point de l'espace, d était infini, le théorème 
serait démontré. Nous supposons donc qu'il n'en est pas ainsi. 

D'après des raisonnements connus, d et, par suite, D sont des 
fonctions continues de rt,, «2? •••> <^/i« Lorsque le point a prend 
toutes les positions possibles à l'intérieur de la sphère de rayon o 
qui a pour centre l'origine des coordonnées, 0? et D ont chacun 
un certain minimum (différent de zéro), fonction de 0. 

De même, d elT> ont un minimum différent de zéro sur une ligne 
finie quelconque / décrite par a dans l'espace en- 

7. Supposons que l soit une ligne continue allant d'un point a 
à un point b de e,/, et que, d'autre part, son image L dans E/^ soit 
fermée, c'est-à-dire qu'un même point A serve d'image à «et à b. 
Alors on pourra affirmer que cette ligne est également fermée 
dans e,i, c'est-à-dire que le point a coïncide avec ^,si Ton sait que 
la valeur de D correspondant à un point c de / et à son image C est 
supérieure à la plus grande distance de C à un point de L. 

<S. Cela posé, admettons qu'à deux points distincts a et b de Cn 



- 7G - 

corresponde la même imafçe A. Joignons ab par une ligne / (con- 
tinue et sans point double), celle-ci aura pour image une ligne L, 
partant du point A et j revenant. On peut supposer (ce qui n'est 
d'ailleurs pas indispensable) que L n'a aucun point double, autre- 
ment dit, qu'elle ne contient aucun point A' qui serve d'image 
commune à deux points a', b' de Z, sans quoi il suffirait de sub- 
stituer A' à A en ajant soin, s'il j a plusieurs points A', d'en choisir 
un pour lequel l'arc compris, sur /, entre a' et b' soit le plus petit 
possible ('); ou encore, on pourrait évidemment faire disparaître 
le point double A' en modifiant /. 

Soit Do le minimum de D sur /. 

Prenons un point fixe arbitraire O (par exemple l'origine des 
coordonnées) dans E,^ et désignons par L^ (où t est un nombre 
compris entre zéro et un) l'homothétique de L relativement à O 
avec le raj)port d'iiomothétie t\ et, de même, par C; l'homothé- 
tique, dans les mêmes conditions, d'un point quelconque C de L 
(image d'un point c de /). Soit encore \ le maximum de la dis- 
tance OC. Deux points quelconques de L seront alors à une dis- 
tance inférieure à aÀ et, par conséquent, d'après le n" 7, on devra 
avoir, la ligne / étant ouverte, 

(8) 2X^Do. 

Donnons à t une valeur quelconque comprise entre l'unité et le 
nombre ^, (positif, d'après l'inégalité précédente) qui vérifie la 
relation 

Tout point C; de L^ sera à une distance de son homothétique C 
moindre que -t^ et, par conséquent, sera l'image d'un point parfai- 
tement déterminé de Cn-, intérieur à la sphère i analogue à (6) 
qui a pour centre c. 

Seront également à une distance du point C moindre que Do, 
les points de L; homothétiques des points situés sur un certain arc 
de L, à savoir l'arc continu qui comprend le point C et dont tous 

les points sont à une distance de G moindre que ^rr-^- Tout l'arc 



(') Ceci aurait un sens, même si les points A' étaient en noinbie infini, Ten- 
seinblc qu'ils forment étant manifestement fermé. 



— 77 — 

ainsi ohlriui de 1^ (^orrcspondia donc à un certain arc de courbe 
i\r r,i intcrioui* à t. 

(^l»a(|MC j)()inl (1^ i\c. \j{ peut ainsi (Ure déduit, non sculcjncnl du 
poinl lioin()llirli(juc (^, mais d'une irifinitc d'anlros points de L 
(poinis sudisaniUKMit voisins du pr(îniicr) (!l, l'on a, par cori- 
scqucnl, une iidinit('' de mojcns de Irouveile j)oint correspondant 
de e,t'^ mais, en vertu du n" 7 et des lijpothèses ("ailes sur t^ toutes 
ces déterminations conduiront au même résultat. 

En un mot, à clia(pie li^^ne L^, pour i ^/^^,, correspondra une 
li^iie continue /^ de r,,^ lacpielle variera d'une manière continue 
avec t. (Connue le ne sort pas d'une région finie de l'espace f?^^, D, 
sur ces dilïV'renles lig^nes /c, ne sera jamais inférieur à un certain 
minimum D'. 

Il en résulte que la ligne It ne se ferme à aucun moment, car 
ses deu\ extrémités, autrement dit les deux points qui ont pour 
image A^, varient continûment et, par consé(juent, ne sauraient 
coïncider sans ([ue leur distance soit au préalable devenue infé- 
rieure à D', ce qui est impossible. 

9. SoitD, le minimum de D sur L,^ : on aura, puisque Jj, ne 
se ferme pas, l'inégalité analogue à (8) 

2X^i>D,. 
Déterminons un nombre 1-2 par la relation 

t., sera positif et nous trouverons par des raisonnements tout sem- 
blables aux précédents, pour toute ligne L; telle que ixlt-^t^^y une 
ligne correspondante /^ continue et ouverte de l'espace 6,^ ligne 
qui variera continûment avec t. Il résultera de là, en particulier, 
l'inégalité 

2X^2^02, 

D» étant le minimum de D sur L . 

On déterminera alors t^ par la relation 

et ainsi de suite. D'une manière générale, tp sera déterminé par la 
XXXIV. G 



— 78 - 
relation 

(9) l(t,-^-t„) 



D,.-, 



(Dy,_4 tUanl le minimum de D sur /;,_,) el sera positif en verlu de 



inégalité 



2lt.-ilD„- 



p-\' 



Pour toute valeur de t comprise entre i et tp, la ligne Z^, ayant 
])Our image L^, sera définie : ce sera une ligne continue, variant 
continûment avec t et qui restera toujours ouverte. 

10. Cela posé, il va être aisé de faire apparaître une contra- 
diction. On ne pourrait, en eflet, imaginer que deux hypothèses : 

i*' Toutes les lignes If resteront, quel que soit /?, à distance finie, 
c'est-à-dire intérieures à une s[)hère fixe ayant pour centre l'origine 
des coordonnées dans l'espace e,^. 

11 y a contradiction, car, dans ces conditions, D^ resterait supé- 
rieur à un nombre fixe et les quantités ^y, définies par les relations 
successives (9) ne pourraient pas être toutes positives. 

2" La quantité p = \jx'\ -\~ x] -^ ... x'^^ prend, sur la ligne Z^^, 
des valeurs très grandes pour des valeurs très grandes de/?. 

Mais cela aussi est impossible. En effet, un point quelconque de 
L/ est relié à son homothétique pris sur L par une ligne continue 
(une portion de rayon vecteur) de longueur inférieure à \. Donc 
le point correspondant de l'espace en est intérieur à la sphère qui 
a pour centre l'origine et dont le rayon R est donné par la relation 



/ 



R 

Po 



^p étant, comme nous l'avons dit, le minimum de p. sur la 
sphère (4). 

Donc il est inadmissible que les points a et b^ qui ont une même 
image A, soient distincts. C'est ce que nous voulions établir. 

11. Le mode de démonstration que j'avais adopté dans la Note citée, et 
qui était relatif au seul cas de n = -2, était plus compliqué, mais il avait 
l'avantage de montrer comment se comporte le prolongement d'une trans- 
formation telle que (i'), à partir du moment où elle a cessé d'être biuni- 
voque; comment ce prolon<;ement, possible tout d'abord, doit fatalement 



— 71) — 

se luMirlcr ù une ini|)<)ssil)ililc ù mesure qu'on voudra l'éicudie indéfiniment. 
Soit a = 9,, de sorte (jue Ca et V^a sont des plans. Supposons toujours que 
le déterminant fouctioniirl des seconds meinhres des équations 



(•') 



X2=/2(^|,.r2) 



soit positif et non nul, et considérons la courhe Tp, imaf^'c du 
cercle YpG^'j H- a"^ — p'), cercle dont le rayon sera, pour la comrnoditt; du 
langage, considéré comme représentant le temps. C'est une courbe fermée 
dont la tangente varie continûment et à la courbure de laquelle on peut 
assigner une limite supérieure dès qu'on connaîtra une limite supérieure 
de p. Xj et X2 étant donnés, le nombre des solutions des équations (\') à 
rinlérieur de yp c^t égal à l'indice (au sens de Gauss) du point (Xj, X2) 
par rapport à Fp. L'indice d'un môme point va toujours en croissant 
lorsque p croît. 

Si, à partir d'une certaine valeur po de p, cet indice peut devenir supé- 
rieur à I, la ligne Fp devra présenter des points doubles. C'est la forme 
représentée figure i et (au moins pour p peu supérieur à po) Fp délimitera 
au moins une aire intérieure telle quecAoCy?^. r). 



Fig. I, 




Appelons boucle le contour fermé partiel formé par la partie de Fp qu» 
part d'un point double (sommet de la boucle) et y revient. Tout point 
double partage Fp en deux, boucles. Une boucle sera dite simple si, consi- 
dérée en elle-même, elle n'admet aucun point double. L'aire <Â} est limitée 
par une boucle simple de sommet m {fig. \). 

Les tangentes en un point double déterminent quatre angles (qui peuvent 
être égaux à o ou à t:) et les arcs de courbes correspondants, au voisinage 
de ce point, déterminent quatre angles curvilignes. Nous appellerons ear/e- 
rieur celui de ces quatre angles où l'indice (relatif au contour complet) 
est le plus petit; intérieur, celui où il est le plus grand (ces deux indices 
extrêmes différant de deux unités); latéraux, ceux où il a la valeur inter- 
médiaire, l'un de ces latéraux étant à droite et l'autre à gauche, par rap- 
port à une nèche allant de l'angle extérieur à l'angle intérieur. 



— 80 — 

L(îs doux boucles que dt-fcruiinc le point double ont pour angles auv 
somniels, l'une l'angle extérieur, l'autre l'angle intérieur, à l'exclusion des 
latéraux (comme on le reconnaît en remarquant que l'indice relatif au 
contour total est égal à la somme des indices relatifs aux deux boucles). 
Nous les appellerons l'une extcricurc, l'autre intérieure, s,m\di\\l la nature 
de leurs angles aux sommets. 

La boucle qui délimite l'aire pIo {fig. i) est, dans cette terminologie, une 
boucle simple extérieure. L'indice y est i)lus petit que dans les régions 
voisines. 

Nous allons prouver que, sur notre contour mobile, une telle boucle 
extérieure est indestructible. Tous les contours Tp, pour p> po, admettront 
de telles boucles extérieures, et ces boucles successives seront intérieures 
les unes aux autres. 

Pour le ({('montrer, supposons d'abord que les f soient des fonctions 
analytiques, n'ayant })as à distance finie de points singuliers. Dans ces con- 
ditions, Fp ne pourra pi'ésenter qu'un nombre fini de points doubles, et le 
nombre ou la disjiosition de ceux-ci ne cliangeront (ju'un iKjmbre fini de 
fois dans un temps fini (c'est-à-dire dans un intervalle fini de vaiiations 
dep). 

D'une manière générale, les [)oints doubles d'un contour fermé régulier 
qui se déforme ne peuvent apparaître ou disparaître que de deux façons : 

i" l'ar une boucle infiniment jietite : tel est le cas d'un limaçon de Pascal, 
considéré comme podaire d'un cercle par rapport à un point, lorsque ce 
dernier passe de l'intérieur à l'extérieur du cercle ou inversement. 

Cette bypotliése est à rejeter ici, car la boucle infiniment petite aurait sa 
courbure infinie, ce que nous avons remarqué être impossil)le. 

'2" Par un biangle infiniment petit, un biangle étant un contour fermé 
partiel de Fp qui présente deux points anguleux (sommets du biangle), 
points doubles de Fp : par exemi)le, le contour de la figure i présente un 
biangle de sommets ni^ n. 

Un biangle peut être extérieur, ou intérieur, ou latéral, suivant la nature 
de ses angles aux sommets, nature qui est la même pour les deux sonimets 
si le biangle est infiniment petit, et qui necbange pas par une déformation 
continue. 

Il est impossible que les deux sommets d'un biangle latéral soient les 
deux seuls points doubles du contour (puisqu'on aurait ainsi des boucles 
latérales). Si l'on enlève du contour un biangle extérieur, il reste deux 
boucles intérieures, et inversement. 

Enfin, dans le cas qui nous occupe, où le contour va toujours en s'éten- 
dant et les indices toujours en augmentant, un biangle qui naît ne peut pas 
être extérieur, et un biangle qui disparaît ne peut pas être intérieur. Cela 
tient à ce que, dans le premier cas, la région qui j)rend naissance doit avoir 
un indice plus grand, et, dans le second, la région qui disparaît, un indice 
plus petit que l'une au moins des régions avoisinantes. 



- SI - 

{"2. (iflii |)'>s('', it'|iiriu>iis la lumclf siiiiplr c.vl i ricin c dont, nous avons 
iioti'; rcxi^lenrc |)()iii p Irrs jxmi sii|)t''ti('iir à p,, : 

i" Si le point (loul)lc m, sonunct d»' la honclc, uc disparaît pas, cl si 
aucun antre point doiddo ne naît, snr le contour di; la l)ou<d(;, celle-ci ne 
cosscia i)as d'être simple cl e\t(''iienr(\ !)(; plus, lonl(;s les honchîs succes- 
sives ainsi obtenues seront intérieures les unes aux autres, puisque le con- 
tour se déplace toujours vers le côtt' où l'indice diminue. 

•?." Si, à partir d'une certaine valeur p» > po, ';> IxnicN;, juscpiolà sim|»le, 
présente deux i)oints doubles ( ' ), ceux-ci n(; peuNcnl naître par hian^le 
latéral ( puisqu'ils ne pourraient alors être 1(!S premiers), ni |)ar l)ian^Ie 
extérieur (lc(]ucl ne |)cut ((ue disparaître et non j)as naître). Ils forment 
donc un bian^Ie intérieur et donnent, par conséquent, lieu à deux boucles 
extérieures, (iclle de ces boucles qui ne contient pas le point m (sommet 
de la boucle primitive) est simple : ce sera elle que Ton considérera 
pour p >> pi aux lieu et place de la première. 

3" Si, j)our- une ^aleur p2 > p», le jioint double m disparaît, cela ne |)cut 
être que par biani;le latéial (puisque l'anj^le e.rtérienr en m correspond à 
une boucle simple). Si ce bianj^le devient infiniment jietit, c'est cjue l'une 
des braiu bes (lui se croisent en /«, après être sortie de la boucle, y pénètre 

Fi". ■>.. 




à nouveau immédiatement ( /?^'-. 2) (^). Mais il est clair qu'elle doit en 
sortir ulléricurement et son ])oint de sortie le plus raj)proché {ni^^ Jîg. 2) 
est le sommet d'une nouvelle boucle sin)ple extérieure (3). 



(') Nous supposons, pour plus de commodité, que deux apparitions ou dispa- 
ritions de points doiddes ne j^euvcnt se produire à la fois pour une même valeur 
de p. Il est clair qu'il n'y a là (|u'une siuipliOculion de langage, duuL le raison- 
nement est indépendant eu réalité. 

(-) La ligne pleine représente la forme du contour pour p < P2 et la ligne ponc- 
tuée cette même forme pour p> p.,. 

(•') On peut c(jnslalcr direclement que T. ne peut avoir de boucle simple irtté- 
rieure. Car, comme préeédeniment, une telle boucle ne pourrait commencer à 
exister cpie : 1° si elle naît, son sommet apparaissant par un biangle, mais alors 
ce biangle serait intérieur et la boucle extérieure; 2" si, une fois l'oiinee, elle 
devenait simple jiar disparition de [joints doubles sur son contour, mais celte 
disparition ne se ferait (|ue par biangle extérieur, et supposerait, conlrairenjcnt 
à rijypolhése, une boucle simple iatérieui i préexislanle. 



— 8-2 ~ 

Donc, rindestructibilité <lc la boucle simple extérieure est assurée dans 
tous les cas. 

13. Jusqu'à ce point, d'après ce qui précède, noire raisonnement n'est 
nullement un raisonnement par l'absurde. Il existe des transformations 
planes, à déterminant fonctionnel constamment positif, et pour lesquelles la 
déformation du contour Fp présente les phénomènes que nous venons 
d'étudier. 

Supj)osons maintenant que p aupjmente indéfiniment. Nous aurons une 
série de boucles simples, intérieures les unes aux autres. Il existera, dès 
lors, au moins un point P du plan des X], X2 qui sera intérieur à tous ces 
contours. 

Or, dans ces conditions, les points d'intersection de ceux-ci avec une 
droite issue de P décriraient sur cette droite un segment (ou une série de 
segments) de longueur finie, correspondant à une augmentation indéfinie 
de p, contrairement à l'hypothèse. 

La contradiction est donc mise en évidence, et la boucle primitive ne 
peut prendre naissance. 

14. Le raisonnement précédent serait mis en défaut pour des transfor- 
mations non analytiques, parce que les points doubles pourraient être en 
nombre infini ou se modifier une infinité de fois dans un temps fini. 

Mais on peut le rétablir par des conventions convenables. 

Soit, comme tout à l'heure, p le rayon vecteur, et soit l'angle polaire 
du plan des a?!, 372. Soient a un angle du premier quadrant pris une fois pour 
toutes (par exemple a = 10"), s iin nombre positif. Si ce dernier est suffi- 
samment petit fia limite supérieure de ce nombre pouvant être assignée 
lorsqu'on connaît une limite supérieure (p) de p] : 

a. Tout point double de Fp, correspondant à deux valeurs Oj, Oo de 0, et 
])Our lequel les deux branches se coupent sous un angle compris entre a et 
T. — a, est isolé, en ce sens qu'il ne peut, ni sur le môme contour Fp, ni sur Fp-, 
pour I p — p'|>-e, exister plus d'un point double correspondant à deux 
valeurs 0',, 0', de telles que | 0, — Oj | < 0, | O2— O2 | < 0, où 8 est une quan- 
tité que l'on pent assigner en fonction de (p). 

Le point double en question de Fp' correspond à un point double parfai- 
tement déterminé de Fp. 

h. Si, au contraire, l'angle au point double est compris entre o et a, ou 
entre ir et - — a, il pourra arriver que, dans un certain cas intervalle de 
variation de autour de l'une des deux valeurs de l'angle polaire correspon- 
dant à ce point {dépendance du point double), les deux branches restent 
à une distance moindre que e. 

Le point double en question pourra alors appartenir à une série de points 
doubles, en appelant série un ensemble de points doubles qui sont dans la 
dépendance les uns des autres. 

Tonte série (même d'une inlinité) de points doubles a d'ailleurs deux 



\ 



- s:i - 

|)(>iiUs (loiihics cxtir-iucs (Icffiriuiirs. I(II<' scr;i, ;iii poidt «le vue (lu laison- 
noinnnl, ontièrornonl. ;is.similal)lo à un s(mj1 point. doiiMo ou à deux, suivant 
quo los deux portions do contours qui se croisent clian<;cront ou non de 
côté l'une par rapport à l'autre au passaf,'C de cette série. Dans le second 
cas, on pourra toujours dire si cette série est assimilable à un hianglc e.rté- 
ricur, intéticur- ou lalérnl. 

l'^ufin, on pourra diTinir les conditions dans lesquelles un point double P 
(ou une série de |)oiul doubles) de Vçy (o < p' — p < s) sera dit dériver d'un 
point (buibb; V de Tp (ou d'une série i\c. |)()inls doubles). 

INloyennant ces conventions, rien n'empêchera de raisonner comme nous 
l'avons fait pour les transformations analytiques. 

15. Noire conclusion est, comme on le voit, liée de la manière 
la plus absolue à ce fait que la Iransformation est considérée dans 
le plan complet (*). Elle ne subsisterait ])lus nécessairement dans 
une région limitée par une ligne quelconque A, à moins que l'on 
ne possède d'autres données; que l'on ne connaisse, |)ar exempb;, 
la propriété d'unicité pour les points qui correspondent à des 
points de A. 

La conclusion est évidente sur la splicre (notre démonstration 
se confondant alors, comme nous l'avons dit, avec une démons- 
tration classique). 

Par contre, elle ne subsiste pas sur les variétés multiplement 
connexes, telles qu'un tore, ou un cylindre de révolution indéfini. 
Sur ce dernier, par exemple, si ;; et 6 sont (avec le rayon a du 
cylindre) les coordonnées semi-polaires, la transformation 



0; 



— j 
P 



(p étant un entier quelconque) n'est pas biunivoque, quoique ijl 
soit constant. 



(') Ajoutons que l'unicité peut cesser dès que / [i-^ dp est fini, si lenlemenl 

que \i décroisse, à cette condition prés. Il suffira, par exemple, de prendre (en 
employant la même notation que dans la note de la page 7^) 6 = x^, en choi- 
sissant pour II une fonction constamment croissante de ^, coïncidant, pour les 
valeurs négatives de x., avec 



R (.r,) ~ a 4- / [X '/çj {a > o). 



- <Si — 

10. (pliant à ia possihi/ifé de l'inversion, elle résulte de eonsi- 
déralions toutes semblables à eelles qui ont été précédemment 
développées, mais plus simj)les encore et presque évidentes. 

Soient O l'origine des coordonnées de K,/, correspondant, pour 
simplifier, à l'origine des coordonnées o de e„ ; A un point (piel- 
conque de E,,. Joignons OA. I.e cercle (7) de centre O intercepte 
sur OA un segment 00, (pii est l'image d'un arc de courbe oOi 
de c„. Le cercle (7) de centre Oi intercepte un segment de O, Oo, 
image d'un arc 0| Oo de e,,^ et ainsi de suite. 

Si les points successifs o„ restent à dislance finie, les seg- 
ments 0,iO,i^t sont tous plus grands (pi'une longueur fixe. Mais, 
dans le cas contraire, nous savons que la ligne O 04 O2 . • • O,, . . . 
doit également avoir une longueur infinie. 

Donc, en toute hypothèse, l'un des segments 0/iO/,+< comprend 
le point A, et celui-ci est l'image d'un point de e,t. 

17. Remarquons, [)our finir, que les hypothèses de dérivabililé 
faites en commençant sur nos fonctions/*/ ne sont nullement néces- 
saires. Il suffit de su])poser ces fonctions continues, et d'imposer 
les conditions suivantes : 

A. Tout point a de e,i est le centre d'une sphère cia telle que 
deux points distincts intérieurs à celte sphère ne puissent avoir la 
même image. 

B. L'image de tout point a de d est (dans E/^) le centre d'une 
sj)hèrc telle que tout point intérieur à cette sphère soit l'image 
iVuu point intérieur à a^. 

C Une ligne joignant l'origine à un point indéfiniment éloigné 
dans (',1 ne peut avoir pour image une ligne reclifiable et de lon- 
gueur finie ds E,^. 

Les deux premières reviennent à dire que le résultat que l'on se 
propose de démontrer est supposé vrai localement, c'est-à-dire au 
voisinage d'un point quelconque. 



— h:; - 
remarques sur quelques théorèmes d'existence; 

Viiv M. K. (jolusat. 

1. Kn dcmonlrant, d'après (Liiicliy, rexislencc d'une inlégrale 
do rc(jnallon au\ drrivéos parlicllcs 

se réduisant, pour ^ = :ro, à une fonction donnée o{y) de /? sous 
les condilions habiluclles que je ne rapj)clle pas, on s'allache uni- 
cpiemenl à prouver que l'on peut ol)Lcnir un développcnienl en 
série enlicrc qui satisfait formellement à l'c'quation (i), et qui est 
convergent tant que les modules des dilTérences :î7 — -^ojj^ — y<> 
restent inférieurs à certaines limites. Il semble, d'après cela, ([ue 
l'existence de la fonction intégrale n'est établie que dans un 
domaine de valeurs des variables complexes défini par les con- 
dilions 

\x — XQ\ir, ir — roU/-', 

7' et r' étant deux nombres positifs. Mais il peut se faire que la 
fonction donnée '^(jk) soit holomorphe en dehors du cercle de 
rajon ;' décrit du point yo pour centre dans le plan de la variable y. 
Il est bien facile, comme nous allons le voir, de compléter la 
démonstration de façon à montrer que l'existence de la fonction 
intégrale est assurée dans un domaine plus étendu (jue le pré- 
cédent. 

2. Nous présenterons d'abord quelques remarques bien simples 
qui nous seront utiles. Soit ¥[x^ y) une fonction analytique des 
deux variables complexes x et y, holomorplie lorsque les va- 
riables ^ et y sont assujetties respectivement à rester dans deux 
domaines cQ^; et (Oj, limités par une ou plusieurs courbes fermées, 
et comprenant leurs frontières ; toutes les dérivées partielles 
de F(jc, y) sont alors liolomorphes dans les mêmes domaines. 
I^orsque les deux domaines cD.r, (0^ se com|)osent de deux cercles. 



-sc- 
ia forinulo de Taylor fournit pour ¥(x,y) nn développement en 
série entière valable dans tout cet ensemble. 

Considérons encore le cas où un seul domaine, (D^ par exemple, 
est un cercle de centre Xq et de rayon R, tandis que le domaine CDy 
est limité par une ou plusieurs courbes fermées de forme quel- 
conque. Si l'on donne à la variable j>^ une valeur déterminée y 

dans le domaine (D^, la fonction F (a:, y) de la variable x est 
holomorplie dans le cercle de rayon R et de centre Xq', il s'ensuit 
que la fonction F(:r, j)') peut être représentée par un dévelop- 
pement en série entière ordonnée suivant les puissances de :r — ^o • 

(2) F(^,y)=Po(jK)4-Pi(7)(^ — .^o)H-...+ P«(jK)(:r-:ro )« + -.... 

dont les coefficienls sont des fonctions holomorplies dey dans le 
domaine (Dj. Le coefficient P,i(y) est égal en effet au quotient 



1 .2 



.3. . .n \dx"^ /j.: 



Le développement (2) est convergent tant que les variables x eiy 
restent respectivement dans leurs domaines, et la formation de 
cette série e:xige seulement que l'on connaisse les expressions des 
dérivées successives par rapport à ^ de la fonction F(^, y), 
pour X = Xq^ lorsquej^ décrit le domaine (D^. 

Soient jKo ^i" point intérieur au domaine (Oj, et p un nombre 
positif tel que le cercle de rayon p et de centre yo soit tout 
entier dans (D^. A l'intérieur de ce cercle, les fonctions Po (y)? 
P,(y), . . ., Vji(y)^ . . . peuvent être développées en séries entières 
ordonnées suivant les puissances de y ■ — yo et le développement (9.) 
peut être remplacé par un développement en série entière ordonné 
suivant les puissances de x — .Tq et dey — Vo * 

i A 

mais ce nouveau développement n'est valable que dans une partie 
du domaine (i^j, tandis que le précédent (2) est valable dans tout 
ce domaine. 

Inversement, supposons que l'on ait obtenu, pour une fonction 
des deux variables x, y, un développement en série de la forme (2), 



— 87 — 

(liuis l<MjU(!l l(^s cocffiricnls i\,()/), !*,()'), ..., l*,Jy), ... soiil. 
(les ronclions liolornorphcs de y dans le domaine (Oy. Snpposons 
do plus (ju'cn rcniplaeanl chacimc de ees ionelions ^\i{y) p^J'' •''^>" 
dévelo[)[)enienl en série entière suivant les puissanees de y — )o 
( r„ étant un point quelconfjuc intérieur à (£)j)^ la série entière (3) 
obtenue soit convergente j)Ourvu que l'on ait 

\x- xol^n, \y—yo\^p, 

Il et p étant deux nombres positifs, dont le p/emier K est indé- 
pendant de y^. II suit de là que la série (2) est convergente lorscpio 
la variable x est dans le cercle de rayon U décrit du j)oint Xs^ pour 
centre, la variable j^ restant dans le domaine (Oj, et que la somme 
de cette série est une fonction holomorphe dans ce domaine. 11 
en est ainsi en eflet lorsquejK est dans le voisinage du. point jo? et 
ce point j'o est un point quelconque dej^* 

3. Tout ceci s'étend immédiatement aux /"onctions analytiques 
d'un nombre quelconque de variables. Soit 

a = F(:ri,.r.2, ...,Xi>\yx, • . . , r?) 

une fonction àe p ~\- q variables xi^ y^ 

(/ = I, 2, ...,/?; A- == 1,2,.. .,q), 

que nous partagerons en deux groupes jouant un rôle dissy- 
métrique. Chacune des variables Xi décrit un cercle de centre 
fixe ^J* et de rayon /\, tandis que chacune des variablesy^ décrit 
un domaine (D^, limité par nnc ou plusieurs courbes de forme 
arbitraire ; nous supposerons tous ces domaines fermés, c'est-à-dire 
comprenant leurs limites. Si la fonction u est holomorphe lorsque 
les variables Xi^yk décrivent leurs domaines respectifs, elle peut 
être représentée dans tout cet ensemble de domaines par une série 
entière ordonnée suivant les puissances de x, — x\^ x-^ — a;",..., 
"^ p ^ pi 

(4) u =^^'^y.,,oi,....,oi,{oc,~ œ\Y^{x,- x\)^^ . . .{x„- x^Yr, 

les coefficients A^^ qj, ^^ étant des fonctions holomorphes des va- 
riablcsy;^, quand elles restent respectivement dans les domainesCO, , 



- 88 — 

(Do, ...,(ir)y. Ces cocniclcnls s'expriment encore an moyen des 
dérivées parlielles de la fonclion if par rapport aux seules va- 
riables Xi^ où J'on aurait remplaeé après la dinférentiation xi 
par ;2;". La réciproque s'énonce comme plus haut et s'établit de la 
même façon. 

Pour appliquer ces considérations au domaine réel, il suffit de 
supposer que les membres x\^ " ■> ^p sont tous réels, et que les 
diflerents domaines (ù,, (Oo, . . ., cQ^ se réduisent à des bandes rec- 
tangulaires infiniment minces comprenant un segment de l'axe 
réel dans le plan de la variable correspondante. Reprenons, par 
excn)ple, une fonction z = V(x,y) des deux variables ^,J)', que 
nous supposons holomorj)lie lorsque x reste dans un cercle de 
rayon R et de centre a (a étant réel), et que la variable y reste 
dans le rectangle obtenu en faisant varier la partie réelle dey de b 

■d c (b cl c étant deux nombres réels), et la partie réelle de =4 

de — sa -f-s. Admettons de plus que cette fonction prend une 
valeur réelle quand on donne à x une valeur réelle, comprise 
entre a — R et a -h R, et à y une valeur réelle, comprise entie b 
et c. Alors l'équation 



représente, par rapport à un svstème de trois axes rectangu- 
laires O^, Oy, O^, une bande de surface se projetant à l'inlérieur 
du rectangle limité par les quatre droites 



X = a — R, X = a -i- \{, y — b, 



y 



c. 



Vouv tout point j)ris dans ce rectangle, z est ('gai à la somme d'une 
série convergente de la forme (2), l\), P,, ..., P,/, ... étant des 
fonctions continues de r entre b et c. La série de Tajlor ne repré- 
senterait la surface que dans un domaine bien moins étendu, ïfi la 
fonction F(.r,jK), considérée comme fonction dej', avait des points 
singuliers voisins de l'axe réel dans le plan de la variabley. 

Considérons par e\enq)le la fonction ^ = Log(i -i- ^ -h j) ; si on 
la dévelo])pe en série entière ordonnée suivant les puissances de x 
et dey, la série obtenue ne scia coiivergenle (|ue si l ou a 

U-l^l^Ki. 



— 8<.) - 



Mais oi\ a aussi 

Log(n-x-+-jK)r= r.>s(i H- j) 

X x"' (—1)"-' .r" 

H ; ■ -f- . . . H ifc . . . 

\-\-y •i{\-\-y)''' Il (i-Hy)" 

cl la nouvelle s.v\'\v est convcrgonlc si^ csl posilif; cl | ^ | inférieur 
à riinilé. 

\. Reprenons mainlcnanl réf|ualion aux dérivées partielles 

et supposons que l'on veuille obtenir une intégrale de cette é(jua- 
lioii s(! rc'duisaiil, pour x =:r,), à une fonction donnée ^{y)- 1^'> 
posant z = ^(y) + f{^ ré(pialion proposée devient 



Ou _ r 
ôx "^ 



•^. r^ ?(y)-^ ih v'(jk)4- 



()U 

oy. 



et Ton est ramené à trouver une inlé<j;rale de la nouvelle écpiation, 
s'aniuilaiit, cpiel que soity, pour x = ^r,). Pour ne pas multiplier les 
notations, nous partirons de l'équation (i) en supposant que la 
fonction initiale o{y) est cp(j)^) = o, et nous supposerons que la 
l'onction f{x,y^ z^ q) des quatre variables x, r, g, q est liolo- 
mor[)lie lorsque les modules de x — x^^ z^ q ne déj)assent pas cer- 
taines valeurs positives «, ^, c, tandis cjue la variable y reste dans 
un domaine fermé (0^, limité par une ou plusieurs courbes. Le 
second membre f[x^y^ Zy q) peut alors être développé en série 
entière ordonnée suivant les puissances de x — Xq^ de z et de q^ 
dont les coeflicients sont des fonctions liolomorpbes dey dans le 
domaine cOj 

f = ^^\'^jior — x,)^z^qy. 

lmai;inons de même que l'on développe l'intégrale clierchée, qui 
s'annule pour x = x^, suivant les puissances de x — ^o? 



(5) z=^oi{y){x — x^)-\-o.2{y){x~XQY 



?/i(r)(^' — ^0)" 



En substituant cette série à la place de z dans l'équation (i), et en 
remplaçant de même q par 

9\(y) (^ — ^u) + ^'.Ay){x — x,,)^^. . .4- o'„ iy){x — :ro)"-f- — 



- 90 — . 

on oblicnt deux séries cnlières en x — X'o ; en écrivant qu'elles 
sont identiques, on détermine de proche en proche les coeffi- 
cients ^i(y), ^2(jO' ^^^ moven des coefficients P^py parles seules 
opérations d'addition, de niulli})lication, et de dlfférentiatlon. 
Tous les coefficients de la série obtenue (5), (pii satisfait formel- 
lement à l'équation (i), sont donc des fonctions holomorphes dey 
dans le domaine côj. 

Théorème. — Soit cD' un domaine quelconque intérieur à CD^, 
limité par une ou plusieurs courbes n^ ayant aucun point com- 
mun avec la frontière de (D^. A ce domaine (ô' on peut associer 
un nombre positif R tel que la série (5) soit convergente pour 
toute valeur de y dans côL pourvu que l^on ait \x — ^o | = f^» 
et représente une fonction holomorphe des deux variables x 
et y dans ces domaines. 

Nous rappellerons d'abord le théorème d'existence de Cauchj, 
sous sa forme habituelle. Soit o(.x",y, z^ q) une fonction holo- 
morphe des variables x., y, ^, q, dans le domaine défini par les 
inégalités 

(6) |;r-^o|^a, ir-^cj^P, i ^ i ^ ^, Içl^c; 
l'équation 

(7) p = o{x,y, z, q) 

admet une intégrale holomorphe dans le domaine du point (^o? J^o)» 
se réduisant à zéro pour x = Xq^ quel que soit y. 

On a une limite supérieure des modules des coefficients de la 
série qui représente cette intégrale en considérant l'équation auxi- 
liaire 

(8) t-"= " 



dx 1^ X — ^q\ ( ^ y — y^\ ( ^\l \ diL\ 



(-^-^)(-^-^)(-"^)(' 



c ôy } 



t 



où M est une limite supérieure du module de cp(.r, j^, ^, q) dans le 
domaine défini par les inégalités (6). Cette équation auxiliaire 
admet elle-même une intégrale s'annulant pour x = Xq^ et cette 
intégrale est holomorphe dans un certain domaine 

|^-a7o|^R, \y—yo\%r, 



- 01 - 

K cl /' étant des nombres positifs (|iii no dt-pcndont que de M, a, 
6, 6', p. L'inl('j^rale de ré(juati()n (-) est a fortiori lioloinorplie 
dans le int'nie domaine. 

Cela posé, soit M un nonihre siipéi icMjr à \J\x^y^ -3, (f)\ lorsque 
la varial)ley décrit le domaine (Oj, tandis que les motiules de x — x^^ 
z, (j ne dé|)assent pas les limites a, ù, c, 

Prenons en même temps un nombre positif p tel que I(î cercle de 
rayon p décrit d'un point quelconque de (X)' pour centre soit tout 
entier ji l'intérieur de (Oj. Les nombres «, 6, c, p, M étant ainsi 
définis, soit yo ^^'^ i)oint quelconque de (ô'^.; d'après le théorème 
que nous venons de rappeler, l'écpiation (i) admet une intégrale 
bolomorpbe dans le domaine du point (^07 yo)» se réduisant à zéro 
])Our:r =^Xo. Cette intégrale est représentée par un dévelop[)ement 
en série entière 

(9) ^ =^Co,^{^ - a:o)^{y -yo)^ 

convergente pour 

Si l'on ordonne cette série suivant les puissances de x — x^, la 
nouvelle série obtenue est forcément identicjue à la série (5), 
puisqu'elle doit aussi satisfaire formellement à l'équation (i). Le 
nombre R étant indépendant dejKo, il suit de là qu'inversement la 
série (5) est convergente pourvu que l'on ait 

I ^ — ^0 1 = R» 

lorsque y décrit la région (©' , et représente une fonction holo- 
morplie dans ce domaine. C'est la proposition que l'on voulait 
établir. 

5. Il n'est nullement évident qu'une fonction analytique des 
deux variables x^ y qui, pour x = Xq^ se réduit à la fonction '^{y) 
de la seule variable j^ holomorphe dans un domaine cOj, soit aussi 
une fonction bolomorphe par rapport aux deux variables x cly 
lors(jue X décrit un cercle de rayon /• >> o et de centre Xq^ et que y 



- 1)2 - 

docril un domaine (V)' intérieur à (0^, aussi petit que soit le rayon /•. 
l^ar exemple, la fonction 

se réduit, pour ^ = o, à une fonction liolomorplie dans tout le plan, 
et cependant ce n'est pas une fonction liolomorplie des variables x 
cl y dans le domaine défini par les inégalilés | .r | ^ /', \y\^ p, aussi 
petits que soient les nombres positifs r et p. 

]^a propriété qui vient d'être démontrée a son origine dans cette 
circonstance que les coefficients des diverses puissances de ^ — Xq 
dans le développement cherché s'obtiennent par des additions, 
multiplications et dilTérentiations. On ne peut introduire ainsi de 
singularités n'appartenant pas aux fonctions dont on est parti. Il 
n'en serait plus de même si ces coefficients se déterminaient par 
l'intégration d'équations différentielles. Ce cas peut se présenter 
effectivement quant on veut déterminer une intégrale d'une 
équation aux dérivées partielles passant par une caractéristique 
donnée (' ). Considérons par exemple l'équation linéaire. 

Y et Y, étant des fonctions holomorphes de la variable y dans un 
domaine comprenant un segment ab de l'axe réel (a -< ^), et pre- 
nant des valeurs réelles tout le long de cet axe. La droite x-=o^ 
;: r= o est une caractéristique; il existe donc une infinité d'inté- 
grales réelles z = F(^, r) se réduisant à zéro pour a::=o, mais il 
peut se faire qu'il n'en existe aucune qui soit holomorphe lorsque 
l'on a I ^ I <; /■, (juelque petit que soit le nombre positif ;•, et que 
la variable y reste dans un domaine comprenant le segment ab de 
l'axe réel dans le plan de la variable y. En effet, si l'on cherche à 
développer une intégrale s'annulant pour x = o suivant les puis- 
sances de x^ 

(lo) z = x'^i(y)-{- x'^o^iy)-^..., 

on a, pour déterminer le premier coefficient o, (y), l'équation 
différentielle de Riccati 

?U7)-^?ï-+-Ycp,-4-Y,= o, 
(') L'élude de ce cas fera l'objet d'un procJiain Mémoire. 



- m - 

(jiic Ton lamriic à \\\w (Mjiialion (li(l(':rcnli(:ll(; liii(';airc 

u -\- \u ^ Y, — o, 

on i^osanl 0,= — • Si loulcs les inl('irralcs r('oll(;s de rccnialion 

linéaire en u oui an moins une racine enlre a cl />, loiiU,' inLé^iale 
rcellc de ré([ualion en cp, aura au moins un pôle dans le même 
intervalle. Le développemenl (10) ne pouria donc s'a[)[)liquer à 
tout l'inlervalle (r^, ^), aussi petit que soit \x |. 

G. Nous allons vérifier le théorème général qui précède; dans un 
cas particulier, au moyen des méthodes habituelles du calcul des 
limites. Considérons l'équation aux dérivées partielles 

(II) /?=-, -7 r-7 -7 r— M, 



a 



b \ c / \ p 



où M, a, ^, c, sont des nombres positifs. D'après le théorème 
d'existence de Cauchy, tel qu'on l'énonce habituellement, on peut 
affirmer que cette éqnation admet nne intégrale Z(x^y) holo- 
morphe dans le domaine du point ^ = o, y = o, et se réduisant 
identiquement à zéro f)Our ^ = o. Nous pouvons éiîoncer une pro- 
position plus précise en observant que le domaine (Ôj est ici un 
cercle ayant pour centre l'origine : 

A tout nombre positif ^i <C i on peut associer un autre nombre 
positif r^ tel que V intégrale 7^[x^ y) soit sûrement holomorphe 
lorsque les modules des variables x et y ne dépassent pas les 
nombres hb et r, respectivement. 

Pour démontrer directement cette proposition, il suffit de com- 
pléter sur certains points la démonstration que j'ai donnée (*) an- 
térieurement des théorèmes généraux d'existence. On peut sup- 
poser, pour simplifier un peu les calculs, ^ = «, car il suffit d'une 

transformation telle que y =^ " y'-: y' <'l3nt la nouvelle variable, 

pour être ramené à ce cas. Nous pouvons aussi remplacer l'équa- 

(*) Dulleliii de la Socic'le mathématique. — Cours dWnalyse maUicinalique, 
t. II, p. .3Go et suivantes. 

XXXIV, 7 



- 9i - 
lion (i i) par une équation auxiliaire 



(12) 



P 




M, 



a étant un nombre positif inférieur à l'unité, car le second 
membre de la nouvelle équation est une fonclion majorante pour 
le second membre de l'équation (i i). Le développement en série 
entière de l'inlégrale 7j(x,y) de l'écpiation (i i) qui se réduit à 
zéro pour x=o est certainement convergent dans le même 
domaine que le développement en série entière de l'inté- 
grale Xi(x,y) de l'équalion (12) qui est identiquement nulle 
pour X = o^ et celle-ci à son tour est certainement convergente 
dans le même domaine que toute autre intégrale de la même équa- 
tion («2) représentée par un développement en série entière dont 
tous les coefficients sont des nombres réels et positifs. 

Cela étant, clierchons uue intégrale de l'équation (12) qui soit 

fonclion de la seule variable X = ' — \- y. SI l'on a 



= /(f+r)=Z(X), 



on en déduit 






dZ 
dX 



et l'équation (12) devient 



a dX 



M 



X 



1 ^11 I 



ce qu on peut encore écrire 

. -. /i M\ dZ I /dZ 

^'^> («-7; ^ = ^(^ 



I dZ \ 
Q dx) 



M 



^ -M, 



(-iH 



c 



TTC —M. 



Si le nombre positif a est inférieur à -yf > l'équation (i3) admet 

une intégrale liolomorplie dans le domaine de l'origine, se rédui- 
sant à zéro, ainsi que sa déri\ée première, pour X = o, et repré- 



m 



sonlro |);u" iiik^ svvir v\\\irvr. donl Ions les ;iiilr(;s (■<>('((i(;i(!nl.s sont 
l'écls (il |)()silifs. (]v\.\ siiKil pour pi'oiivci" (juc rinl('^r;il(; 7à{x^y^ 
csl liolomorplic dans \\\ voisinai;*! des valeurs X — - o, y ■=. o. I\)iir 
conipléU'r la déinonsl rai ion, nous allons ('liidicr le doniaiiMi d(; 
convergence; (h; l'inlé^rah; de r(''(|nalion (i)), (|U(! nous venons 
de (UHinir, consid(';réc comme lonclion de \ el de a. 
(]clle ('(jnalion (i3) peut s'éeriie 



I 



en [)Osnnl, pour ahréj^er 



M 



(-.)('-') 



M 



la racine de réqiialion (i3 hls^ qui est nulle pour X = Z = o 
a pour expression 



(•4) 



d'L _ p — a.AI 



-V 



4apç(X, Zj 



(p-aAIj^ 



en prenant la détermination du radical qui se réduit à l'unité 
poura = o. Soit Q' un nombre positif inférieur à l'unité; la fonc- 
tion cp(X, Z) est holomorplie lorsque l'on a 

|X|^fJ'«, |Z|<0'c, 

et son module reste inférieur à un nombre positif A. Prenons un 
nombre positif a, << |r, tel que l'on ait 

4ap 



(p — aA])2 



<i, 



lorsque | a ] est inférieur à a,. Le second membre de l'éijualion (i4) 
considérée comme fonction des variables X, Z, a, est alors une 
fonction ljoIomorj)lie de ces variables dans le domaine défini par 



les inégalités 



|X|^0'«, IZ^O'c, lal<a.. 



et, si Ton d('veloppe ce second membre suivant les j)uissances 
de X, Z, a, lous les termes du développement contiennent a en 



— i)G - 

racleiir. Pour a = o, l'équalion (i4) admet rinlcgralc particu- 
lière Z=:o; d'après uq lliéorème général de M. Poincaré ('), 
l'intégrale de cette équation qui est nulle pour X = o est une fonc- 
tion holomorplie de X dans le cercle de rayon O'O^rt (B'' étant un 
nombre positif inférieur à i), pourvu que |a| soit inférieur à un 
nombre positif convenable. Mais 8' et 8" étant deux nombres posi- 
tifs quelconques inférieurs à un, le produit ^'^"a est un nombre 
positif quelconque inférieur à a, et le résultat obtenu peut s'énoncer 
ainsi : a' étant un nombre positif quelconque inférieur à a, on 
peut prendre pour a un nombre positif assez petit pour que l'in- 
tégrale de l'équation (i3) qui se réduit à zéro pour X = o soit une 
fonction holomorplie de X dans le cercle de rayon a décrit de 
l'origine pour centre. 

Si l'on développe cette intégrale suivant les puissances positives 
des deux variables x et y, la série obtenue sera convergente pourvu 
que l'on ait 



+ ljK|Sa' 



Etant donné un nombre positif 9 inférieur à un, prenons pour a' 
un nombre compris entre 9a et a, et soit e un autre nombre positif 
inférieur à a' — 9a. La série précédente sera convergente si Ton a 



ljl<e«, 



<£; 



il en sera donc de même a fortiori de la série entière qui repré- 
sente l'intégrale Tj[x^y) de l'équation (i i),qui est nulle pour ^ = o, 
ce qui démontre la proposition énoncée. 

Remarque. — Il est à remarquer que le théorème général du 
n'^ 4 pourrait se déduire du cas particulier précédent. En effet, si 
le domaine (Dj est simplement connexe, on peut le remplacer par 
un cercle en effectuant sur la variable y une transformation con- 
forme, et, au moyen de quelques transformations faciles, on peut 
aussi ramener l'équation (i) à la forme (i i). 

Lorsque le domaine cOj est à connexion multiple, on démontrera 



(') Les Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, t. I, chap. II. 



— î)7 — 

(le la mcinc faron (|U(! rinlc^ralcî <l('l.(Minin('(; par los conditions 
initiales est hol()niorj)lie lorscpie la variahlcî y (l<';eiit tin domaine 
siniplenK'fil connexe (\>'y intérienr- à (0^, pourvu (jiic \x — x^\ 
reste plus pclit (pi'un noniluc positif convenahle. Coninn; tout 
domaine intérieur à (0^ peut se décomposer en un nombre fini d(; 
domaines simplement connexes, on en dculuit (micoimî aisément le 
théorème général du n" i. 

7. La méthode précédente s'étend, sans d'autres difficultés que 
quelques complications d'écriture, à un système d'équations aux 
dérivées partielles d'ordre quelconque, ramené à la forme normale. 

Soit 

un système de p équations aux dérivées partielles entre les /> fonc- 
tions Z{ , Z'2', . . ., Zp^ et m variables indépendantes ^,, jCo» • - ■, ^ni\ 
les seconds membres F,,F2, ..., F^ ne renferment, outre les 
variables et les fonctions inconnues, que les dérivées partielles de z^ 
dont Tordre ne dépasse pas /i,, les dérivées partielles de Z2 dont 

l'ordre ne dépasse pas /io, etc.; enfin, les dérivées partielles -r-~ ne 

figurent pas dans ces seconds membres. 

D'après le théorème général de Caucliy,un système d'intégrales 
est complètement déterminé si l'on se donne les fonctions 
des [m — i) variables Xo^ ^3 -- -i oCj^ auxquelles se réduisent 
pour Xs = x\ les fonctions 

«1, 




- — f • . .) 



[2 

dx\ 



dz>, 
'1 
. . . , 

àzp 

ÙX\ 



àx'[' 


-1 ' 

•3-2 


ùx'[^ ' 


()«,,- 


'^P 


dx'\\ 


.-l 



Nous supposerons, ce qu'on peut toujours faire sans diminuer 
la généralité, que toutes ces fonctions initiales sont nulles. x\ous 
admettrons en oulrc que les fonctions F,, Fo, ..., Vp sont holo- 



— 98 — 

morphes dans un domaine (Ô défini de la manière suivante : chacune 
des {m — i) variables x^^ ^^3, . . ., x„i reste comprise dans son plan 
dans une région de forme arbitraire, limitée par plusieurs courbes 
fermées, tandis que les modules de x^ — x\, et de toutes les autres 
variables qui figurent dans ces fonctions, restent inférieurs à des 
limites convenables. Dans ces conditions, si Ton fait décrire à cha- 
cune des variables X2, x^^ . . .,x,n des domaines (t^o? (i^nj - - ■■> (0/«,i'6s- 
peclivement intérieurs aux précédents, on peut leur faire corres- 
pondre un nombre positif Tj tel que les intégrales satisfaisant aux 
conditions initiales données soient holomorphes lorsque les va- 
riables X2-, ^3, . • ., x„i restent respectivementdansles domaines (D^? 
()r)3, . . ., cD;„, pourvu que le module de Xt — x^l reste inférieur à 7j. 

Remarque. — Au lieu de supposer que chacune des va- 
riables x-2-, .^3, . .., Xm décrit dans son plan un domaine déterminé, 
on peut faire une hypothèse plus générale. La variable com- 
plexe Xi est en eflet l'ensemble de deux variables réelles 

, I .; . 

X l X l -T- V ^ '^ L J 

si l'or) regarde les iin — 2 variables x^, x\{i-= 2, ...,//i) comme les 
coordonnées d'un point dans l'espace à 1111 — 2 dimensions, tout 
continuum connexe à 2/?? — 2 dimensions Ro„i_2, situé dans l'es- 
pace à 'im — 2 dimensions, définit un domaine de variabilité pour 
le sjslème des variables complexes Xo, .^3, ..., Xm- Tout conti- 
nuum ll!,,,,_<,, intérieur à R2/«-2i définit de même un nouveau 
domaine de variabilité intérieur au premier. Cela posé, on voit 
aisément qu'au lieu de supposer que chaque variable Jtv(i >> 2) 
décrit un domaine déterminé isolément, on pourrait supposer le 
domaine de variabilité de ce système de variables défini par un 
certain continuum Ko„/_2. Il suffirait alors de modifier l'énoncé en 
remplaçant l'ensemble des domaines iDo, ..., cO,„ par un conti- 
nuum K!,,,. ., intérieur;» W^m 2- 



11. 

8. On peut applicpier le théorème général du n'' 4 aux é({uations 
différentielles ordinaires de différentes manières. On peut. j)ar 



\)\) — 



oxcMiipIc, (M)nsi(lcrcr les viilciirs inilialcs comme de nouvelles 
vai'iables iiHh'peiulaiites, ur (i^inant pas (î\j)li(;il(;in(;nl clans les 
é(|ualions. Ainsi, soit 



(.6) 



(/j- 



■■/(•r.y) 



nnc ('(jualion (lillerenLielle du premier ordre, cl soit V(j:, .ro,yo) 
rinléi^rale de celle écpialion (pii prend la valeur j>'„ poura: = j;o. 
l*our étudier celle intégrale, considérée comme fonction des trois 
vaiiables indépendantes .r, Xq, yo-, on peut poser dans l'érpia- 
lion (i(i) X :=: J' -h ^Jc' -, y '^^ y -^- y 1 ^<' qui conduit à une nouvelle 
équation 



(«7) 






que l'on pent regarder comme une équation aux dérivées partielles 
définissant une fonction des trois variables x'^Xo,yo- En appli- 
quant le théorème général à l'intégrale de l'équation (i-^) qui est 
nulle pour x' = o, on obtient le résultat suivant que l'on pourrait 
aussi établir directement. 

Supposons la fonction f{x^ y) liolomorplie lorsque les va- 
riables X, y décrivent respectivement dans leurs plans deux 
domaines fermés (Oj;, (0^ . Soient CD^., (O' deux nouveaux domaines 
intérieurs respectivement aux précédents (0^;, cO^, et limités par 
des courbes fermées n'ayant aucun point commun avec la frontière 
decO^ou de (0^. Aces deux domaines (D^, (O' on peut faire corres- 
pondre un nombre positif R, tel que l'intégrale Y(x,^0)yo) soit 
holomorplie, lorsque les variables Xq^ y^ décrivent respecti- 
vement (0^ et (ir)' pourvu cpie le module (\e x — ^o soit ^ K. 

Cette intégrale ])eut être développée en une série entière 
ordonnée suivant les puissances de ^ — Xq 

dont les coefiicients V,i sont des fonctions holomorplies des va- 
riables x^^yc dans les domaines (O'^ et (ô' respeclivement Quelles 
que soient les valeurs de ces \ariables, pour\u (pielles appar- 
tiennent à ces (loiuames, le ravon de con\ergence de la série 
enlière est au moins (''i;al à R. 



— 100 — 

On sait (jiic celle proposilion joue un rùlc imporlant clans la 
théorie analylique des équations cliffércntielles. 

9. Considérons encore une équation difTércntielle du premier 
ordre 

(•8) S^-^^-^'-^'^^^' 

dont le second memhrc f{x , y , a) est une fonction liolomorphc des 
trois variables x, y, X, lorsque les variables x el y restent respec- 
tivement dans le voisinage d'un système de valeurs ^o,yo5 tandis 
que le paramètre ). décrit un ceitain domaine (0),. On peut regarder 
Féquation (i8) comme une équation aux dérivées partielles entre 
les deux variables indépendantes x et \ et la fonction y. D'après 
le théorème général démontré au n" 4, t^iiitégrale de cette équa- 
tion qui, pour œ = XQ^ prend la valeur yo, est une fonction 
holomorphe de x et de )v, lorsque la variable \ décrit un 
domaine quelconque cO) , intérieur à (Dx, pourvu que le mo- 
dule \x — ^0 1 l'cste inférieur à un nombre positif assez petit. 
Cette proposition (' ), qui pourrait évidemment être généralisée, 
est utile pour établir certains théorèmes d'existence, comme nous 
allons le montrer par un exemple. 

10. Soit 

(19) 5 = F(^,7, ^,/>, <7, r, ^)= aa? 4- Pj/H- -(z-^a^p-^ ^^q -i- ar-^ bt-h ... 

une équation aux dérivées partielles du second ordre dont le second 
membre est une fonction holomorphe des variables x.,y,Zyp.,q.,r, i, 
dans le voisinage des valeurs 

x^=y = z=p = q = r=t=^o. 

s'annulant pour ces valeurs. Proposons-nous de déterminer une 
intégrale de cette équation, holomorphe dans le domaine des va- 
leurs x=y = o^ et s'annulant identiquement, quand l'une des 
variables x on y prend la valeur zéro. Si l'on supj^ose cette inté- 



( ' ) On remarquera que ce théorème est très dilïércnt du théoi'ème cité plus 
liaut de M. Poincaré. 



- 101 - 

j];ralc développée en série cnlièr(î, Ions les leniies sont divisibles 
par xy. Pour ealeulcr les eoeCdeieiiLs dr, eelLe série, il suffit de 
pouvoir exj)riiner toutes les déiivées partielles (I(î la fonetion 
inconnue 

()'" t " z 

au moyen des dérivées partielles prises par rapport à la varia!)Ie x 
seule, ou à la variable y seule. Si les coefficients a et h de /■ et 
de t dans le second membre sont quelcon(|ues, ce calcul ne peut 
se faire par des additions et des multiplications seulement. l*ar 
exemple, pour calculer les deux dérivées du troisième ordre 

(Pz O^z 



dx"^ ôy ôx ()f^ 

on a à résoudre deux équations linéaires 

d^ z ^'^-^ _ 17 

Ox'^ Oy dx dy'~ 

d-'z , â^z 



Ox'^ ây dx ây'^ 

les seconds membres s'exprimant au moyen de x^y, ^i Pi ^li ^i ^ 

et des dérivées -^-t' t— :• Si l'on suppose qu'aucun des coef- 

ox^ oy^ ^ ^ ^ 

licients a, n est égal a zéro, on voit que (^^^^^j^^ et y^^^ ) ^ 

ne s'expriment pas au moyen des coefficients de F par les seules 
opérations d'addition et de multiplication, et l'on ne peut appliquer 
sans précaution les méthodes habituelles du calcul des limites. 

Pour éviter cette difficulté, introduisons dans l'équation (19) un 
paramètre variable A, en remplaçant les coefficients a el b de /• et 
de t par «A et b/. respectivement, et considérons l'équation auxi- 
liaire 

(•20) s =¥{x, y,l, z,p, q, r, t), 

qui ne diffère de l'équation proposée (19) qu'en ce qu'on a rem- 
placé «par aXelb par b\. Si l'on regarde maintenant ^,j^,X comme 
trois variables indépendantes, on peut se proposer de délerminer 
une intégrale de cette équation, holomor[)lie dans le voisinage des 



— 102 — 

\ii\curs X =^y = Â ^=1 (), cl s'aiimilanL idcnlifjiicincnl (juand 1 une 
âv.s variables a: ou y n la valeur zéro. Pour cela, ou counincuce par 
former une série entière en x^y, A 

(•21) 2^^<^'''-^''-^'^^^^' 

satisfaisant formellement à l'équaliou (s"), et ne contenant aucun 
terme indépendant de :c ou de y, de façon cjue tous les coef- 
ficienls Copy, C^oy soient nuls. Pour montrer que cela est possible, 
imaginons cette série ('^-i) ordonnée suivant les puissances entières 
de A; elle s'écrit 

(21 bis) Z — Z^-^ \zi -i- l-Z-i -4-. . .-^\"Za +• . ., 

^0) ^\t • • -, ^//, ... étant des séiies entières en x et y, dont tous les 
termes sont divisibles par ^j/*. Si l'on substitue celte série à la place 
de z dans les deux membres de Téquation (20), et qu'on identifie 
les coefficients des mêmes puissances de A dans les deux membres, 
on a pour déterminer Zq Téqualion 

<^-^o ^( àzo dzn a^co à-z^A â'-Zo , d'^ z,, 



dx dy \ ' àx ôy dx- ôy- j ôx^ dy'^ 

dont le second jnembre ne renferme aucun terme du premier degré 

en -— ^ ou -j-^', on sait fjue cette équation admet une intégrale liolo- 

morj)he dans le domaine du point ^ = o, y := o, s'annulant quand 
l'une des variables x ou y a la valeur zéro, et lous les coefficients 
de la série qui représentent ^o se déduisent des coefficients de F 
par des additions et des multiplications seulement. ]])'une façon 
générale, en égalant les coefficienls de A" dans les deux membres, 
on a pour déterminer z,i une équation de la forme 

à-Zn { àz„ à"z, 



= ^ix,y, Zn, -— -, ..-, 



dxày T y~^ y^ -"' ^^' ^ ^^2 

ne renfermant aucun leiine en — ^> — -^' En raisonnant de proche 

ax^ d\'^ *■ 

en proche, on voit donc que /'o/? peut former un développement 
en série entière, de la forme (:>. 1 bis) ou {'>^\), satisfaisant for- 
mellement à Véf/uation (20) et dont tous les eoeffieients se dé- 



(hiiscnl (les cor/'/ic/Cn/s dr hi /(nicl mii Vi.r^y^ 3, />», (f^ /', i) par 
les S('if/('s ojx'id l ions d' (iddil ion ci dt' niultipllCClUon . 

C^olii pose, i('m;»r(|ii()ii.s (jiiOii n.issc! de r(':(|u;il ion f'^o) \\ Y va^wa- 
lioii (!()) <Mi (loiiiiiinl Mti p;n;iinrl r(; A \\\ v;il(Mir L- - i . On pourra 
donc allinncr r(î\isLenccMl'nn(; inl(';^r;il(î (l(; ri'cjiialion {\\)) salis- 
faisnnl ;nix ("ondil ions ('non('<'('s si Ton p(Mil I lonvcr dfMix nombres 
positifs (picl(;on(pi('s Tj cL ■/■/, cL un nombre positif [a ^ i , Ud cpic la 
série enlière (:-*-! j soit converf^cnUî lorscpic l'on a 

l^K'^n \y\<-'!'> \'^A<v- 

Alors en eflel, la sc'rie (r>. i), où Ton fait \ =1 \ ^ est eonverj^enlc 
pourxii (pie l'on ail, |.7;|<;yj, !.x|<C^i7 et repr(;senl(; dans ce 
domaine une l'onction lH)lomorj)lie des variables x qX y qui satisfait 
à réfjualion (19) et qui s'annule f[iiand l'une des variables x et / 
prend la valeur zéro. 

11. l^our trouver une limite du domaine de convergence de la 
série ('->. i), nous pouvons maintenant nous servir de fonctions ma- 
jorantes, puiscpie les coefficients de cette série se déduisent des 
coefficients de F par les seules opérations d'addition et de multi- 
plication. 

Soit A^l^^l, B = I ^ j ; nous pouvons prendre pour fonction 
majorante de F(x, j', :;, A, /?, ^, /', ^) une expression de la forme 



(-^)(-^^r'j('-^J 



M^ + '-^'W^fAr-t-IU), 



M, p, p, et R étant des nombres positifs; la fonction 

INI ,./ /' + ^ 




_]M^ + C±^Wà(A/'-^BO, 



Pi / V i^ 



où A et / sont deux nombres positifs inférieurs à l'unité, est a for- 
tiori majorante pour F. Si donc nous cherchons un développement 
en série enlière de la forme 

(22) ^ Cix^iy Xa J-îi XY 



- lOi - 

donl tous les termes conlienneot xy en facteur, et satisfaisant for- 
mellement à l'équation 

(23) s= ^ m/^i- ^-5^')-AfA/ -L/,, 



\ r ' \ ri / \ **^ / 



tous les coefficients de ce nouveau développement seront des 
nombres réels et positifs supérieurs aux modules des coefficients 
correspondants de la série (21) 

Si donc la série (2^) est convergente dans un certain domaine, 
il en est de même de la série (21). 

Il existe une infinité de séries de la forme (22) satisfaisant for- 
mellement à l'équation (23), et tous les coefficients C^jQy se dé- 
duisent par les seules opérations d addition et de multiplication 
des coefficients dr,^^ et Cij^v. La série (22) s'obtient précisément 
en supposant que 1 on a 

Co^y = o, Ciov = o. 

quels que soient 7.. 3, •^. Si, parmi tous les développements de 
cette forme qui satisfont formellement à Téquation (23), il en 
existe un dont tous les coefficients sont des nombres positifSj qui 
soit convergent dans un certain domaine, on pourra affirmer que 
la série (22), et par suite la série (2 i), est convergente dans le même 
domaine. 

Cela posé, cherchons à satisfaire à l'équation (23) en prenant 

pour z une fonction des deux variables u =^ j — ^ j el /^^ 



'/''■)• 



on aui^ 



Z' = rr'^")' ^= 7?(">î 



^=^î?'«''), *'=^^'^"- '=^^5-''" 



— !():; - 



et rôqualion {.>')) dcvionL 



u^ V//2 



en posant 



= Mi'^*"^^' 



W = 



M 



{'-^)['-7.-Ut^-^Î}] 



-M. 



Voyons d'abord dans qnel cas on peut délcrminer les deux 
nombres positifs h et l de laçoii ([uc Ton ait 



(^4) 
ou 



A ] 

72 



^^-i7r. + 7^)>^>' 



Il faut d'abord pour cela que le trinôme 

ait ses racines réelles, c'est-à-dire que l'on ait 
(25) I — 4AB>o. 

Si cette condition est satisfaite, il suffira de prendre pour h cl / 
deux nombres positifs inférieurs à l'unité, de façon que le rap- 
port j soit compris entre les deux racines du trinôme, ce qui est 

évidemment possible. Les nombres k et / étant choisis de cette 
façon, posons 



n 



I I 



/l2 ' /2 Xj fil' 

X, étant un nombre positif supérieur à un; l'équation précédente 
peut encore s'écrire 

(26) ^ (i - ^) ?"(") = ?"^(^0 I n + k(i - x;) Î -^ '^^^"^ ^^ " *' ^'<">1' 

II et K étant des nombres positifs, ou 

( 26 ) Ci, ( ;/ ) = A / Ci ^ ( // ) , u J , I . ' ' . 



H 

A 



I — 



Xi 



- 106 - 

Cette équalion {'^i)') admet une intégrale s'anniilant ainsi que 
ses dérivées du premier et du second ordre, pour // = o, el, si Ton 
développe cette intégrale suivant les puissances de u et de A, on 
obtient, en identifiant les deux membres, des coefficients tous 
positifs. En remplaçant dans le développement ainsi obtenu u 

par j + y ^ on obtient un développement en série de la forme ('2'2)j 
satisfaisant formellement à l'équation (23) et dont tous les coef- 
ficients sont positifs. 

Il nous reste à montrer que ce développement est convergent 
dans un domaine défini par des inégalités telles que 

kK'^n jyK'V, P^l<!^-. 

7) ely\' étant deux nombres posilifs, et |i. un nombre positif sitpé- 
t'ieur à un. Or il suffit pour cela de prouver que l'intégrale de 
l'équation (26), qui est nulle ainsi que ses deux premières dérivées 
pour u = o, est une fonction liolomorplie de A et de u^ lorsque le 
module de \ reste inférieur à un nombre jjt. supérieur à un, pourvu 
que le module de la variable u soit plus [)etit qu'un nombre positif 
convenable. 

Pour démontrer ce dernier point, nous remarquerons que 
Féquation (26') résolue par rapport à o'(z<) nous donne pour o" {u) 
une expression 

qui est liolomorphe lorsque le module de X reste inférieur à un 
nombre positif quelconque Ao <C >* 1 7 pourvu que les modules 
de «, '^(w), ^' {u) restent eux-mêmes plus petits qu'un nombre 
positif assez petit. D'après le tliéorème du n° 9, (pii s'étend évi- 
demment à une éqiiation du second ordre, l'intégrale de l'équa- 
tion (2O) satisfaisant aux conditions initiales est une (onction bolo- 
morplie de "k et de u^ pourvu que l'on ait | ). | << iji <^ Ao, | w | <C *1, 
Y) étant un nombre positif, et [jl un nombre positif quelconque 
inférieur à X^- IMais X, étant supérieur à un, on peut prendre 
pour Xo ^t par suite pour ijl des nombres plus grands que l'unité. 
La proposition est donc établie. 

La condition (20) est identique à la condition obtenue par 
M. Riquier (^Comptes rendus^ 12 janvier igoS, Annales de 
L'Ecole Normale supérieure, 190/1) par une métbode toute dilTé- 



— 107 - 

iTnh'. Il csl cImii" (1 ;m1I«miis (iiir le. |)i()(<';<!(* ciiiploN ('• ici (;sl siisc'rn- 
liMc (le n()mI)r(MiS('s i;(''M<'r;iIis;il ions. 

( iCl le coikIiI ion |AB<::^ i csl sciilciuciil imc coiidil ion .ç//^y7.sr</?/^ 
|HHM- ([iTon |)niss(; nflifmcr rcxislcncc (rnin; iiib'^i'alo (!<; l'cfjiui- 
lioM {\()) sal isTais;!!!! aux coiidilions iiiilialcs doimcos, mais v'icu 
ru; prouve (ju'clle soil iirccssaùc. iW'sV ce (|ui a lieu eu parllrulicr 
pour les oqualions linéaires eu /•, .v, /, comme je l'ai nionlrf'; dans 
un Mémoire antérieur [yinnales de la Facidiit des Sciences de 
Toulouse, 2*' série, l. V, p. /\()^-/['M]). 

12. On est conduit à la rpiesliou (pii fait l'objeldes [)ai'aj;raplies 
précédenls quand on cherclie à déterminer une surface intéj^rale 
d'une écpiation aux déiivées [)arlielles du second ordre passant |)ar 
deu\ courbes données F, F', ayant un point commun O sans être 
tangentes en ce point. Si l'on suppose (juc Ton efïectue d'abord 
nne transformation ponctuelle de façon à rem[)lacer les courbes 
données F, V par les deux axes de coordonnées 0.r, Oj', la question 
revient à déterminer nne inlégrale d'une équation aux dérivées 
partielles 

(^7) F(a-, y, z, p, q, /•, t, s) = o, 

se réduisant à zéro quand l'une des variables x ou y a la valeur 
zéro. Soit So une racine simple de l'équation 

F(o, o, o, o, o, o, o, s) = o ; 

la racine de l'équation (2- ) qui tend vers .Çy lorsque Jc^y, z, /;, rj^ /•, l 
tendent respectivement vers zéro est représenlée par un dévelop- 
pement en série 

s = So-h. . . 

dont le terme constant est Sq ; il suffit de poser z = Soxy H- z' j)our 
être ramené à une équation de la forme (19) avec les mêmes con- 
ditions initiales. 

Lorsque les coefficients de l'équation sont réels, les directions 
caractéristiques de l'élément initial sont fournies par l'équation 



du second degré 



flf- dy (Lr — h cLv'-^ o, 



— 108 — 
et ces direclions sont réelles pourvu (jiie l'on ail 

(28) ""'^^T 

Cette condition est identique à la condition (20) lorsque a et b 
sont de même signe; si a et b sont de signes contraires, la con- 
dition (28) est vérifiée d'elle-même, tandis que la condition (25) 
ne l'est pas forcément. 

En résumé, lorsque la condition (20) est satisfaite et les coef- 
ficients réels, les directions caractéristiques issues de l'origine sont 
réelles, mais la réciproque n'est pas vraie. 



NOTE AU SUJET DU FROTTEMENT DE GLISSEMENT; 
Par M. le Comte de Sparre. 

Bien que j'aie déjà eu occasion d'aborder plusieurs fois ce sujet 
et, en dernier lieu, dans la JNote sur le valet de menuisier, que 
j'ai pid)liée dernièrement dans le Bulletin^ je crois qu'il ne sera 
pas sans intérêt d^y revenir de nouveau, d'autant plus que M. Pain- 
levé, postérieurement à la rédaction de la Note dont je viens de 
parler, a fait, à l'Académie des Sciences, deux Communications 
sur ce sujet, le 21 août et le 20 octobre de l'année dernière. 

Je rappelle que l'on a toujours admis que si deux corps, qui 
d'abord n'avaient aucune tendance à se déplacer l'un par rapport 
à l'autre, tendent ensuite à prendre un mouvement relatif, le coef- 
ficient de frottement croît de zéro à sa valeur y, relative au mou- 
vement, à moins qu'il ne se trouve une valeur f de ce coefficient 
plus petite que /*, pour laquelle la force de frottement fait équilibre 
à la composante tangentielle des forces qui sollicitent le corps, 
auquel cas le glissement ne se produit pas. 

M. Lecornu admet, d'une façon semblable, que lorsque deux 
corps en mouvement, l'un par rapport à l'autre, sont mis en con- 
tact, le coefficient de frottement croit très rapidement de zéro à sa 
valeur f pour le mouvement, à moins qu'il ne se trouve une 
valeur y <; y qui rende les réactions infinies, auquel cas il se pro- 
duit une percussion. 



— 100 — 

M. Painlové n\'Hlinct pas ccWv rnimirro (]o voir cl il dil, dans sa 
Gomniunicalloii du p.o octobre : « L'assimilalion aux loisdu frollo- 
iiiciil au ropos ii'osl pas s<'ii(Mis(; cl. l'Iiypol licsc, d'apics larpicllt; 

^ (') parlirail (ruiHî valeur supéiicur(r à y* me paraîl aussi vraiscni- 

l)lal)le (juc riiypolhcsc d'après laquelle v- \yàvl de zéro. » 

Je crois cpie M. Palulevé n'a pu formuler celle opinion (jue 
]>arce qu'il n'a pas tenu suffisamment compte de la cause à lafjiielle 
on altrihue le frottement. 

Pour le faire voir, je citerai un passage du T/'r/i/r de Mécanir/nr. 
générale de Resal (-) : « Il résulte de la déformation des corps en 
contact ([ue la résultante des actions mutuelles, de la part de Tiin 
sur l'autre, n'est pas normale à leur surface, ou qu'elle est la résul- 
tante d'une composante normale et d'une composante tangen- 
tielle. » 

Cette citation montre que, àl'époqueoù Resal écrivitces lignes, 
on attribuait la force de frottement F à la déformation des corps 
en contact. 

Cette force de frottement ne se manifestera par suite que lorsque 
la déformation se sera déjà produite. Il j aura donc une première 
période, au moment où les deux corps sont mis en contact, pen- 
dant laquelle leur compression réciproque [)roduira la déforma- 
tion des parties en contact, période pendant laquelle la force de 
frottement, d'abord nulle, tant qu'il n'y a pas de déformation 
appréciable, reste plus petite qu'elle ne le sera lorsque la défor- 
mation aura acquis sa valeur définitive. 

En un mot, l'Iijpotlièse de M. Lecornu, que le coefficient de 
frottement part de zéro lorsque deux corps en mouvement l'un 
par rapport à l'autre sont mis en contact, revient simplement à 
admettre que l'efTet ne peut précéder la cause, ce qui paraît 
assez rationnel. 

On doit remarquer aussi que, pour la même raison, si à un mo- 
ment donné la composante normale de la pression mutuelle de 
deux corps subit une augmentation brusque, le coefficient de 



(') F désignant la composante lani^entielle et N la composaiile normale de la 
réaction. 

(-) Tonne II, (). ? (publié en 1874 )• 

XXXIV. 8 



— 110 — 
frollemenl commencera par décroître d'une façon plus ou moins 
considérable, puisque, dans le rapport v- la composante nor- 
male N a augmenté, tandis que la force de frottement F, résultat 
de la déformation mutuelle des deux corps, ne prendra son aug- 
mentation coirespondantc que lorsque l'accroissement de défor- 
mation (qui ne suit pas d'une façon instantanée l'augmentation 
de N) se sera lui-même produit. 

Il résulte aussi de là que, si deux corps ont un simple contact 
géométrique, la force de frottement est nulle, puis(pi'il n'y a 
aucune déformation des parties en contact; c'est là d'ailleurs un 
fait qui a toujours été admis dans les questions de frottement. 

C^eci dit, je reviens aux exemples donnés par M. Painlevé dans 
ses dernières Communications. Soit d'abord l'exemple de M. Ghau- 
mat cilé dans la Communication du 21 août, qui a traita l'indéter- 
mination. Une roue homogène pesante glisse avec frottement (dans 
un plan vertical) sur une droite fixe horizontale Ox et glisse sans 
frottement sur une deuxième droite descendante O^, elle peut se 
soulever au-dessus de O? et descendre au-dessous de O^. Soient/ 
le coefficient de frottement de la roue sur Ox, a l'angle xO^, r le 
rajon de la roue; nous supposons tanga<< /. 




Ou peut supposer d'abord que, la roue reposant sur O;, on 
l'amène à avoir en B avec Ox un simple contact géométrique ; dans 
ce cas, si l'on abandonne ensuite la roue à elle-même, en lui appli- 
quant un couple N de sens ^O^, le contact en B étant un simple 
contact géométrique, il ny a pas de frottement en B à l'instant initial 
et le mouvement se fait, par suite, comme si la droite Ox n'existait 
pas, puisque le déplacement subséquent éloigne la roue de Ox. 



— 111 - 

Il csl à rcmarcjuer, (l'iMlIciirs, (|U(' Ton Mi'iiv(; ;il>soliim(înl an 
Diême résiillal cl sans la moindre ainhij^iiïh' (••^aloiïKîiil, si I On 
snp|)oso qn'on ait prodnil nr) siM-raf^o prc'îalahlc de la ?on(î (Milr(;Oj; 
cl ()^, an moyen (Iihkî force //. apj)lir|née an c(;rjlic c d(; la ronc 
cl faisan l nn angle X avec rhorizon. 

Supposons que, après avoir produit le serrage an inojcn de la 
force A, on apj)lique le couple N en maintenant la force h. 

Soient P la réaction de ()^ en A, V la com))Osantc normale de la 
réaction de O.r en Jî, la composante langentielle étant l*'/, si le 
mouvement se produit et Vf avecy'<;y*si le mouvement ne se 
produit pas. 

Il est facile de voir que c'est toujours ce dernier cas qui aura 
lieu; en cfTet, pour qu'il en soit ainsi, on a les conditions 

Psina — P'/' — /tcosX = () ( i ), 
m^ -h P' — P cosa — h siiiX = o, 
P7'/--N=.o, 

On tire de là 

A ( cos À ^- /' sin X ) — //i^'-/' 
C05a(tanga — / ) 



, cos(X — a) 

h mL>- tanjra 

cosa 

tanga— /' 

N 

— tanga 



N - cos(X — a ) 

h à — ms" tanga 

/' cosa ^ 



(2) P'- 

(3) /' = 

d'où l'on déduit 

, cos( X — a) 

/i me- tanga 

cosa 

(4) tanga — /' = — v; langa. 

^^^ ^ -^ N , cos(X — a) ^ 

h h — m^ tanga 

r cosa 

D'ailleurs, puisque nous supposons qu'il y a serrage initial 
(avant qu'on ait appliqué le couple N), P' doit être positif pour 
/ ^= o, ce qui exige 

/r / cosCX — a) 

(5) /* — /y* A*^ tanga > o 

cos a 

(' ) wi étant la musse de la roue et r son rayon. 



— 112 — 
et, cette condition étant remplie (/(), Tait voir que l'on a 

/'<tanga</, 

le mouvement ne se produit donc pas, quelque f^rand que soit N. 
De plus, la condition (5) peut s'écrire 

h cosX — ( nifi- — // sin ). ) tan<:^a >> o 

et, comme 

f < taiif^a. 

on en conclul 

h cos X — ( nif; — h sin X ) /' > o, 

ce qui fait voir que P est toujours positif. 

Si maintenant on fait décroître h, V décroîtra et il deviendra 

nul pour la valeur 

/«^sina 



h=z 



cos(X — a) 



valeur pour laquelle P est encore positif; car on a, pour cette 
valeur, 

A (cos À H- / sin À) — J7igf = -T — (tanga — / ) > o, 

^ -^ ^-^ cos(X — a) ^ ^ ^ ^ 

Donc, à ce moment, la pression en B deviendra nulle et, par 
suite, le frottement disparaîtra. 

Le mouvement se fera donc à partir de cet instant, comme si O .r 
n'existait pas; c'est, en particulier, ce qui arrivera lorsque h 
devenant nul on sera ramené au problème de M. Chaumat. 

On voit que, même avec un serrage initial, aussi bien que lors- 
qu'il n'y en a pas, la théorie classique du frottement permet 
de résoudre le problème sans aucune ambiguïté et sans qu'il soit 
nécessaire d'ajouter quoi que ce soit à cette théorie. 

Considérons maintenant l'autre problème envisagé par M. Pain- 
levé dans sa Communication du 21 août : 

Une tige rigide AB a son extrémité qui glisse avec frottement 
(dans un plan vertical) sur une droite fixe Ox, en supposant le 
point A compris entre deux lignes infiniment rapprochées 0:r et 
0«57,, de façon que, lorsqu'il touche l'une de ces lignes, il ne 
touche pas l'autre, mais en est infiniment rapproché. 

Je suppose, de plus, que les forces se réduisent à la pqsanteur 



— ii;{ 



cl à (l(Mix forces liori/onlnlcs : \\\uv. \ ;i|)|)li(nicc an ccnirc (]c, i^ra- 
vilc Ci cl l'aulrc // applicjurc en A. 

Soient m la masse de la lige, ///A- son monicnl criiicrlie par 
rapport au centre de gravité, / la distance AG, l'angle de Al> 
avec Ox, l\x et i\y les composantes de la réaction en A. f..es écpia- 
tions du mouvement par rapport au centre de gravilé donneront, 
en désignant par .r, et y^ les coordonnées de ce point, 



(I) 



m/^ =K,+ /i+X, 

nik-Ç^ = /[(Kx+ à) siiiO — H.-cosO]; 



d'ailleurs, comme 

a7i = ic H- / cosO, ^i=/sin6, 

les deux premières équations précédentes deviennent (') 



(•2) 



^^''—ZCsinO — /O'2cos0= — -4- !!-±Ji 



ni 



Kv 



m 



/0"cosO — /0'2sinO = — -^ + ^T- 

ni 



2V 




Si alors on remplace dans la dernière des équations (i) Rx et Rv 
par leur valeur déduite de (a), ©n aura 



(3) 



/ 2 \ 

-^0"=a""sinO — /0"-^;rcos6 — — sinO. 
/ m 



( ' ) l',n écrivant, pour simplifier 1 écriture, x . 6 . Q a la place de —7-7' -7^» -rpr 



— lli — 

Posons maintenanl 

(1) '^1^= —jr- ^')' 

on aura 

X 

( 5 ) 9. a / 0" = x" sin + j?- cos sin 0. 

Si l'on remplace alors 0" par sa valeur déduite de (5), dans les 
équations (2), nous aurons 



Ix"— — ") (■>. [X - sin'^ 0) — £- sin cos — 2 a /0'2 cos = '^-?^— ^ -h 2 [jl - , 

(^y — — ^ cosO sin + g cos2 — 2 a/6'2 sinO = 1^^— 2 -+- -j. ^xg. 
\ m J ni 



(8) 



Si l'on pose alors 
(7) R, = -£/'Rv. 

on déduira des équations (6) 

2i^ + ^[sinecose-^£/'(2JJl— cos^O)] 4- 2[ji/0'2(cosO + e/' sin6) 

,f A. //i 

m ' 2|JL — sin2 6 + s/' sin6 cosO 

!L sinG cosfl — (i a — 1) (^ + /0'2 sin 6) 
Kj _ m 

ffi ~~ 2[Jt. — sin^G -I- e/' sinO cos6 

Le signe de e devant être choisi de façon qne 
(9) ea'ï\y>o, 

condition qui, si .r'= o, doit être remplacée par la suivante 
(9') ..r"Rv>o. 

Si l'on fait 

\ — o. [f- = i, il — i\ 

on retombe sur le problème que j'avais examiné dans ma Commu- 
nication du 3i juillet, et si l'on fait, au lieu de cela, h =^ o sur 



(') Gomme A*^/-, on aura 



-i\iii. 



— Il:; - 

celui cnvisaj^c piii" i\I. I*aiiilc\c daiis sa (^oiiiimiiiicalion du ;>. i août. 
On voit que ces pi-ohlcrncs soiil coinpIctcMiicMiL «lilîcronls cL (jiio 
l'on ne saurait, (connue lo fait M. Painlevi', compaicc l(Mirs discus- 
sions, d'autant plus (pi(î les conclusions eu sont, dans certains cas, 
absolument conliadictoires. \insi, dans \o. j)i'ol)lèine de. M. Pain- 
levé, il peut y avoir, comme nous le verrons, arc-houtemenl, pour 
le mouvement à partir du repos, tandis cpie ce cas ne })eut jamais 
se présenter pour le |)rol)lème que j'ai considéré ('). 

l^our en revenir au |)rol)Ième envisagé par M. Pain levé, dans sa 
Communication du :m août, il insiste sur le cas où le système [)art 
du repos. 

Nous supposons toujours 

,, Tz .lit. — sin^O 

■2 sinO cosO 

Puisque le système part du repos, f croît à partir de zéro. Or, 
poury'=: o, les formules (8), où l'on doit faire Ii = o, donnent, si 
X >> o, .r">> o, Rv<C o et l'on doit prendre s r=: — i , mais alors x" 
devient nul pour 



— (lu. — sin^O) 4- £^sinO cosO . „. 



ni 



sinO cosO H- g{'î\J. — cos-O) 



sin cosO 



on voit donc que, quelque grand que soit X, du moment qn'il est 
positif, il y a un seul mouvement possible, celui où A est fixe. 
Dans ce cas, d'ailleurs, Ry.<^ o et le point A presse sur le guide 
inférieur (3). 



(^) M. I*ainlevé n'avait donc pas besoin de dire que je me trompais si je croyais 
avoir ajouté quoi que ce soit à la discussion d'un problème que je n'ai pas traité. 
(^) On a, en effet, 



— (su. — sin-6)H-£'sin6 cos9 

— sin 6 cos6 + or (o a — cos'-Ô) 



2 a — sin^O 



sinO cosô 



^ M- » ( "^ H- — 



sin cos6 



I ^ • 

— sin 



6 cos b -\- g {-.i \x — cos- ) 



("*) On voit que le seul mouvement acceptable est différent des trois indiqués 
comme possibles par .M. Painlevé dans sa Communication du 21 aoiU. 



— 110 - 



Ce qui |)réc('*(Jc fait d'ailleurs voir, comme je l'ai dit, c|ue le pro- 
blème de M. Painlevé, où Ji = o, est absolument difiTcrent de celui 
que j'avais examiné dans ma Communication du 3 i juillet, puisque 
dans le mien il n'j avait jamais arc-boulement et que, dans celui 
de M. Painlevé, il j a arc-boutement dès que X >> o. 

Supposons maintenant X négatif et posons 

nous aurons, en prenant toujours 

h = o; = o, 

,"_ ^1 ^sinOcosO + e/'(-2[Ji — cos^O) 



X 



î)i 2 \x — sin'^ -1- if sin cosO 

i\x — I 



m * i\x — siii^ + s/' sin cos 

On est alors conduit à distinguer deux cas : 



X, 



tn, 



X 



ni. 



< 



sin cosO 
9. a — sin'^O 



Dans ce cas, [)()ur /' = o, on a 
et il faut prendre 



£ = 



alors x'^ deviendra nul pour 



X, 



/'- 



g sin cos — - — ( -2 iji — sin2 ) 



771 



^(■2 a — cos^O) — — i^inO cosO 

771 



</• 



Donc, dans ce cas, il j a un seul mouvement possible, celui 
où A reste fixe et presse sur le guide inférieur ('), 



11 

771 A' 



X 



711. 



> 



sinO cosO 
•2 o. — sin-0 



( ' ) On a, cil effet, 

car, 

2 a — sin-0 - /' sinO cosO = 



R,<o, 



2!J-^(-MJ- — 



if ( J a — cos- 6 ) — ^— i- si n cos 8 

7)1 



>0, 



puisque 



/ ne. X , . , , J a ( :> a — i ) 

if ( :> uL — cos- ) ^ sin cas 6 > s^ -^-^ — . , / ■ > o, 

^ 7)1 " 2U. _ sin-8 



- 117 — 

Dans (!(» cas, j)()iir /'r=r o, on ii 

il latil donc |)I'(MI(1i(; 

e = i- I. 

Lors(|nc f croilra onsnlle do o à y, Ry conserve le signe — 
puisque s = -|- i ^ ri le point A îippnie loujonis sur le ^iiide inf^'- 
ricur. Ce cas se suhdivisera loulcfois en deux : 

sinOcosO Xi s i n cosO -+-/(■>. |jl — cos^O) 

'2 ;jL — siii^O ///.i,'- 7. |jL — sin'^O H-ysiiiO cosO 

dans ce cas x^' devienl nul pour la valeur 

- ( 0. \s. — si n2 ) — ^ sin cos 

1'='^ — ^ -y^ </ (M; 

f:{i\x — cos*^ ) sin cos 

' 111 

donc dans ce cas le point A reste fixe. 

X, sin6 cosO -f-/('2îJ. — cos2 0) 
m g 'i\x — sin^O -hy'siii cosO 

dans ce cas x" est encore négatif pour /"' =y et, par suite, le glis- 
sement se fait dans le sens négatif, le point A appuyant sur le 
guide inférieur. 

On voit que la théorie classique du frottement permet de ré- 
soudre ce problème dans tous les cas sans aucune ambiguïté, et 
en appliquant cette théorie ainsi qu'on Ta toujours fait. 

Il résulte toutefois de la discussion qui précède que les conclu- 
sions de la discussion du problème de M. Painlevé donné dans sa 
Communication du 21 août (2) sont fausses, [)uisque dans le cas 
sur lequel il appelle l'attention : 

,r' — (\' — r^ \ ^ /(2,a — cos2Q) — sinOcosQ 

"" "~ ' ^ /sin6cose-2|a-t-sin20 ' 



(') On a d'ailleurs en vertu de (11) 

X, 2 tx — cos' 9 

mg sin 6 cos ô 

(') Comptes rendus, p. 4^1- 
XXXIV. 



— 118 — 

il n'y a (|irmi seul mouvement possible eL qui est dillérenl des 
trois in(li(|ués comme possibles par M. Painlevé. 

Considérons mainlenant le problème de M. Cliaumal condui- 
sanl, suivant M. Painlevé, à une impossibilité. 

Soient Ojt el Oy deux demi-droites (ixes d'un plan vertical, la 
première borizontalc, l'autre oblique, dirigée au-dessus de O^ et 
faisant avec Or un arigie aigu a. Une roue liomogène pesante, de 
masse /«, sihu'e dans l'angle rOy^ glisse avec frottement sur la 
droite Ox', au-dessus de laquelle elle peut se soulever, el sans 
frottement le long de la droite Or, dont elle peut s'écarter dans 
le sens O^. l^a roue est abandonnée à l'instant ^=0, avec une 
vitesse initiale de rotation Wq, de sens xOy^ son centre étant 
immobile. 

M. Painlevé suppose les conditions initiales réalisées de la façon 

suivante : la roue est maintenue en contact géométrique avec Ox 

et O y [)ar une force verticale // = jng appliquée en son centre 

qu'on fait ensuite tendre vers zéro d'une façon aussi lente que l'on 

voudra. 

On suj)pose 

/>langx. 

Soil P la composante normale de la réaction de Ox^ V la réac- 
tion norn^ale de O )'. 




Tant que l'on a A = jng^ la roue ne frottant pas sur Oy et le 
contact en B avec Ox étant un simple contact géométrique, il n'y 
a pas de frottement et la rotation de la roue se continue indéfini- 



— \\\) — 

incnl; niiiis, (1rs (pic // • /''.A'' <|"('I(|U(' riill)l(; (jik; soiI I;i (lilI(M'(;nc() 
ol dès (|ii(' la roiK* sci'a cm pvisr. avec O.r, \r. cocdiciciil (l(; frollc- 
mcnl ci'oilra, non (\r /.('ro à /, mais de. v.rvo à 

/■' = lunga, 

valeur pour lacjucllc 1* dcvlendia infini cl produira par suite iiikî 
[)ercussioii (pii anclcia la roiic. On a, en ell'cl, en ni'glij^eanl le 
'léplacenienL du ccnlre de la lonc, 

I'' sin a I* /" — (), 
I* -h h — I*' (OS a — m^'- = o, 
d\)ù 



V 



I — /' cota 



cl P cl par snile aussi Vf deviennent infinis pour /'= lanj^a. 

Il n'y a d'ailleurs là rien cpie d'al)Solumcnl rationnel, car, dès (jue 
le froltenient entre en jeu et si faible que soit la pression verticale 
de la roue sur O^ (du moment qu'elle est suflisante pour metirc; 
la roue en prise avec O^), l'adhérence tend à entraîner la roue dans 
le sens des .x iré^atlfs et celle-ci venant se coincer entre les deux 
droites Or cl O^ les pressions de ces deux droites croissent au 
delà de toutes limites si l'on suppose la roue et les droites incom- 
pressibles et la percussion Vf où V est infinie arrête la roue. 

On doit remarquer que la lenteur plus ou moins jj;rande avec 
laquelle on fait décroître II à partir de m:^- ne clian<;e absolument 
rien au résultat final, et ne fait pas (jue le phénomène ne se passe 
pas toujours dans un temps très court. (Nous calculerons plus 
loin ce temps en tenant compte de la compressibilité de la roue et 
constaterons qu'il est toujours très petit.) 

La percussion se produit dès que, la roue étant en prise avec Ox, 
le frottement entre en jeu, car le coincement de la roue entre Ox 
et Oy fait croître P et P' au delà de toutes limites et la valeurplus 
ou moins grande de la force nig — h est alors absolument négli- 
geable devant P. 

Il y a là un |)liénomène semblable à celui qui se produirait si 
dans un encliquelage Dobo f') on soulevait 1res lép^èrement au 



(') Voir, au sujet rJc la tlioorie de cet encliquetage, le Traité de Mécanique de 
llour. 



- 140 - 

inojcii de fils les ailes arliciilées, de façon (juVlles ne j)ui.sscnl éire 
on conLact avec la rone folle, celle-ci ponrrait alors tourner dans les 
deux sens sans entraîner Tarbrc ; niais, si on relAclie les fils, dès que 
les ailes seront en prise avec la circonférence de la roue, celle-ci 
entraînera l'arbre, ou s'arrêtera subitement si celui-ci est fixe. H 
est bien certain que la manière plus ou moins lente avec laquelle 
on lAcbera les lils n'aura pas d'influence appréciable sur le pliéno- 
mrne : dès que les ailes sont eu prise avec la roue, celle-ci devient 
solidaire de l'arbre. 

Je crois inutile de revenir sur le second problème, pour le cas 
de l'impossibilité, car je devrais reproduire, à peu de chose près, 
ce que j'ai dit dans ma Communication du lU juillet, mais il ne 
sera peut-être pas inutile de répondre à certaines objections pour 
ce dernier problème, comme pour celui de M. Cliaiimat que nous 
venons d'examiner. 

Il est certain que dans la nature il n'y a pas de forces infinies et 
par suite pas de percussions, mais il ne faut pas oublier que ce que 
l'on demande à la Mécanique appliquée, dans le domaine de 
laquelle se Irouve la théorie du frottement, c'est, non de nous 
donner la représenlalion rigoureuse des phénomènes, mais bien 
de nous en fournir une image assez approchée pour que nous 
puissions nous en servir pour prévoir les résultats finaux. 

Or, s'il n'y a pas de forces infinies, il peut dans certains cas en 
intervenir d'assez grandes et dont la durée d'action est assez 
faible, pour que les résultats finaux provenant de leur intervention 
soient dans les limites d'approximation dont nous avons besoin, 
les mêmes que si on les remplaçait par des percussions. 

Dans le cas qui nous occupe, ni la réaction, ni la force de frot- 
tement ne deviennent infinies, mais elles deviennent, pendant une 
certaine période très courte, assez grandes pour que, si l'on n'a en 
vue que ce qui se passe après cette période^ on puisse les remplacer 
pai' des j)ercussions. 

Il est bien certain d'ailleurs que l'introduction d'une percussion 
produit une discontinuité dans la suite des phénomènes, mais 
cette discontinuité n'existe pas réellement, c'est nous qui l'intro- 
duisons pour la facilité de nos calculs. 

Il arrive d'ailleurs aussi que nous introduisons nous-mêmes 
dans certains cas des percussions dans nos ])roblèmes, sans y 



- 121 — 

fiiiic iillenlioii, c'est lorsqiril s'a<;il, de syslcmcs à liaisons pour 
Icscuirls rhypollirsc de la li^idilé absolue <juo l'on siij)|)Ose à ces 
liaisons exi«;c f|iio Ton suppose éj^alorncnl inlinics les pressions ou 
tensions cprclles suj)porlent, el c'est précis('nient ce; (pii a lieu 
dans les deux j)r()l)Ièuies (pie M. Painlevé considère dans sa Coin- 
niunicnlion du '.>. oclohre. 

Pour le faire voir nous allons reprendre ces deux j)rol)lèines en 
introduisant les forces de liaisons, ce c|ui nous ramènera d'ail- 
leurs à la seconde explication donnée j)ar M. Lecornu dans sa 
(^omnuinication du (3 mars, l^-enons d'abord le problème de 
INI. Cbaumat (jue nous venons d'examiner. 



Fig. 4 




Nous supposons que la roue est d'abord mainlenue en eonlact 
géométrique avec 0\ et Or\ par une force verticale nih = tiig (') 
(pi'on fait ensuite tendre vers zéro. Nous rapportons le mouvement 
à un système d'axes reclangulaires C^^xy passant par la position 
initiale du centre de la loue; lorsque le centre de la roue sera venu 
en C, par suite du coincement de cette roue entre O; el Or,, elle 
se sera rapprochée de G; d'une quantité y et de Or, d'une ([uan- 
tilé^sina — j^cosa; la composante normale P de la réaction deO; 
sur la roue est une fonction de y et la pression I*' de Or, une 



( ' ) Je désigne cette force ici par ni/i au lieu de h [)Ouv simplifier récriture. 



[^22 

fonction de .rsina — ycosa; on peut même, loiil, an moins dans 
nne première approximation, supposer V cl I*' proportionnels à 
ces quantités. On aura alors 

I*' = mix^ix si II a — y cosa) ( ' ). 

On aura alors pour les équations du mouvement de la roue 

d- X 
ni—r- = 1* / — P'sina, 



iti 



<r- y 
~dF 

'RI 
~dt-^ 



ni^ — mil -I- F' cos a — P, 



d-^U 



En i^emplaçant P et V par leurs valeurs les deux premières 
deviennent 



d'-x 



dr^ 



— l^"^ fy — .'^"(^ sina — y cosa) siiia, 



(i'iy 



dt 



— ^= g — /i -h [J.2(;r sin a — y cosa) cosa — {^"^y- 



Multiplions la première par le facteur A et ajoulons-la à la 
seconde; nous aurons 

d'Ulx -^, y) 
" dt-^ 
= g — Il -r- ;jL2(siii a cosa — X sln- a)a7 + |j.-( À. /-h Xsina cosa — [ — cos^a)^^. 

Nous [)oserons alors 

sin a cosa — X sin-a X /"-f- X sina cosa — i — cos- a . 
=; = — = /»> 



d'où Ton déduit 



X( bin^a -t- k) — sin a cosa = o, 
X(y -h sina cosa) — i — k — cos- a = o. 



(') On aurait pu, si Ton avait voulu tenir compte non seulement de la com- 
pression de la roue mais aussi de celle des deux droites Oi et Or,, prendre 
pour les deux coeflicients de proportionnalité des valeurs didérenlcs, si lélas- 
ticitc des deux droites notait pas la même, mais cela changerait pou de chose. 



- 12.1 - 

On a (loiK^ pour dr tcnniiicr /, l'iMiualioii 

(sin'a H- A) (i -h A -\- cos-a) — siii a (•osa(y -i- s in a cosaj = o, 

o ù 

A"* -f- 7. A -4- sin^ a. — /' sin a cos a = o 



ou 



A'2 4- 9. A — si 11 a cos a ( y — ta ii g a ) == o , 



puisque nous supposonsy >> lanij;a, les racines sont de si<^nes con- 
tra iie s. 

Si l'on ])rencl poui* A l'une des racines de celle écpialion et 
|)0ui' )v la valeur corresj)ondanle, on aura 

Nous supposons h=g pour t=o et décroissant à partir de 
cette valeur nous [)ourrons donc prendre 

h = g — nt. 

Notre équation devient alors 

d'Oder -^ y) 



df^ 



= nt-\- ii^Adx -h y); 



nous aurons alors comme intégrale particulière 

. nt 

[x- k 

l^renons d'abord pour A* la racine positive que je désigne par a- 
et soit A, la valeur correspondante de A, on aura 

fit . . ,^ 

Al 07 H- y = — — — + i^ eH-«^-i- B e-P•'<^ 



et, comme pour ^ = o 



dx dy 



X — y = o, — r- = -^ = o. 

•^ ' dt dt 

on aura 

A -;- B = o, 
n 



IX' d^ 



-h [jirt( A — B) = o, 



- 12i - 

d'où 

Prenons ensuite pour A la racine ncgalive que je désigne par — h- 
et, si )v2 est la valeur correspondante de X, on aura 

\^ix + r = — TT-: + G cofiixbt -+- D sin a^/, 

et les conditions initiales donneront 

G = o, 



(jl2 b-i 
On a donc en définitive 

Ces valeurs font voir que, quelque petit que soit n, comine ik 
est 1res grand, x et y, et par suite aussi P et P', croîtront très 
rapidement. 

Mais le mouvement de rotation de la roue est fourni par l'équa- 
tion 

(i4) I^=-P/R=-/mîr-Rr, 

car l'on [)eut négliger y devant R, el, comme coq est positif, 
-7- s'annulera très rapidement et d'autant plus rapidement que ijl 

sera plus grand, c'est-à-dire que la roue et les droites sur les- 
quelles elle s'appuie seront plus raides. 

Si l'on supposait ces droites et la roue incompressibles, on serait 
conduit à siq^poser |jl infini, et par suite P également infini, ce qui 
entraînerait une percussion arrêtant la roue dans nn temps infini- 
ment petit. 

M. l^ainlevé a fait, au sujet du résultat analogue obtenu par 
M. Lecornu dans sa Communication du 6 mars, l'objection sui- 
vante. Il résulte des formules écrites plus haut que -77 et -^ croissent 



— i2r) — 

avec {A cl (jiKî j)ar siiilc la voue se comprime cl'aulaiiL plus vile 
(|ii'elle est plus raide, el il scmhiail y voir une conlradiclion. Il j a 
là, au contraire, un r<''snllal (pu s'explicpie liés bien. 

Kn cfTel, plus la rou(; sera raide, plus, si radliérer)ee est suffi- 
sanLe, les pressions 1* v.[ V croîtront rapidement, et l'on conçoit 
(pi'il puisse en résulter aussi une croissance plus rapide de x et 
de y. 

Il est facile toutefois de voir que les valeurs finales de x cl y 
décroissent lorsque {jl croît. 

En edel, si |jl est très j|;rand, ainsi que nous le supposons, on 
peut réduire les formules (i'2) et (i3) aux suivantes, au moins 
comme première approximation : 

n 



d'où l'on déduit 
Mais 



>^2^ + r = <^> 



y 



\ -\~ kx-T- cos-a 
/-h sina cosa 



- I -t- A.2-h cos>2a v^i -H / tancra — cosa 

/,., m - — , : ^- =: COS 'X ~-- ; — — 

y'-t-siiiacosa y -j- siiia cosa 

> _ ki — fco _ 2cosa v' I -H./ tanga 

y'-h siii« coi^a y'-f- sina cosa 



lonc 



_ \/i H- /"tanga — cosa n eV-^'^^ n eV'^^ 



3.r»;t 



en posant 



(i4) donnera donc 



d'où 



i/i -î- /'tan «2 a — cosa 
4v/i-+-y tanga 



i -j—- = — mfWqn r 7 



i -r = Wo — mf non ■ • 



On en conclura pour la valeur t^ de / pour laquelle la roue 



12() — 



s'arrête 



d'où 



f>\j.att 3^ 



[JL-rt* U)q 

mf \\ qii 



/, = — L 



[jL'^a^too 



\xa nif\\(jn 

valeur qui, quel que soil /i, tend vers zéro lorsque |jl croît indéfini- 
ment, et est très petite pour de grandes valeurs de [J- (*). 
De plus, on aura pour la valeur finale jKi dejK 



yi = 



aixii 



\x.^ cû mf R [x 



valeur d'autant plus petite que [jl est plus grand et qui s'annule 
pour jjL infini. 

On voit donc que, si la roue se comprime d'autant plus vite 
qu'elle est plus raide, sa compression finale est en raison inverse 
de sa raideur, résultat absolument rationnel. 

Considérons maintenant le second problème envisagé par 
M. Painlevé en nous bornant au cas le plus simple, celui traité 
par M. Appell dans son Traité de Mécanique. 

Fig. 5. 




Considérons donc deux points matériels A et B de même masse 
égale à i et reliés par une tige dont la masse est négligeable par 
rapport à celle de A et de B. 



(') Ce qui montre bien que, contrairement à ce que dit M. Painlevé dans sa 
Communication du 2 octobre, l'arrêt de la roue se fait dans un temps très court, 
quelque petit que soit n. 



— 127 — 

Soit /• — -I An, nous supposerons la tension T de AB j)roporLion- 
nelle à l'alloiif^emenl, de sorte que nous aurons 

La tige se meut dans le plan verlieal œOy cl est soumise à la seule 
pesanteur ( * ). 

Soient^ l'abscisse de A, S ^^ .V les coordonnées de B. Les équa- 
tions du mouvement des deux points A et B nous donneront 

^"= R^-hTcosO, 
Rv-+-TsinO-i- o- = o, 

f" = — TcosO, 
/'=/,'■ — TsinO, 

oii Rx et IV ^^^^ ^^^ composantes de la réaction de O^. 

D'ailleurs, les relations 

» 

f = .r 4- r cosO, j^=rsinO 

donnent • 

^"==^"_l_,."cose — 2r'G'sinO-;-e"sin6- /•0'2cosO, 
y'= r"sin6 -f- az-'O' sin -h r6"cos0 — rO'^ sin8. 

On a donc pour les équations du mouvement 

ir" = R^ -h {0.2 ( ^ _ ro) cosO, 
Ry-^ g- -\- [Jt.2 (r — /'o ) sin 9 = o, 
x"-\- r"cosO — 2r'6'sin — /•6"sin — /■O'2cos0 + [JL2(r — /-q) cosO = o, 

/•"sinO -+-.>./-'e'cos0-+- rfrcose — r0'2sin — ^+ [Ji2(r_ ro) sinO = o. 

Si le point A se déplace, on aura, de plus, 

Rx = — £/Rj> £a7'Ry>o, 
où 



(') Il est, en effet, inutile de supposer une force horizontale appliquée en A 
pour réaliser les conditions initiales, car, du moment que l'on introduit une ten- 
sion proportionnelle à l'allongement, il n'y aura aucune impossibilité même 
apparente. 



- 128 — 
On déduit alors des équations précédentes 

Kj = — g— {^"^{r — Pq) sin 0, 

^"= £/[^-^ îi.2(r — ro)sinO] -4- |a2(/- — rj,) cosO, 

;•" = /• 0'2 -1- o- (sin — £/ cos 0) (jl2 — {r— r^) ( e/ sin cos 4- i -~ cos2 ), 
rO"=. [^-|-|j,2(,._,.^)sinO](cosOH-e/sinO)— 2/-'0'. 

11 n'y a plus ici, quelles que soient les conditions initiales, 
aucune impossibilité, même apparente. 

Supposons qu'à l'instant initial pour / =: o on ait 

'• = ''0, % = 0, ^[, > o, r; = o, 

on aura 

\\y < o, 

et par suite on devra prendre 

£ =—1, 

et l'on devra garder cette valeur tant que x' et Rj conserveut le 
mêjne signe. 

Nous aurons donc 

(i5) /•"=: /'O'a-i- -(sinO -i-/cosO) + [Ji2(/- _ ro) (/sinO cosO — i — cos20). 
Nous supposons 

H-COS2 6 ^ n ^ "^ 

sinocosrj •}. 

Considérons maintenant une période de temps assez courte, à 
partir de ^ = o, pour que nous puissions pendant cette période, 
au moins comme première approximation, remplacer par une 
valeur moyenne et le traiter comme une constante dans l'équation 
précédente; de plus, nous négligerons dans le second membre 
de (i5) /''S'-, en vérifiant après coup la légitimité de ces approxi- 
mations. Nous aurons alors 

/•"=/.-2;jL2(,>_ro) + ,^(sinO-i-/cosO), 

où nous avons posé 

A-2=:ysinO cosO — I — cos2e> o. 

On lire de là, en tenant compte des conditions initiales, et 



— Ii29 — 
rcgardanl loiijours comme conslanl, 



i^-CsinO H- /"cosO) . ,, , . 

= /-o + — , /^ ' ( eH-A' -f- e H-/'-' - v>. j, 



on a (railleurs, puisque î = — i , 

t"- — .,-/—(/ si nO — rosO), x2(/--ro ), 
et Ton (léduil de la valeur de A- 

I -f- Â-2 



cosO 

sinO 
de sorte que Ton peut écrire 



= fs\n — cosO, 
= y cosO -f- sinO, 



t" = -gf- g ^'~^,f'^^i!'^P (e^'^ + e-\^'^-2), 
^ ik^ sinO ços'J 

9. -1- A-2 
Ry = — ^ — ^ —7-— (et^^-^ 4- e-l^^-^ — 2 ). 

Si, d'ailleurs, |jl est, ainsi que nous le supposons, très grand, on 
pourra se contenter de prendre 

(r-4-A2)(2-i-A:2) 
* 2A-^sin6cos6 ^'^ ' 

T = ^ "^"^^^ e[j.A-^ 
^2/t^sinO^'^ ' 

et avec la même approximation (•) 

ik- cosu 



(') Kri nt-gligeant toujours les termes qui ne contiennent pas e^^*' en facteur 
devant ceux qui le contiennent, on obtient ainsi des valeurs qu'il ne faudrait pas 
appliquer pour ^ = o, mais qui donnent une approximation suffisante dès que t 
n'est pas rigoureusement nul. 



- 130 — 

Puis 

(n-A-2)(2-4-A-2) 

-T' — 7- rr f>\J.hl 

" * îA-SiJisinOcosO 

" 2A-*1jl2/'cosO 

On a alors pour la valeur ^, de t pour laquelle x' est nul 

7.T'n /i-' u sin cos8 

d'où 

I , / 9. 3"!, /v"3 M- sinO cosO \ 



1/9. a"(, /v^ [J. sin cos \ 



valeur très petite puisque ^ est très grand. On aura ensuite 

x'r, sin 6 



_ Oo 







A u. /• 



On voit que cette valeur est très petite et que l'on peut bien, 
ainsi que nous l'avons fait, traiter 8 comme constant. 

Remarquons, d'ailleurs, que l'on aura pour la valeur de 6^ à la 
fin de la période que nous considérons 

^ îa/c^ [jt./- COS0 r 

On pourrait faire à ce qui précède l'objection suivante : nous 
avons négligé, pour calculer /•, /-G'- dans le second membre de 
l'expression (i5); or, nous venons de voir que la valeur finale de 

~./ 2 cî n 2 fi 

cette quantité est r9',-=i — ^— ^ et cette quantité n'est pas négli- 
geable. Il est toutefois facile de faire voir que dans le second 
membre de (i5) 

/•0'2 4-^(sinO -+-/cosO)-i- (jL2(r _ ro) (/sinô cosO — i — cos^G), 

le premier terme est toujours négligeable par rapport à l'ensemble 
des deux autres. 

En effet, à l'instantinilial, /-B'^, qui est nul, est négligeable devant 
^ (sin6 4-ycos6), qui ne l'est pas. Ensuite, dès que t a une valeur 
appréciable, on a sensiblement 

•2/i ' [JL/- cosO 
,x2(r-ro)A-2:= ' ""^''-p f^t^el^. 



— 131 

cl, par suite, 



SI 11 ci-'- ''^' 



or, ce rapport croît constamment avec t cl, à la fin de la période, 
pour / = /, , on aura 

rO',2 (,_f_/f2)^'^ sin2 



rapport qui est trc's pclit à cause du facteur p. au dénominateur; 
nous avons donc pu négliger à bon droit le terme /'G'- dans l'expres- 
sion (i5). On a, d'ailleurs, pour Ja valeur finale de la tension 
j)our / = /< , 

_ x'^k \x cos 
^'- (.H-A-) ' . ■ 

quantité très grande, et qui devient infinie avec [jl, c'est-à-dire si 
l'on suppose la tige inextensible. 

On voit, par ce qui précède, que, dans ce cas encore, l'étude 
))lus détaillée du phénomène conduit absolument aux mêmes con- 
clusions, pour les résultats finaux, que l'hvpothèse de M. Lecornu. 
De plus, cette hypothèse me paraît infiniment préférable. ^x\ 
eiïet, d'une part, elle est, ainsi que nous l'avons vu, une consé- 
quence naturelle de ce qui a toujours été admis comme étant la 
cause du frottement, et si, en introduisant des percussions, elle 
produit une discontinuité dans les phénomènes, ce fait est, ainsi 
que cela ressort des deux problèmes que nous venons d'examiner, 
une conséquence naturelle de l'hypothèse de la régidité absolue 
des liaisons, hypothèse qui, dans les cas que nous avons considérés, 
rend infinis les efforts supportés par ces liaisons. 

Sans aucun doute, si l'on tient compte, comme nous l'avons fait, 
des tensions élastiques, on peut résoudre, ainsi que nous Favons 
vu('), les problèmes dont il s'agit sans introduire aucune nouvelle 
hypothèse; mais cela exige, dans chaque cas, une étude particu- 
lière et des calculs plus ou moins longs. Au lieu de cela l'hypo- 
thèse de M. Lecornu permet de déterminer immédiatement, dans 



(') Et ainsi que M. Lecornu Pavait déjà fait dans sa Communication du 6 mars, 
pour un autre cas. 



- 132 — 

chaque cas, le mouvement final qui se produit après la mise en 
contact des deux corps; or, il est bien certain que ce qui se passe 
pendant la période très courte qui suit la mise en contact des corps 
présente, en général, peu d'intérêt. 

Par exemple, dans le cas du problème de M. Chaumat, elle nous 
apprend que la roue s'arrête presque instantanément dès qu'elle 
est en prise avec Ox. 

Dans l'autre problème, elle nous apprend que le j)oint A 
s'arrête presque instantanément, et, quant à la vitesse du point B, 
après l'arrêt de A, elle sera fournie par le théorème des moments 
des quantités de mouvement pris par rapport à A f|ui nous 
donnera { ' ) 

rxQ sinO -+- 7-2 Q/^ = o, 

d'où 

«1= ;— • 

C'est le résultat auquel nous étions arrivé par l'autre méthode, 
mais beaucoup moins simplement. 

En résumé, l'hypothèse de M. Lecornu nous donne une image 
des phénomènes, qui, pour le détail de ceux qui se produisent au 
moment du contact des corps, peut être moins exacte que celle 
que l'on obtient en tenant compte de l'élasticité des liaisons, mais 
en revanche elle nous permet de prévoir d'une façon beaucoup 
plus simple, et avec une exactitude très suffisante, le résultat final 
qui se produit après cette période de mise en contact des corps, 
ce qui est le but principal que l'on se propose. 



(') Puisqu'on regarde les phénomènes comme résultant d'une percussion appli- 
quée en A qui réduit ce point au repos, et que la vitesse initiale de Best^^ paral- 
lèle à Ox et la vitesse finale /-O'j perpendiculaire à AB, 



— i:{:{ — 
COMPTES lîKNhllS DES SÉANCES, 



SÉANCE DU r; AVIIIL lîXHI. 

l'UKSIDKNCK 1)K M. IIADAMAIU). 

Communications : 

]M. Popovlci : Sur les mulliplicatoiirs des systèmes (V équa- 
tions (liJI'érentieUes. 

M. Iladamard : Sur le principe de Dirichlet. 



SÉANCE DU 2G AVRIL lOOG. 

PIlKSIDIîNCK Dli M. BLUTEL. 

Communications : 



M. Raiï}- : Sur la correspondance réciprocjue entre les lignes 
asymptotiques et le réseau diagonal conjugué. 

M. Blutel présente deux modèles d\ine surface réglée du qua- 
trième ordre possédant deux droites doubles. 



SÉANCE DU 3 I\IAI iOOO. 

PRÉSIDENCE DE M. IIADAMARD. 

Communications : 

M. A. Demoulin : Sur certaines transformations ponctuelles 
de l'espace. 

M. Popovici : Sur ^intégration de cpielques équations aux 
dérivées partielles. 

M. Iladamard : Sur les contours fermés. 



SÉANCE DU 17 MAI 190G. 

PRÉSIDENCE DE M. HADAMARD. 

Communication : 

iM. Servant : Sur F habillage des suifaces de ré^ohft/on. 

XXXIV. 9 



SÉANCE DU 7 JUIN 1907. 

PRÉSIDENCE DE M. IIADAMARD. 

Communications : 

M. Sanielevici : Sur V équation aux dérivées partielles que 
vérifie une somme de plusieurs fonctions homogènes. 

M. lladamard : Sur la méthode des approximations succes- 
sives. 

M. Remj : Sur la surface de Kummer. 



SÉANCE DU 21 JUIN 1906. 

PRÉSIDENCE DE M. R. PERRIN. 

Communications : 

M. Marcus : Sur le développement de V inverse dhine série 
entière. 

M. Bioclie : Sur la symétrie de certaines courbes. 

M. RafTy : Sur la correspondance entre lignes asymptotiques 
et lignes diagonales. 



SÉANCE DU 5 JUILLET 1906. 

PRÉSIDENCE DE M. BLLTEL. 

Communications : 

M. Popovici : Sur les développements en série de fonctions. 

M. Marcus : Sur le développement d' une racine simple d'une 
fonction entière. 

M. K. Perrin : Sur les lois de force cjui font décrire à un 
point une conique, quelles que soient les circonstances ini- 
tiales. 

M. RafTy : Sur la transformation de Lie. 

M. Petrovitch adresse un Mémoire intitulé : Sur certaines 
transcendantes entières. 



- iir; — 
s^:an(:i-: nu lo .imujrr iîxm;. 

pnKSiDKNr.iî [)!•: m. Hi,irri:i-. 

Communications : 

M. Maillet : Si//' les /i(>/)ih/<\s l/f/iisce/ula/ils dont le d/U'clop- 
pement en f/nctio/i co/itinuc est quasi-péiiodiq/ie et s//r les 
/wnd)res de L/oi/ville. 

M. (icrardiii : Su/' les no//ib/'es (///ïinhles. 



MÉMOIRES ET COMMUNICATIONS. 



SUR LE PRINCIPE DE DIRICHLET; 
Par M. Hadamard. 

M. Ililbert a, comme on sait, indiqué une mélliode permettant 
d'établir la possibilité du problème de Dirichlet (formation d'une 
fonction liarmonique dans une aire donnée et prenant des valeurs 
données sur le contour) par la méthode même qui avait servi à 
Riemann, c'est-à-dire en prouvant directement que l'intégrale 

'=//[(S)'-(l)1-"*' 

étendue à l'aire donnée S, a un minimum. 

A cet effet, l'auteur se place dans l'hypothèse où le contour de 
l'aire S est analytique (ou du moins composé de parties analyti- 
ques), et où il en est de même de la distribution des valeurs données 
de u sur ce contour. 11 est alors clair, en tout cas, qu'il existe des 
fonctions u qui prennent ces valeurs à la frontière et qui, dans 
l'intérieur de l'aire, admettent des dérivées partielles finies, pour 
lesquelles, par conséquent, l'intégrale I existe. 

Mais on sait que l'existence de la solution a été établie par 
d'autres méthodes, en supposant les valeurs de u simplement con^- 
tinues. Dans ces conditions, ce premier point de départ du rni- 
sonnement de M. Hilbcrl, à savoir l'existence de fonctions u satis- 



— lae — 

faisant aux conditions aux limites et pour lesquelles l'intégrale I 
ait un sens, cesse d'être aussi évident. 

Or, il ne faut pas croire qu'il y ait là une difficulté toute super- 
ficielle. 

Tout d'abord, si l'on cherche une fonction u prenant sur le 
contour d'une aire des valeurs données (simplement continues) 
et admettant, en tout point intérieur, des dérivées partielles, on 
ne trouvera guère, pour en former, de mojen plus simple que la 
résolution même du problème de Dirichlet. 

Mais il y a plus : et l'on peut établir en toute rigueur que la 
méthode de M. Hilbert peut être inapplicable par le fait qu'il 
n'existe aucune fonction u qui donne à l'intégrale 1 un sens. 

Supposons que S soit un cercle de rayon 1 : la solution du pro- 
blème de Dirichlet est alors 



= — -I- \ o"(«„ cos/iO + b,i sin/iO) 

00 



2 



"=1 



avec 



a„= c,i cosa,i= - / w(i, 0) cosO rfO, 

I r~'^ 

bii= c,i sina,i = - / i<(i, 6} siiiO d^. 



L'intéijrale 



»' 



étendue à l'intérieur du cercle de rayon o < i qui a pour centre 
l'origine, est égale à 

(2) r.^nclf-n. 

Elle augmente donc indéfiniment lorsque p tend vers un, si la 
série 

(3) y^ncl 



i:{7 — 



est divorj:;cnlc. Or cocl peut arriver inriiu; si hi S(;il<; Iri^onomc- 
lri(jiic ([iil icprésentc u sur la circoiiforcncc p = i est absolumenl 
convergente, il siiHiL de [)reiidre 



c,i = () pour /i /. 7ri> 

Cn= — pour n = '^2/'. 



S'il cil est ainsi, on voit que la solution du [)rol)lème de Diri- 
clilet donne lieu à une intégrale de 1 infinie. Comme cette solu- 
tion Uq correspond au minimum de 1, Il est à prévoir qu'aucune 
autre fonction satisfaisant aux conditions aux limites ne pourra 
fournir une intégrale finie. 

Mais, contrairement à ce qu'on pourrait croire a priori, il 
paraît impossible de fonder une démonstration rigoureuse de ce 
fait sur la considération de la fonction ?^05 et il est nécessaire de 
raisonner directement. 

Soit donc u une fonction quelconque définie à l'intérieur du 
centre de rayon 1, admettant, en tout point intérieur à ce cercle, 
des dérivées premières continues, et prenant sur la circonférence 
les valeurs données. Si l'on pose 



nuis 



2Tr 
A„(o) = - / a(p, 0) cos/iO <:/0, 

B„(p) = - Ç w(p,0)sin/iOc/0, 
A',(o) = - / -—cos/iO^O, 



' 

^271 



B;(p) = - / — sin/iOt/O, 



'? 

on aura tout d'abord 



_ dXn , _dB,i 



D'autre part et sans préjuger la possibilité de dévclo])per — en 



— \:m — 

série lrigononiclri(|uc, on sait (') qu'on a 



lfl:|)'->^-2^'^"-'^">' 



quel que soit l'entier n auquel on arrête la sommation. 
De même, comme on peut écrire, pour n >> o, 



Art = / -j- sin riQ dO, 

m: J^ 0^ 

' — r- cosnOdO, 



on aura 



1 

On a donc 



(4) , 



n 



Or les méthodes ordinaires du calcul des variations permettent 
de montrer que l'intégrale 



n^^'-^'^'-f)'^' 



oi\ A,i(p) est une fonction assujettie à s'annuler pour p = o, est au 
moins égale à /iA,-j(po). 
Comme, pour p — i, on a 

A„= cin, Brt= b,i, 

nous retombons bien sur la conclusion énoncée : nous voyons 
que la méthode de M. Hilberl peut être inapplicable, alors même 
que le problème de Dirichlet a effectivement une solution. 

(') Voir, par exemple, Uaunack, Mathematische Annalen, t. WII, i88o, 
p. 125; HuGONiûT, Compter rendus de l' Académie des Sciences, t. XCV, 1882, 
p. 909, 



— \:\\) — 

LES ANTICAUSTIQUES DU PARABOLOIDE HYPERBOLIQUE ÉQUILATÈRE; 

Par M. m: Montciikuil. 

Laj^ucrrc (' ) cl, après lui, M. lIuinbciL (2) ont (;L<'; amènes, par 
réliulc des courbes de direction, à considérer les anlicaustif|ues 
par réllexion pour des rajons parallèles, des courbes planes algé- 
briques cl en parliculicr de la parabole. Ces auteurs ont surtout 
considéré le cas des rajons perpendiculaires à l'axe de celle der- 
nière courbe. Ciclui des rajons parallèles à cet axe est d'ailleurs 
sans intérêt, quand on suppose les rajons réfléciiis dans le plan 
de la courbe. Alors, en efïet, tout est dit quand on a remarqué 
que ces rajons convergent au fojer de la parabole. Mais il n'est 
nullement nécessaire de supposer qu'un rajon réflécbi par nne 
courbe plane reste dans le plan de celle-ci. La direction de ce rajon 
n'est bien définie que lorsque, avec la direction du rajon incident 
et la courbe dirimante, on donne encore le plan passant par la 
tangente, sur lequel a lieu la réflexion; et si d'ordinaire on sup- 
pose implicitement que celte réflexion se fait sur un ejlindre qui 
admet la courbe dirimante pour section droite, cette bjpothèse 
ne s'impose en aucune façon. 

Restant donc dans l'ordre d'idées de Laguerre et de M. Humbert, 
nous allons indiquer très sommairement quelques propriétés des 
anticaustiques du paraboloïde hjperbolique équilatère pour des 
sjstèmes de rajons parallèles. Nous étudierons d'abord les anti- 
caustiques de la surface, ensuite celles de diverses courbes tracées 
sur celle surface et tout particulièrement celles des sections para- 
boliques. 

I. 

Soit donné le paraboloïde hjperbolique équilatère défini par 
l'équation 

(I) ^=.>L__. 



(*) Nouvelles Annales, 3* série, l. H, i883. 

(-) Journal de Mathématiques pures et appliquées, 1888. 



— 140 — 

Nous «liions établir (jiic celte surface jouit des propriclcs sui- 
vantes : 

i" Elle est la surface moyenne de la cycllde de Dapin. 

2" Elle admet celte surface pour anticauslique, les rayons 
incidents étant supposés parallèles à l'axe des z. 

?>^ La caustique est formée du système de deux paraboles 
situées dans deux plans perpendiculaires, et telles cjue le som- 
met de chacune d'elles soit au foyer de Vautre. 

4" Les cosinus directeurs des rayons réJlécJiis et les coor- 
données de Vanticaustic/ue s'expriment rationnellement en 
fonction des coordonnées de la projection de la surface diri- 
mante sur le plan des xy, 

5" Les coordonnées du paraboloïde et celles de la cyclide 
sont liées par une transformation hirationnelle qui fait cor- 
respondre point par point deux familles de sections parabo- 
liques de celle-là aux cercles, lignes de courbure de celle-ci. 

Nous avons établi la première proposition dans notre thèse : 
Sur une classe de surfaces (* ). 

La cjclide de Du pin qui admet pour surface moyenne le para- 
boloïde défini par l'équation (i) est donnée par l'équation 

^- r- 



a z — za 



Avant d'en venir à l'examen des autres propositions, remar- 
quons que la cjclide et sa surface moyenne pourront être obtenues 
par la construction suivante : 

Traçons deux paraboles identiques avant pour axe commun 
celui des z^ l'une dans le plan des xy^ l'autre dans celui des yz., 
et telles que le sommet de chacune d'elles se confonde avec le 
foyer de l'autre. La congruence des droites qui s'ap|)uient sur ces 
deux paraboles est celle des normales à la cvclide de Dupin. Ces 
paraboles représentent les deux courbes auxquelles se réduisent 
les deux nappes de la surface des centres de courbure. On voit dès 
lors que le point milieu du segment qui relie les deux paraboles 
décrira la surface moyenne de la cyclide. 



(') GiiiiLliicr-Villars, i<)Ol>, p. i^^. 



Il nous r<\sl(^ à (h'icrmiiicr le polnl de l:i iiorinah; (|(ii décril la 
siirlaco. Supposons pour un iiisliitil, iiolic; sfM'oridci proposil ion 
(l('Mnonlr(!C. Construisons ;il()is un r.cirlc, vcrlical lan^'^cnl au plan 
des xy conicnani, la nornialcî dans son plan et ayant [)Our eentrc 
le j)oinl milieu du serment focal. On se r(;nd compte aisément que 
l'un des points d'intcM-scction du cercle et de la normale décrit la 
cjciide. 

Nous avons affirmé (pie I(îs rayons parallèles à l'axe des z se réflé- 
cliissent sur le paraboloïde normalement à la cyclide. Cette pro- 
position peut être vérifiée comme il suit : 

Quand on passe des coordonnées cartésiennes à celhîs d(; 
O. Bonnet, l'équation (2) de la cyclide de Dupin prend la forme 

(3) ^ = a{ir--{-ul). 

Or, cette expression de ç vérifie l'équation aux dérivées par- 
tielles 

^ - = O , 

au âui 

équation qui est celle des surfaces pour lesquelles la demi-somme 
des rayons de courbure est égale à la distance du point donné de 
la surface moyenne à un plan fixe (\). Par suite les deux nappes 
de l'enveloppe de la sphère tangente à la cyclide et dont le centre 
décrit le paraboloïde seront formées de cette même cyclide et 
d'un plan fixe. Ici, le plan fixe étant celui des œy., l'anticaus'tique 
du paraboloïde pour les rayons parallèles à l'axe des z sera bien 
la cyclide de Dupin. 

La troisième proposition découle de la seconde. Les rayons 
rélléchis étant normaux à la cyclide passeront nécessairement par 
les deux paraboles auxquelles se réduisent les deux nappes de 
la surface des centres. 

La quatrième proposition qui va découler des formules que 
nous allons établir à l'instant peut encore être considérée comme 
la conséquence à peu près immédiate d'une affirmation que nous 
avons démontrée ailleurs (-) et qui peut se formuler comme il 



(') Thèse déjà citée, p. 39. 

(-) Bulletin de la Société Diatliéniatlque de France^ l. XXXll, h)'>i. p. 173. 



— l/*2 — 

suit : Une surface étant définie par une relation algébrique 
quelconque entre les coordonnées de 0. Bonnet, les systèmes 
formés des rayons normaux à cette surface et des rayons réflé- 
chis par la surface moyenne sont analy tiquement séparables. 
Il en est de même des s ut faces normales à ces congruences 
qui constituent les deux nappes de l' enveloppe d'une sphère 
variable dont le centre décrit la surface dirimante. 

D'ailleurs la démonstralion de cette proposition et celle de la 
suivante sont une conséquence des formules que nous allons éta- 
blir. 

En prenant pour point de départ Téquation (2) on obtient les 
expressions suivantes des coordonnées de la surface moyenne : 

/ X = — aiu -\- Ml), 

/,, ]y= ia{ui—u), 

(4) < 

On sait d'ailleurs que les cosinus directeurs c, c', c" de la nor- 
male à la cyclide sont exprimés par les relations 

l -+- UUi^ 

, . Ux — u 

c = l , 

I + UUi 

„^ uux — \ 

1 -h llUi 

Eliminant u^ U\ entre ce système et le système (4), il vient 



c = 



(5) c' = 



c = 





4 ax 






x-^ 


4 (ly 


4 


«2 


X'- 


H-j2-i- 


4 


a^ 


x"^ 


■■-^y'- 


4 


«2 



X- -\- y--^ 4 «■ 



X, Y, Z désignant les coordonnées courantes, la normale de co- 
sinus directeurs c, c', d' passant par le point de coordonnées x^ 



>', z du [)aralj()loï(lc sera (lclcriniii(''C [yàv le sj.slèmc 

\ = 3^ -\ 5 :, ; — ; >' ^ 

_ J- — .^^ a;2-i- j2_ ^a2 

X désigne ici la dislance d'un point donné de la normale à son 
point de rencontre avec le paraboloïde. 

Pour obtenir les expressions des coordonnées de l'anticaustique, 
nous devons donner à X, dans le système (6), la valeur de la demi- 
somme des rayons de courbure, valeur qui est ici égale à z^ 
puisque la sphère dont le centre décrit la surface moyenne et qui 
a pour rayon la demi-somme des rayons de courbure est tangente 
(nous l'avons vu) au plan des xy. Nous avons donc le système 



(7) 



x'^ -^ y^-\- ^ «- 

Les systèmes (5) et (7) définissent les cosinus directeurs des 
normales de la cyclide et ses coordonnées en fonction rationnelle 
des coordonnées du paraboloïde, ou, si l'on veut, des coordonnées 
de sa projection sur le plan des xy. Il nous reste maintenant à 
exprimer les coordonnées du paraboloïde en fonction de celles de 
la cyclide. 

Dans ce but, cherchons les paramètres des lignes de courbure 
de cette dernière surface. En désignant par p, pi ces paramètres 
on déduit de l'équation (3) 

p = w 4- Wi, 

D'oi!i^ en tenant compte des expressions de x^y coordonnées du 

paraboloïde, 

X = — ap, 

7= «Pi- 
Ces lignes de courbure sont donc des courbes planes. Si nous 



X 


= 


IX 




r' + 


ia'' 


X'^ 


1 + ^2 


+ 4«2' 


Y 


— 


iy 




372 -f- 


2 «2 


x^ 


H_^2 


-^- 4 «2 ' 


7 




ri 




y'- 


-.r2 



— lii — 

déterminons les équations de ces plans et si nous y remplaçons 
p, p, par leurs valeurs en x^y nous obtenons le système 

laX — x(7j -h 7.a) = o, 
2<2Y-f-jK(Z — 2 a) = o. 

Or, il reste à remarquer que ces relations nous donnent pré- 
cisément deux des trois quantités ^, y, z que nous cherchons à 
exprimer rationnellement en X, Y, Z. Il nous suffira donc de leur 
associer l'équation du paraboloïde, et nous obtiendrons le sys- 
tème 

X 

X = ^.a , 

A. -+- -Kl 

(8) /'j=_2a- 



? 



L\Z — la ) \Z — 'la I \ 



Les systèmes (7) et (9) combinés définissent donc la transfor- 
mation birationnelie dont nous avons affirmé l'existence dans 
notre cinquième proposition. 

Pour X el y constants nous avons sur le paraboloïde des sections 
paraboliques d'axes parallèles à celui des z. D'autre part, les quan- 
tités x el y peuvent être considérées comme les paramètres des 
lignes de courbure de la cycllde comme le montrent les relations 

x=—ap, y=api. 

Or, les lignes de courbure de la cyclide sont des cercles. Nous 
voyons par là que les systèmes (7) et (8) font correspondre point 
par point deux familles de paraboles tracées sur le paraboloïde 
aux cercles de la cyclide. Nos propositions sont donc complète- 
ment démontrées. 

Le système (6) nous permet de suivre la marche des rayons 
rélléchls. Nous savons qu'ils rencontrent deux paraboles. On dé- 
duit aisément les équations de ces paraboles de l'équation (3) qui 
définit la cyclide. Elles sont respectivement déterminées par les 

deux systèmes 

l X2 -h 8aZ — 8a2= o, 
(9) ,. 

, , l Y2— 8aZ — 8a2 = o, 

1 A = o. 



— iî:; — 



Ceci pos(', r(Mnarqii(>iis (jiic le parahDloïdo cA la cyclido se. 
coiipciil suivanl deux dioilcs rcîclaii^idaircs^ siLuccs dans le plan 
d(\s .ry vX (h'diiiics par le snsIomh^ 



y- — a'2 = (), z = (). 



(!lonsidérons la région de la snifaccî pour la(jii(dl(î on a 

.r2 — jK^ y- o. 

ïMors les rayons r('(léchis partiront de la snjface dirinianle avec 
la valeur initiale ). = o, et croissant avec ce paramètre rencon- 
treront la cjclide lorsque l'on aura 

A — — — — — z ; 
/i a 

X continuant à croître ils viendront rencontrer la parabole définie 
par le système (9), cl l'on aura 



X = 



.r2 -h yi -4- ] a' 



Si, au contraire, partant de X =: o, nous faisons décroître ce 
paramètre, nous verrons que les rayons réfléchis rencontreront 
la seconde parabole définie par le système (9)' pour une valeur 
de A égale et de signe contraire à celle qui correspond à la pre- 
mière parabole. 

Les points pour lesquels on a x-<iy- donneraient lieu à une 
discussion analogue. Ici seulement le point de rencontre du rayon 
lumineux avec la cyclide se trouvera placé entre le paraboloïde et 
la seconde parabole. On trouverait les mêmes valeurs de A que 
précédemment mais changées de signe. 

En terminant ce paragraphe nous allons établir quelques autres 
transformations birationnelles qui ont un lien étroit avec les précé- 
dentes. Nous allons indiquer brièvement la marche des calculs à 
effectuer. Les systèmes (-) et ((S) nous donneront une transfor- 
mation birationnelle entre le paraboloïde hyperbolique équilatère 
et la cyclide de Dupin. Si dans le système (5) nous changeons 

c, c', c" en ^y ~î?' ~è^ ^*«iJKn ^\ représentent les coordonnées du 

paraboloïde. jNous pouvons alors exprimer x, y^ z rationnelle- 
ment en X\ , Vi j ^17 et nous avons une transformation birationnelle 
entre le paraboloïde et la sphère, llapprochaut alors les deux 



- liO - 

Irnnsformalions cl éliminant ^, ^, 'j, nous ol)tcnon.s une transfor- 
matioQ biralionnelle entre la cyclide de Diipin et la splière. Une 
propriété intéressante rapproche d'ailleurs ces deux surfaces. Les 
congruences de leurs normales se réfléchissent parallèlement aux 
axes de deux paraboloïdes : du paraboloïde hyperbolique équila- 
tère pour la cvclide, du paraboloïde de révolution pour la sphère. 
Nous sommes donc invités à chercher une transformation bira- 
lionnelle qui relie la splière au paraboloïde de révolution dont le 
fojer occupe le centre de cette sphère. Il ne nous restera plus 
qu'à établir la transformation birationnelle qui relie les deux pa- 
raboloïdes et ainsi nous aurons obtenu un cycle fermé de ces 
transformations. 

Nous allons en dresser le Tableau, et, pour procéder avec ordre, 
nous désignerons par x, y, z; ^, , jk< ? ^< 5 -^25 v-i^ ^-2 ', ^i^ J'a? -^3 
les systèmes de coordonnées respectives du paraboloïde hyperbo- 
lique équilatère, de la cyclide, de la sphère, du paraboloïde de 
révolution. 

Enfin nous aurons recours à la notation (o, i) (i, 2), etc. pour 
désigner les transformations relatives aux surfaces de coordonnées 

Nous avons donc 
x= ia — , x^~ix 



y- — x"*- 



^ [\.-i-2«/ \z^-r--ia)\ 



= la 



x- -~ y- -\- \a' 



•2 a — j, a 2 xf — ( R — «2 )■- 

x.^ = '2 R^i —:^ -. 5 7— Tj > ^1=0 T, ïT^i "^2, 

x\-~- y\-^ z\ — !\a^ K (^2— R'" 

2rt— -1 rt 2.r5 -h(R — ^o}2 

Z-r — Il ^ :;; :;; ; r~ > 

x\-r y\— zi^ ka- 
Rj-3 



a-2 = 



^3 — 2 C 

Rva 

\\z, 

Z-t = » 

Zi-^ ic 



^1 — 


R R — ^2 


a^3 = 


2C.r2 


73 = 


■><:yt 
Zi — R 


. 


2r Jo 

TZ J 



O- R 



- 117 - 



et 



('<>) 



r (1 

Les ([iiatre surfaces considérées sont ici définies par le syslémc 



C désigne ici une conslanle. 

Ces (jiiatre syslèmes forment le cycle complet. Nous pouvons 
toutefois y joindre les deux systèmes (o, 2), (1, 3) qui relient le 
paraboloïde hyperbolitjue équilatère à la sphère et le paraboloïde 
de résolution à la cjclide. 

Nous trouvons 

H, X = 2(1 , 

Z2 — 1> 

_ R , _ ^, ri — ^i 

'2 — .0 . .0 , — 7~j; ^1 ^ — a 



X2 


= — 






4 a X 




x-^ 


-+- 


X' + 


\a' 


^2 


= — 






î'^r 




X^ 


+ 


j-^ + 


/.«^ 






x^ 


+ 


.r'~ 


4^2 



:i-2+j2 -1-4^2 ' (-2— H)2 

x, a r? -T- :>. c2 

3^3= 2C — :» ^1 = „— X3, 

Y\ (^ X\ -f- 2C2 



^^ ^\{z^-^:iay^ {Zi—'j.ay^ /' "^ '2 c 23+20 

L'interprétation géométrique de ces systèmes offre un intérêt 
particulier quand on introduit l'hypothèse 

R 

rt = c = • 

2 

Alors les projections sur le plan des xy des points associés sur 
les deux paraboloïdes se confondent. Le système (o, ,')) donne en 

efifet 

^3 ^ Jr, 73 = y. 



— 148 — 
De ce fall nous pouvons déduire la proposition suivante : 

Soient donnes un paraholoïde de révolution et un paraho- 
lo'Cde hyperbolique équilatère de même axe définis par les 
équations du système (lo) où Von suppose ia^ ic = — R; tout 
rayon incident parallèle à Vaxe des z se réfléchira sur cha- 
cune de ces deux suif aces suivant des directions respective- 
ment normales à la sphère et à la cyclide du même système 
(lo) et rencontrant ces deux surfaces en des points liés par la 
transformation birationnelle {\ ^ i). 

Dans la même hypothèse les deux groupes de formules du sys- 
tème (2, 3) deviennent identiques. 

Ainsi donc le système (2, 3) définit une transformation réci- 
proque entre les points du paraholoïde de révolution et V une 
des sphères normales aux rayons réfléchis sur cette surface, 
la direction des rayons incidents étant supposée parallèle à 
l'axe. 

Si dans le système (2, 3) nous faisons toujours 2C= — Il le 
point du plan des xy de coordonnées x^y-i sera à la lois projec- 
tion orthogonale sur ce plan d'un point du paraholoïde de révo- 
lution, et projection centrale sur le même plan de point corres- 
pondant de la sphère, le pôle de projection étant situé en un des 
points où l'axe des z rencontre la sphère. 

Cette transformation d'un point de la sphère en sa projection 
centrale que nous venons de définir est celle (à \\n coefficient près 
d'homothétie) par laquelle on passe de la surface plane à la sur- 
face sphéricjue de Riemann. 

INous n'avons déterminé qu'une seule anticaustique du paraho- 
loïde, alors que leur ensemble constitue une famille. Mais rien 
n'est plus aisé que de déduire cette famille de l'équation de la cy- 
clide. Écrivons 

^ =z a{u--^ u\) -^ p^i^-^ uu^)^ 

P2 désignant un paramètre arbitraire. Pour 00 = nous avons 
l'équation de la cyclide, et à chaque valeur de Oo correspond une 
surface parallèle à celle-ci, par conséquent une anticaustique du 
paraholoïde. 



— Ii<) — 

On s.nl. (jiKî l(^ paianirlrc; "j., .'issoclé aux paramrLrcs o, g, (Jcs 
lignes do coiirl)iirc permet de défiiiii' un s^slènic cyclique dont 
fait partie la cyclide de Duj)in. 

Nous n'insisterons pas sur ces résultats et nous avons liate d'en 
venir à TiHudc; des anlieausti(pies relatives à certaines eourhcs 
tracées sur le paraholoïde. 



Il 



Coupons le paraholoïde par un [)lan parallèle à l'axe des z. 
Soit l'angle de ce plan avec celui des xz. Si l'on elTectue un 
changement de [)lans de projection, tel que le plan de section 
devienne celui des j^::, x' , y\ z' les nouvelles coordonnées peuvent 
être définies par le système 

x' = X cosO -t- JK sin H- a7|,, 
y = y cosO — ^ sin H-j'o, 

^1)1 J 0' coordonnées de l'ancienne origine par rapport à la nou- 
velle, peuvent être choisies sur le plan de section de telle sorte 
qu'on ait 

iTy = X COS2O, 

j'q =— ÀsiiiaO, 

À désignant la distance de l'ancienne origine à la nouvelle. 
L'équation du paraboloïde hyperbolique devient alors 

cos'iO ( j^'2 — x'^^) -h 2 si n 2 ^x'y' -^ -ilx' — COS2OX2 — /iaz' ^^ o 

et la parabole de section sera définie par le système 

3?'= O, 

cos'j>J)y'- — 4'''^'— ^<^S2 0>v2 = o. 
En tenant compte des relations 

x' = X cos -hy s'in^ -i- x'^y =0, x'^^ = X cos 2 0, y' = — X sin 2 

il vient 

X =— y' sin — X cosO, 

y= _/' cosO -r- X sin 0. 

xwiv. 10 



— 150 — 

Il suffît de porter ees valeurs dans le second groupe du système 
(o,i), qui définit les coordonnées de la c^clide de Dupin, pour 
obtenir l'anticaustiquc de la section. 

On trouvera en particulier 

X Y Z 

= o. 



X sin26 Y -H 2 a sin6Z XsiiiaOa? — 2acosOZ sinOX-^cos6Y 

ISous voyons par cette équation que les paraboles détermi- 
nées sur le paraboloïde par des plans parallèles à Vaxe des z 
admettent pour anticaustique V intersection de deux cubiques 
dont l'une est la cyclide de Dupin. 

Les cosinus directeurs des rayons réfléchis vérifient la relation 

•2rt(c cosO — c' sinO ) -h X (c" — i) COS2O = o. 

Cette équation montre que les rayons réfléchis sur la para- 
bole de section font un angle constant avec une direction fixe. 
Cet angle a pour valeur 

X cos 2O 
cos V = — - • 

V/X^COS2 2 -+- 4«2 

Quand le plan de section passe par l'axe des ^, on a \ = o. x 
et y sont alors définis par les expressions 

T = — y sin 0, 

et les coordonnées de l'anticaustiquc ont pour expressions 

y 2 cos^O -+-2 «2 



X = — ly' cosO 



Y = -ly' sinO 



y'^ sin^ 6 -1- 2a- 



y '^ -{- ^a' 



„ r'^ COS2O 



L'élimination dey' donne entre autres équations 

X2_ Y2+2cot2eXY + 4aZ = o, 
( X'-J + Y2 + 2 Z2 ) sin 2 -i- 2 XY = o, 
XcosO^- YsinO 



Z — 2a 



X cosO — Y sinO 



- I.il - 

Nous voyous donc (pic /es i nlcrscclinDs du i)(tral)oloïde hy- 
perbolique ('(juHdtèiu' (nu'c un jilan /xissunl /xir Case des z 
adnieltcntj pour (fnti('(iusli(/ues, des courbes suivant les(/ueUes 
trois surf aees du deuxième de^ié coupent ht cyclide de /)upin. 

Iaîs cosinus (lircc^Nîiirs des rayons r(;ll(H:liis vcM-ificnt ici la rcla- 

lioii 

c cosO — c' sinO = o 

(jui luonlrc (|uc ces rayons sont lous parallèles à un plan passant, 
par l'axo des z. 

Si l'on rapproche celle relalion de Téqnalion 

X cosO -+- y siiiO = o 

cpii définit la direction du plan de section, on trouve pour valeur 
de l'angle des deux plans 

cosy = cos'2Ô. 

D'où nous pouvons tirer cette conclusion : Soient données sur 
le paraboloïde hyperbolique équilatère défi ni par Véquation{\) 
deux plans symétriques par rapport au plan des xz, les 
rayons parallèles à Vaxe des z se réfléchiront sur chacune 
des paraboles de section suivant des directions parallèles au 
plan de l'autre parabole. 

Pour G = o les deux plans se confondent et dès lors les rayons 
réfléchis doivent se trouver dans le plan de section. L'intersection 
de ce plan avec la cyclide étant l'anticaustique de la parabole doit 
se réduire à un cercle. On vérifie sans peine qu'il en est bien ainsi. 
En efl'et l'équation (2) de la cyclide peut se mettre sous la même 

forme 

(Z — 2a)(X2-+-Z-i— ';t«Z)H-(Z2-f- nta)Y2=o. 

Or, pour la section du paraboloïde déterminée par la valeui- 
= 0, on a Y = o et l'équation de la cyclide se décompose en 
deux équations dont l'une définit bien un cercle. 

Les sections les plus intéressantes du paraboloïde sont celles 
qu'on obtient en faisant successivement x et y constants. Nous 
avons vu que ces quantités sont les paramètres des lignes de cour- 
bure de la cyclide. Les anticaustiques des paraboles de section 
seront donc les cercles qui constituent les ligues de courbure de 



— 152 — 

cette surface. Nous pouvons résumer les propriétés du système de 
rayons réfléchis dans la proposition suivante : 

Soit donné le paraboloïde hyperbolique éqailatère défini 
par V équation (i); les parallèles à Vaxe des z se réfléchi- 
ront sur les paraboles de la surface situées dans des plans 
parallèles aux plans coordonnés suivant les génératrices d'un 
cône de révolution. Ces cônes ont leur sommet sur l'une des 
paraboles auxquelles se réduisent les deux nappes de la dé- 
veloppée de la cyclide deDupin normale aux rayons réfléchis. 
Ils enveloppent la seconde de ces paraboles, la parabole de 
section et admettent pour sections droites leurs intersections 
avec la cyclide et toutes les surfaces parallèles à celles-ci. 

En égalant z à une constante dans l'équation du paraboloïde, 
on obtient une série de sections parallèles qui admettent pour 
anticaustique les intersections de la cyclide avec la surface du 
second degré définie par l'équation 

a(Y2— X2) — 2Z2 — 4a2(Z — -s) = o. 

On trouve pour équation de la représentation sphérique 

a(c2— C'2) + 2(1 — C")2 = 0. 

Nous pouvons en terminant considérer les courbes d'intersection 
du paraboloïde par un cylindre de révolution ayant pour axe celui 

des z. 

On a ici 

x'^-\- y- = A'^ = const. 
et Ton trouve 

A2 — 4 a2 



c = 



4a2 



Cette relation nous montre que les rayons réfléchis font un 
angle constant avec l'axe des -3. Pour k=^ 2a, ces rayons deviennent 
perpendiculaires à cet axe. 

L'anticaustique se trouve ici sur la surface de révolution du 



second degré 



4 «2 ( X2 4- V2 _ /,-2 ) + ( A-2 + 8 a2 ) Z'^ = O. 



— i:i3 - 

SUR L'EXTENSION A L'ESPACE DU THÉORÈME DES POLYGONES 
DE PONCELET PAR DES POLYÈDRES DE GENRE ////; 

Par M. Cl. l'\)i\TF:Nr.. 

F. 

1. Dans un INJémolrc inscro au JiuUetiti (l. XXXII, 1904, 
p. 284), j'ai d'abord nionlrc que l'cxlcnsioii (\y\ {hîiovvmd des 
polygones de PoneeleL à l'espaee a des chances de réussir en em- 
ployant des polyèdres liomogènes de genre un^ dont les faces 
sont des quadrilatères et dont les angles solides sont des angles 
tétraèdres; j'ai donné à ces polyèdres le nom de j)nly(}di'es réti- 
culés, cpii rap[)elle la disposition des sommets en q séries de p 
sommets d'une part, en p séries de q sommets d'autre ])art, et la 
dis|)osition analogue des faces. 

Un tel polyèdre, avec des sommets en nombre pq, des faces en 
nombre pq^ dépend régulièrement de 2 pq paramètres. S'il doit 
être circonscrit à une quadrique donnée S, et inscrit à une qua- 
drique donnée S', ce qui forme en général '2.pq conditions, il 
semble que l'on a affaire à un problème déterminé; mais peut-être 
ce problème est-il en réalité généralement impossible, et ne 
devient-il possible qu'en devenant indéterminé. 

Avec y^ = 3, q =z ^^ le ])olyèdre dépend exceptionnellement 
de 18 -f- 1 paramètres. J'ai montré que la recherche d'un polyèdre 
de cette nature circonscrit à une quadrique S et inscrit à une qua- 
drique S', recherche qui est un problème simplement indéterminé 
en apparence, est en réalité un problème généralement impos- 
sible, et qui ne devient possible qu'en devenant doublement indé- 
terminé. La condition de fermeture est 

v/Xi ± y/X, ± /X3 ± /Xi = o, 

les A étant les racines du discriminant de la forme aS -!- S'. 

Je considère ici un nouveau cas pour lequel j'ai pu établir en 
toute rigueur la condition de fermeture 

que j'avais indiquée comme probable {Bulletin, t. \W11I, 
j). ii5). 



— 154 — 

2. Si l'on suppose que, dans un polyèdre réllciilé correspon- 
dant aux valeurs yo = /j? /^ = 4? '^s sommets opposés se confondent 
deux à deux, on obtient un polyèdre II, présentant 8 faces qua- 
drangulaires, (S angles solides tétraèdres [J^dlleLin^ t. XXXI If, 
p. iiT)), ce polyèdre dépend encore exceptionnellement de 
i6 -H I paramètres. Les sommets d'un polyèdre II formant en outre 
un système de points de Lamé, en même temps que les plans de 
ses faces forment nn système de plans de Lamé, le problème de 
construire un tel polyèdre, circonscrit à une quadrique S et inscrit 
à une quadrique S', est un problème triplement indéterminé en 
apparence; je ferai voir que ce problème est en réalité un pro- 
blème généralement impossible, et qui ne devient possible qu'en 
devenant quadruplement indéterminé; la condition de fermeture 
est écrite ci-dessus. 

3. J'ai montré {Bulletin, t. XXXIV, p. 7) (') que les 8 points 
et les 8 plans d'un octuple gaucJie complet sonl^ de trois manières 
différenlcs, les sommets et les plans des faces d'un polyèdre II; 
et le problème qui se pose pour un tel polyèdre est identique à 
celui-ci : lorsque deux quadriques S et S' admettent un octuple 
gauche complet circonscrit à l'une et inscrit à l'autre, satisfont- 
elles à la condition invariante écrite ci-dessus, de manière à 
admettre, non une triple, mais une quadruple infinité de sem- 
blables octuples? 

4. Avant d'aborder cette question, nous devons en étudier une 
autre. 

L'octuple gauche complet peut être regardé, de quatre manières 
différentes, comme un ensemble de deux tétraèdres dont chacun 
est inscrit à l'autre; celle configuration s'était offerte sous ce 
point de vue à M. Humbert {Bulletin^ t. XXXIl, p. 142). Ce 
géomètre, comme conséquence d'un théorème que j'avais déjà fait 
connaître, et qu'il a obtenu de son coté, a démontré (en considé- 
rant des tétraèdres) un théorème que l'on peut énoncer ainsi : 

Lorsque les 8 points communs à une quadrique réglée S et 



(') Le polyèdre II est représenté en cet endroit sous son aspect le plus frap- 
pant; la figure est empruntée à une Note de M. Bricard, qui a signalé le premier 
l'existence de ce polyèdre. 



à un hn/nadral ifi(((' il sont Jt's soniDicIs de (leur (/inkIii la Irrrs 
de i,>r/H''/f/f/'i(('s (ipparlctHtiil à S, il c.rislc une donhlc infiniu't 
d\^ctupli'^ gauches cont/dcls cirronsciils à la <jua(lriqiœ cl 
uisc/ffs à l(( hniKddidf /(fuc : ircipnKj (icnicii f^ ... 

Ij'oxlslcncc (1//// scf/l i)c.\M\)\c. ^iiiiclic circonsciil, à \;ï qii;i(Jrifjnc 
cl mscril à la l)i<nia(liall(jii(î cnhaînc-l clic; (jiic les 8 |)oinls com- 
muns soient les soniniels de deux cjuadrilalcres de génératrices 
appartenant à la f|uadriqiie, etc.? Un décompte de paramètres en 
rend raffirmalion vraisemhlahlc (/in/leli/fy t. XXXIV, p. i.H); 
mais ce mode de raisonnement, souvent lé(4;itime, est insuffisant en 
l'espèce. Un Mémoire récent de M. Bricard {Biillelin^ t. X WIV, 
p. ij) donne le mo^en de faire la démonstration. 

5. L'octuple gauche complet peut être regardé, de quatre ma- 
nières difierenles, comme un hexaèdre dont les plans des faces 
sont 6 des 8 plans du système, et dont les sommets sont les 8 points 
du système, les deux tétraèdres bien connus que l'on peut ordinai- 
rement inscrire à un hexaèdre se réduisant à des quadrangles plans. 
Corrélativement, on peut le regarder, de quatre manières difTé- 
rentes, comme un octaèdre dont les sommets sont 6 des 8 points 
(rt, rt'), i^b, b'), (c, c'), (r/, d') du système, et dont les plans des 
faces sont les 8 [)lans du système, avec cette particularité : les faces 
de l'octaèdre étant réparties en deux groupes de quatre faces, tels 
que deux faces quelconques d'un même groupe aient en commun 
un sommet et un seul, les quatre faces d'un même groupe ont un 
point commun. C'est à ce dernier point de vue que M. Bricard 
envisage l'octuple gauche. 

Etant donnée une biquadratique Q, on peut lui inscrire ce'' oc- 
tuples gauches, dont les couples de sommets (a, a'), (b^ b'), (c, c'), 
(d., d') appartiennent à l'une des trois involutions bien connues 
qui transforment la courbe en elle-même : on peut se donner à 
volonté l'un des 8 plans de l'octuple, soit le plan abcd. Les 8 plans 
d'un octuple formant un système de Lamé, il existe oc- quadriques 
inscrites à chacun de ces octuples : il semble donc qu'il existe 
00^ quadriques, inscrites aux octuples que l'on peut inscrire à une 
biquadratique ; si l'on démontre que ces quadriques sont réellement 
en nombre oc', il en résultera que chacune d'elles est inscrite à oc- 
des octuples considérés, et toule quadrique admettant un octuple 



— im — 

qui lai est circonscrit, en même temps cju'il est inscrit à la 
biquadraticjue, admettra cc^ semblables octuples : le fait préa- 
lable que nous avons en vue sera établi. 

Or, M. Bricard a donné d^ine involution I, telle que celles dont 
on vient de parler, une expression algébrique qui se prête mieux 
au traitement de certaines questions que l'expression par les fonc- 
tions elliptiques : Si 

/ = O, /' = O, . . . , .... . . . , ...,/)=: o, />'= o 

sont les équations tangentielles de quatre couples de j)oints faisant 
partie de l'involution, l'équation 

( S ) 1 II' -h IX mm' 4- v nn! -i- r.pp' = o, 

bien qu'elle renferme seulement trois paramètres, se trouve (en 
raison de la dépendance des 8 points) pouvoir représenter une 
infinité de fjuadriques réduites à deux points, et ces couples de 
])oints sont les couples involutifs que l'on a en vue. Considérons 
alors un octuple gauche inscrit à la biquadratique Q, les couples de 
sommets étant («,«'), (^, b')^ (c^ c*'), (<:/, d'). Prenons sur ù des 
couples involutifs AA'=o, CC'=o; parmi les quadriques du 
faisceau tangentiel 

AA'+pCG'=o, 

il y en a une qui touche le plan abccl^ et elle est inscrite àl'ocluple 
considéré (Mémoire de M. Bricard, p. 23); en faisant varier indé- 
pendamment les deux couples AA' et GC, on aura toutes les qua- 
driques inscrites à cet octuple {ibid., p. 26 et 2^). Si maintenant 
on ("ait varier l'octuple que l'on considère, on aura des quadriques 
en nombre cc^, puisqu'on les a toutes en faisant varier le couple AA', 
le couple ce, et le multiplicateur p. Le fait annoncé plus haut 
est donc établi. On remarquera que les quadriques dont il s'agit 
ici, en nombre infini oo*^, sont les quadriques représentées par 
l'équation (i]), où A, jjl, v, tt varient arbitrairement. 

Le fait que toute quadrique S admettant un octuple qui lui est 
circonscrit, en même temps qu'il est inscrit à la biquadratique, 
admet nécessairement oo^ semblables octuples, vient d'être démon- 
tré sans faire intervenir explicitement le théorème de M. Humbert. 
IMais il faut observer que, l'équation de la quadrique ï pouvant 



— i:j7 — 

rti'c mise sotis la forme AA'-|- o(X7= (>, coLt(; qiiadiifjuo conli(;nl 
le (nia(lrilalri(î AA'C(i' donl les somnuîls soril. (1(,'S poiiils «le la 
l)i(|iia(lrali(jii(; ; si (railleurs HIV cl DD'soril, I(îs (1(mi\ couples (i(; 
points (pli forment avec les couples A A' el (X^ les sommets cruii 
ocluplc i;auclH^ inscrit à la l)i(]Ma(lral npKî, on a uik; i(lcnlit(' de la 

forme 

A.V'-HpGC'==/ (HB'-t-7Diy), 

puisque la cpiadrique foruK'e des deux [)oints D et 13' est inscrile 
à l'octacîdrc qui a pour sommets Jes points A, A', 1>, IV, C], (/; 
l\'qnation de la quadriquc S peut donc aussi se mettre sous la 
forme JîJV-h a-DD'= o, de sorte que cette quadrique contient é'^n- 
lementle quadrilatè'rc BDB'D'. 

(). La question préalable posée au n" 4 étant ainsi résolue par 
raffirmalive, arrivons à la question posée au n" 3, et qui est celle 
que nous avons réellement en vue. Soit un octuple gauche circon- 
scrit à une quadrique S et inscrit à une quadrique S'. Parles som- 
mets aa'^ bù'j cc\ dd! de cet octuple, on peut faire passer une 
infinité de biquadratiques 12 tracées sur S' : considérons l'une de 
ces biquadratiques. D'après ce qui précède, les 8 points communs 
à la biquadratique Q et à la quadrique S sont les sommets de deux 
quadrilatères de génératrices ABA'B' et CDC'D' appartenante S, 
de sorte qu'il existe deux contours quadrangulaires situés sur S 
et inscrits à S', ou encore deux contours quadrangulaires situés 
sur S et inscrits à la biquadratique G' qui est la trace de la qua- 
drique S' sur la quadrique S. Mais on sait qu'un tel contour ne 
peut exister sans qu'il en existe une infinité, et j'ai montré (^iSou- 
velles Annales, 1905, p. 119) que la condition de fermeture est 
celle-ci : les racines du discriminant de la forme aS -H S' doivent 
satisfaire à la condition 

Ainsi, par le fait qu'un octuple gauche est circonscrit à une 
quadri(pie S et inscrit à une quadrique S', ces deux quadriques ne 
sont pas quelconques; elles vérifient la condition précédente, et 
il existe une infinité de contours quadrangulaires situés sur S et 
inscrits à S' (ou à la biquadratique commune C). Soient ACA'(>.' 
et BDB'D' deux de ces contours {Jig. 1); les 8 points ( V, A'), 



- m 



(B, J3'), ..., qui sont d'ailleurs les sommets d'un ocluple gauche 
com))let, étant communs aux quadriques (i,i'), {'i^ '^/), (3, 3'), 
(4, 4') dont chacune est un système de deux plans, sont 8 points 
de Lamé, et l'on peut faire passer par ces points une infinité de 
biquadratiques ù tracées sur S'; dans chacune de ces blquadra- 



Fig. I 




tiques ù on peut inscrire, d'après le théorème de M. Humhcrt, 
une double infinité d'octuples gauches comphîts circonscrits à S. 
Il semble que l'on aurait ainsi œ-' octuples gauches complets 
inscrits à S' et circonscrits à S. Mais il n'en peut être ainsi, car 
il existerait par cela même 00^ tétraèdres inscrits à S' et circonscrits 
à S, et, en vertu d'un théorème auquel il est fait allusion plus 
haut, les deux quadriques devraient avoir en commun un quadri- 
latère de génératrices, ce que l'on ne suppose pas (on devrait avoir 
pour cela X| = ).:^, ),2=: A/,). Il arrive que chacun des octuples 
gauches obtenus se présente oc' fois; on les obtient tous, une fois 
chacun, en laissant fixe le quadrilatère ACA'C, et en faisant 
varier seulement le quadrilatère BDB'D'; et l'on se rend compte 
de ce fait en se rappelant que les sommets ((7, r/), (^, b'), ..., d'un 
octuple gauche sont 8 points de Lamé, de sorte que l'on peut faire 
passer par ces points, et par le point A donné à l'avance, une 
biquadratique Q tracée sur S' : il se trouve que cette biquadralique 
passe par les quatre sommets du quadrilatère ACA'C, et qu'elle 
rencontre encore la biquadralique C en quatre points BDB'D' 
qui sont les sommets d'un quadrilatère de génératrices tracé sur S. 
Le fait annoncé au début est donc établi : rcxislence d'un ocluple 



— IfiO — 

i;;Mi('li(' coini)!*! clrcouscril i\ mic (jiia(lri(jiin ÎS (M inscril. à iiikmjikj- 
(lrl(|ii(' S' suppose* l:i coiidil ion de fcniicl me (pu ;i ('h'; iri(lHpi(''(;, 
cl cnliiMiic rcîxislcru'O (I'uim; (J U(hI riipl.c. in(inil('' de s(;inl)lal>los 
oc.t upics. 

II. 

7. Le rosiillal précédent a|)porlnnl ihk; confirmalion nouvelle 
aux vues (pie j'ai exposées précédeinnieni, il n'est pas sans inlérét 
de compléler sur (piehpies points l'élude des j)olyèdres tétra;^o- 
naux. Je montrerai d'abord ([u'iin tel j)oljèdre peut être constitué 
d'une manièie plus générale que celle que j'ai indicpiée tout 
d'abord : aux deux caractéristiques pclq vient s'en adjoindre une 
troisième /•. 

La figure ci-dessous représente une partie d'un poljèdre tétra- 

Fie. 2. 




gonal affectant la forme générale d'un tore. Les arêtes formant des 
suites ou contours de première espèce 

l'indice supérieur étant constant, et des suites ou contours de 
seconde espèce 

Al A2 A*/ RI R2 R'/ r.i F'/ 

l'indice inférieur étant constant; les deux contours considérés ont 
en commun les sommets 

A 1 R 1 rj F ' 

dont le nombre sera désigné par/?, et ce fait est général pour deux 
contours d'espèces différentes. Si /> est le nombre des contours 



— IGO - 

de seconde espèce, et q celui des conloiirs de ])reinière espèce, le 
nombre des sommets est pqr\ chacun des q contours de première 
espèce contient en elTet /?/•= P sommets, puisqu'il est rencontré 
en /• points par chacun des/; contours de seconde espèce; cliacun 
des p contours de seconde espèce contient de même qr = i) 
sommets. 

Un polyèdre létragonal d'indice /peut être déduit d'un polyèdre 
tétragonal d'indice i. Soit en effet un polyèdre tétragonal d'in- 
dice I, dont les contours de j)remière espèce renferment P som- 
mets, dont les contours de seconde espèce renferment Q sommets, 
et soit r un diviseur commun aux nombres P et Q, de sorte que 
l'on aP = pj\ Qz=zq/"^ si l'on suppose que les contours de pre- 
mière espèce, dont le nombre est qr, se confondent de r en ;•, et 
que les contours de seconde espèce, dont le nombre est/?/-, se 
confondent également de r en /•, on arrive à un polyèdre tétragonal 
d'indice /'. 

Pour former les contours j)récédents, on a fait suivre une 
arête ÎMN, au point N par exemple, de l'arête NP qui lui est 
opposée dans l'angle tétraèdre N d>i polyèdre ; les contours d'arêtes 
ainsi obtenus ont pour sommets les sommets du polyèdre, et peu- 
vent être appelés conLours ponctuels d^ arêtes. Corrélativement, 
on peut former d'autres contours en faisant suivre une arête (/?i, /i), 
dans le plan n par exemple, de l'arêle (/?, p) qui lui est opposée 
dans la face quadrangulaire du polyèdre situé dans le plan /i ; 
les contours d'arêtes ainsi obtenus ont pour plans de leurs angles 
les plans des faces du polyèdre, et peuvent être appelés contours 
tangentiels d'arêtes. 

Aux valeurs p =^ '2, q z= -i^ r =: 2 correspond le polyèdre tétra- 
gonal à 8 sommets et à 8 faces dont il a été question au paragraphe 1; 
si l'on se reporte aux figures données précédemment [Bulletin, 
t. XXXIH, p. 116 et 117), les deux contours ponctuels de pre- 
mière espèce sont abcd, a'b' c d' et les deux contours ponctuels 
de seconde espèce sont ad ca! et hd! dh' . La première des deux 
figures en question permet de concevoir un polyèdre tétragonal 
d'indice 2, avec p et q quelconques. 

Si l'on fait /:> = 3, ^ = i , /• = 3, on obtient un polyèdre tétra- 
gonal à 9 sommets et à 9 faces. Soit AA'A"BB'B"CG'C' le con- 
tour ponctuel d'arêtes de première espèce; les trois contours de 



— Mil — 

seconde osjH'ce sont /Vlî(l, V H' C, \"H" (\" . CliMcnne des anUcs, 
Al>, A'I)', VIV, l)(], IV(y, ... rctKîonlrc la siiivaMl.(;, <;l ces arelcs 
roiiucul le conlour laiif^ciilicl de picinirir csjxm'j;, conloiir donL 
nous dcsi^iicrons les soinmeLs par la nolaliun i, •>,, .>, .. ., (^; en ce 
qui concerne les contours lanj^enliels de seconde espèce, lesareLes 
A A', li IV, Ci( y, par exemple, soiil deux, à (1(mix coplaiiaiies, et sont 
ainsi les aièles (Tun Irièdre (d en est de nulnie pour les arêtes 
A' A", B'B", C'C", et pour les arêtes A'M5, irC, C'A). \)n peut 
dire (pie les i8 arêtes du poljèdre sont les () eot<''s du contour 
ponctuel AA' A", ..., et les 9 côtés du contour tan^entiel (briné 
par les droites successives AB, /VMi', A"B", I^C, ...; les plans des 
an<^les de ce dernier contour sont les plans des faces du polyèdre. 
Pour construire un tel poljèdre, nous emploierons les trois 
contours ponctuels de seconde espèce Al^G, A'B'C, A'^J^'C". Les 
plans de ces triangles forment un tiièdre S.r, Sj)^, Sz; donnons- 
nous ce trièdre, et traçons sur sa surface le contour i , 2, 3, 4j • • -, 9, 
les sommets étant successivement sur les arêtes Sz^ S^, Sj^, 
Sg, ...; nous obtenons dans les trois faces r S:;, zSx^ xSy les 
trois triangles ABC, A'B'C, A"B"(7 : les droites 91, 12, ^3, 34, 
45, 56 devant contenirles arêtes AB, A'B', A"B^ BC, B'C, h"C", 
on marque B, B', B" aux intersections des droites 91 et 34, 12 
et 45, 23 et 56, et le reste va de soi. Les 9 dernières arêtes du 
poljèdre sont les arêtes 

(AA', BB', GC), (A' A" B'B", G' G"), (A"B, B"G, G"A), 
concourantes trois à trois. 

8. De combien de paramètres dépend un poljèdre tétrago- 
nal? Le nombre commun des sommets et des faces étant S, les 
sommets sont astreints à S conditions par le fait que les faces sont 
quadrangulaires, et le nombre des paramètres est 2 S, sauf réduc- 
tion possible du nombre des conditions. Une telle réduction ajant 
lieu, comme on l'a vu, pour /> = 3, <y =: 3, /• = i , et aussi pour 
p = 2, q =^ 2, /• = 2, on est amené à se demander si le fait n'est 
pas général ; on va voir qu'il n'a pas lieu pour ;• = i , y^ = 3, q ^ 3. 

Soit ;• = I . On peut se donner, avec les notations de mon pre- 
mier Mémoire, les p plans A'B'A^BS B'C'B^C-, ..., et les 
p points A-', B^ es . . ., sur les droites A' A^ B' B-', G' GS . . . 5 



- lG-2 - 

puis les p plans KHI'' h^\^\ W-C^HV^C^, ..., cl les p points A», 
B3, (>, ..., sur les droites A2A3, B2B^ (>C% ...; et ainsi de 
suite jusqu'aux points A^, B^, C*/, ... ; le nombre des paramètres 
est ainsi 

^p-\-ip{q — -2) = o.pq. 

Si l'on se donne alors le point A' quclconcpie, ce qui détermine 
de proche en proche les points B', C, D', ..., la question est 
de savoir si l'on reviendra au point A*, comme il arrive pour 

q=''>i 7 = 3. 

A supposer que les choses se passent régulièrement, si l'on se 
donne le point A' quelconque sur la droite A- A', on trouvera 
généralement en revenant sur cette arête un point X' distinct du 
point A' ; il j aura homographie entre A' etrA>',et les deux points 
doubles de cette homographie seront les positions que l'on devra 
donner au point A' pour revenir à ce point. Prenons />> = 3. Les 
deux positions du point A' sont, d'une part, le sommet S du trièdre 
formé par les plans A^B-^A«B', B^G^B'C*, G^A^C^A', d'autre 
part, le point où la droite A-iV' renconire le plan A^B^G*?; et les 
deux solutions ainsi obtenues doivent être écartées. G'est que, en 
e(ï"et,on ne peut pas se donner arbitrairement les plans A-B-A' B', ... 
passant parles côtés du triangle A^B-G-, et les points A'/ B^ G'/ sur 
les droites qui doivent les contenir. Soient, par exemple, a, 3, y 
les points où les côlés du triangle A^B'?G^ rencontrent les plans 
des faces correspondantes du trièdre S ; la droite B* G* devant 
passer en a, ..., le plan A'B'G* doit contenir les points a, ^3, y, 
qui sont déjà dans le plan A^B'/G'?; si donc on écarte pour le 
triangle A* B' G' les deux solutions indiquées ci-dessus, les 
points a, [5i, y doivent être en ligne droite, ce qui réduit d'une 
unité le nombre des paramètres, et le plan A^B' G' est alors un 
plan quelconque passant par la droite a, [^, y, ce qui J'amène Le 
nombre des paramètres à sa valeur normale. 11 y a toutefois 
exception pour le cas y? ::= 3, ^ = 3 ; on se donne alors les plans 
A'A»A2B2, ... et les points A^, B'^ G^ les plans A-'B2A=^B% . .. 
etles points A', B"',G-* ; par la droite d'intersectiondesplans A^B-G- 
et A^'B^G^, qui est ici la droite a,3v, on mène un plan quelconque 
qui donne les points A', B', G'; on gagne donc un paramètre. 
(On aurait pu faire un raisonnement corrélatif, les points a, [i, y 
étant remplacés par des plans.) 



- k;;} - 

Kn supposant toujours />=:. 5, au lieu (N; jciilir de Irois plans 
AM>' \-l)-, ..., pour iini\ci- à Mois poiuls \'/ , 15'/, (//, on p(Mi(, 
parlir des poiuls \", \V-, (]-, cl airivcraux j)oiuls A'/, !>'/, ^//, avec 
(les paranirlr<'s (>u uou>l)r<' >./)(/ — .>. Si Tou se donne alois le 
|)lan du Irianj^le A'l)'(l', v,c. Iiian^lcî e>l d(';l(;ruiin(r, puiscjue la 
droilc lî' Ci' par exemple' doit rencoulrer- les (Jeux droites I>-(1- 
et IV'C'/; il y a loujours exceplion |)our \c, cas p = 6, rj = A^ le 
plan A'^'CJ devant alors passer par la droite d'intersection des 
plans V-B-C'-*, A-»BH:\ et chacun des cotés du triangle A'Ii'C 
dépendant ensuite d'un paramètre. (On peut (aire ui\ raison- 
nement corrélatif. ) 



NOTE SUR LA CHUTE DES CORPS PESANTS; 
Par M. Maurice-P. Uudzki. 

Il y a (juelques mois, M. de Sparre ( ' ) a développé les équations 
du mouvement relatif à la surface de la Terre. En abandonnant 
riijpotlièse simplilicative, ordinairement admise, que les surfaces 
de niveau peuvent être considérées comme des plans parallèles, 
M. de Sparre a été amené à introduire (-) dans les équations cer- 
taines petites composantes de l'attraction et de la force centrifuge, 
agissant dans les directions x et y^ l'axe des ;:; étant supposé 
vertical. 

Aux développements de M. de Sparre je voudrais ajouter la 
remarque que, dans les conditions où il s'est placé, il convient 
d'introduire aussi les composantes des forces produisant le phé- 
nomène des marées. En effet, la valeur de la force totale (•'') pro- 



(') Ce Bulletin, t. XXXIII, p. 60-72 et p. i46-i5o. Voir aussi l'article de 
M. Fouché, ibid., p. i5o-i56. 

{') I^ien entendu, je ne veux pas dire que M. de Sparre a été le premier à 
envisager le problème sous ce point de »'ue. 

(•^) Pour les expressions des trois composantes de la force (A), voir le petit 
livre de M. Hatt, Des marées, p. 17. 

J'observe que la cotnposante horizontale de la force produisant les marées, due 

or 

à la Lune, ne peut pas surpasser - — rr^ • Voir, par cxem|)le, le livre de 

Il 600 000 

M. G. -H. Darwin, The tides and kindred plienornena, etc., p. 100. 



— 164 - 
cluisanl les jTiarocs, duc à l'attraction de la J^unc, est 



(A) 



8 5o()ooo 



où g désigne la pesanteur à la surface de la Terre. 

Considérons maintenant les composantes de l'attraction ter- 
restre dans les directions des axes x et j^; prenons, par exemj)le, 
(/oc. cit., p. ()-) la composante 

(B) -Gg. 

G est l'attraction; on voit qu'elle diOere très peu de la pesan- 
teur g\ Il désigne le raj'on moyen de la Terre. Si l'on pose 

y=i"', la force (13) aura la valeur —- — - — environ, c'est-à-dire 
^ ^ \ ^ 6 3 70000 

que les forces (A) et (B) sont de même ordre. 

Ainsi, quand il s'agit de la chute libre d'un corps pesant, des 
oscillations d'un pendule ou d'un autre problème, dans lequel les 
coordonnées x et y restent toujours très petites, on ne doit pas 
introduire les petites composantes de la pesanteur, dues à la cour- 
bure des surfaces de niveau, sans avoir en même temps égard aux 
forces produisant les marées (^). 

Il en est autrement en Balistique, f^es forces du type (B) 
croissent avec la distance à l'orifice du canon; à quelques dizaines 
de mètres, elles deviennent beaucoup plus grandes que les forces 
du type (A). Ainsi peut-on négliger ces dernières (les forces pro- 
duisant les marées). 

11 va de soi que, dans de nombreux problèmes, d'autres agents 
tels que la résistance de l'air, le vent, etc. jouent un rôle plus 
important que les petites forces (A) et (B) considérées tout à 
l'heure. 



(') On peut envisager celte question sous un autre aspect. On n'écrit pas les 
forces produisant les marées, mais on considère la direction de la verticale comme 
variable. 



— [{.yô — 

SUR CERTAINES TRANSCENDANTES ENTIÈRES; 
l*.»r INI. MiciiKi, l'i;i iiov ncM. 

1. Il y a un nombre illlinité de séries 

(i) Uo-^ fiiz -^ aoz'-i- . . . 

(loiU le cocflieiciit général a,i se laisse iiiellrc; sous la forme 

{?.) an= -y / U{l)[r(l)\"dt, 

OÙ les limites a et h de l'intégrale sont réelles, les fonctions //(/) 
et /•(^) réelles, limitées et d'un signe invariable lorsqiK; / vaiie 
entre a et b. 

Nous appellerons les fonctions, définies par de telles séries, 
tianscendanLcs A(:;). 

Dans le cas le plus simple où j\t) se réduit à une constante, la 
transcendante A(s) se réduit à une fonction exponentielle 

Lorsque y{t) est une véritable fonction de t, le développe- 
ment (i) engendre une infinité de transcendantes variées. A.insi, 

au cas où 

r{t) = lit^ Il = const. 

correspond une fonction de la forme 

l{z) = X- î-, 

z 

A, a, [j étant des constantes réelles ; au coefficient 
correspond la tranccndante 



au coefficient 

XXXIV. I I 



— iGG — 
(a>o, p^o) correspond 



.(-)=i: 



2. De l'expression (2) on lire 

(3) A(z) = r u{t)e'-''^i^ dt, 

(4) A</'->(3)= r u{t){r{t)Ye-rU)dt, 

^ n 

d'où l'on coneliit que la dérivée cV un ordre quelconque d^ une 
transcendante A(^) est elle-même une transcendante A (.s). 
De même, l'expression 

(5) r^{z)dz= f ii|iie-/-(/)^^-hconst. 

fait voir que : lorsque la fonction correspondante r(t) ne 
s'annule paspour les valeurs de t comprises entre a et b, ni pour 

ces mêmes valeurs^ l'intégrale 1 A(z)dz est, à une constante 

près y également une transcendante A(^). 

De (2) on conclut qu'en valeur absolue 

n\ 

M étant la plus grande valeur absolue de r[t) pour les valeurs 
de t comprises entre a et b. Par suite : toute transcendante A(^) 
est une fonction entière de genre inférieur cl deux. 

Les expressions (3) et (4) inetlent en évidence de nombreuses 
particularités des transcendantes A(:;), dont nous ne citerons ici 
que les suivantes : 

Pour toute valeur réelle ou imaginaire de z le module de A (g) 
est inférieur à celui de 

et le module de A^^^(^) inférieur à celui de 



— 1()7 - 



l/(''l('in(^nl (le 1 inl(''i;ial(' (.)) ^ardiinl un sii;ii(' m vanahKî poiii" 
loulc vnlc'iir rc'cllc dr 3, cl ainsi r('l('iiit;iil, de la prciiiièrc intégrale 
(jul figure dans l'expression 

r'' r'' 

' it ' <i 

gardant un sigin; invariahicî pour toute valeur d(3 [j comprise 

entre — n ^'^ iTi ' ^^" conclut (pi'unc transcendante A(cj (et par 

suite sa tlériv('(; d'un ordre fpieleon(pic) ne jxuil avoir- aucun zéro 
réel, ni aucun /(ho imaginaire à eocfiicient de / compris entre 

Chacune des couriies réelles 

varie constamment dans un même sens, sans présenter de maxima^ 
de minima ou de points d'inflexion ; de plus, on aura pour les 
valeurs positives de x et de a 

A(a7 + a);^e^ïaA(jp), A(^+ a) ^ A( a)c^'-^', 

\U^){x -i- a) £ W^c^^^\{x), A(^ H- a) ^ M^^- A( a)e>ï'-. 

Si N est la plus petite valeur de ''{t) entre a et />, on aura 

^{x + i)^e^<^\{x), A(:r + a)^ A(a)e^'-'', 

avec des inégalités analogues pour les dérivées. 

Lorsque z augmente indéliniment dans une direction f[uel- 
conque à droite de l'axe des imaginaires, la fonction A (g) aug- 
mentera indéfiniment ou bien tendra vers zéro suivant que nt) 
est positive ou négative dans l'intervalle (a, b). 

De même, lorsque z augmente indéfiniment dans une direction 
quelconque à gauche de l'axe des imaginaires, A(:;) augmentera 
indéfiniment ou bien lendra vers zéro suivant que i\t) est néga- 
tive ou positive dans (a, b). 

Eu tous cas, donc, la courbe 

y = Mx) 
(ainsi ([ue les courbes dérivées) a Taxe des x comme asvmptote, 



— 168 — 

et s'en approche indéfiniment à droite ou à gauche de l'axe des y, 
suivant le signe de r{t). 

Les inégalités précédentes fournissent aussi des limites supé- 
rieures ou inférieures pour les valeurs asymptotiques de A(jc)dans 
le cas de ^ très grand: celles-ci sont fournies par des exponen- 
tielles 

où A et h sont des constantes. 

Dans le cas plus particulier où la fonction r{t) présente un 
maximum entre a et ^, la formule classique de Laplace fournil 
comme valeur asjmptotique précise de A(^) l'expression 

où les constantes C et h ont pour valeurs 

a étant la valeur de t pour laquelle /'(^) atteint son maximum. 

Pour avoir l'expression analogue correspondant à la dérivée 
A(*^(^), il suffit de changer dans G z^(a) en 

«(a)[,-(a)y>-. 

Parmi les nombreuses propriétés qu'on peut tirer des expres- 
sions précédentes, citons encore la suivante : 

Les équations linéaires à coefficients constants et à second 
membre, celui-ci étant une transcendante A(^), sont en géné- 
ral intégrahles à U aide des transcendantes A(^) : l'équation 

admet comme intégrale jjarticulière 



— Kii» — 
avec 



sous la coiidilion (jik* rôcjualiou ali^éhiKjiKî ( aiaclriisliqiK; 

n'all aucune racine réelle comprise cnlre la plus pclite cl la plus 
grande valeur de r(t) cpiand t varie de a à A. 

lî. ()/i a aliisL une classe assez étendue de fonctions entières 
de genre zéro ou un, à nombreuses particularités connues. 
Appliquons ce qui |)récède à la transcendante 

00 

^y^) - 2^ ( /i H- 1 )"+! ' 



laquelle, comme on le verra dans ce qui suit, présente un intérêt 
tout particulier. 
On a ici 

""=^X (""87)"'/'. 

et par suite 

A (5)= f /■""*''' t/<. 

La fonction correspondante, 

r{t) = Hog j, 

part de la valeur o pour ^ = o, croît jusc|u'à son maximum 

e 

à partir duquel elle décroît en atteignant la valeur o pour ^ = i. 

Par suite la fonction A(:;) présentera les particularités suivantes: 

Poui- toute valeur réelle ou imaginaire de z le module de A (g) 

est inférieur à celui de e'' et le module de \^^\z) inférieur à celui 
de 

( A- -i- I )^i ^' * 



— 170 — 
I^oiir les valeurs réelles et posilives de z cl de a, on a 

a z 

A(- -+- a)^e'^A(^), A(^ -f- a) 1 A(a)e% 

--A --k 

La fonction A(^) et toules ses dérivées n'ont aucun zéro réel ni 
aucun zéro imaginaire à coefficient de i compris entre — Tre et r^e. 
Ces fonctions tendent vers zéro ou augmentent indéfiniment sui- 
vant que z augmente indéfiniment dans une direction à gauclic 
ou bien à droite de Paxe des imaginaires. 

La valeur asjmptotique de A(^), pour z positif et très grand, 
est donnée par l'expression 






celle de la dérivée A^^^(;) par l'expression 

e '• 

On peut avoir une limite inférieure de A(:;) pour les valeurs 
réelles et positives de z en remarquant (ju'on a 

d'où l'on conclut facilement 

A(^)> - (e^-i), .... 

z 

4. Voici maintenant un problème d'un ordre plus général où 
s'introduit d'elle-même la transcendante qui (ait l'objet du para- 
graphe précédent. 

Il existe une infinité de séries 

(G) Ao -h A,^ + A,^^ _,_. _^ 

à coefficients réels, positifs et tels que l'équation algébrique 

(7) Ao + Ai5 + A2C2 -h. . .-^ A/,x;/>--= o, 

obtenue en égalant à zéro la somme des A -j- i premiers termes 
de (6), ait toutes ses racines réelles quel que soit k. 



- 171 - 

Ou s';issiii(^ l)i(Mi .siiuj)I('incnl de rcixislciicc cflccliNM! de telles 
séries (le la mauièic siiivaiilc. Soil 

(7) //.(«) = -'^o + A, C -h. . .M- A/,5''- = o, 

une ('({nation algt'l)ri(jnc à cocffieients rticis, positifs et à racines 

«1, Z2, ... 1 ^/i, 

toutes réelles et inégales; il est facile de voirc^n'on peut elioisir, et 
cela d'une infinité de inainères, un eocflicient réel positif A/f.,.,, de 
sorte que Téquation 

(8) f,^,(z)=Mz)-^\,^,z'^-^^ 

ait également toutes ses racines réelles et inégales. Car, en choi- 
sissant A" nombres réels 

de sorte qu'on ait 
les valeurs 

f/Àl) et /a-(ç/+i), 

seront diderentes de zéro et de signes contraires, et de plus on 

aura 

pour k pair //.(ç, ) > o, f/,{bc) < <>. 

pour k impair //c{^i ) < o, /a(ç/, ) < o. 

D'autre part, on peut toujours tiouver une quantité réelle posi- 
tive suffisamment petite pour que, quelle que soit la valeur de 
\h+i comprise entre o et 8, la fonction /]ii_^, (^), définie |)ar (8), ait 
pour z = ^i le même signe (pie fh[z). Et comme l'on a 

pour k pair /a+i (— gc) < o, //,+i (oc) > o, 

pour k impair //,^i ( — oc) > o, //,+i (x) > o, 

l'équation yy^_,_,(::) = o aura une racine dans chacun des /r + i 
intervalles 

et par suite elle a toutes ses racines réelles et inégales. 

On formerait ainsi, de [)roche en proche, des é(piatK)ns 



- 172 — 

ffi(z) = o des degrés de pins en ])liis élevés, ce ([ul prouve bien 
l'exislence des séri<3s (6) en (jiieslion ('). 

Désignons maintenant par ).(/«) une quelconque des fonctions 
de /i suivantes : 

i" Polynômes P(/î) quelconques n'ajant que des zéros réels et 
négatifs ; 

2'* Fonctions de la forme e^'^V(n), où h est un nombre réel 
quelconque ; 

3"* Fonctions entières G(fi) quelconques de /i, de genre zéro 
ou un^ n'ayant que des zéros réels et négatifs ; 

4" Fonctions de la forme <?"'"'*, h étant un nombre réel et posi- 
tif quelconcpie ; 

5" Produit d'un nombre quelconque de fonctions i", 2°, 3", 4"? 

6" Fonctions de la forme 

A,( /i) et )v2(/?) étant deux quelconques parmi les fonctions 1", 2", 

3% 4", o*'. 

Laguerre a montré (-)que, si une équation algébrique 

no -^- aix -h. . .-h an^"^ = o 

a toutes ses racines réelles, il en sera de même de l'équation 

ao}.(o) -h ai\{i)x -h. . .-+■ an'^{/i)x'^ ~ o. 

On en conclut directement que, connaissant une série {()), on 
peut en déduire une infinité de la forme 

jouissant de la propriété caractéristique des séries (6) : il suffit de 
prendre pour (0,^ une quelconque des fonctions a(/?). 

C'est U étude des fonctions définies par les séries (6) qui se 
rattache à la transcendante entière 



.(^)=i: 



Zil 



(/i -4- I )" + ! 




(') Voir aussi L'Inlcrniédlaire des Mathématiciens, t. XIII, lyoG, p. i35-i3G. 
(^) Œuvres, t. I, p. 33-oG, i()(j-2oG, etc. »» 



— I7;j - 

consitlcrcc au pariigraplio prcccdcnl, comme on l(; vciia dans ce. 
(|iii suit . 

ty. Appelons, \)0[ir nhvv'^cv, /onctions il{z) toute fonction de z 
définie par une série ((>)• 



En désignant par 



y y Y 

S 1 1 ^ 2 1 • • • j \n. 



les valeurs absolues des inverses des racines, manifestement toutes 
négatives, de l'équalion algébrique 

Ao -H Ai;; +. . .-+- A,,:;" = o, 
on aura 



Y Y Y 



A 



= ^1 -t- ^2 -+-••• -+-^«- 



Les cpiantités Ç/ étant toutes réelles et positives, on aura, d'après 
la proposition classique sur la mo^'enne géométrique, 

V/^1C2...^. ^ ^ (^1 + ^2 + . . . + C. j, 

OU bien 

Ao /Ai\" 
xAo, 



^^^ TV' \ A 



Par suite, en remarquant que 

00 00 

7 = \ -^ Z > ^ -y 



on conclut que les coefficients du développement cV une fonction 
Çi{z) quelconque suivctnt les puissances de z sont au plus 
égaux à ceux de la fonction 

Ao + Ai^A (/-j^j ' 

ot( A(c) désigne la transcendante 



C'est cette proposition ([ui raltacbe la transcendante A(^) aux 



— 174 — 

l'oncllons 12(^). Les incgalilés relatives à A(.3) s'éLcDclcnl dès lors 
à toutes ces fonctions ; nous citerons les j)Jiis immédiates. 

Tout d'abord l'inégalité (9) fait voir que toute fonction ^(,3) 
est une fonction entière de genre zéro ou un. 

La même inégalité fait aussi voir que, |)our toute valeur réelle 
ou imaginaire de z^ le module d' une fonction ^{z) quelconque 
est inférieur à 



Ao + A,,'Af':^) 



En même temps, en s'appujant sur l'inégalité précédente 

/■ 

A(r)<e'', 



on voit que ^ expression 



A.;- 



Ao + Ai/'e-^o*' 



donne aussi une limite supérieure du module de U(^). 

D'après une proposition de Laguerre (M, les coefficients d'une 
série 

«0 -+- <^l -5 -+- «2 ^2 -H . . . , 

à coefficients tous positifs, représentant une fonction entière de 
genre inférieur à deux, ayant toutes ses racines réelles, sont infé- 
rieurs aux coefficients correspondants de la série 






Nous ferons remarquer que la limite supérieure 

Ao /A,\" 



ïi' 



que nous avons trouvée pour le coefficient A,/ de 0(3), est mani- 
festement inférieure à 

Ao_ /A,y^ 

.11 VAo/ 



I .2 



ç,V\idiV su\{.e plus précise (i\ue, la limite fournie par la proposition 
de Laguerre. 

Il en est évidemment de même pour la limile supérieure que 
nous venons de trouver pour le module de li(^), puisqu'on a 

(') BoiiEL, Leçons sur les fonctions entières, p. 34-3G, 



— 1 /.) -- 



pour /• vcv\ cl pDsilil 

Ao-i-A,/A ( --- ) < A„« A,. . 






a 



iLnliii, la seconde liiuilc supcricurc 

A./- 

Ao -H Ai/'cAoc, 

(jiic nous nvoMS Irouvcc pour le module de ti(^), est aussi /jÙ/s 
précise (pie celle de Lnguerrc : la difrérciice entre celle-ci et la 
nôtre 



A„y 



A,/-\" 



jLé {n— i)\ \n e'i-' / \ Ao 



est positive puisque pour /^ >> i on a 



I I 

> 



n e 



.jii-\ 



La fonction 0.{z) croît indéfiniment pour les valeurs positives 
de z indéfiniment croissantes ; l'inégalité 

Q(^)<Ao + A,^a('^) 
et l'égalité asjmptotique 

trouvée précédemment, montrent alors c\u.\ine fonction quel- 
conque ù{z) croit moins vite que la fonction 

oïL H et h sont des constantes ayant pour valeurs 



^•='V^°' " 



A. 



L'inégalité (9) conduit aussi à des inégalités relatives aux zéros 
de 0(:;), parmi lesquelles nous indiquerons la suivante : 
Soient 



Y y y 

-.\' ^i: -3> 



— 176 — 

Jcs valeurs absolues de ces zéros (tous réels cl négalils ), rangées 
suivant leurs grandeurs croissantes, et formons la lonclion 

9(/-)=c2 + cfr2 4-c^-^-l-..., 
avec 

_ Ao /A,\« 

En vertu d'une proposition que j'ai démontrée antérieure- 
ment ( ' ) et d'après l'inégalité (9), on aura 

quelle que soit la valeur réelle et positive de /•. En prenant la 

valeur particulière 

Ao 
Al 



on aura 



cp(/-) = A2 V /i-2« = 2,or)388... A'], 







I o , 6960 . 



/^(/•j Ao 

d'où la conclusion suivante : une l'unité inférieure des valeurs 
absolues des zéros de toute fonction Û(^) est donnée par l'ex- 
pression 

^ ^ Ao 
0,6961^ . 

On arrive même à la proposition plus générale que le produit 
des modules des k premiers zéros de ^^(2:) est égal ou supé- 



(') Si l'on désigne par p le plus petit module des zéros d'une série quelconque 
«g-f- a,s -H «jS^-l-. . . et si l'on forme la fonction 

"('■)= yA^^l -^a\r''-+a\rl +...), 
on aura 

. I «,. I 

9'^ 



V"('') 



quelle que soit la valeur réelle et positive /•, inférieure au rayon de convergence 
de la série (M. Petrovitgii, Bull, de la Soc. math, de France, t. X\IV, 1901, 
p. 3o2-3i2 ; E. Landau, Bull, de la Soc. math, de France, t. XWIII, 1905, 
p. 25i-j6i). 



- 177 — 

/icf/r à 



On coiiçoil, (l'iiill(Mirs, ("acilcmniil, (|ii(; l(i.s in(;^alll(';s |)r(''ct'(lcntcs 
|)(MMmîllciil clt3 nombreuses applications des r(';snllals r<;eenls sur 
les séries de Tajlor anx fonctions 12 ( z). 



SUR QUELQUES THÉORÈMES DE GÉOMÉTRIE PLANE 
LIES A LA SURFACE DE KUMMER; 

Par M. L. Uemv. 

Si l'on projette une surface de Kumnier à partir d'un de ses 
points doubles sur un plan tangent singulier, le contour apparent 
se compose de sixdioites tangentes à une même conique F, et for- 
mant deux tiiangles inscrits à la conique de contact C du plan 
tangent singulier. 

Inversement, la figure plane formée par six droites tangentes à 
une même conique dépend de trois paramètres an point de vue 
projectif et peut être considérée comme la projection d'une sur- 
face de Kummer à partir d'un de ses points doubles. 

De cetle correspondance, nous nous proposons de déduire 
quelques théorèmes de géométrie plane dont il est aisé, d'ailleurs, 
de donner une démonstration directe. 

I. 

Prenons le centre de projection O comme sommets =j'=:^= o 
du trièdre de référence, et le plan de projection pour plan t=^o. 
L'équation de la surface de Kummer est de la forme 

r ^2 _|_ 2 G3 ^ + G2 = o, 

r et C étant des polynômes homogènes en x^y^ z de degré 2, 
et G3 un polynôme homogène en x^y, z de degré 3. 

Dans le plan ^ = o, l'équation r(x, y^ ^) = o représente la 
conique tangente aux six droites formant le contour apparent de 
la surface, et l'équation C(x, y, c)= o représente la conique de 
contact du plan ^ = o. 

Le cône circonscrit de sommet O a pour équation C^' — T G- ^ u ; 



— 178 — 

or il se décompose en six plans, soient 37 =: o, y = o, i; = o, 

:2?'= o, y' = o, ^'= o. De là l'idenlilé 

(I) Cl— VC'^= xyzT y z'. 

Il résulte de cette identité que la cubique Ca = o passe par les 
six sommets des deux triangles T(^,jk, z) et T'(a;', y', z') et par 
les points de contact de leurs six côtés avec la conique V . D'où 
ce théorème : 

Si deux triangles sont inscrits à une conique C, et, par suite, 
circonscrits à une même conique F, les six sommets et les six 
points de contact sont situés sur une cubique. 

Il est aisé d'obtenir l'équation de cette cubique. Soient 

r = m.-x- -h II*- y -\- p"^ z- — iinnxy — 2 npyz — iprnzx = o 

et 

C = ciyz -\' b zx -\- c xy = o 

les équations des deux coniques. La cubique G3 étant circonscrite 
au triangle de référence a une équation de la forme 

yzicLiy -^ a^z)-^ zx{^iZ -\-^2^) -^xy{^[\X -^ Y2J) -+- ^^xyz = o. 

En faisant successivement x = o, y ^= o^ z = o dans l'iden- 
tité (I), on détermine les coefficients a,, a^, [3|, [j2, v,, y., 

C3 = £ ayz ( ny — pz) -^ z fjzx{pz — mx) -i- s" c xy {nix — ny ) -f- X xyz^ 

£, s', e" étant égaux à dz i . D'ailleurs, on doit prendre z=zz' z=. e" , 
car la cubique C3 ne [)eut être tangente à la conique C en aucun 
des sommets du triangle de référence. De cette équation, il 
résulte que : 

En chacun des sommets des triangles T et V la tangente à 
la cubique C3 et la tangente à la conicjue G sont conjuguées 
hai'moniques par rapport aux côtés du triangle. 

Supposons que le triangle T reste fixe et que le triangle T' 
varie en restant inscrit à C et circonscrit à F : nous obtenons le 
théorème suivant : 

Les involutions déterminées sur les coniques C et F par les 
sommets et les points de contact des ti'iangles inscrits à C et 



— 17!) — 

circonscrit !s à V sont drrnu près par h' f/iiscrrui /les ciihiqucs (^, 
f/ui passent par les trois points de contact et prtr les trois som- 
mets iV un (le ces Irifin^tcs et ont poni' Iffu^entc en ehaca.n de 
ces sommets la droite conjuguée liarinoni(/ue de la tangente 
à la conique (^ par ra/ypoit aux deux côtés. 

II. 

De ridiMililc 

C2 _r(;2^ xyzx'y'z' 

on pciil (Iccliiirc une autre identilé plus générale : soit 

A = a.r H- '^y + y « = o 
l'équation d'une droite quelconque et posons 

G3-GA=.^:^, 

r — A2 = 0. 



L'identité peut s'écrire 



V V ' 



qC'^ = .ryzx'y'z'. 



Or l'équation ^3 z=: G représente une cubique quelconcjue cir- 
conscrite aux triangles T et T'. D'où cette conclusion : 

Toute cubique S3 qui passe par les sommets de deux triangles 
inscrits à une conique coupe en outre leurs côtés en six points 
situés sur une conique Q bitangente à la conicjue Y inscrite 
aux deux triangles. 

Il convient de donner une démonstration directe de ce théo- 
rème, ainsi que de l'identité fondamentale. Soient deux triangles 
inscrits à une conique C, et II3 une cubique quelconque passant 
par leurs six. sommets. Il résulte du théorème d'Abel que les six 
autres points d'intersection de ^3, avec les côtés, sont situés sur 
une conique : soient, en effet, a, 6, c, <^/', b\ c' les arguments 
elliptiques des sommets sur la cubique et a, p, ^', a', [ii', y' ceux 
des autres points d'intersection de S3 avec les côtés. Des relu- 
lions 

a -r 6 -f- c + a' -T- 6' -h c' = o, 

a -(- 6 H- c = o, 

^ H- c -f- a = o, 

1 

Y-T- a -\- b' ^= o. 



— 181) 
on déduit de suite 



a 



-f p> + Y -^ a' -f- ,3' 4- y' = o ( ' ). 



Soit Q = o l'équation de celte conique et considérons les 
courbes du sixième degré 

QG2 -+- X cryz x'y'z' = o, 

\ désignant un paramètre variable. Elles ont dix-huit points d'in- 
tersection avec 1^3 fixes; si l'on choisit À de manière à donner un 
point d'intersection de plus, la courbe se décompose en deux 
cubiques 2j3 et S3, et l'on a 

D'ailleurs, la cubique ^^ est manifestement circonscrite aux 
deux triangles, de même que ^^3 et, par suite, il existe une iden- 
tité de la forme 

Dès lors il suffit de poser 

Q + A2 = r 
pour obtenir l'identité 

G| — l^G2 = lxyzx'yz'. 

III. 

Aux familles de courbes tracées sur la surface de Kummer on 
j)eiit faire correspondre par projection des familles de courbes 
inscrites à l'hexagone qui forme le contour apparent de la surface. 
Considérons en particulier la famille linéaire des courbes d'ordre 
N = 4''' décou[)ées sur la surface de Kummer par les surfaces 
d'ordre m. 

Leur équation hyperellipllque s'obtient en annulant une fonc- 
tion 9(;^,p) d'ordre 2/;?, paire, de caractéristique nulle : leur 



(') On vérifie aisément que cette coniijue ne peut pas se décomposer en deux 
droites. Celte circonstance se présciilc, au contraire, lorsque Ton considère un 
hexagone au lieu de deux triangles. 



— 181 - 

genre esl/> ::= '>.///'- + !, il esl é^al au nombre de leurs paramèlres. 
En projection nous obtenons une famille de courbes inscrites à 
l'hexagone, de degré N et de genre />, dépendant de p paramèlres 
(et non (\ç; p — i), ce cpii constitue un ihéorème. Il en serait de 
même pour toute famille linéaire de courbes tracée siir la surface. 
Nous nous bornerons à un exemple particulier en étudiant la 
famille découpée par les quadriques passant par le centre de pro- 
jection et par la conique i\. (^cs quadriques ont pour équation 

G — A^ = o, 
en posant 

A = a .r -h (3 j^ H- Y ^ 

et les courbes d'intersection se projettent suivant les quartiques 

Ci = C r + '2 G3 A -+- G A2 = o, 

qui, d'a[)rès leur définition même, sont à la fois inscrites et cir- 
conscrites aux deux triangles T et T'. Elles dépendent des trois 
paramètres a, j3, v, ce qui constitue un théorème : 

Si deux triangles sont inscrits à une conique, il existe une 
famille trois fois infinie de quarticjues C/, à la fois inscrites 
et circonscrites aux deux triangles. 

De la forme de l'équation des quartiques G, on peut déduire 
quelques conséquences géométriques. J3'après l'identité 

on peut écrire 

GG4 = (G3+- C\f — xyzx'y'z\ 

ce qui prouve que la cubique 

-3= G3-^ GA = o 

passe par les six sommets des triangles et les points de contact 
des six côtés avec G,. Lorsque la quartique G, varie, la cubique ^^3 
appartient à une famille linéaire à trois paramètres. 

Réciproquement, étant donnée une cubique quelconque S3 cir- 
conscrite aux deux triangles, il existe une quartique Gj circon- 
scrite aux deux triangles et tangente aux côtés en leurs points de 
rencontre avec S3. 

Les six points de contact de G-, avec les côtés sont situés sur 

XXXIV. 12 



— 1«2 — 

une conique Q bilangcnte à la conique F, d'après ce que nous 
avons vu plus haut, j^es coniques G et i) coupent en outre la 
quartique C/, en quatre points situés sur la droite A = o, et cette 
droite est la corde de contact des coniques Q et V. Tous ces ré- 
sultats sont mis en évidence par la forme de l'équation 

c,,= C(r -A2)-f-9.2'3A. 
IV. 

L'équation des quartiques G4 renferme huit paramètres : c'est 
précisément le nombre des paramètres de l'équation d'une quar- 
tique générale Sj, lorsqu'on prend pour triangle de référence un 
triangle inscrit et circonscrit à la quartique 

S4 = j^ (AijK+ XiZy-^zxiBiZ-^ B.xy-\~cry{CiX^ G2 r j^ 

-h xyz {Mx -h Nj^ H- I * ^ ) = o. 

Dès lors on peut prévoir que l'équation d'une quarti([ue géné- 
rale Si peut être identifiée avec celle de G-,, et que, par suite, les 
propriétés énoncées plus haut appartiennent à la quartique gé- 
nérale. ])îous montrerons edectivement un peu plus loin, par un 
exemple particulier, que cette identification n'est ni impossible, 
ni indéterminée. ]Mais, dans le cas général, l'identification présen- 
terait une certaine difficulté et il sera préférable d'aborder direc- 
tement l'étude des triangles inscrits et circonscrits à une quar- 
tique. 

Soient ^«(i), ^"2(^)7 g'^i^) l^s intégrales abéliennes de pre- 
mière espèce attachées à la courbe G-, ; nous supposerons que les 
sommes ^g{i) relatives à quatre points de la courbe situés en 
ligne droite sont nulles. Désignons par ç^, ^2-, ^3 les sommets, et 
par 7j,, TI2, V];} les points de contact d'un triangle inscrit et cir- 
conscrit : 

■>S'i (-Tri) -^ éTiiU) -+- .^i{^\ ) = <^" 
'■^^/(•^is) -t- giC^i ) -+- ^"•/(^2 ) = o 
(i = I, -2, 3 ), 
d'où 



- 183 — 
Cl 

|) |> |>, 

ni (lcsi;iiiaiil par — , — ■' . — une (lcmi-|)ério(J(;. 
^ ' •>. 7, v>. ' 

Il existe ()/| (leiul-|)ério(Jes, mais elles ne convienncnl. pas toutes 
au |)roblènie actuel. 

Kn elFet, 28 de ces denii-périodes correspondent aux bitanj^enles 
de Cf, : si l'on désijj^nc par X|, X2 les points de contact d'une 
h i tangente, on a 

Dès lors, si les points ;,, v.'i Ç.h '^115 l-») *0a satisfont aux con- 
ditions 

on en déduit que les huit points ç,, ço? Çs» 'lo *^i:>) '^35 X,, Xo sont 
situés sur une conique, ce qui ne peut avoir lieu dans le cas 
actuel. 

De là résulte que les trianj^les inscrits et circonscrits à une 
quartique se répartissent en 36 groupes seulement ('). 

Ceci posé, soient T, T' deux triangles d'un même groupe : des 
relations 

il résulte que les six sommets ç, \' elles six points de contact y^, 7/ 
sont situés sur une cubique. 

Soit -3 = o l'équation de cette cubique et considérons les 
courbes du sixième ordre 

A désignant un paramètre variable. Elles ont un j)oint double en 
chacun des sommets des triangles T, T' et sont tangentes à C^ aux 
six points de contact de C, avec les côtés, soit vingt-quatre points 
d'intersection fixes avec C, . Si l'on choisit ). de manière à donner 



(') Il resterait à déterminer le nombre des triangles appartenant à un même 
jiroupc. 



— 184 — 



un point d'Intersection de plus, la courbe se décompose en C^ et 
une conicpie G 



et celte conique est manifestement circonscrite aux deux 
triangles. 

Nous sommes donc conduits aux théorèmes suivants : 



Les triangles inscrits et circonscj^its à une quar tique G» se 
répartissent en 36 groupes. Deux triangles d'un même groupe 
sont inscrits à une conique G et leurs points de contact avec G4 
sont également situés sur une conique Q. Les quatre autres 
points d'intersection de G-, avec les coniques G e/ Q sont en 
ligne droite. Enfin les six sommets et les six points de contact 
sont situés sur une cubique. 

Gorrélativement : 

Les triangles inscrits et circonscrits à une courbe de qua- 
trième classe Y;, se répartissent en 36 groupes. Deux triangles 
d'un même groupe sont inscrits à une conique; les tangentes 
à F/, aux sommets de ces deux triangles sont tangentes à une 
autre conique et ces deux coniques sont bitangentes. 

V. 

Nous terminerons par une application à un exemple particulier : 
soit la quartique aux 168 collinéations 



v^ = x"^ y ^ y"^ z -h 



^ X = o. 



Le triangle de référence Tq est un triangle inscrit et circonscrit 
à la quartique (car les trois sommets sont des points d'inflexion 
avec les trois côtés pour tangentes d'inflexion). Proposons-nous 
de déterminer les triangles T inscrits et circonscrits à S-, et appar- 
tenant au même groupe que To. Ge problème revient à identifier 

l'équation de G^ 

Cv = G(r-A2)4-'2V3A 

avec celle de Si (en conservant les mêmes notations). Soit, en 
elFet, aibiCi, miUipi, a/J^/Vj, \i une solution des équations d'iden- 



lificaiioii : à ridenlilé 

correspond un triangle 1\ inscrit et circonscrit à S, ayant ses som- 
mets sur la conique C/ =: o et ses points de contact sur la conicpie 
Vi — l'f = o. Jnvcrsemont à tout triangle T^ de même groupe 
que To correspond une identité (K^). 

Ceci posé, on trouve de suite, en faisant ^ = o, y =: o^ z = o, 

(i) a= m, P = n, '{ = p, 

et en annulant dans Gj les coefficients des termes en x-yz^ y' ^^i 
z^xy, 

ani — bn -\- cp — X = o, 
ani -\- bîi — cp — X = o, 
— am-{- bn-\- cp — X = o, 
d'où l'on conclut 

(2) am = bn — cp = }.. 

On peut d'ailleurs prendre \= i. 

Il reste à égaler dans S^ et Cj les coefficients des termes en x^y, 
y^z, z^y^ d'où 

!cni^ = I , 
an^ = I, 

La résolution du système (i) (2) (3) est immédiate 

a = /M = to, 

r = p = ^S 

a = — = o)^, 
m 

è = — = Oj3. 
71 

I 
C = — = U>*', 

P 

(s) étant une racine septième de l'unité. 



- 186 — 
La solulion w =: i conduit à ritlcnlilc; (E, ) : 

( = {x -\- y -i- z)(x'^ y -^ y'^ z -\- z^ X -r- xyz ) — ( xy -(- yz -h zxy . 

On vérifie aisémenl f|ue les six autres identités (E/) se dédui- 
sent de celle-là par les transformations 

- = -^ = — 
X to'^Y ojZ' 

L'équation E< met en évidence quelques propriétés géométriques 
de la quartique S,. Les coniques C= o et F — A-=o étant confon- 
dues, les points de contact des côtés du triangle Ti sont confondus 
avec ses sommets : ceux-ci sont donc trois points d'inflexion 
de ^; ayant les trois côtés pour tangentes d'inflexion. Ainsi le 
groupe de triangles considéré comprend les huit triangles suivant 
lesquels se répartissent les vingt-(juatre points d'inflexion de la 
quartique S/,. 

D'autre part la droite 

ù^ = x-^y-^z=^o 

est bilangente à la quartique en ses points de rencontre avec la 
conique 

G = xy + yz H- zx = o 
et la cubique 

Z3 = x^y -\-y^ z -î- z'^x ■+- xyz = o 

est tangente à la quartique aux six points d'inflexion, sommets 
des triangles To et T,. 
Donc : 

Les huit triangles suivant lesquels se répartissent les points 
dHnjlexion de la quartique 

x^y -i- y^ z -h z'^ X = o 

jouissent des propriétés suivantes : deux quelconques de ces 
triangles T/, T/; ont leurs sommets situés sur une conique C/a et 
leurs côtés tangents à une conique Ynf. 

Les coniques C/a et F/a sont hitangcntes et leurs points de 
contact sont les points de contact de la quartique avec une de 



— 187 — 

ses hitangentes A/a. Il Y ci '^"^ combinaisons de deux triangles 
T/, Ta s'associant rrspcclivcNicni aux '>.<S hitangentes de la 
quar tique. 

Enfin, il existe -^.8 cubiques ^i/ç tangentes à la quartique aux 
six points d^ inflexion formant deux triangles T/, T^. 



REMARQUES SUR CERTAINES ÉQUATIONS LINÉAIRES 
AUX DÉRIVÉES PARTIELLES; 

Par M. S. Sa.nielevici. 

M. Laisanl a mov\ivé {Bulletin de la Société mathématique , 
l. XX, |). I 17) que loiile fonction de la forme 

u^. étant une fonction homogène de degré a, des variables x^^ 
x^i . • ., oc-m^ vérifie, si l'on j)ose 

une équation aux dérivées partielles d'ordre/? 

(i) «0 u'^P^ + «1 «'''~^' -h • . . -h apU = 0, 

où ao, ai, ... sont des coefficients constants. 

La démonstration résulte immédiatement du théorème d'Euler; 
en effet, on a 

?<(i) = a^ u^^ + . . . + a;; Ua , 



a(/'^=ai(a,— i)...(ai — /j>-|-i)Wa,-H...4-a^;(a;,— i)...(a/, — /)-f-i)«a,,, 
et l'on pourra éliminer les u^.- L'équation résultante 



{'>■) 



u I 



u^P^ a,(ai — i). . .(ai— /?-i-i) ... y.p{y.j, — \) ...{%,, — p -^ \) 
est évidemmciil de la forme (i). 



= o 



— 188 — 

Réciproquement, étant donnée une équation telle que (i), 
M. Laisant démontre que son intégrale est une somme de p fonc- 
tions homogènes, dont on déterminera les degrés en identifiant 
le coefficient de w^*^(A==o, i, ...,/;) dans (i) et (2). Cette iden- 
tification conduit à une équation de degré /?, dont les racines se- 
ront les degrés d'homogénéité cherchés. 

M. Laisant n'a pas examiné le cas où cette équation a des ra- 
cines multiples. On peut compléter ses résultats en ramenant les 
équations aux dérivées partielles de la forme (i) « des équa- 
tions différentielles linéaires à coefficients constants. En même 
temps nous montrerons que cette méthode s'étend à une infinité 
d'autres classes d'équations aux dérivées partielles. 

Désignons par ùu le symbole opératoire u''^\ et posons 

o2ii = o(oa). ..., o"M = 8(o'*-i w). 
11 est aisé de voir que ù'^ u est une combinaison linéaire de u''^\ 

„(2) jAn) 

En elFet, M. Laisant montre que l'on a 
On aura donc successivement 



et réciproquement 






Soit maintenant u une fonction homogène de degré a; il est clair 
que l'on aura 

(3) ùu=ioLU^ o^u = 01.^11, ..., 6«w = a«M. 

L'effet de V opération 8 sur une fonction homogène est donc le 
même que celui de la différentiation sur une fonction expo- 
nentielle. 

Par conséquent, étant donnée une équation aux dérivées par- 



— 180 — 
licllcs (l'ordre /; de la forme 

(4) an u^P^ -¥- a, ^^(/'-^'-f. . . . -\- tpU = o, 

on pourra l'ëcrire 

( 5 ) o/V< -f- /j>, 0/' -' w -{- . . . -I- hp u — o, 

et Ton suivra, pour en trouver les intégrales, la méthode qu'on 
emploie dans la recherche des intégrales d'une équation dilTéren- 
lielle linéaire à coefficients constants. On substituera à u une 
fonction homogène de degré inconnu a et l'on aura à résoudre 
une équation caractéristique 

a/' H- bx%P ^ -^ . . . + bp= o, 

qui fournira les degrés d'homogénéité des p parties de w, si toutes 
les racines de cette équation sont simples. 

D'ailleurs, on peut ramener effectivement l'équation (5) à une 
équation difFérentielle linéaire à coefficients constants. Il suffit de 
faire le changement de variables 

iii = log.ri 

Une fonction homogène y*(^, , x^, . . . , ^/<) de degré m prendra 
ainsi la forme c""'«/(i, ^2, ..., u,i); et le symbole o se réduira 
à une simple dérivée. On voit en effet facilement que Ton a 

d 

= iTi 

et plus généralement 



5?2 




^« 


«2= —, 


• • * > 


Un— 


^1 




Xx 



d 

àx,t 


â 
dui 


dk 




du'f 





L'équation (5) devient donc simplement 



(6) 



dPu , dP~hi 
d 



<-^^»d;^-^----^^^" = ^' 



et, si a est une racine d'ordre m de multiplicité de l'équation ca- 
ractéristique de (5) ou de (6), Vintégrale correspondante sera 

e*"i(co-+- Cl Wl-^ C2 Wf-H .. . -r- C/„_i ?<:',""' ), 



— 190 — 
Co, C|, .. . cLanl des fonctions de u^-, U\i, ..., it,i\ c'esl-à-dire 

Co + G, loga-,-f-...+ G„,_,(loga7i)'«-», 

Co, C<, ... étant des fonctions homogènes de degré a en x^^ 

Le succès de la méthode est du à l'eniploi de ce que Sophus Lie 
appelle les variables canoniques. En efTet, le symbole o n'est 
autre chose que le symbole d'une transforniaLion honiotJiétique 
infinitésimale. Une fonction homogène u admet le groupe homo- 
ihétique, en ce sens que Ton a o"w = a" u (a est le degré d'ho- 
mogénéité); par conséquent, si l'on remplace le groupe homo- 
ihétique par le groupe semblable de translation, au moyen du 
changement de variables indiqué, le symbole doit se réduire au 

symbole d'une translation infinitésimale - — et la fonction 

doit se réduire à une exponentielle par rapport à U\. 

On conclut immédiatement de cette remarque que la méthode 
précédente peut être appliquée aux équations aux dérivées par- 
tielles de la forme (5), quel que soit le symbole linéaire û. 

Prenons, par exemple, le symbole d'une rotation infinitésimale 

plane x- y -— ? ou qx — py. L équation aux dérivées par- 
tielles 

(7) x-t— ixys -T- y'^ r — {px -+- qy) ^- a{ qx — py) -i- bz = o 

peut s'écrire 

0- 5 -h a 0-5 + ^^ = o, 
si l'on pose 

^z = qx—py. 

Si donc on introduit les variables canoniques, qui sont ici les 
coordonnées polaires 6'^ to, on aura 

^ àz^ ^, à"- z 

et l'équation (-) se rtnluira sim[)lement à 

d'- z ()z 

-.—7, -h u \- OZ = O. 



- 101 — 

Soient a ol p les racines de r<'(|ii;ili()n (;araclërisli(|iie ; Tiiilé- 

i;rale ^éiuMale de (^) sera 

r ij >' 

aarctnng - , „ „^ > nrc Unit? - 

f ci o étant deux fonelions arhitiaires. 

Il est clair (|iie les exemples j)euvorit être multipliés iii(l(';(iiii- 
nient. Seulement, ce qui fait l'intérêt de la classe particulière 
considérée par M. J^aisant, c'est que les sjml)oles o" sont, dans 
ce cas, des combinaisons linéaires des seuls symboles u'^"^ ce qui 
n'a pas lieu en général. 



REMARQUES SUR LA QUESTION DES PRINCIPES DE L'ANALYSIS SITUS; 

Par M. COMBECIAC. 

Les axiomes doivent exprimer les propriétés fondamentales des 
concepts indéfinissables logiquement (les propriétés des autres 
découlent de leurs définitions), c'est-à-dire doivent avoir pour 
eflet de classer ces concepts dans des catégories préalablement 
conçues; les théories fondées sur ces axiomes deviennent alors des 
applications de tbéories plus générales. C'est ainsi que diverses 
branches des mathématiques se présentent comme des applica- 
tions, savoir : l'Analyse mathématique, de l'étude de certains en- 
sembles ordonnés; la Géométrie projective, de celle de certains 
ensembles de lignes; la Géométrie métrique, de celle de certains 
groupes de transformations ponctuelles. 

Seule la question des principes de VAiialysis sitûs conserve 
encore quelque obscurité, bien qu'il ne soit pas douteux que cette 
branche de la Géométrie doit être rattachée à une théorie générale 
des variétés numériques. On se propose, en rapprochant quelques 
résultats dus à la théorie des ensembles, de préciser la position 
de cette question et peut-être aussi de fournir une indication pour 
la poursuite de sa solution. 

I. 

l'idée d'ordre complexe. 

M. G. Cantor (') avait manifesté l'intention d'étudier, en plus 

( ' ) G. Cantoh, Sur les fondements de la théorie des ensembles Iransjinis, 
trifductioir fiunçaise par MaiôLLc, p. '^.^ ; llcrniaiin, Paris, i(jo4. 



— 192 — 

(les ensembles simplement ordonnés, des ensembles ordonnés 
d'ordre deux, trois, elc. Une telle généralisation de Tidée d'ordre 
vise évidemment les variétés à plusieurs dimensions. Bien que 
rien n'ait encore été publié à ce sujet, il est possible de préciser, 
tout au moins, la manière dont une théorie générale de l'ordre 
fournirait à VAnalysis sitûs son fondement. 

A s'en tenir aux types d'ordre simple usuels, l'idée d'ordre se 
présente comme la notion commune à certaines représentations 
numériques d'un même ensemble; c'est ainsi que l'ordre inhérent 
à un continu à une dimension est commun à une infinité de repré- 
sentations numériques de cet ensemble, qui se déduisent les unes 
des autres au moyen de transformations biunivoques et continues, 
c'est-à-dire définies par des fonctions numériques continues, uni- 
formes et à inverses uniformes. La théorie de l'ordre a donc pour 
effet de rendre l'étude des continus à une dimension indépendante 
de leurs représentations numériques et permet de se passer, 
pour cette étude, de l'intervention de tout système de coordon- 
nées. 

L'idée d'ordre complexe aurait le même rôle à jouer par rapport 
aux continus à n dimensions, c'est-à-dire que l'ordre complexe 
inhérent à l'un de ces continus doit représenter ce qu'ont de 
commun les systèmes de coordonnées de cet ensemble qui se 
déduisent les uns des autres au moyen de transformations biuni- 
voques et continues. Cet ordre peut évidemment être conçu indé- 
pendamment des systèmes de coordonnées qui le caractérisent; 
les diverses particularités que peuvent présenter les continus 
donneraient lieu alors à divers types d'ordre complexe analogues 
aux types d'ordre simple distingués par M. G. Cantor. 

UAnalysis sitûs a pour objet l'étude de la continuité géomé- 
trique, c'est-à-dire des propriétés inhérentes aux représentations 
habituelles de l'espace sur la variété numérique complète à trois 
dimensions. Quelles que soient les notions intuitives qui entrent 
comme éléments constituants dans celle de la continuité géomé- 
trique, les propriétés qui font l'objet de VAnalysis sitûs résul- 
tent du fait que cette continuité définit, pour l'espace ponctuel, 
un ordre complexe du même type que celui de la variété numé- 
rique complète à trois dimensions. 

La nature logique àcïAnalysis sitûs est donc bien spécifiée.; 



— WVi — 

celle science consliluc une application de la théorie d'un certain 
tjpe d'ordre complexe. 

H. 

LA NOTION DE VOLUME. 

Une proposition ayant pour but de classer VAnalysis sitâs ne 
peut évidemment exprimer en rien des qualités de l'espace lui- 
même (sauf sa puissance) et ne peut intéresser que les notions qui 
ont été réunies sous le terme assez vague de continuité géomé- 
trique. Il importe tout d'abord de réduire l'idée de cette conti- 
nuité à des hotions à la fois plus intuitives et plus précises. 

Dans tout ensemble ayant la puissance du continu et rapporté à 
un système de n coordonnées il existe des ensembles continus 
par rapport à ce système de coordonnées. Ces ensembles jouis- 
sent de la même propriété par rapporta tous les systèmes de coor- 
données qui se déduisent les uns des autres par transformations 
biunivoques et continues, c'est-à-dire qui déterminent la même 
notion de continuité (le même ordre complexe). Ces ensembles 
peuvent être appelés les segments relatifs à l'ordre considéré, et 
il est facile de se rendre compte qu'ils déterminent complètement, 
à leur tour, l'ordre correspondant. 

Les segments déterminés par la continuité géométrique sont 
évidemment les volumes. L'axiome fondamental de \ Analyses 
sitùs peut donc être pris sous la forme suivante : 

A. — Les volumes sont les segments relatifs à un ordre 
complexe du même type que celui qui est inhérent à la variété 
numérique complète à trois dimensions. 

Cette proposition a pour elfet de classer la notion de volume (') 

(') iMais non de la définir. II n'est peut-être pas inutile d'observer, à ce propos, 
que, bien que les définitions comportent un haut degré d'arbitraire, elles doivent 
néanmoins satisfaire à certaines conditions grammaticales; c'est ainsi que les 
deux termes d'une définition, savoir la dénomination, d'une part, et les pro- 
priétés en cause, d'autre part, doivent s'appliquer au même objet, et il ne sau- 
rait être licite de dire, par exemple : j'applique l'adjectif droite à toute ligne 
appartenant à un ensemble jouissant de telles et telles propriétés, car tout qua- 
lificatif du substantif //^/te doit exprimer une qualité des lignes, c'est-à-dire déter- 
miner une répartition des lignes en deux ensembles formés, l'un des lignes qui 
possèdent la qualité visée, l'autre de celles qui ne la possèdent pas. 



— 101 — 

dans une «alcgorio prcalablcinonl conçue et délinie en fonelion 
des concepts mathémaLlques j^cnéraux ((în adme liant (|ue l'on 
soit parvenu à définir le Ijpe d'ordre visé Indépendamuicnl des 
concepts numériques); elle constitue donc un axiome, dans la 
véritable acception du mol. 

Il est intéressant d'observer que les volumes ne sont pas les 
seuls ensembles de points qui jouissent de la propriété spécifiée. 
En effet, si l'on apj^h'que aux divers points de l'espace une trans- 
formation ponctuelle biunivoque mais discontinue, les volumes 
deviennent des ensembles de points, qui ne sont pas des volumes 
mais qui possèdent, en tant qu'ensembles de points, les mêmes 
propriétés que les volumes, c'est-à-dire qu'ils constituent les 
segmenls d'un nouveau dispositif ordinal semblable à celui qui 
est déterminé par la continuité géométrique. De même les lignes 
seraient ainsi transformées en ensembles simplement ordonnés 
qui leur sont semblables et qui jouent dans le nouveau dispositif 
le même rôle que les lignes dans l'ancien. 

IJAnalysis sitùs se présente donc comme une application 
d'une lliéorie plus générale et à laquelle il est difficile de refuser 
le qualificatif géométrique, puisqu'elle conserve la notion de 
point. 

111. 

LIÎS SEGMENTS d'uN DISPOSITIF ORDINAL. 

Les remarques précédentes ont pour elfet de ramener la ques- 
tion des principes de VAnalysis sitùs à la résolution de ce pro- 
blème : édifier une théorie générale de l'ordre. 

Tandis que la notion d'ordre simple est une des plus nettes qui 
soient fournies par l'intuition et tandis que ses propriétés sont des 
plus faciles à concevoir et à énoncer, il est loin d'en être de même 
pour la notion d'ordre complexe. On peut essaver d'aborder celle- 
ci indirectement. 

Gomme généralisation de ce qui a été observé pour les variétés 
numériques, tout ordre simple ou complexe donne lieu à des 
segments, qui le déterminent complètement. (Dans le cas d'un 
ordre simple, ils sont définis par la condition de contenir, chacun, 
tous les éléments compris entre deux quelconques de ses propres 
éléments.) On peut dès lors se demander si Fou n'aurait pas 



— lîKi — 

(|iiolc(iio faciliu'; à fonder une tliéoric ^cncralo de Tordie en adop- 
liinl eoinnu" nolioii fondainciihdc e<;ll(; de sef^nieiil. (^elle voie 
présenleraii I a\anl,ai;e, en ee (jiii eorK^erne la ( î(''()MiéLri(,', de 
ni'cndre son point i\c. (h'piiil, dans les dornK'es itiLnilives elles- 
mêmes. 

A cet cfiet, il serait tout d'abord nécessaire de déterminer : 
i" les conditions auxcpielles doivent satisfaire des ensembles pour 
constituer les segments d'un dispositif ordinal; 2'* les propriétés 
de ces se«^menls qui caractérisent les diverses catégories à distin- 
guer dans les dispositifs ordinaux (dispositifs à une, deux, etc. 
dimensions, dispositifs compacts ou disjoints, fermés ou ouverts, 
limités ou illimités, etc.). On signale seulement, à titre d'indica- 
tion, trois propriétés cpii doivent s'appliquer, semble-t-il, aux 
segments d'un dispositif ordinal quelconque. 

Deux segments qui ont des éléments communs forment, par 
leur réunion, un segment. (C'est une propriété essentielle de 
ridée de continuité.) 

On peut toujours diviser un segment en deux autres conte- 
nant respectivement deux éléments distincts arbitrairement 
choisis dans le segment primitif . 

Si deux segments s et s' sont contenus dans un troisième, 
celui-ci contient également un segment or tel que les ensembles 
(5, 0-) et (s\ (j)^ formés respectivement par la réunion de o- avec 
s et s\ constituent des segments. 

IV. 

l'unité des mathématiques. 

La Géométrie peut être établie tout entière sans metlre en jeu 
d'autres concepts que ceux qui ressortissent à VAnalysis sitûs; 
ceux-ci permettent en effet de définir et, par conséquent, d'étu- 
dier les catégories auxquelles appartiennent les autres concepts 
géométriques; on peut en effet énoncer les axiomes de la Géo- 
métrie projective et de la Géométrie métrique (considérées comme 
indépendantes l'une de l'autre) sous la forme suivante : 

1*. — Les lignes droites sont des lignes sans point double, 



— 1% — 

s' étendant à t^ infini dans les deux sens et formant un ensemble 
qui jouit des propriétés suivantes : 

Une des lignes de V ensemble est déterminée par deux quel- 
conques de ses points ;. 

Toutes les lignes de Vensemble qui s appuient sur deux 
d^ entre elles concourantes sont situées sur une même surface; 

Par un point extérieur à une ligne de l^ ensemble on ne peut 
mener à cette ligne quUine seule ligne asymptotique apparte- 
nant à Vensemble. 

M. — Les déplacements sans déformation sont des transfor- 
mations ponctuelles formant un groupe métrique archimédien 
et dont les lignes axiales présentent la propriété de V unicité 
de V asymptotique. On doit entendre par groupes métriques \es 
g^roupes semblables soit au groupe des déplacements sans déforma- 
tion, soit au gronpe projectif continu conservant une sphère réelle 
ou imaginaire à centre réel ; les groupes archimédiens sont ceux de 
ces groupes pour lesquels la surface invariante (transformée d'un 
plan ou d'une sphère réelle) est reportée à l'infini. Bien entendu, 
l'on doit adopter, pour les groupes métriques, une définition in- 
dépendante des concepts métriques; mais il suffit, pour cela, 
d'exprimer géométriquement les propriétés caractéristiques indi- 
quées par Sophus Lie <I> et qui, pour les groupes métriques archi- 
médiens, se réduisent à la suivante (' ) : 

Pour les transformations du groupe qui laissent fixe un 
point quelconque de V espace, le lieu des transformés d^ un 
autre point quelconque est une surface fermée qui passe par 
le second point et entoure le premier . 

Les principes de VAnalysissitus sont donc ceux de la Géomé- 
trie tout entière, et l'on voit qu'une tliéorie générale de l'ordre 
réaliserait l'unité logique des Mathématiques, l'Analyse numérique 
et la Géométrie devenant alors des applications de cette théorie. 

Enfin, on constate que l'espace se voit dépouillé, au profit 
d'autres concepts, de toutes les qualités qui lui étaient attribuées 
en propre, à l'exception de celles qui appartiennent à tous les en- 
sembles ayant la puissance du continu. 

(*) G. GoMBEBiAC, Théorie géométrique des groupes métriques {Enseigne- 
ment mathématique^ 1903)- 



— 107 



SUR LA REPRÉSENTATION UNIFORME DES COURBES TRANSCENDANTES ; 
Par M. Gi;()Hf;i:s IW:mou n dos. 

I . Il est bien connu (juc les coordonnées des points des 
courbes algébri([iies de j^enre zéro et un peuvent s'exprimer pai- 
des fonctions uniformes (riin paramètre, méromor()lies dans loiit 
le plan ; M. Picard a démontré qu'une telle représentation iini- 
forme est impossible pour les courbes algébriques de genre supé- 
rieur à un^ qui exigeraient des transcendantes uniformes d'une 
nature beaucoup plus compliquée avec des singularités essentielles 
formant un ensemble continu ou un ensemble parfait discontinu. 

M. Poincaré a démontré qu'il est toujours possible de faire une 
représentation uniforme d'une fonction multiforme quelconque 
{Bulletin de la Société mathématique, t. XF). Son théorème 
consiste en ce que, étant donnée une telle fonction m=c3(;;), 
nous pouvons trouver une troisième variable ^, telle que u et z 
puissent s'exprimer uniformément en fonction de t par les formules 

(i) u--=\\{t), z = m{t). 

Le problème de la possibilité de la représentation uniforme 
d'une équation quelconque 

(2) f{z, U)= O 

étant donc résolu par l'affirmalive, la première question, qui se 
présente tout naturellement, concerne la nature et la complication 
des singularités des fonctions uniformes H(i) et M(^) qui consti- 
tuent la représentation uniforme. 

II est, bien entendu, supposé que l'équation (2) définit une 
fonction u =: o{z) analytique. En me plaçant dans le cas où cette 
équation est transcendante par rapport à l'une des deux variables 
z et u ou bien à toutes les deux, je me propose de signaler un 
résultat intéressant, qui découle de ceux que j'ai obtenus dans ma 
thèse (^) sur l'extension du théorème de M. Picard aux fonctions 
multiformes. 

( ' ) Sur les zéro^ d'une classe de fonctions transcendantes [Thèse de doctorat 
de l'Université de Paris ( Gauthior-Villars al Annales de la Faculté des Sciences 
de Toulouse)}. 

XXXIV. i3 



— 198 — 

i2. Les fondions 11(/) cl ÎNJ(/) pciivcnL, <i prioii, j)r(''scnler 
des singularités essentielles de toutes sortes. Si ces points sont 
isolés, autour de chacun d'eux il ne saurait y avoir plus de deux 
valeurs exceptionnelles, et cela d'après le tliéorrme classique de 
M. Picard sur les valeurs d'une fonction uniforme dans le voi- 
sinage d'un point singulier essentiel isolé; il en résulte que, dans 
ce cas, le nombre des valeurs exceptionnelles générales ne sera 
jamais supérieur à deux. Une valeur a^ sera dite exceptionnelle 
générale pour une fonction // =a-(/), lorsque l'écpiation 

n'admet qu'un nombre fini de racines dans tout le plan. 

^Cette notion est nécessaire lorsqu'il s'agit d'une fonction qui 
présente plusieurs points singuliers essentiels. 

Le cas, dans lequel les fonctions uniformes H(/) etM(/)ne 
présentent pas de points singuliers isolés, est celui qui nous inté- 
resse surtout ici, parce que, dans ce cas, l'ensemble des valeurs 
exceptionnelles générales pourrait être quelconque (continu ou 
discontinu) pour une fonction uniforme arbitrairement prise; il 
pourrait former des lignes, des aires embrassant une partie ou 
la totalité du plan des «, etc. 

L'étude de cet ensemble, dont la nature peut nous fournir des 
renseignements intéressants sur la nature des fonctions H(^) et 
M(/), qui constituent la représentation uniforme de la fonction 
multiforme ?/ = o(^), fera l'objet des considérations que j'expo- 
serai dans les paragraphes suivants. 

J'ai déjà abordé cette question dans ma thèse (p. 49, Chap. lll) 
et je me propose de compléter ici les remarques que j'y ai faites 
d'une façon très abrégée. Nous commençons par donner quelques 
définitions. 

3. Nous dirons qu'une valeur Wq de u est exceptionnelle dans 
le voisinage d'un ensemble (T) (') de points du plan / par rapport 
à une fonction u =a-(/), lorscpie l'écpiation 



(') Les poiiUs de cet cnsoiTihlc soiil sii|)p()st-s siiisnlicis essentiels. 



— MMI — 

I) ailnicl (111 un iioiiiIhc Iiiii de imciiics à Ti iih'-iMMi i' de loiil coii- 
loiii" Ci r<'iil(M'm;nil, Ions les poinls de l^tnscmhlc (Tj cl. miciiii 
aulic poiiil singulier osscnl ici (\(' l,i foiiclion ^{f) élranj^cr ;'i Tcri- 
scml)lc ( T). 

Cette définition n'est |);is du loiit vil^ue dans le cas où l'enseinhle 
(T) possèd(" des j)omls ii riiilini cl d n'est pas dilfieiU; de conce- 
voir les aires (') (nii renferment Ions les poiîits de (T) à l'exeln- 
sion de tout autre point singulier essentiel étranger à (T)- l^e point 
du plan /^correspondant à //„ sera appelé aussi exceptionn(d. Nous 
distinguons trois cas : 

a'. L'ensemble de ces points exceptionnels du plan u est ou l)ien 
fini ou hicn dc'înomhrable isolé (c'est-à-dire il n'est dense 
nulle part) ; 

[j'. Le même ensemble est dense dans diverses portions du plan //, 
mais il n'embrasse pas tout le plan; ou bien il est parfait dis- 
continu ; 

y'. L'ensemble est dense partout et embrasse tout le plan- c'est- 
à-dire son ensemble dérivé est formé de tous les points du plan. 

Dans le premier cas, nous dirons que la fonction ^(t) est in- 
déterminée dans le voisinage de l'ensemble (T) avec une indé- 
termination complète. Dans le deuxième cas, nous dirons qu'il 
y a une indétermination incomplète. Dans le troisième cas, le 
degré de l'indétermination est un peu vague et il est difficile de la 
caractériser d'une façon sommaire, puisqu'il peut se présenter des 
circonstances diverses pour l'ensemble des valeurs exceptionnelles, 
qui peut être dénombrable aussi bien que continu. A ce cas se 
ramène le cas de la non-indéterminalion, où Fensemble des va- 
leurs «0 pour lesquelles l'équation 

1(0= (r(z) 

admet un nombre fini de branches dans le voisinage de l'en- 
semble T (c'est-à-dire dans une portion du plan telle que nous 
l'avons spécifiée plus haut), ne contient aucun élément. 



(') On ('-vitera ici d'employer le mot contour. {Voir In remarque du n" G.) 
Dans cette d(';(inition, nous supposons, bien entendu, qu'il s'agit des ensembles 

([ue nous pouvons isoler des autres points singuliers; autrement, la déllMilion 

n'aurait pas de sens. 



— 200 - 

M. Painlevé a déjà employé des dénominations pareilles dans 
une élude sur l'indéterminalion d'une fonction multiforme dans 
le voisinage d'un point singulier essentiel. [Voir : Sur les sin- 
gularités des fonctions analytiques et, en particulier, des 
fonctions définies par les équations différentielles {Comptes 
rendus des séances de U Académie des Sciences de Paris, 1900). 
Le lecteur pourra aussi lire avec profit la thèse de M. Painlevé : 
Sur les lignes singulières des fonctions analytiques, Gauthier- 
ViUars, 1887.] 

Le cas le plus intéressant pour le but que nous poursuivons est 
celui OUI l'ensemble (T) est continu, parce qu'il est très probable 
que les fonctions uniformes ne peuvent présenter qu'une indé- 
termination com[)lète dans le voisinage d'un point appartenant à 
un ensemble parfait discontinu. C'est ce que M. Zoretti a essajé 
de démontrer dans sa remarquable thèse (Gautliier-Villars et 
Journal de M, Jordan, igoS). La chose reste encore douteuse. 

4. Gela posé, supposons d'abord que l'équalion (2) soit algé- 
brique (polynôme) en u de degré n et transcendante entière en z 
et remarquons que toute valeur exceptionnelle générale de la 
fonction u == H(z) sera aussi exceptionnelle pour la fonction mul- 
tiforme u = ^(^) {voir ma thèse, loc. cit.)^ qui n'a qu'un nombre 
fini de branches. Or, je démontre dans ma thèse que cette der- 
nière fonction ne saurait jamais avoir plus de 2/2 valeurs excep- 
tionnelles, l'infini compris; il en sera donc de même des valeurs 
exceptionnelles générales de u =H(^). 

Supposons encore que u = H(^) admette des ensembles conti- 
nus singuliers (points isolés, lignes, aires) essentiels T,, T2, ..., 
Tf,i, ... et appelons U,, Uo, . . ., U^, ... les ensembles de points 
exceptionnels du plan u correspondant respectivement au voisi- 
nage des T,, T2, . . . , T„i, ... ; on a le théorème suivant : 

1. L'ensemble des points communs aux ensembles Ui, Uo, • . ., 
U,„, . . . est fini et le nombre de ses éléments ne saurait dé- 
passer 2 n. 

Le cas nouveau est celui où tous les ensembles T/ sont continus 
proprement dits, c'est-à-dire lorsqu'il n'y a pas de points singu- 



- 4(n - 

liers essenllols isolés; dans lo cas coiiiraii c, le lliéorèmc (5tait évi- 
dent. Nous en dcdiiisons \c corollaircî suivant : 

CoHoi.i.AiHK. — Si les sin^iihd'itrs essentielles de la fonction 
Il = H(/) ne forment (ju'i(n ensemble continu (') V [une ligne 
ou une aire)^ dans le voisinage de cet ensemble il y aura une 
indétermination complète de la fonction u = 11(07 ^^ nombre 
des valeurs exceptionnelles étant an plus égal à •>.n. Nous ne 
pouvons pas on dire autant pour la fonction :; = M(0. 

Passons maintenant au cas où /(^, u) désig;nc une fonction 
transcendante entière par raj)port aux varialjles z et w, toutes les 
deux, et rappelons-nous le théorème général établi dans ma thèse 
(p. 43) et énoncé comme il suit : 

Les ensembles (E) et (e) des valeurs exceptionnelles de la 
fonction multiforme u = ^(z) et de son inverse z^=:W[u) sont 
ou bien finis ou bien dénombrables avec un seul point limite 
à l'infini (par conséquent isolés, pas denses). 

Faisons sur la fonction z = M(^) la même hypothèse que sur 
u = H(^) et appelons S,, S2, S;j, . . ., S^, ... les ensembles con- 
tinus ou points isolés de singularités essentielles de la fonction 
:^ = M(^) et Zn, Z2, Z3, . . . , Z/, ... les ensembles de points ex- 
ceptionnels du plan z correspondant respectivement aux voisi- 
nages des S,, So, S3, ..., S/, 

La remarque que les ensembles U/ font partie de l'ensemble (E) 
et les ensembles Z^- font partie de (e) nous conduit au théorème 
suivant : 

II. Les points communs des ensembles U/ forment un en- 
semble ou bien fini ou bien dénombrable isolé avec un point 
limite à Vinfini. Il en est de même des ensembles Z/, ce qui 
distingue essentiellement ce cas du cas précédent, ou f{z^ u) 
était un polynôme par rapport à u. 

Corollaire. — Si les singularités essentielles des fonctions 
H(^) et M(^) ne forment qu' un ensemble continu {une ligne 



(') Je m'attache ici surtout au cas où l'ensemble (T) est continu. Cette res- 
ti'iction n'a pas du tout des motifs essentiels, puisque ces résultats s'étendent 
d'eux-mêmes à tous les ensembles non isolés. 



— 20-2 — 

ou une aire)^ dans le voisinage de cet. ensemble il y (tara une 
indétermination complète des fonctions il(^j ou iM(^). (^ecl 
s'énoncerait encore sous la forme suivante : 

« Il est impossible de satisfaire à Téquation f[z^u)=^o^ 
/{z^ u) désignant une transcendante entière par rapport à ^ et «, 
par des fonctions uniformes u = H(/) et z =:M(^) ayant un en- 
semble continu unique de singularités essentielles d'une indéter- 
mination incomplète. Il en sera de même lorsqu'il n'y aura aucune 
indétermination dans le voisinage de cet ensemble. » 

5. Les considérations précédentes nous fournissent des rensei- 
gnements sur les valeurs des fonctions H(^) et M(^) dans le voisi- 
nage d'une ligne singulière ou d'une aire singulière, prises dans 
leur ensemble. Mais il serait intéressant de savoir ce qui peut se 
])asser dans le voisinage d'un point quelconque de l'ensemble 
continu de singularités. 

Pour lixer les idées, supposons que la fonction H(^) admette 
une ligne singulière essentielle (L) et n'ait aucun point essentiel 
en dehors de celte ligne. D'après le dernier corollaire, il y aura 
une indétermination complète dans le voisinage de la ligne, prise 
dans son ensemble; mais, si nous considérons un point quelconque 
de la ligne dans son voisinage (c'est-à-dire à l'intérieur d'un cercle 
arbitrairement petit décrit de ce point comme centre), il peut bien 
y avoir une indétermination incomplète ou bien la fonction pourra 
y être déterminée. 

Nous pouvons compléter les résultats de ce travail par la re- 
marque suivante : 

// y aura indétermination non seulement le long de toute 
la ligne (L), mais encore dans le voisinage de segments de la 
ligne arbitrairement petits {aussi petits que Von voudra). 

En elfet, nous pouvons toujours diviser la ligne (L) en une infi- 
niié dénombrable (*) de segments de longueur égale à £, e étant 
arbitrairement petit. S'il n'y avait pas d'indétermination dans le 
voisinage d'aucun de ces segments, l'ensemble des valeurs excep- 
lionnelles dans chacun de ces voisinages embrassant tout le plan 

(') Ou bien en un nombre liui do scgfucnls. 



-nr.i — 



lies u, sauf un ciiseinble dcnornhrahlfî i\i\ poinls Isol/is, il on serait 
(l(* nKMiic |)()iii" lo voisinage (l(! loiilc la li^iu; (L)- 

l*oiir Jioiis (M) iHîiHJrc cotnple, appelons /, , l^^ /;j, ..., /«, ... les 
divers sc^iuenls et v, , .s^, V;,, . . ., V//, . . .. les ens<iinl)les de va- 
l(;iirs non cxceplionnelles correspondant respccliveinent au voisi- 
iiao;e de C(îs segnienls. 

il est clair (pie, si Ton exclut du plan des ii rens(;inl)l(; 

Si H- 5-2 -+- .S-;{ -f- . . . -4- .S-/t + . . . , 

qui est dénomhrable ou fini, la partie restante du plan serait tout 
exceptionnelle le lon<^ de la ligne (L). vVinsi la fonction H(^) 
admettrait le long- de la ligne entière (L) un ensemble continu de 
valeurs exceptionnelles, ce qui serait absurde d'après le corol- 
laire du paragraphe 4. 

Les raisonnements employés pour cette démonstration reposent 
sur la proposition suivante : 

Pour qu'une valeur Uq ne soit pas exceptionnelle le long de 
toute la ligne (L), il suffit qu'elle ne le soit pas pour un des 
segments li. 

Cette condition n'est évidemment pas nécessaire. 

6. Je termine ce travail par une petite remarque au sujet de la 
définition donnée au commencement du paragraphe 3. 

Pour éviter le mot contour, qui entraînerait une certaine ambi- 
guïté, surtout dans le cas où l'ensemble (T) contient des points à 
l'infini, nous pouvons procéder comme suit : 

La valeur Uq sera dite exceptionnelle dans le voisinage de 
l'ensemble T, lorsque l'équation 

n'admet qu'un nombre fini de racines dans une portion du plan t 
(quelconque, contenant (') tous les points de l'ensemble (T) et 
aucun autre point singulier essentiel de la fonction a-(^). 

Weierstrass et M. Freedholni (-) ont formé des séries repré- 

(,') En d'autres lermos, les points de l'ensemble (T) appartiennent à cette por- 
tion du plan, tandis que les autres points singuliers essentiels n'en font pas partie 

(') Voir : Comptes rendus des séances de l' Académie des Sciences, a/j mars 
1890 et Traité d'Analyse de .M. Picard, t. Il, p. 70-71. 



— 204 — 

sentant des fonctions qui ne peuvent pas être étendues analyti- 
quement au delà du cercle de convergence et convergentes sur 
la circonférence de ce cercle, qui est, par conséquent, une ligne 
singulière essentielle pour ces fonctions. Il est clair qu'elles ne 
présentent aucune indétermination ni dans le voisinage d'un arc 
de la circonférence arbitrairement petit, ni le long de toute la cir- 
conférence. Il est donc impossible, d'après les résultats exposés 
dans ce travail, qu^ elles se prêtent à la représentation uniforme 
d'une fonction multiforme rentrant dans la classe étudiée ici. 
Il est remarquable que ces résultats soient dus à la transcendance 
de l'équation (2) par rapport à l'une, au moins, des variables z 
et u) nous avons ainsi une spécification des fonctions de la repré- 
sentation uniforme d'une équation transcendante (2) sans en avoir 
aucune pour les équations algébriques de genre supérieur à un. 

7. En corrigeant les épreuves, j'ajoute la remarque suivante : 
Le théorème du paragraphe 5 entraîne ce fait intéressant qu'il 
y aura un point, au moins, de la ligne qui sera point à^indéter- 
mination, au sens classique du mot; c'est-à-dire que l'ensemble 
des valeurs, non exceptionnelles dans un cercle arbitrairement 
petit entourant ce point, ne sera pas dénombrable isolé. En effet, 
l'existence d'un segment d'indétermination de longueur s entraînera 
celle d'un autre segment d'indétermination compris dans le premier 
et de longueur e, << £ et ainsi de suite*, nous aurons une suite 
indéfinie de segments de longueurs e, t^, £2, ...,£«, ..., ten- 
dant vers zéro et dont chacun fait partie du précédent; il est clair 
que ces segments tendront vers un point limite, dans le voisinage 
duquel l'indétermination sera certaine. Pour s'en rendre compte, 
il n'y a qu'à remarquer que, si l'équation 

admet un nombre fini de racines à l'intérieur d'un cercle entou- 
rant ce point t = ^q? ii en sera de même de tout autre cercle faisant 
partie du premier. 

Nous avons donc le théorème suivant : 

Si les singularités essentielles des fonctions H(^) et M(^) 
forment une ligne singulière ou un ensemble fini de lignes 
singulières, il y aura toujours, au moins, un point d'indéter- 
mination. 



-• 20-; — 



SUR LES POLYNOMES A COEFFICIENTS ET A VARIABLE 
HYPERCOMPLEXES; 



VlïV AJ. lAoN AuTONJNE. 



I. 



Dans une Coninuinicallon récenle {^Comples rendus de V Aca- 
démie des Sciences, 28 mai 1906), intitulée : Sur les propriétés 
qui, pour les fonctions d'une variable hypercomplexe, corres- 
pondent à la monogénéité, j'ai énoncé diverses propositions re- 
latives aux variables et aux fonctions hypercomplexes. La théorie 
détaillée, avec les démonstrations, est donnée dans un Mémoire, 
de même titre que la Communication, qui doit paraître dans le 
Journal de Mathématiques, de M. Jordan. 

Je me sers notamment de la terminologie et des notations de 
M. Frobenius, telles que l'éminent algébriste les donne dans sa 
Théorie der hyperkomplexen Grôssen [S itzungsberichte de 
V Académie de Berlin, pour avril igoS). 

La théorie générale conduit, en ce qui concerne les polynômes 
à coefficients et à variables hypercomplexes, à diverses proposi- 
tions, que je développe ci-après. 

Rappelons d'abord les théorèmes sur lesquels on s'appuiera. 
Pour les démonstrations, on renverra aux publications précitées. 

IL 

1°. Prenons un groupe simple (s) d'ordre n^=z r-. Une quantité 
hypercomplexe x de (e) est 

(i) x=2^Zoi^'!x la = 1, «2, ..., Ai j 

a 

OÙ les n coordonnées ^a ^^ x sont des nombres scalaires (c'est- 
à-dire réels ou complexes, ordinaires), l^es n symboles t^ ont une 
multiplication (associative, mais non conimutative) définie par la 
formule | a, ,3, y =r i , 2, . . . , /i | 

('2) SpSy =^£a«a^y> 

a 



— 20() — 

où les «apy sont n'-^ constantes scfilaires. Si, pour j:z=z^zx^ 
j^^Ssr, 3 = 2cr, on a, dans le groupe (s), x^=yz^ il viendra, 
eu égard à (2), 

a V [^ / \ Y / j^y a [iy 

d'où la formule fondamentale 

(3) X a = ^<7a^YJ^p-Y' 

î2". Au lieu des j:^ ^^ ^a ^'i peut introduire des coordonnées :r) p. 
et des symboles £).jj, à double indice (a, jjl^ i, 2, ...,/•; /- = /i), 
tels (|ue les formules (2) deviennent 

(4) £>,!j.£pv = o, pour [^ ^ p, s>,îj.î[j.v = £),v 

Le groupe (s) est isomorphe sans hémiédrie aux groupes des 
matrices /'-aires 

/Xxi ... X^r 
{^) = { 

\ .T;-! ... X,.,- 

si X =J^^, on a (.r) = {y){z), et, réciproquement, 

^5) xi\i = ^y\:j^r,ii., \ X, f/, p = 1,2, ...,/•;. 

p 

Les coordonnées à double indice x\^, seront dites spéciales; 
elles sont d'ailleurs liées aux x^ par des relations 

/, ^^a/.ii.^oL= -^XtJL, ^aAu.^ const. scalaire, 



a 



a = 



i, >.,..., aï; à, ;a = j, ^, ...,/• ;. 



3". Avec les n variables scalaires Xy, formons la varùiblc hy- 
per complexe 

(6) X —2^'^y.X'x, ; a = 1, '2. . . ., « |. 



L'expression 



a 



(7) ^^=^£aXa(.r, ^„) 

a 

sera dileyo/?c//o/i de la variable bvpercomplcxe x. 



— 1207 - 
Avec M. Frohcniiis, je (I(''sii;ii(m;ii \)nr 

/(./■), imc loiiclioii scalaire (l<:s // \arial)lc^ scalaiiiîs x'^t, 
/'((.r)), uik; ronchon de la vanahh' li v|)ei-c(nii|»lcx(i X. 

Imi eoordoniHMîs spt'ciahîs (^'*), il viendra ; y., [j, y, '^ -^ '> '-'-i • • • l 'S 

// = /-' ; 

V\ l*osons ,/r^y = z-Y'y-, prenons les /i- =;= /•'• dérivées parlicllcs 



ôz 



y^ 



rangeons-les suivanL les lignes d'indices ao et les colonnes d'in- 
dices Vj3. On aura la matrice jacobienne des X par rapport aux z. 
Nommons-la H. 

Disposons les ao et les v[j suivant la suite 

ij, 12, ..., I /• ; 21, 22, ..., 2r; ri, ri, ..., rr. 

Les /• valeurs des a décomposent H en /• bandes horizontales, 
de /• lignes chacune. Les /• valeurs de v définissent de même /• 
bandes verticales de /' colonnes chacune. H est ainsi décomposée 
en /•- matrices partielles 9(xy, suivant le schéma 

/On 0,0 ... 0,^\ 

\6,.l 0,.2 . . . 0,.;./ 

la dérivée partielle y-^- est, dans la matrice Bay? l'élément de ligne 
et de colonne 3. 



o". J'introduis maintenant la matrice /z-aire W= {O'^^yl, laquelle 
dilTère de H par la transposition de chaque matrice partielle Oay? 
c'est-à-dire par Vécliange des deux indices ,3 et o. Si l'on pose 

'^' t^-5yp 

les n-=^ /•* éléments (V'o^j^ysde la matrice W sont dis()osés suivant 
les lignes ajii et les colonnes *'o. 



408 — 



H el W se définissent ainsi réciproquement d'une façon complète. 

Quand on ne prend plus de coordonnées spéciales, H et W se 
définissent encore mutuellement sans ambiguïté. (V)[x étant dansW 
l'élément de ligne ). et de colonne jji, j )., pi = i , 2, . . . , /i j, on a 



a, p = i, 2, 



p, a, 5 = 1 , 2 n 



( r? ^7 V M -^7 • • M 



c^Xa 



(9) 






p 

les a étant les constantes scalaires des formules (2). 
On remarque aussi que 

(10) £X£p£[j. = ^£a[a?J),ix. 

a 

6°. Je n'insisterai pas sur les propriétés, assez remarquables, 
de la matrice W. On les trouvera dans mes publications précitées. 
Je passe de suite au problème, objet de la présente Note. 



III. 

7". Je désigne (3") par : 

^m{oc)^ un polynôme de degré /n, à coefficients scalaires et aux n 

variables scalaires x^^ . . ., x,i ; 
p„i{x)^ un polynôme P,„(^) homogène. 

L'expression 

ll\m{{^)) = ao^rai^r . . . a,„_i:ra,„, 

aux m H- I coefficients liypercomplexes ay, ..., Ow, est dite un 
monôme en x de degré m. 

Une somme de monômes, de degrés m'^ni^ sera un polynôme 
*-S,n{{x)). Si tous les monômes ont le même degré m, ^^m{{x)) de- 
viendra homogène et s'écrira 

Pm((^))- 

On a évidemment, pour coordonnées de la quantité hyper- 
complexe 11,„((^)), des expressions p,n{x) ci-dessus. La quan- 
tité ^)Lni{x) aura |)our coordonnées des expressions P,„(^). 



— -20!) — 

S"*. Voici inainlciiaol la ({iieslioii (jiio je vais résoudre dans la 
piVîscnle Noio : 

Réciproquement à ce (jui pn'crdc, une expression hyper- 
complexe \, dont les eoordonné.es sont, des P,„(x), est-elle 
toujours un polynôme <j,\«((^))? 

On drrnonlicra (jiic la r(''ponso est : oui, et d^ une infinité de 
façons. 

9". Soil donc 

(II) X = ^£a/MXg(a?), 

a 

OÙ les Xa(^) sont des P,„(;r) (7"). Comme un pol^'nome quel- 
conque est toujours une somme de polynômes homogènes, il suf- 
fira, pour la démonstration du théorème, de supposer que les 
Xa(^) sont des pni{x) (7"). On a à chercher si X peut être efTec- 
tivement un "|3w((^)) (7**). 

10^ Le théorème d'Euler donne j a, ^, X, p., p, t = i , si, . . ., /? J, 
eu égard aux. formules (g) et (lo). 

Décomposons la matrice /^-aire W^ 1^^^>ia] ^^ ""^ produit de 
deux matrices Ai-aires, W = UV, 

(i3) U=[^r,,], Y=[v^,l V'=[P,^.], W=UV'-r2//),,c^^J. 
La formule (12) donne 

1 X= ^ £X£p£[xa-p«XT^jXT 

en désignant par u-z et p^les quantités hjpercomplexes. 



- 210 - 

11". l'rcnons pour V une malric^e qucIcorKjiic, injiis à déLcrmi- 
nant |V| ^ o et à élémenls v^j^: scalaires et constanls; alors 

(i6) U = WV'-». 

Les coenicienls wi^, de W sont des polynômes /),„. \ (j^)', l'i for- 
mule (i6) montre qu'il en est de môme pour les iiy-^. Cliacune des 
// quantités hjpercomplexcs n-^ est donc de même nature que X, 
mais le degré m a diminué d'une unité. On pourra donc écrire 



^'t^^«Ti^^'t. 



]zi =j, '.}.,..., n 



On donnera encore aux coordonnées de iv des valeurs cou- 
stantes; les coordonnées de u^^ seront alors des polynômes ho- 
mogènes /?,„_2(^) et ainsi de suite. 

Tout compte fait, on pourra écrire finalement 



Ti...T,„ 

j =: I, 2, .. ., m; T, = I, 2, . . 



(17) 



où les /i quantités hypercomplexes Cx ont pour coordonnées n- con- 
stantes scalaires arbitraires, à déterminant ^o. 

a^.^ ^^^ = const. hypercomplexe. 

12". La formule ('7) montre que X est la somme de /?'" mo- 
nômes 

m,„({^)) ("■') 

c'est-à-dire que X est un polynôme 

OÙ les quantités (^x, peuvent être choisies d\ine infinité de façons. 
C^'est ce qui est annoncé au 8". 

13°. La formule (f-) peut être simplifiée. Nommons E la ma- 
trice n-diive unité. On peut faire, au calcul du 11", 

d'où 

T 

et ainsi de suite. 



-211 



(iS) 



AI(HS ( 1 - ) (1«'\ ICMl 



. J-Z-:- . . . X\ 



•T„, 



T,...T,...T,„ 



11". I.cs ooordoiinces de riiy()erc()in|)lcxe X soiil, des polynômes 
p„i{-^) J" (M)cr(i('i(;nts scalaires h et à varial)l(;s s(;;daires ^,, . . ., x„. 
11 esl facdo d'clahlir des relations imiliiclles entre les constantes 
scalaires /> cl les constantes liy[)ercon)plexes a des formules (17) 
et (18). Le calcul est plus conrl ([uand on ('inploie les coordonnées 
spéciales (2") r^r,, î ;, '0 = i , -^ > .... r ; n — r- \ et les synnholes à 

double indice s^.^ = ^ j, de façon que 

X = N ( ) ^ç I l't analogue do la formule ( { )] ; 



<;-o 






:. '.: 



15". Dans la formule (18) faisons 
Désignons le coefficient a^ .^^^ par 

' \ I^i . . . [// . . . \J.ni ] ' 

mettons en évidence les coordonnées scalaires de riiypercom- 
plexe a, en écrivant 

^19) 



( /X. ...X..N y/a\ 

( ; a, ^, X,-, [Xi, ^/, r^i = i, '?....., r: 11 = 1 



a 



(y.o) 



La formule (18) devient 



Al 



cD 



?) (w (:^'. 



A/ 



\'^// W^i 



Ç/// \ / A/;; 



— ^212 — 
Pour que (D ^ o, il faul que 

c'est-à-dire 



(D se réduit à ( )• La formule (20) devient 

■^^ \^m/ \;2 •••?/« (^m Çl/ 

Comme on a d'autre part 



voici ce que donne l'identification des deux expressions, de ^,J(x)) : 
le coefficient 6, dans X^r^^, du produit 

— = ^\^■r^y • • • ^EmYi,,, 

65^ /a somme des constantes scalaires 

g Al • . . ^m-l iQm a 

\ ;2 ••♦?/« !-«-m ;i 

étendues à toutes les combinaisons des indices c,et r^ qui donnent 
le même produit E. 

Il est évident qu'on peut annuler identiquement le poljnome 
l^m{{x)) sans avoir besoin d'égaler à zéro chacun des coefficients 
hjpercomplexes a. 

16". Toutes les présentes recherches se résument dans une pro- 
position finale unique : 

Théorème. — Pour qu'une quantité X hypercomplexe soit, 
par rapport à la variable hypercomplexe x, un polynôme de 
degré m, à coefficients hypercomplexes ^ 

il faut et il suffit que : 
les coordonnées de X soient, par rapport aux coordonnées de 
x^ des polynômes de degré m, à coefficients scalaires. 



— i2i:i 



SUR LES NOMBRES TRANSCENDANTS DONT LE DÉVELOPPEMENT 

EN FRACTION CONTINUE EST QUASI PÉRIODIQUE ('), 

ET SUR LES NOMBRES DE LIOUVILLE; 

Par M. Edmom) .M\ii.ij;t. 



I. 

Je me proj)Ose ici de montrer (|iie les l'aeines positives des 
écjiialions du deuxième de*»!'*'*, dont les coefficients sont des 
poljnomes à coefficients entiers formés avec un nombre transcen- 
dant l > o de Liouville, sont, dans des cas élendus, des fractions 
continues cjuasi-périodicpies. 11 en est toujours ai'^si quand 
l'oi'dre du développement en fraction continue de ce nomi)re de 
Liouville est assez grand (-). I étant un de ces derniers nombres 

et positif, on peut le choisir de façon que \/[ soit d'ordre au plus 
égal à (2,0) dans la première classification des fractions continues, 
et (i , i) dans la deuxième. 

J'indiqne aussi : l*' des résultats relatifs à la représentation 
^iiiiaïc jgg nombres de Liouville dans le système de numération de 
base q entière; 2° l'impossibilité que e soit racine d'une équation 
dont les coefficients sont des polynômes en I à coefficients entiers, 
1 étant un nombie de Liouville d'ordre assez grand; 3" des cas 
où a' (a entier) et 1' sont transcendants. 



II. 

Soit 1 un nombre de Liouville réel positif, \,u = P/^Q,,/ sa ni^^^^^ 
réduite. On peut écrire 

par définition, l est tel que z^,n est aussi grand qu'on veut pour 

( ' ) Je suis obligé de renvoyer à mon Intro'luction à la théorie des nonibfes 
transcendants et des propriétés arithmétiques des fonctions (Paris, Gauthier- 
Villars; 190^)) que je désignerai dans ce qui suiL par la nolation : Introd. transe. 
Toutefois, on n'a pas absolument besoin de s'y reporter pour le théorème I. 

(-) Ceci me donne une occasion d'esijuisser une classification des suites de 
quantités d'oidre infini {Introd. transe., Cliap. I, p. 10) 

XXXIV. i4 



— -214 — 
une infinité de valeurs de m. Je considère une de ces vîileurs; soit 
e,„ =: y/I — v^'"o ^" ^' pour m assez grand, 

■ ' ' "~ '"4 < (/î)"' I I - I/" 1 < I^Qm'-P'", !^ constante. 



£/« = 



v/î + v/i/ 



Je suppose cpie !,„ ne soit pas un carré (on sail rpi'il existe une 
infinité de nombres de Liouville I jouissant de cette propriété; 
voir Introd. transe, note 11, et Comptes rendus, 2 juillet 1906, 
p. 27). Ou a 



OÙ A,„ n'est pas un carré. Ou sait (') que, si le développement en 
fraction continue de y/ï„i est 

cette fraction continue est périodique, «„ <C 2 y/A^^ << aQ,„ et la 
|)ériode a au plus 2A;„<cX,Q^^^ termes, A et A, étant des con- 
stantes; le premier terme périodique est cIq ou r/, ; un des termes 

de la période est ^2, sans quoi il faudrait \J\.„i — ^0 = — ; ' 

comme on le voit de suite. 

Soit i,i = p,iC/~* la /i'*^'"*^ réduite de s/Un] on a, d'après une pro- 
priété connue [Serret, ou Introd. transe., Cliap. I, form. (i-^)]. 

I /'///— i'/J <<//;' y /Al 

et 

si, comme on le vérifie facilemenl, 

^' y.^>î^Q;.^'^ «.4-15 -^ 

Il suffit aloi's pour cela, m étant assez <^rand, 

condition (pie je su[)pose avoir lieu; par suile (Serret, p. 19, ou 
Introd. transe., Cl)a[). I, p. 5) i,i et, bien entendu, in~\i in-ii • • • 



(') Serret, Algèbre supérieure. 5' édition, t. I. p. [\3 à 55. Paris, Gautliier- 
Villars; i885. 



- -2i:i — 
sont (les réduiles clo ^ I. Mais 

('.>.) aura lini a fortiori m Ton a 

Soil n' la plus giarulc valeur do n salisfaisant à la (hîrnièrc 
iiK'galité ; n \~^ cl co,„ claiit supposés assez, «^ranrls, je considère 

les E i—r — ) premières périodes de y/l^; la dernière d'enlre elles 
conlienl un f|uoLieut <7,,^i ^ 2, pour lequel /i satisfait à ['.\) et /,, est 
réduite de y/I; y/1 a au moins en commun avec \/\,n les cpiolicnts 
r/o, <^'i , . . . , rt/< et les 



■x\„ij '2 A, 

premières périodes de \J\,n. Or 

Il suffira cpie l'on ait, pour une infinité de valeurs de m, 

(4) ?/«=amQm, 

OÙ a,„ est une fonction positive croissante de /«, pour que y/1 
présente, dans son développement en fraction continue, une infinité 
de suites 5,, ^o, • . •, Sp^ . . . formées chacune par la répétition, 
un nombie kp de fois pour 5^, d'une même période de quotients 
incomplets, kp croissant indéfiniment avec p. Ces fractions conti- 
nues peuvent encore être appelées quasi-périodiques (*); Sp pré- 
sente évidemment un caractère spécial. j)uis([ir'il contient 
5,, ^25 • • • 1 ^ p -\ • Donc : 

Théorème I. — I étant un nombre de Liouville convenable, 
sans être le carré d'un nombre de Liouville, \i\cst une f l'action 
continue quasi-périodique. 

Avant de chercher des généralisations, il convient de carac- 
(') Inlrod. trouve. , Chap. VIT, p. i3i et suiv. 



— ^2I() — 

h'riser avrc j)lus de pn'cislon la iialnre des noiidiics de ïJouvllle 
salisfaisanl au lliéorèrne f. 

On peut se pioposer, à propos du développement des irralion- 
iielles positives en fractions continues et des classifications corré- 
latives Çlni/'od. transe, noies l et II^ et Comptes rendus, 
'1 juillet i()o6, p. 26), une série de prohlènies du genre de ceux-ci ; 
Y a- 1 -il y au moins dans certains cas, une relation entre l'ordre 
de deux irrationnelles et celui de la somme, de la dijf'érencc, 
du produit, du cjuotient, d' une fonction rationnelle à coefji. 
cients entiers de ces irrationnelles? V\ y a des problèmes ana- 
logues j)our un nombre quelconfjue d'irrationnelles (i , 2, 3, . . .). 

J'ai déjà donné des solutions de ces (piestions dans des cas 
étendus ('); en particulier, l'ordre (\e [p\ -\- cj) [p'\ -\- cj'Y \ où 
Pi ^h p' 1 V' ^^"'^ entiers, pc/' — p'q ^ o, est le même que celui de l 
dans les deuxième et troisième classifications. A ce point de vue, 
il peut être intéressant de chercher s'il y a (pielque lelalion entre 
Tordre de l'irrationnelle 1 considérée au théorème I et celui 

de y/1. Je reprends les mêmes notations. 

On sait qu'un nombre de I^iouville est d'ordre au moins égal à 
(2,0) dans la première classincalion. Je vais d'abord montrer que, 
parmi les nombres de Liouville satisfaisant au théorème I , il 

y en a d'ordre quelconque au moins égal à (3, s). 
En effet, soit I = Cq 4- ï I c, -h i I C2 H- . . . . On a 



(Q.Q.v+1) 



h\--= Q7^s o,iogQ,> ioo(o,Q,^,); 



pour (|ue 1 satisfasse au théoième I il suffit, d'après (4), 

logQ.^i>Q!.^S 

pour une infinité de valeurs de s (s, t' fixes, [)Osilifs, aussi petits 
qu'on veut). Or 

^0 ^'1 . . • c,- < Q.Ç < '?/^ ' Co Cl . . . c,., 

ou, si y^ est la plus grande des quantités Cq, c,, . . ., r^, 

T.<Q.s<('2T.s-/'-'; 



(') Jntrod. transe, loc. cit. et Cliap. III. 



— rù - 

il suflU donc (jiic Ton ail, poiii" une iiifinih' (In valnirs de s, 

(5) lo};v.v.i >(->v.v»'*' i'*-^'-^', ou l<);,'Y.^M>75'-'■'"'•^ 

(tj >> () anal()<;ii(' à î). 

Mil |)ar'lir.iili(!r, (|tiaii(l I ('>>l <r(>i(li(; (/r, g), avec /»• ' 3, dans la 
picmitMC classi(i(!ali()ii, si <'<;_^i csl (/f/o/irn/ f)iin<'ipal (liiNod. 
//ï///.vr.,.(ilia(). I, |). lo), la condilioii s(îra Um|()iirs salislailc poiii \ ii 
(jiie 

e" coinnic e, ce (jui donne une limite su|)éri(Mire de "'^ toujours 
acceptable quand A" ^ 3 (*). 

On voit toutefois que les nombres de Liouville ainsi ol)teniis, 
c'est-à-dire satisfaisant à (5 bis)., sont particuliers; par exemple, 
quand tous les quotients incomplets sont principaux, 

(4) exige '^,n > ();„, et, puisque 

( m -h 2) log-'2 -+- { m -\- -2 ) ( p -i- s" ) <?A-i i ni-r- i ) > ^A-i' m)?-^" ; 

si A'^ 3, il faut a fortiori 

Iog['2(m-h'2)(p + £")]4-eA-_2(m + i)> (p — £") e/,-i(m) = (p— e") eA-_2(e'")j 

ce qui est impossible pour A" ^ 3 et ni assez grand. On ne sait 
donc plus si le théorème I s'applique ici, puisque (4) n'a pas 
lieu. 

Ce dernier raisonnement n'est valable que lorsque k est fini. 
Quand 1 est d'ordre -{- ce (Int/'od. tJ'ansc.., Ghap. I,p. 10), il suffit 
d'ébaucher une extension de notre classification des irrationnelles 
pour a ni ver à un critère simple et général. 

Une suite S de quantités positives Co, c, , . . . , c^, . . . est dite 
d'ordre plus petit que -f- co ou que 00 quand on peut toujours 
trouver un nombre A", lel que 

(') On trouve des résultai?, analogues dans la deuxième classification quand 
(A-,p)>(:?,i). 



— 218 — 

p,i reslanl liniilé supcrieuremenl. Je suppose que celle circon- 
slancc ne puisse se présenler; j'écris c,i = e^^^ {t^Yn-, en choisissant 
j)our la suile des enliers /r,, Â2, . . . , Av,, . . . des nombres déler- 
nîin(îs comme il suil : je compare Cn avec 

soit i la plus grande valeur de l'indice lelle cpie 

(0) e/(/i)< c„£e/_Hi(/i); 

je prendrai provisoirement kn ^= i-\- i, d'où p/< ^ i. Quand S esl 
d'ordre infini, on ne pcul assigner aucune limite supérieure 
aux k,t. Je puis alors classer la suite S des k,i comme j'ai classé 
celle des c„ : elle sera d'ordre fini ou infini. Si elle esl d'ordre 
infini, j'opérerai sur elle comme je l'ai fail sur les c„ ; el ainsi de 
suile ( ' ). 

Sans insister davantage, je me contenterai de déduire de là un 
corollaire du théorème I. La condition (5) exige seulement pour 
une infinité de valeurs de 5, si l'on change 5 en 6- — i , 

loge. > Ts^-x^^^'-'\ log loge, >(2 4- Y)) (5 - I ) logv,.,. 

Soit encore I d'ordre infini, c,, = e^.^{n)P,t, el la suite des „ 
d'ordre >> (0,1); par définition, il y a une infinité de valeurs de n 
telles que k,i = n^'^^ (e fixe positif) el que ku — Ay^S quel que soit 
j<^n, puisque /i*+^ >>3/i. Si 5 esl une de ces valeurs, on aura, 
d'après (6), 

Cs > e/c^-i(s ), Y^-i < ^^, - 3 ( * ), 

cl il suffira, pour que (5) ait lieu, 
Posant 

X = CA-._4(5) >(2-H r^)(^ — l), 

il suffira e-^ >> x-, ce qui a lieu pour œ ou s assez grand. La condi- 
tion (5) est satisfaite pour une infinité de valeurs de s; donc : 



(') Ce que je viens de faire correspond à la première classification des irration- 
nelles; on peut en faire autant pour la deuxième. Enfin, on pourrait essayer 
d'étendre ceci aux fonctions entières et attaquer aussi la classification des fonc- 
tions entières d'ordre trunsfini. Je ne m'en occuperai pas pour le moment. 



— 2\i) — 
('ouoiiAim: 1. — Soif 1 r i/ia/iofi fff/lr posifnr 

d'ord/e i/iji/ii, (/ni est alors tut noiiibn' transcriidant de 
Lioui'ilie ; Je /)ose r,, = e^.^^ (f^)^», oit Ln est le plus pe lit nombre 
entier positif ou négatif tel que c„ ^ e^-^^ {n). 

Si la suite des quantités hn ou la fraction continue 
1 : A , -(- I /. 2 + • • • est (Tordre >> (o, i ) dans une (juelconque ( ' ) 
des classifications des irrationnelles, \JV est toujours un nombre 
de Liouville ou une fraction continue quasi-périodique . 

J'élablirai encore ce résultat : 

Corollaire II. — Parmi les nombres y/ï dutJiéorème T, il y 
en a d^ ordre au plus égal à (2, o) dans la première classifi- 
cation et à (i , I ) dans la deuxième. 

Je reprends les suites 5,, ^2, . . ., Sp^ ... de périodes du tliéo- 

T r • 1 ^ • • .11 

reme 1. La suite Sp correspondant a 1,1 contient au moins — quo- 
tients complets Ions << i\' Km << ^ Qa/o et 

,> ^m — 4 > ?m 



n 



Je suppose maintenant que (4) ait lieu pour toute valeur de m 
assez grande. On a 

Q,„+t< Q?m-i, logQ,„+, <(cp,,, — i)logQ,„. 

Dans ^1 il v a une série de quotients incomplets « ^ de rang 
supérieur a — ç -*— » appartenant a Sp^\ , et tels que 

«;,.<><Qm-M<>>Qîr~'; 

tous ces précédents sont a fortiori << )^Qw^.). 

J'admets, par exemple, que loga„>> /i'"*"', pour une infinité de 

valeurs de /i, c'est-à-dire que \J\ soit d'ordre plus grand que (r, i) 
dans la deuxième classification : l'inégalité ci-dessus pour a^^^s'ap- 



(') Car les ordres (0, p) sont les mêmes clans les deux elassificalions. 



— 2^20 — 

plifjuc aux (|U()Llenl.s d indice j m de 'f/j+i ; on peul alors trouver 
une infinité de valeurs de ni telles (|ue 



lo 



<jln' < ''^o«m<'^o^ -^ (?//;— logQm < 3 0,„ log 'f „,, 



car ici Qw -< 'fm, d\ij)r('S (/j). On est conduit à une impossibilité 
|)0ur m assez grarid, et. dès lors, y/1 est d'ordre ^ (i, i) dans la 
deuxième classification. 

Lorsque log «„]>> e^" pour une infinité de valeurs de /?, la conclu- 
sion est a fortiori analog^ue, et y l est d'ordre ^ (2, o) dans la 
première classilicatiori ('). c. o. f. n. 



111. 

Extensions des idées précédentes. — On arrive encore à des 
fractions continues quasi-périodi(jues en considérant une racine 
positive X de 

(7) LX2 — 2iMX-h.\ = 0, 

où 1^, M, N sont des polynômes à coefficients entiers formés avec 
un même nombre 1 de J^iouville convenable (-), et sont par suite 
des nombres correspondants de I {Tntrod. transe., Cbap. 111). 

Soient L„t, -M/», N„j les valeurs obtenues remj)laçant 1 par \,n 
dans L, M, N, et X^^ la valeur approchée de X correspondante, 
satisfaisant à 

( 8 ) L,„ X II ~~ >M ,n X ,;, -h N ,n — o ; 

(') On peut se poser dès lors celte question bien intéiessaiile, et susceptible 

d'extensions d'après ce qui suit : \/i peut-il avoir tous ses quotients incomplets 
limités, quand I est un nombre de Liouville? 

(-) Certains des nombres L, M, N peuvent être rationnels. On peut supposer 
plus généralement que L, M, N sont des nombres de Liouville correspondants 
jtarticuliers [Inlr. transe, Cliap. III, p. 33-34), c'est-à-dire ici des nombres de 
Liouville ainsi définis : soit I Tun d'eux; pour une inlinité de valeurs de m, les 
mêmes pour tous les nombres considérés, les dénominateurs Q'^^^ de la m'^"*' 

réduite sont de la forme Q^[", où a,^, est positif et limité supérieurement et infé- 
rieurement et Q',n+\> Qm^"" (^ fixe>o, 'f„,> a, si grand que soit a dès que 
m est assez grand). Les raisonnements et conclusions sont à peu près les mêmes, 
Le théorème II reste encore vrai quand L, M, N sont des nombres correspondants 
non particuliers, c'est-à-dire satisfaisant à des condilions un peu moins précises, 
analogues a {]) : je n'insiste pas. 



2^1 

m v\ 'Q,n (Maiil siipposTS iiss<'/, glands jxhii- iiik! mfinilc do valeurs 
(le ///, on a cncoro poiii" ces Nalciirs 

(<)) |x-x,„|<X'Q„;^'»- 

()/ ronstanlc, t,» positif limilé supcriem<;nioiil v.\ infériciimnent), 
v\ L,„, Af,„, N,n sont (les réduites de Îj, M, N {^Introd. transe, 
(lliap. IIIV X,;, est un ri()nd)if' raliouiicl ou uuo iri'atiounolhî (jua- 
drali(|uc. 

Si X,„ esl raliouncl, (8) est réductible, et A„i=MJ„ — I^mN,,» 
est le carré d'un norubie rationnel. 

Si ceci a lieu pour une inHuité de valeurs de /«, 

I.X = iM ± /Â, A = M2 — L\ ; 

le nombre ralionuel ou de Liouville A possède une infinité de 
réduites h„i cpii sont des carrés parfaits, et, par suile, A est le 
carré d'un nombre rationnel ou d'un nombre de Liouville corres- 
pondant à I {Inirod. transe, Chap. IIF, p. 44) > de même, ML ' et 
y/AL~* sont des nombres rationnels ou des nombres de Liouville 
correspondant à I, par suite aussi X et, d'ailleurs, (^) est réduc- 
tible, en ce sens que son premier membre est «m produit de deux 
facteurs linéaires dont les coefficients sont (') des nombres de 
Liouville correspondant à 1 ou des nombres rationnels. 

Je suppose qu'il v\ç,w soit pas ainsi: dès que rti est assez grand, 
pour les valeurs de ni considérées, A^„=: Mf,, — L,„Nm n'est pas le 
carré d'un nond^re rationnel ; par suite, X,„ est une irratioiinelle 
dont le développement en fraction continue est périodique 

X,„ = «0 + 1 * «1 + I \ a.i-\- 

On a par exemple 

'-- = TH^^. ^'/' /• polynômes). 
Gliàssant les dénominateurs de L,n, M^,, A,'„ dans X„,, on met 



(') On pourrait aussi abréger le langage en considéranl Tensenrihle H clos 
nombres rationnels et des nonnbres de I^iouville correspondant à I, et dire que (7) 
est réductible dans II, qui! est le produit de deux facteurs linéaires à coef/i- 
cieiils ralionnels dans H, etc. [comp. Introd. transe. Chap. III, p. ci'^. note (i)]. 



224 

X/« sous la foniic 

ou M^„, L'„, \',„ sont des enliers ^Q?,?, constante > o. l^ès lors, 
pour la partie périodique du dévelopj)einent de X/^ en fraction 
continue, «,< << aQj'^, la péiiode de X,„ a au plus 2AJ„<<2Qî„ 
termes. Quant au nombre y,n des termes de la partie non pério- 
dique, soit i,i=zp„q-^ la n"'"«^ réduite de X^ ; ce nombre v„, est 
au plus égal (') à /i,, si /ii est le plus petit entier tel que 

n - 1 

Or (-), en généial, q„~^ i ^ . Soit n^ le plus petit entier tel 
que 

n^—\ n,— 3 



on a 



Ceci posé, 
et, d'après (9), 



9. OloîiO,,, „ ^i 
10 u 1 



\^m—in\ < qVi^qnUi 



^-in\<qu'qnU+^'^,?-''"' 



Si la période de X,,^ renferme un quotient incomplet ^2, le rai- 
sonnement s'achève comme au théorème 1 ; la condition analogue 
à (2) est encore suffisante; quand o,n est au moins égal à une cer- 
taine puissance 9' de Q/,^ pour une infinité de valeurs de m, X est 
encore une fraction continue qaasl-yériodique. 

Je sup[)ose au contraire que la période ne renferme que des 
quotients égaux à i, c'est-à-dire un seul terme, égal à i. Si <r//i_25 
o-n-K', cini (^n^\ appartiennent à la partie périodique, avec mes 
notations {Introd. transe.^ Chap.I, p. 4), 

_ PnOPn+y-^ Pn--\ ^ qnl^m—Pn-l I -h /^ 

^»-m — ) ^«+1 — V — ' ■> 

qn^n+l -i- qn-l ~ qn-^m + Pn -^ 

qn<^qn-i, 



(') On le voit en complcLanL un passage de WAlgcbre supérieure de Serret 
{loc. cit. y p. 43 ). 

(-) Introd. transe, Cliap. III, p. \2. 



— "l'IA — 



et 



- 1,1 -f- V^/ ^ -^ /; ♦ I ~ -t^n M — — -• Y -^ r, • ''' 



'» 1-1-/5 



^Jr^'ln\ > I ''//- - ^ 



= I in— X/;/ I -+- I X///— ''// 1 I /■ I ^m — «// 1 I ( 'H >" 

._ \ ô(i-+-v/3 

_ 7-4-3/5 
— -^//i — '« 1 ' 



lo 



If) 

X,„— f„ I < 7u'7,î|i- 



-3/j 

En ciioisissant la parité de n de faron que X,„ — i,i et X — X„i 
soient de signes contraires, on a, quand une condition analogue 
à (2) a lieu, 

IV • I ^ -, -1 ïo 10 2 f/-« 

1 X — lu I < 7«' '/«Il -7^ < -7^ 7 </«' < -T- > 

7 + iy/D 7-1- 3/3 -^ ^ 

comme on le voit de suite ; donc i,i est encore réduite de X. On 
suppose, bien entendu, des conditions analogues à (3) et (4) 
satisfaites. Le raisonnement s'acfiève comme au tliéorème f, avec 
des simplifications, la période n'ayant ici qu'un terme. 

On conçoit d'ailleurs très bien l'existence de pareilles fractions 
continues quasi-périodiques, forcément mixtes, où les suites 5,, 
^2, ..., Sp^ ... sont toutes formées de périodes d'un terme unique ; 
mais ici 5^_, appartiendra à la partie non périodique correspon- 
dant à la suite Sp. 

Finalement, on conclut : 

Théoiième 11. — Soit X une racine positive de 
{-) LX2— 2MX-+-N = o, 

où L, M, N sont des polynômes à coefficients entiers formés 

(•) En elVct, 



22 i — 

aK'Cc un même nombre de LiouviLle, oa, plus généralemenl, des 
nombres rationnels ou correspondants particuliers de Liou- 
ville {'). 

Quand ces nombres de Liouville sont convenablement choi- 
sis (-), X est un nombre rationnel ou cfuadraticjue, un nombre 
de Liouville , ou une fraction continue quasi-périodique, les 
trois cas étant effectivement possibles. 

Remarque I. — Soil R un nombre ralionnel ou un nombre de 
Liouville correspontlanl de I, L, M, N ; XIA et X dz K soiiL racines 
d'équalions analogues à (^), dont les racines positives ont mêmes 
propriétés; d'ailleurs, rpiand X est une iVaction continue quasi- 
périodique sans être un nombre de J^iouville, ni XR, ni X zb R 
ne sont ici des nombres de Liouville; c'est-à-dire que ce sont des 
fractions continues quasi-périodiques. De même X'', où p est un 
entier quelconque, sera un nombre de Liouville ou une fraction 
continue quasi-périodique ; plus généralement il en sera de même 
pour un polynôme en X dont les coefficients sont des nombres 
rationnels ou des nombres de Liouville correspondant à I, L, M, 
N(3). 

Remarque II. — On peut montrer qu'en deliors des fractions 
continues quasi-périodiques racines des équations (^), où L, M, N 
sont des nombres correspondants de Liouville tels que, pour une 
infinité de valeurs de m, [L — L,„|, [M — M,„|, |N — N,,,] sont 
plus petits que Q,,;^*^"*, avec cp,„ ^ Qj„ (9,, 0' fixes > o), il J a 
d'autres fractions continues quasi-périodiques qui sont des noni- 



(') Au sens de la note (^), début du § HI. 

(^) C'est le cas quand L, M, i\ sont des polynômes à coefficients entiers formés 
avec I, et que I satisfait aux conditions du corollaire I du théorème I ; la condi- 
tion (5) est en eiïct ici remplacée simplement par 

'og ïj+i > ïi'"^ (w constante convenable > o ), 

et les calculs sont à peu prés les mêmes que pour le corollaire I. Pour les 
nombres de Liouville T qui satisfont à ce corollaire, le théorème II est appli- 
cable, L, M, N étant des polynômes en l à coefficients entiers. 

(^) R satisfait aux conditions mentionnées à la fin de la note (-), début du 
§ III. On peut encore se demander si X peut avoir tous ses quotients incomplets 
limités. 



- 24:; — 

Ijrcs Iransrefidanls. Je me (•onlcnlciiii (IiîmImiimt rcl cxcmplr ( ' ) ' 
les IViiclioiis (•oiiliimcs ; A„ 1 i : /^ I i I /^j H . . . (piasi-ixirlo- 
diques, où les pôiiodcs commencent loiitcs à />,, quand ^)_, der- 
nier ler'iiie de la péiiodc; de la n"""' siiile .v,^ de périodes, cL A„, 
nombre des termes de celle péiiode, croissent ni(l«'dinimenl avec'/, 
(l(î façon fpic />,„;_: 0"///. (d" eonslante). (jià(;<; à c(;ILe dernière con- 
dilion, on est sur cpie ç n'est pas un nond)r<Mle Liouvdie ; c'est 
d'ailleurs un nond)ic transcendant si V/, A,,' croît suffisamment vite 
avec /i. 

IV. 

En terminant, je mentionnerai encore les résultats suivants que 
l'on obtient en a|)pliquant à l'écpialion (ty his) de notre Introd. 
transe, ((^haj). VII, p. i3o) des raisonnements et calculs sem- 
blables à ceux (pii accompagnent les écjuations (5) et (6) ci-dessus 
et qui aboutissent au corollaire l du théorème 1 : 

Soit V r irrationnelle positive c„ -|- i : c, + i : C2 H- • . • d'ordre 
> ('3?o) dans la première classification des fractions continues 
o/^>(2^i) dans la deuxième. Quand l'ordre est {k, p) non 
infini, si les quotients incomplets principaux sont suffisam- 
ment espacés et les ciuotients précédents suffisamment petits 
par rapport à eux, la représentation q'"^^^^ (^^) de 1 dans le 
système de numération de base q est quasi-périodiciue. 

Quand l'ordre est infini et que 1 satisfait aux conditions du 
corollaire I du théorème /, la représentation q^f^aie j^ | ^^^ 
quasi-périodique. 

Tous les nombres I, pour lesquels f ai montré plus haut 
que y/1 est une fraction continue quasi-périodique^ ont leur 
représentation q^"^^^ quasi-périodique (^). 

Il résulte de là en particulier la certitude cpie les nombres de 

(') Pour la flémonsLralion, on s'appuiera sur Jnlrod. transe, Cliap. ^ tl, par- 
ticulièrement sur l'équation irréductible (3.), qui coïncide alors avec une des 
équations ( 8 ). 

(-) Il m'est arrivé aussi de dire ailleurs plus simplement, mais moins rorrecle- 
mcnt : décimale dans le système de base q. 

(^) Une condition suffisante de quasi-périodicité de cette représentation est en 
elïet 'f,,, > Q,„, pour une infinité de valeurs de m, condition qui est une consé- 
quence de ( \ ). 



— ^22(1 — 

Lioiiville d'ordre infini considéi'cs au corollaire I du ihéorème I 
ont des analo<;ies loul à fait profondes avec les nombres rationnels. 
Pour les nombres de Liouville d'ordre fini, il y a encore beaucoup 
d'analogies ; mais jusqu'ici il n'est pas établi qu'elles soient aussi 
in limes. 

J'énoncerai encore ces propriétés: 

Le nombre e, ha^e des logaritJuncs népériens, ne peut être 
racine d^ aucune équation algébrique dont les coefficients sont 
des nombres de Liouville correspondants, tels que [note (2), 
début du § lll] ^m'^Q,mi lima„i=oo, pour m = ce. C'est en 
particulier le cas quand les coefficients sont des polynômes 
en I à coefficients entiers^ I satisfaisant aux conditions du 
corollaire I du théorème l. 

La démonslralion n'est qu'une modification d'une démonstration 
classique (*) (Joudan, Cours d^ Analyse lithographie de l'École 
Polytechnique). 

rt' (a entier^) et l sont transcendants quand! est un nombre 
de Liouville tel que, pour une infinité de valeurs de m., <0m^ Qm 
ou <fm = ^mQm (^m comiuc ci-dcssus) respcctivemcnt (-) ; c'est le 
cas quand I satisfait aux conditions du corollaire I du théo- 
rème /. 

Je finirai en indiquant des cas étendus 011 un quotient conver- 
gent de produits infinis est un nombre transcendant de Liouville. 

Soit I = A h b ' '''^ pt^ireil quotient, oà les an et les bn 



(') En cours d'impression, j'ajouterai qu'une dénionslration analogue permet 
d'établir la propriété plus générale suivante, qui a des extensions : 

Soient J,, ..., J.^, I,, ..,, I^ des fractions rationnelles à coefficients entiers réels 
ou imaginaires formés avec un même nombre de Liouville I réel ou imaginaire 
d'ordre assez grand : les I„ ayant des valeurs distinctes et les J„7io, on n'a 

V 

aucune identité de la forme Vj.e'n = 0. — Conséquences : eh'~ et sint sont 

1 
transcendants; si e' est algébrique >o, x est une fraction continue d'ordre 
limité; lognépjj-, où y est algébrique >i, est une fraction continue d'ordre 
limité. 

(2) On se base sur des relations analogues à (5.) et (6,) de notre Introd. 
//•a/isc. Cliap. VII, p. i.V|. 



_ 2127 

sn/if (Jrs; rnders rrcis nu (ni(i<^in(Lir('!i, cl c„^rza„ — b„. Les r„ 
(Udnt (loum'-s, si la croissdficr. di's \l),t\ est sfij/lsainnient rapide 

ou encore, si r ordre de l<( foiielion, supposée entière^ 7 J^n ^'^ 

est suj)is(n)U}ieiil petit ^ I est un nouthre transcendant de lÀou- 
ville. 

Exemple : o <^ | c,, | f^ y nombre Ji.re^ bu =z I^[^'a(/0^'^^"1 -> ^^^ 
k entier Tl 3, p >► o, lim z„ = o pour /? = x. 

La déinonslralioii se (l<''diMJ de rideiilité 

I = I -H c,6,i-T- 02/^2' ït-H. . .+ c/i^r.'iw 1+. . ., 

où 

ï/i=l*«Q/7', P,i = ^,«2- • .«//, Q/i= ^1^2- ..^«. 

On a 

I — ^/i = C//-t-l ^rtll ^«-+~ C«+2^«l2 I« + l -f-. . . , 

el II suffit de faire en sorte que | l — t« | <C | Q// 1 °' pour une infi- 
nité de valeurs de n si grand cjue soit a. 



SUR LES REPRÉSENTATIONS NUMÉRIQUES DES ENSEMBLES; 
Par ]M. CoMBi'BiAc. 

Lorsqu'un ensemble M ayant, comme l'espace ponctuel, la puis- 
sance du continu, est rapporté à un système de n coordonnées, 
celui-ci détermine n infinités ou faisceaux d'ensembles qui jouis- 
sent des propriétés suivantes : chaque ensemble a la puissance du 
continu; chacun des faisceaux (dont les éléments sont constitués 
parées ensembles) a également la puissance du continu; un élé- 
ment quelconque de M appartient à un et à un seul ensemble de 
chaque faisceau; n ensembles pris respectivement dans les n fais- 
ceaux ont toujours un et un seul élément commun. Réciproque- 
ment, si l'on a déterminé, dans l'ensemble M, n faisceaux d'en- 
sembles satisfaisant à ces conditions, il suffit évidemment, pour 
rapporter M à un système de n coordonnées, de réaliser une ap- 
plication de chacun des faisceaux sur le continu numérique, ce qui 
est toujours possible, et d'une infinité de manières, puisque 
chaque faisceau a la puissance du continu. 



— 248 — 

Pour se (aire une idée du de^^ré d'indtîterminalion que comporte 
la dé(iiiilion d'un pareil sjslèrne, on |)eut le concevoir comme en- 
gendré par le procédé exposé ci-dessous. 

On [)eut répartir les éléments de M dans des enscnd)les M/ ayant 
tous la puissance du continu et constituant eux-mêmes les élé- 
ments d'un ensemble (ou faisceau) jM/', ayant également la j)uis- 
sance du continu; c'est ce qui est réalisé, pour res{)ace, par une 
infinité simple de surfaces convenablement choisies. J^es en- 
sembles M/ ayant tous la même puissance, on peut répartir les 
éléments de M dans des ensembles My formés, chacun, en pie- 
iiant un et un seul élément de chaque ensemble M/. On obtient 
ainsi deux faisceaux j M/ 1 et [My ■ tels que tout élément de M ap- 
partient toujours à un et à un seul ensemble de chacun des fais- 
ceaux et que deux ensembles pris dans des faisceaux différents 
ont toujours un et un seid élément commun. Si l'on détermine, 
pour chacun des faisceaux, une représentation numérique sim- 
ple, l'ensemble M se trouve rapporté à un système de deux coor- 
données. Il est à observer que le faisceau ordonné j M^ j [ou ) My j] 
détermine, sur chacun des ensembles My (ou M/), un ordre simple 
du type caractérisé par le continu numérique. 

On peut poursuivre l'opération en appliquant à un ensemble M^' 
du faisceau \Mi\ le même traitement qu'à l'ensemble M; on ré- 
partit ainsi les éléments de M, , d'une part, dans des ensembles M^ yj 
et, d'autre part, dans des ensembles M,^;;. , qui jouissent, par rap- 
port à M/, des mêmes propriétés que les ensembles M/ et My par 
rapport à M. En réunissant les éléments de tous les ensembles My 
qui ont des éléments communs avec un même ensemble M, ;;, on 
forme un ensemble Ma, et le faisceau [ Ma j des ensembles déier- 
niinés par ce procédé jouit des mêmes propriétés que le fais- 
ceau jM/j et le faisceau jM/j. On définirait de mênie, au moven 
des ensembles M,;^. , un faisceau ]Ma'| jouissant de ces mêmes 
propriétés. On reconnaît enfin que trois ensembles appartenant 
respectivement aux trois faisceaux JM/!, îM^i et (Maj ont tou- 
jours un et un seul élément commun. Si l'on définit pour ces trois 
faisceaux, qui ont la puissance du continu, des représentations 
numériques simples, l'ensemble M se trouve rapporté à un système 
de trois coordonnées. (Chacun des ensembles My est rinterseclion 
de deux ensembles appartenant respectivement aux faisceaux îMaÎ 



— ±1\) — 

ol iMy^', ol (vsl oidoimr pur les ('ns(Mnl)l('S dd l;iis((';m jM, J. 

Le pr()(!('(lé cxnosr (;i-(l('ssiis nciil (''\ Hlcmiiicnl rlic r('|)<'l('' ir»(l('- 
liniinonl . 

Ïj.'I iiolion (lu n()ml)i(Mlc dimcMisions u'(!Sl pns sprciah' ;ni\ Ivpcs 
<l'ordrc conlimis; elle pcul, iiolaiiinionl, v.lvc (''Icndiic aux ty|)es 
d'ordre parloul (/isjoi/ifs, c'{;sl-à-diro à (umix dans h^scpicls la 
notion de conlinuilé est rcniplacé(î par rcWc d(; conligiiYtft. (.'esl 
ainsi que loul cnscmhle dcnonibrahle peut elre dis[)os('; suivant 
des lahlcaux à double entrée, triple entrée, etc. Le proeédé à 
employer est le même que pour les ensembles ayant la puissance 
du continu. On peut en faire l'application à rcnsemble des 
nombres entiers positifs. 

On doit d'abord réj^artir ces nombres dans des ensembles 
dénombrabics constituant eux-mêmes les éléments d'un ensemble 
dénombrable; ce résultat peut être obtenu, par exemple, en écri- 
vant un nombre quelconque N sous la forme 

o\i2j — i est le produit des facteurs premiers impairs qui entrent 
dans la formation de IN, et en réunissant tous les nombres N pour 
lesquels la valeur de i est la même; on peut aussi obtenir une 
répartition semblable en réunissant les éléments pour lesquels le 
nombre j est le même. Si l'on range respectivement les en- 
sembles M/ et My ainsi obtenus suivant l'ordre de grandeur de 
leurs indices, les nombres naturels se trouvent disposés dans un 
tableau à double entrée, et, par suite, l'ensemble de ces nombres 
est rapporté à un système de deux coordonnées i cl j à ^aleurs 
entières. On peut poursuivre l'application du procédé en décom- 
posant chacun des ensembles M/ comme il a été fait [)our M; il 
suffit pour cela d'écrire le nombre impair 2/ — i, (pu détermine 
les éléments de chacun de ces ensembles, sous la l'orme 

où P(/r) désigne le /(•^•""^ (p^^' ordre de grandeur) des nombres 
non divisibles par 2 ou par 3. Les nombres «, k et A' consti- 
tuent alors, pour l'ensemble des nombres naturels, un système 
de trois coordonnées. 

XXXIV. i5 



-2:{() — 



SUR L'INTERPRÉTATION MÉCANIQUE DES TRANSFORMATIONS 
DE CONTACT INFINITÉSIMALES; 

Par M. E. Vessioï. 



\Àe a indiqué l)rièvenient, en divers passaj^es de sa Géométrie 
des transformations de contact, que la propagation d'un mouve- 
ment ondulatoire, conformément à la loi d'Hujghens, était l'image 
d'un groupe de transformations de contact à un paramètre, c'est- 
à-dire d'une transformation de contact infinitésimale. Il nous a 
paru intéressant d'exposer celte idée avec les développements 
qu'elle comporte. Nous avons raisonné dans l'espace à trois dimen- 
sions, et indi(|ué comment les résultats obtenus peuvent s'étendre 
à l'espace à n dimensions. Voici les principaux de ces résultats. 

Le mode de propagation supposé est défini par un système 
de oc^ surfaces d'onde caractéristiques, associées aux oc^ points 
[x^y^z) de l'espace; chacune d'elles représente la forme limite 
vers laquelle tend la surface, lieu des points atteints au bout du 
lexw^s dt par un ébranlement [)roduit au point (jc,j^, ^) correspon- 
dant. Supposons l'origine des coordonnées transportée en ce jjoint, 
et l'équation d'un plan tangent à celte surface prise sous la forme 

( I ) pX -+- rjY — Z — (p = o, 

de sorte que (/;, </, (v) sont des coordonnées tangentielles cou- 
rantes pour celle surface. Le système des surfaces caractéristiques 
est alors défini par une équation de la forme 

(-2) w = \Y{x,y, z,p,q). 

Et l'on peut dire que cette équation définit le mode de propagation. 
Si l'on imagine une onde origine quelconque, les formes suc- 
cessives de l'onde variable qui en résulte sont les transformées de 
l'onde origine par les diverses transformations d'un groupe de 
transformations de contact à un paramètre ^, qui représente le 
temps; et ce groupe est défini par les équations classiques : 

\ dl ()p dt 0(1 di ' Od ^ 0(1 

(3) 



/ dx àW 

\ dl ~ ()p ' 


dy _ d\N dz _ (m dW 
dt ôq ' dt ~ ^ Op ' '^ ô(j 


j dp ow 

\ dt ~ ôx 


0\\ dq 0\\ 0\\ 

^ ôz ' dt ~ ôv 'i ôz ' 



- ^i.U — 

où W rsl la foiu^tloii (|iii figure dans riujualion lanj^ciiliclli,' de la 
surface caraclcrisLicjuc. 

Kn inl('i;rant ce syslcme (.^) on (lélcrinirKMa complrlcinenl le 
mode de |)r()pn<;alion considéré. Mais on peni anssi le déteiinin(;r 
en cliercliant les larnilles d'ondes, c'esl-à-dire la famille (ies ondes 
successives issues d'une onde origine arbitraire. Une Icdie famille 
sera donnée par une équation 

de sorte qu'on a à trouver une fonction t des variables indépen- 
dantes (x,j', -g); elle est définie par l'équation aux dérixt-es par- 
tielles 



(5) 




dt dt \ 



dx ây \ 

••^'^•--ST'-^ 1-^'="' 

dz (Jz / 



dont l'intégration est donc équivalente à l'intégration du sys- 
tème (3). 

De là découle nne tbéorie géométrique extrêmement simple des 
équations aux dérivées partielles du premier ordre, comprenant 
aussi bien la théorie des intégrales complètes et le théorème de 
Jacobi que la théorie des caractéristiques. La seule particularité 
de l'équation (5) est de ne pas contenir explicitement la l'onction 
inconnue t. 

On arrive à des résultats plus sjmétri(jues en supposant l'équa- 
tion du plan tangent à la surface caractéristique prise sous la 
forme 

(G) aZ + pY-^ vZ-i = o. 

L'équation tangentielle est alors de la forme 

(7) n(:r,jr,-,a, (3, Y) = i, 

où l'on peut toujours supposer que H est homogène de degré un 
en a, j3, y. Cette équation (7), en posant 

ôt dt ^ dt 

est aussi l'équation aux dérivées partielles des familles d'ondes; et 



— 2:^-2 — 



dx 0\\ 

\ tft ~ O'x ' 


dt 


dï\ 


dz oU 
dt ~ ô-; * 


i d-x '/Il 
dt O.r 


d'i 
df 


ou 


dz m\ 

df ~~ ^ 



les équalions du ijroiipe de Iransformalions de contacl prennenl 
la forme homogène connue, analogue à celle des équations cano- 
niques d'Hamilton, 



^1) 



L'inUTN enlion du groupe de Iransforuialions de contact dans la 
théorie ondulatoire conduit à considérei- les trajectoires de la pro- 
pagation, qui seront définies |)ar le système (3), par exemple, en 
V considéiant /). q comme des inconnues auxiliaires. On définit ces 
trajectoires directement par un système diflerenliel analogue aux 
équations de Lagrange en mécanique, en définissant les surfaces 
d'ondes caractéristiques par leur équation ponctuelle générale 

(lo) S(:r. V, j. \, V. Z I = 1. 

où l'on peut supposer que Ù est homogène de degré un en X. \ . Z. 
Le système difiérentiel des trajectoires est alors 

\ dt \0x J Ox 
' d l'dQ. \ oil 

I d [àd \ oil 

f dt[:iF)-7rz ="' 

avec l'équation de condition 

(12) Q(x.y,z,x\y. z' ) = 1 

11 exprime que la variation de l'intégrale 
(i3) jQ{x,y,z,dx,dy.dz) 

est nulle, et que le temps / est précisément la valeur correspon- 
dante 

(i4) t^ j Q^x,y,z.dx.dy.dz) 

de celte intégrale. On peut, du re^te. interpréter l'intégrale (i3), 



- iXi — 

j>f•i^^ Ir loii;; (l'un iirc (l«M:niirl>c fjiielcoiM|iic% crmiiiic \r, temps rpic 
inellriiil un ('liiîmlenicnl ;*i ^^c |>roj)a;;er d'une cxlréiiiilc à l'ciiilrc 
rie cet arc, en suivant la conrije. 

ÎSous avons ainsi mut inleiprélation ;^«'oni<'lru|ue d un prohlème 
1res iiéru'ral de calcul des variations. La condition classique pour 
I»' rnininnim s'énonce alors sous la forme suivante: Soil M un 
jioinl (pielcofirpie d'une trajectoire; ce [)oint est l'origine d'ufie 
onde élémentaire infiniment petite 

la trajectoire, en partant de M, devra percer celle onde élémen- 
taire en un point où elle a ses deux courbures de même si;:nc, et 
où elle IfMirne sa concavité du côté de M. l-es arcs de trajectoires 
correspondent donc toujours à un minimum dans la durée de la 
propagation lorsrpie les surfaces d'onde caractéristiques ont leurs 
courbures toujours du même signe, et tournent toujours leur con- 
cavité vers leurs origines respectives. Ceci, bien entendu, sous la 
réserve que l'arc considéré ne contienne pas de couples de points 
conjugués (au sens de \\eierstra5Sy. 

La théorie précédente éclaire donc d'un jour ijien intéressant, 
non seulement les divers aspects de la théorie des équations aux 
dérivées partielles, mais encore ses rapports avec le calcul des 
variations. 

Elle inlerviendia uLllemenL dans LouLcs le» que:^tlons où inter- 
vient la variation d'une intégrale (i3); brachistochrones, équi- 
libre des fils, lignes géodésiques, problème général de la dyna- 
mique, etc. Dans ces divers cas, elle redonne intuitivement les 
théorèmes analoirucs aux théorèmes de Thomson et Tait; car ils 
expriment seulement que les arcs de trajectoires compris entre 
deux ondes d'une même famille correspondent à des temps égaux; 
et qu'en chaque point d'une onde, la direction de la trajectoire est 
liée à celle du plan tangent à l'onde par la relation géométrique 
qui résulte des trois premières formules (3) ou (g). 

Lie avait indiqué (*j le fait que l'intégration de Féqualion aux 
dérivées partielles de la .Mécanique 



(16 I 



( -— -h...-T-(-; — ) — 2L(J-,, ..., J-„ , - 2/i =0. 



(') Leipz'"fier BericUte, l. \LI, p. m'>. 



— 23i - 

revient à la dcterminalion du groupe de Iransformalions de conlacl 
fini a pour fonction caractérislique 



s/ri -^...-^ ni 

^^'^ s/i{\}-\-li) 

Nous retrouvons ce résultat sous une forme plus générale, et avec 
sa véritable origine, qui est dans le principe de la moindre action. 

Si la force vive d un système j- ne dé- 
pend que des coordonnées du sjstème, et non du temps, et s'il en 
est de même de la fonction des forces \]{x^j ...,^,i), les trajec- 
toires sont les mêmes que pour le mode de propagation ondula- 
toire dans lequel la surface d'onde caractéristique a pour équation 
ponctuelle générale 



(18) '2 v/U(a7i, . . .,^,i)T(a7i, . .., x,i I X,, . . ., X,i) = I ; 

mais ce qni correspond au temps t de ce mode de propagation, ce 
n'est pas en général le temps t du mouvement dynamique, mais 
l'action 

(19) T = •>. / /U(a7i, . . .,a^,i)T(;ri, .. .,Xnjdxx, ..., dxa), 

de sorte que l'on a 

( 20 ) dt 



di 



'l\}{Xx, . ..,Xa} 



On suppose dans cet énoncé que l'on a donné une valeur fixe à la 
constante des forces vives, et qu'on Ta fait entrer dans la fonc- 
tion U, de sorte que l'équation des forces vives serait 

(21 ) T(xi, . ..^x,i\ dxx^ ♦ . ., dx,i) = \}(xi, . . ., Xn)dt^. 

Cette identité de forme entre les trajectoires des problèmes de 
dynamique et de certains problèmes de propagation ondulatoire 
est certainement curieuse, quoique la diflérence dans la loi suivant 
laquelle sont parcourues les trajectoires lui ôte de son intérêt. Le 
parallèle classique entre la théorie de l'émission et la théorie des 
ondulations en peut être considéré comme un cas particulier, si 
Ton suppose que dans la théorie de rémission les corpuscules lu- 



I 



— ^2X\ — 

iiiiiiciix olxMSScnl à (1rs lois analogues ù ('elles de iiolic (lynan»i(|uc. 
INous éludieroris, dans un nuire travail, l(;s (;()iis(';(|ii(Mices à liior 
de ce pai'alléhsnie ^('iKiial pour l'irïh'^raliou des <':(|ualions de la 
Mécanic|ue. Il y auia lieu ('j;al(n!i(;nl d'c'îludier U; prohic'.'me do la lé- 
Iraclion, cl la propagation d'un chranlcnicnt dans un milieu dont 
la nature varie avec le temps. Nous avons voulu nous limiter, dans 
cette note, aux faits les plus simples. 

I. — OnDKS liT TKANSl'OItMATlONS I)K CONTACT. 

1. Considérons un milieu ('iastique bien défini; et supposons 
qu'un ébranlement de nature déterminée se propage dans ce milieu. 
Nous admettrons d'abord qne, si cet ébranlement s'est produit à 
l'origine en un point isolé A du milieu, au bout de cliaque temps / 
il atteint tous les points d'une surface ^x,f dont la forme est dé- 
terminée pour cbaque point A et pour chaque durée t. 

Nous admettrons ensuite que, si l'ébranlement se produit à l'o- 
rigine sur toute une courbe C, ou sur toute une surface S, il 
atteint au bout de chaque temps t tous les points de la multiplicité M 
enveloppe des surfaces <J[>^^ correspondant aux divers points de C, 
ou de S (respectivement). 

Si nous appelons onde le lieu des points atteints par l'ébranle- 
ment à un même instant, C ou S est l'onde origine, et ]M est ce 
qu'est devenue, au bout du temps t, cette onde origine. Et le 
principe que nous admettons peut s'appeler le principe de l'onde 
enveloppe. 

11 s'interprète immédiatement, dans la théorie des transforma- 
tions de contact. Le système des surfaces ^^.^ définit en ellet, pour 
chaque valeur de ^, une transformation de contact T^, et M est la 
transformée de l'onde origine (C ou S) par cette transformation. 

Donc à chaque niiliea élastique et à chaque nature d'ébran- 
lement pomant se produire dans ce milieu correspond une 
famille de transformations de contact T/^, de telle sorte que 
toute onde origine devient, au bout dAi temps t, une onde nou- 
velle qui est la transformée de Ponde origine peu- la transfor- 
mation ïf 

Soient ^Oî JK05 ^0 les coordonnées d'un point quelconque A, et 
x, y, z les coordonnées courantes. La surface <I*v, r avant pour 



— i2;i() — 

cqiialion 

celte équalion définit, comme l'on sait, la transformation de con- 
tact T^, en lui adjoignant les équations 

(2) < -^ 

Î2. Admettons de plus que les ébranlements considérés se pro- 
pagent conformément au principe d'Huv^hens, c'est-à-dire que 
Tonde origine S^, étant devenue au bout d'un temps quelconque t 
une cerlaine onde I, continue à se propager comme si cette onde S 
était, à partir de cet instant, l'onde origine. 

Cela revient à dire que la transformation de contact T^.^.; est 
identiqtie au produit T^ T^ , c'est-à-dire que les transformations 
de contact Tt forment un groupe à un paramètre, ayant t pour 
paramètre canonique. 

Dès lors, sous les hypothèses faites, à chaque milieu élastique 
et à cJiaque nature d^ ébranlements pouvant se propager dans 
ce milieu correspond une transformation de contact infinité- 
simcde ÎF, et toute onde existant à un instant quelconcjue se 
modifie successivement suivant les transformations de con- 
tact Tt du groupe à un paramètre qu'engendre Cr. 

Suivant les résultats de Lie, bien connus, si W(a:^y., z, p, q) 
est la fonction caractéristique de G, M^ s'obtient en intégrant entre 
o et ^, avec les valeurs initiales ^oiJKo? ^'oi Po^ qo-^ 'es équations 

' dx _ ÔV^ dy _ d\\ dz _ âW âW _ 

\ lït ~ ~dp ' 'dt "" ~~dïj ' Tît ~ ^^ ~ôp ~^ ^^ ~~(ki ' 

\ dp ()W _ d\M dq _ ù\\ d\\ 

' dJ ~~ Ux ~ ^~dz' dt ~ ~ ~dy ~ ^^ ~dz" 

La fonction V^ est donc caractéristique pour le milieu et la 
nature des ébranlements considérés. 

Elle est liée aux considérations géométriques suivantes. Repre- 
nons la surface ^^<^ , et construisons son homolhétique, par rapport 

au centre A d'homolliélie et au rapport d'homothétie -• Lorsque^ 



— "237 - 

Iciid vcis /,i;i<), celle li()nu)lli(''h<|ii(' Iciid V(;r> iiin; foiiiir liiiiilc M\, 
(HIC MOUS appellerons lu surface curdcLérisI Kfiia du niilicii^ 
(ty(tnl A pour origine, parée (\\\v. le syslèine (\v. ces siii laces M\ 
(léllnil, comme nous allons le voir, \v. mode d(; piopa^alion (T*'- 
I ) la n I e m e n Is co n s i d érés . 

Vax cHcl, <I>v / a pour écpialions, en posant 

et considérant /j>o, ^/y comme des paramètres, 



oc — i27(j -T— t 









les termes non écrits étant d'ordre supérieur en t. L'Iiomotliéticpie 
considérée aura pour équations 



^nvo 

opo 



r =JKo + 



Ogo 



r)Wo r)VVo ,,, 

âpo ôqo 

les termes non écrits contenant le facteur t. La surface Wx est donc 
représentée, en transportant les axes au point A, par les écpia- 
tions 

Opo àqo ()(jo Ofjo 

Si l'on dififérentie |)ar rapport à Pq, rjQ, on en conclut 

po dX -htÇo d\ — <^Z = o, 

et par suite /^o? ^/o^ — * •'^ont les coefficients de direction dn plan 
tangent à ^\ au point X, Y, Z qui a pour coordonnées curvi- 
lignes y^o? ^0- Et ré(|uation du plan langent est 

( j ) py)^ -\- '/o \ — /' — ^^'l) = o. 



— 2:{8 — 

La fonction caractéristique W correspond donc à l'équation 
tangentielle de la surface caractéristique M\ du milieu^ en ce 
sens que, si l'éqnallon du plan langent à la surface d'origine A est, 
en transportant les axes en A, 

{ 6 ) Po^ -^ f]y) Y — Z — iio = <», 

l'équation tangenliellc est 

(7) "-•o= ^(^0-^0- -0-/^0, <7o), 

où ^0, yQ, z^ sont les coordonnées du point A. Les surfaces M\ 
définissent donc entièrement la fonction W. et, par conséquent, 
le mode de propagation des ébranlements considérés, dans le mi- 
lieu considéré. 

On peut encore substituer à la surface M\ son homothétique 
prise avec A pour centre d'homothétie et <y^ pour rapport d liomo- 
tliétie; c'est ce que nous appellerons Vonde élémentaire qui a A 
pour origine. Ses équations, toujours avec A pour origine des 
coordonnées, sont : 

A = - — dt, \ = - — dt, Z = /?o -; H '/o -, ^^ dt. 

Si A' est le point de cette onde élémentaire, pour lequel le plan 
langent a pour coefficients de direction /?oî ^Joi — i? ^es compo- 
santes du vecteur AA' sont les ditrérentielles dxQ^ ^J'c (^^0 pour 
Télément de contact E(j7oyoi ^oj/^o- '/o)* 

Pour avoir les différentielles dpo, dqo^ il suffit de chercher 
l'élément de contact commun à toutes les ondes élémentaires a^ant 
pour origines des points infiniment voisins de A dans félément de 
contact E. Londe élémentaire d'origine A ayant pour équations 

dp 

•^ -^ ôq ' 



-0 — /? 



t)\V( -r,,. Vq. z,,. p, g) 
Op 

d\W(X(,. fi,. z„. p. g ) ^ 

0<l 



Wurp^jo-/', 7^ Y^^' 



nous .niroiis, pour Iroiivcr cet clcmcnl de conlucl cuiaclcrislique, 
les t''(|iialions 

o = c.r,, -h — — — (U. 

Op 

(, = ôjo -H •— '- ci/, 

d'où l'on conclut, Zxq cl oy„ élanl arbitraires, 

y,.-/.- [^ ^^^ +/.0 ;^^^ J dt = o, 



70 



— 7 — ^ ^ h 7o ^ — — dl ■= o. 



On voit donc que p^ q tendent vers />,), <7oi lorsque ^^ tend vers 
zéro, et que les parties principales de p — /^o, </ — ^o sont préci- 
sément données par les mêmes équations qui dé(inissent les difle- 
rentielles dp^ dq dans les équations (3). 

L'interprétation géométrique des équations (3) au moyen de 
l'onde élémentaire est ainsi complète. 

On peut encore dire, d'après les principes des approximations 
successives, que la propagation de V ébranlement se fait par 
ondes élémentaires successives, dt étant alors infiniment petit. 

3. On peut remplacer les équations (3) de la propagation des 
ondes par des équations plus symétriques, analogues aux équa- 
tions canoniques d^ Ilamilton. 11 suffit de mettre l'équation tan- 
gentielle de la surface caractéristique ^\ sous une forme symé- 
trique. 

Nous écrirons dans ce qui suivra x^y^ z pour les coordonnées 
de A; et />, </ à la place de /?o, '/o- ^^e plan langent courant de ^l\ 
étant 

(8) pX-i-q\ — Z — w = o, 

son équation langentielle était 

(9) iv = \V(x, 7. z, /?, 7), 



-- 2i0 — 
Prenons le plan langent sous la forme 

(lo) a\ -f- ,3Y -h yZ — TO = o, 

et son équation tangentielle pourra s'écrire 
(il) w= U{x,y, z, a, fi, Y), 

où II sera homogène et du premier degré en a, ,j, -/. On aura de 
plus les formules d'identification 

T Y T 

(i3) -(37,7,^, a, [3, Y) = — Y W(^^, jK, 5, ^, '^\ > 

On en conclut immédiatement, vu l'homogénéité de II et de ses 
dérivées, 
, . dx _dW dy _dW dz _ ôM 

' 'dt ~ Ih' 'dt~d^' dt^~ô^'' 

et, |)ar un calcul facile, 

r/a du ^3 OU dy àU. di^ 

— H - H — *- H 

, ,, dt ùx dt Oy dt dz dt 

a p Y ^ 

Le dernier rapport s'obtient par combinaison des autres, en te- 
nant compte de l'homogénéité de H, de l'équation (i i) et des écpia- 
lions (i5). 

Pour obtenir des formules simples, on s'imposera la condition 

(»7) rn=: I, 

ce qui donnera les écpiations 



§=- 


ù\\ d^^ ù\\ 
ôx dt ~ ôy' 


^Y_ 
dt ~ 


OU 

àz 


avec la condition 








(19) 


n(;r,7, z, a, 3, y) 


= I. 





Cette dernière équation demeure l'équation tangentielle de U\, 
l'équation du plan tangent s'écrivant désormais 

i'^o) -aX + 3Y -^ yZ — i = o. 



- 241 - 

Los (''(jnalions nnnonr(';os soiil les «'(jii.ilions ( i 5 j cl (iHj, où il 
finit observer f|iie II osl homogène de degré i en a, [j, v. lOlJes dc- 
vronl èlre iiiLé<>r(''es en lerianL coniple de (k)). Mais il (aiil reinai*- 
(|iicr(nie rinlégraK; prc^nièrcî II = consl. résiillcde (i;>) et (i^), <'| 
(Hie ron pourrait reinpiaecr Tii) poliicse ttt = i par Thypollièse plus 
générale T;T = consL, sans altérer les calculs pn'cédfMits. La setde 
pinlicularilc' (|ul subsiste réellement est donc rc^lalivc; à l'Iiomo- 
généité de II. 

Remarquons enfin que, à cause de (*ettc liomogénéih', la con- 
dition (i()) se remplace par 

(21) a r/.r H- ^ dy -h -( dz — dt = o, 

1 • 1 IV '. • / / • 1 dx dy dz 

qui résulte aussi de I interprétation géométrique de -1-1 -y- j —', 

car ce n'est alors que l'équation (20) du plan tangent à U'^. 

i. On peut encore se débarrasser de l'hypothèse relative à l'ho- 
mogénéité de TT. Supposons en effet que, l'équation du plan lan- 
gent courant à la surface caractéristique W ^ étant toujours su[)posée 
écrite sous la forme 



(20: 



aX-f- ^Y-h yZ — r = o, 



Téquation langentielle de cette surface soit donnée sous une forme 
quelconque 



(22) 



T(.r, jK, ^, a, (3, t) = o- 



Cette équation est équivalente à (19), qni s'en tirerait en résol- 
vant par rapport à 7TT l'équation (22) rendue homogène, c'est-à-dire 



(23) 



W = W hr 



r. 



P 



— ? — > — 

m m w 



et en faisant tû7 = i dans l'équation (i 1) ainsi obtenue. 

On en conclut qne, moyennant (23), on a identiquement 



-— dx 

Ox 






dy 



dW , I 
— dz 

Oz m 



d\\ = 



ù^V 



r/a 



m 



0(1 



'® 



,[ 



rMr 



—;:-+? 



â^V 



on^ ] 



[^) 



TTT 



J 



] 



— ^12 — 



e{, par conséquent, 



— = M — , -— = iM -— , — = M — , 

Ox 0.r ôy II y Oz ()z 



0. rn J.X 0^ r. /^X .^ ^ ^/ y 



(a) 

I I 

M ~ ^' 



7TT / \ T7T 






Et, dans l'iiypollièse (17), c'est-à-dire (19), c'est-à-dire (22), on a 
donc 

-- - IM — , — = M — , = M — , 

Ox ox' dy Oy oz oz 

âU ^, dW du „ dW du ,^ dW 

dot doL d'^ d^ d^( d^; 

I _ dW _^ ^^ dW ^ dW 

U^^d^'^^d^^^^'d^' 

De sorte que le système (i5), (18), (19) peut se remplacer par 
le système 

(Il ^ d^ _ d-[ _ dx dy dz 

^ ^' * ^ d¥ " d¥ ~ d^ ^ ~dW ^ IW ^ IJW — ^'' 

dx dy dz dy. d'^ d-( 

i'j.i) ^I'(^, J, iJ, a, p, Y) = o; 

dont l'intégration revient à celle du système (24)5 (22), de forme 
entièrement analogue à celle du système (i5), (18), (19), et à une 
quadrature. Et, dans ces équations, la fonction W est absolument 
quelconque. 

INlais, si l'on y remplaçait l'équation (22) par une autre, de la 
forme 

W(a7, jK, -, «, P, y) == const., 

on n'obtiendrait plus la représentation du même groupe de trans- 
formations de contact. Tandis que, au numéro précédent, rem- 
placer (19) [)dr une équation II = consl. revient à remplacer scu- 






— 2i:i — 

leincnl t par //, où A* esl une conslante; ce qui n'allrrc pas le 
rotipe lie traiisfonnalions de contacl considéré. 
\u point de vue j^éoniélricpie, le syslcme des surfaces caraclé- 
rislicpies ^V =z k (où A* est constant) est essenlielleincnt did/n-ent 
de celui des surfaces ('^.2) ; tandis (|ue le système des surfaces II = /f 
a même forme (jue celui des surfaces II = i . 

Remarquons encore que l'équation (aS) peut se remplacer par 
Téquation 

(•21) 'xdx -\- '^ dy -I- Y dz — dl — o. 

Ce qui résulte aussi de rintégration géométrique des quantités 

d.r dv dz , , , 1 

-r-» -V-» -7- j comme au numéro précèdent. 

at dt dl *■ 

On |)()urraiL supposer, en particulier, que l'équation (22) soit 
de la forme 

^V = G(x, j-, z, a, p, y) — 1 =: o, 

G étant homogène de degré m eu a, p, y- on a alors le système ca- 
nonique 



(24 his) 



avec la condition 

{').i bis) G{x, 7, z, ce, % Y) = ïi 

et, pour déterminer le temps, la formule simple 
{•>.') bis) dt = ni d-. 

On pourra donc remplacer t par t sans altérer le groupe de 
transformations de contact; et l'on pourra aussi, pour les raisons 
expliquées plus haut, su|)primer la condition (9/2 Ois). Tout cela 
revenant à changer seulement l'unité de tem|)s. 

II. — PROBLKMIi:S d'iNTKGRATION. 

-5. Le problème d'intégration de la théorie [)réeédente consiste 
à déterminer la propagation d'une onde quclcon^pie connaissant le 
système des surfaces caractérisli(jues, c'est-à-dire le système des 



dx 
d- ~ 


()G 


dy aG 
d' " o'p' 


dz 

dz ~~ 


ÔG 


d'X 

d- "" 


ux 


d'^ _ ()G 
d-z ~' dy' 


d-; 
dx " 


ÔG 
Oz ' 



— ±H — 

ondes ciciiicnlaircs corrHîspondanl à (diaf|iie point (1(; niilicii. 
Ce pi'oblème sera résolu si J'on d(Ucrmine les éqnalions finies 
d«i groupe de Iransformalions de eonlaet cjui correspond au niode 
de propagalion considéré, c'esl-à-dire si l'on intègre le s^slème (3). 
Soient, en efï'el, 

I .r == a; (.ro, jo, xjo, />o, 7» \n^ 

I q = '^(.ro,j)'o, -o,/>o, '/o I O. 

les équations ainsi obtenues, où / = o correspond à la Iransfor- 
ination identique. Si l'onde origine est donnée, on ])ourr"a sup- 
poser que ses éléments de contact (^ovj^^o? ^'oi Pm Ço) •''Ont donnés 
en fonction de deux paramètres, et, en portant ces expressions 
dans les formules ('>■('>), on aura Tonde qui en résulte au bout du 
temps t. 

Mais on j)eut prendre la cpieslion autrement en cliercliant direc- 
lement les familles d'ondes^ c'est-à-dire l'ensemble des ondes 
issues successivement d urie même onde origine. L'équalion géné- 
rale d'une telle famille peut être supposée mise sous la forme 



(■^-7) 



fix.y, z) = t, 



et tout revient à chercher hîs fonctions /" correspondantes, 
Si nous associons à l'équation (a^j) le système 



(28) 



^1 

ùx 



àf 



^ ôz ' dy 



^f , ^^V 



ôz 



de manière à obtenir le système qui définit l'ensemble des élé- 
ments de contact de l'onde origine, la condition nécessaire et suf- 
fisante qui détermine/' s'obtiendra en écrivant (jue ce système {'>■']), 
(28) est invariant par la transformation infinitésimale 



Ot ' dp Ox ôq ôy ' \' ùp 
~ \ Ox ^ ~dz l'ôp 



âW 

/Ô\V 



ox 



r)\\\ ÔF 



Oz ) Oq 
Comme cette transformation change loulc multiplicité en une 



- ûi:\ - 

iniillipllc.ilé, Il siillira <r()|)(;r(îr sur r(''(jii;il ion ('>7J. Ou v(''iili(!i;ill , 
(lu r('sl(\ par un c.tlcul duccl , «pn; les coïKlilioiis (juV)u obtiendrait 
<'ti opc'rant sni- les éfiualious ('.>.H) sont des (*ouséfjiiences de celle 
(|ue nous allons ohleuir. 
Nous ('('rivons donc, (pi(î 



h • h 1 P h q W 

ôp ().r ()(/ i)y y ()[) ' 0(/ j ()z 



— I = (I 



<\sl une conséfjucncc des (3([iiations (^-7), (^^), ce (jui se r(''dnil à 
l'équation 

{•>\)) :r- W| ./•,/, 5, --jj^^ -^ 1 + 1 = 0. 

ôz ôl 

La condition nécessaire et sutTisante cherchée est donc que f soit 
une intégrale de cette é([nation aux dérivées partielles (29). 

Les considérations précédentes nous fournissent alors tous les 
faits essentiels relatifs à l'intégration de cette équation. 

D'abord elle admet une solution, et une seule, telle que l'équa- 
tion (27) se réduise, pour ^ = o, «à l'équation d'une surface donnée ; 
ce qui caractérise le degré de généralité de l'intégrale générale 
de (29). 

Ensuite, l'intégration de (29) resuite de celle du système (3), 
puisque, si l'on remplace dans les équations (26) ^05 J'oi ^0)/?oi '/o 
par les fonctions de deux paramètres «, v correspondant à une 
onde origine arbitraire, il ny a qu'à résoudre par rapport à ^, en 
éliminant u et r, les trois premières é(|uations (26) pour obtenli* 
la solution générale (12) cherchée. On ])eut, par exemple, prendre 
l'onde origine 

'Ou " ^ ôv ^' du Oi> ' 

Po = u, (h = ^'1 

étant une fonction arbitraire de a et v seulement. 

0. On voit aussi qu'inversement l'intégration de l'équation aux 

dérivées partielles (2g) entraîne celle du svslèine (3) (jui lui est 

associé. Car, pour avoir le mouvement d'un élément de contact 

quelconque, il sullira de [)rcndre deux ondes origines qui aient 

xxxiv. 16 



- 240 - 

en commun ce seul élémenl do conlacl. \jC?> ondes qui en résulle- 
l'onL auront conslammcul en commun un élément de contact, qui, 
pour chaque valeur de /, sera la position de l'élément de contact 
initial considéré. 

Pour pouvoir appliquer cette méthode, il sulfit même de con- 
naître 00^ ramilles d'ondes; car, parmi hîs oo"* ondes origines, il v 
en aura une passant par un élément de contact E© arbitrairement 
donné, que l'on pourra considérer comme commun à cette onde 
origine et à deux autres ondes origines infiniment voisines conve- 
nablement choisies. 

Supposons, à cet elfel, que l'on connaisse une intégrale de (29), 
dépendant essentiellement de deux constantes arbitraires non ad- 
ditives. Soit /(o^:^ jr, ^, et, h) cette inlégrale. I^es x^ ondes origines 
à considérer seront définies par l^é(|uation 

(3i) f{^. y, z,a,b)^c\ 

le point de contact de Tune d'elles, avec deux ondes infiniment 
voisines (du même système) quelconques, s'obtient en adjoignant 
à celte équation (3i) les deux équations 

et l'élément de contact commun est défini par (3i), (32) et 

(33) f-/'f = ". ^+-7^ = - 
ox ^ oz ay ^ oz 

Pour passer de là à la position de cet élément au bout du temps /, 
il n'j a qu'à remplacer l'équation (01) par Téquation 

(34) f{x,y,z,a,b) = c-^t, 

qui donne ce que sont devenues alors les oo^ ondes (3i). 

En résumé, l'intégrale générale du système (3) est donnée par 

f{x,y, z,a,b)-^c-^t, 
(35) 

d.v 



da ' 


TTb-^' 






àf ^ 0/ 
Oy ^ Oz 






- 4i7 - 

i)ù !(*s ciiKi (*()risl;nil('s r/, /y, r, n\ h' doivciil, rlic (h'îlcrnimocs par 
les (M)ii(liLi()iis mil kiIcs. 

Eiiiin, comme une ondi; ()ri<;in(; (HM;l(;()nf|ii<' pourra rlic coiiîii- 
(lérée (M)mm{^ Tenvcloppo (l<; oc- ondes orii;iiies (ii) eoi)venal>le- 
ment choisies 

f(x,y, z, a, h) ^ fid, h ), 

([iii devienneni, au houl du lenips /, 

la solulion générale de réquation {'>A)) s'ohliendrail en liianl ri 
cl h des é(jualions 

(3-) ¥ .''x.,, <>■/. .'»/. 






et en porlanl les valeurs trouvées dans (36) ; la fonction y étant 
alors une fonction arbitraire. 



7. En reprenant les notations des n"^ 3 et 4, on j)eut renij)laccr 
l'écpiation aux dérivées partielles (29) par une éfpiation quelconque 
ne contenant pas la fonction inconnue. 

L'idenlité (i/j) donne 



df of 



àf àf 



dz Oz / \ dz ôz 

el, à cause de riiomogénéité de II, 1 é()uation (29) se réduit à 

Pour simplifier les notations, remarquons que trouver une é(jua- 
tion de la forme (29) revient à calculer t comme fonction de jc^ 
y, z, c'est-à-dire (|u'on peut rera[)lacer dans ce qui précède la 
lettre / par la lettre t; et, si l'on pose 



(39) 

l'équation (19) 
<''9) 



a = 



dx 






ôl 
ûz 



Il(r,j. 3. a, 3, Y)=:i 



— -2AH — 

fsl déjà réqualion aux dérlvres parlicllcs (3<S) à hK|iiell(' nous 
sommes arrivés. 

Toutes les théories des n'" 5, 6 (théorie des caractéristiques et 
théorie des intégrales comphHes) s'appliquent immédiatement à 
cette équation, en remplaçant le système (3) par le système qu'on 
en a déduit au n" 3 par changement de variables, c'est-à-dire 

dx _ dy _ dz _ ^^ _ ''^'^ _ ^h „ /, . 

ox ù^ t^Y ^-^ *^y ^^ 



edua- 



auquel il laut adjoindre l'équation de condition (19) 
lion (33) devra aussi être remplacée par les équivalentes 

^ ¥_ df 

dx ()y dz 

8. (3n peut enfin, comme au n" i, remplacer l'équalion (19) par 
une équation équivalente de forme quelconque 

{'>:>.) ^I'(^, JK, -, a, îi, 7)-<>. 

Il n'y aura qu'à rem|)lacer le système (4^)) [>ar le système ('^4)? ( ^5) 

(40 



dx 


dy 


dz 




dt 


d'j. 
Ox 


d'^ 
dy 


d-r 


0% 






Oz 



KiïCin l'équation {'n), qui y est implicitement contenue, s'écrit 

(21) dt — y. dx -t- |3 c// -f- Y dz 

et s'accorde entièrement avec les notations (39), pour les déri- 
vées partielles. 

9. On voit ainsi comment l'équalion générale des surfaces ca- 
ractéristiques Wx peut s'interpréter comme l'équalion aux déri- 
vées partielles des familles d'ondes. On peut expliquer ce fait 
géométriquement, sans faire appel à la théorie des groupes de 
transformations invoquée au n"* o. 

Ecrivons en ellet que la surface 

(U) f(x, y, z) = t-r-ot 



- ±i\) — 

est lanj'cnlc à (liaciiiM; des ondes «''h'fnrnlaircîs issues des divers 
poinls (./■„, r», ^(t) î>|>|>i>i'l<-n<'>nl à l'oiide, à l'iiislaiil /, c'esl-à-dlre 
lels que Ton ail 

L'équalion (4'^- ), quand on Iranspoile Toii^ine en nn tel point, 
devicDl 

/(.To H- X, yn 4- Y, Co -1- '/.) --^ l -r- 0/, 

et le plan langent en l'un de ses poinlsX = o^', Y z= oj', Vjzz^fjz 
est 



{\ — lx) 



-h(Y-3jo 



-f- (7. — rjZ) 



L'équation tangenlielle de Tonde élémentaire étant, d'autre part, 

om(^o,7o, -0, a, p, Y) — I = (), 
on a la condition 

0/ 



ûMl a^O'Jo, -0, 






= ÙX 



àf 



^y  



àf 



ÙZ 






Négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au premier, cette 
relation devient 



ô^ 



„/ àf ùf ôf\ . ùf . ôf . Of 



Et comme l'on a aussi 

f{xo-{- Bx, jKo + Sj, ^0 -+- ^^3) = / + 0/, 

qui se réduit, en y négligeant aussi les termes d'ordre suj)érieur 
au premier, et en tenant compte de (4^)) ^ 

àf . àf ^ df ^ 

ôxq dfo " àZf, 

il reste, en définitive, 

11(^^0,70,-0, —,-^^>,^-J = i- 



^250 



el, comme le point (.^o, J^oi ^o) est (|iielconque, c'est précisément 
J'é(juation aux dérivées partielles qu'il s'agissait de retrouver. 



III. — Li:S TIlAJIiCTOIIUiS. 

10. Nous appellerons Irajecloire, dans le mode de propagation 
considéré, le lieu des j)Osilions successives du point faisant partie 
d'un élément de conlact quelconque dans le mouvement de cet 
élément de contact, (^cs trajectoires s'obtiennent donc, par l'inté- 
gration du système (3), en considérant />, q comme des inconnues 
auxiliaires, c'est-à-dire (ju'elics sont définies ])ar les trois pre- 
mières des équations ('^^)). Si l'on lient compte, comme cela a 
lieu dans ces équations, de la manière dont elles sont décrites, 
elles dépendent de cinq conslantes arbitraires; mais elles forment 
seulement un svstème de oo'' courbes de l'espace. 

On peut lt;s définir par un système dilïérentiel analogue aux 
équations de Lagiange en Dynamique. 

Nous inlroduitons à cet elTet l'équation |)onctueIle de la surface 
caractéristique du milieu, c'esl-à-dire de la surface W,^. Soit 

(4.0 Q(x,j^,z,X,Y, Zj = i 

cette équation. Nous pouvons suj)poser que 12 est Iiomogène et du 
premier degié en X, Y, Z; ou le montrerait en partant d'une 
forme quelconque de l'équation de cette surface, en la rendant 
homogène et en résolvant par rapport à la variable d'homogénéilé, 
comme on a fait, dans une circonstance arjalogue, au n" i. On est, 
du reste, nalurellement conduit à introduire cette forme particu- 
lière d'équation, psirce (prelle donne immédiatement l'équation 
de Tonde élémentaire qui serait 

(45) Q{x,y,z,\,\/L) = dt. 

Ecrivons (jue cette surface (41) est la même que celle (|ui est 
définie, en coordonnées langentielles, par Téquation (19) 

('9) "(^,7, ^.«^ ?-7) = »• 

IjC [)lan laugenl à ( i 0' en un j)oinl quelconque 
\ = x\ Y = y, L = z. 



- !2:;i - 



;i pour (>(|ii;il loii 



(î<i) 



Oiî 



. on Oiî , Oiî , ou 



on 



^ÔF-^^^'-' '^'TJÏ' ^ •''' Ù -^ ^' ôy -""^ ôi: 



VAX |)()s;«nl, pour jibré^er, 

il --. iU.r.y, z,.v\y\ z')\ 



el Ion a 



, OU , Oiî , on 
(le sorte ((lie celle é(juation (4^)) esl simphîiiKMil 



., Oiî ^ Oiî ,, Oiî 
Ox oy Oz 



On obliciulra done rc(jualion (19) er» posant 



l47) 



a = 



on 

Ox' 



o 

h» — 



on 



~ 'ôz'* 



et élimiiianl x\ y\ z' enlre (4;) ^' 

(48) n{T,y,z,x\y\z') = i. 

Viw snile, la relallon ditrérenlielle imlqnc (pii rc^suile de (19), 
e'esl-à-djre 



, , , on , on , on , on , on „, on , 

(49) -r- dx -^ -r- dy ^ -— d z -^ —- d'x -{- --- d^ -^ — - d-' 

^^•'' A^ Oy 0- i)t t^'< ~ li-r ' 



àx 



Oz 



0% 



O'i 



est une conséquence des lelations (47)7 (4^) cl de celles (piOn 
en déduit par dillerenlialion totale. '■ 

Or, en déduisant de l'équation tangentielie (19) réqualion 
ponctuelle correspondante, on serait conduit à écrire les relations 



(5o) 



, on 

c'a "^ 



on 






qui sont, par suilc, des conséquences de ( ^7) et (4^)' ^^ sorte 
(pie (49) devient 

(3 1) — dx -t- c— dy H dz ^ X dx -\- y di -r z d\' = o. 

^ Ox Oy "^ Oz -^ ' ' 



On lire alors de (f") 

-^ ^ ' \ ôxi Ox -^ dy dx dz'OxJ 



dx 2 -^ r^j' dx oz dx ; 



qui se réduit, à cause du degré d'Iiouiogénéilé de il el de ses 

dérivées partielles, à 

dQ oQ dQ 
x d% -T- y' f/3 ~ z' d-' = — dx -\- -^ dy ^ dz. 

^ ^ ' dx dy dz 

Et comme c'est la seule relation difTérenlIeile en dx^ dy^ dz, ^/a, 
d9j, d^r que Ton puisse tirer de (4;) et (48)i elle doit être iden- 
tique à (5i) si l'on tient compte des équations finies ( 47) et (4^)î 
c'est-à-dire que l'on a, comme conséquence du cliang^emenl des 
coordonnées tangentielles en coordonnées ponctuelles effectué, 
les identités 

,. , d\\ dÇi d\\ cyo o\\ ôQ 

(32) h-— =0, - — : =0, ^-— =0. 

dx dx dy Or dz dz 

Cela posé, le changement de variables en question se fait 

immédiatement dans les équations (i5), (18), (19). En comparant 

(i5) et (5o), on voit qu'il n'y a qu'à poser dans les formules 

précédentes 

. -o dx , dy , dz , 

^ dt dt -^ dt 

(Cela résulte d'ailleurs des considérations géométriques du n" 2.) 
Et les équations (18), comparées à (02) et à (47)» donnent le 
système annoncé 

j d :d(l\ dÇi _ 

l 'dt \dx'/ ~ ôx ~ ^' 

(54) ;il|^^\_^=o 

I d /dÇî\ dQ 

^ dt\d^')-dJ='' 

auquel il faut adjoindre l'équation (48) 
(4^) Q{x, y, z. x\ y, z' ) = i. 



- -2:j;{ — 

Ainsi so Iroiivcnl (i<'>(liii('s «lircclrniciil les li'ii|(M:l()ir('S ; ri, si 
Ton a mlôj^récc syslènic, on (mi (Irdiiil \r. iiioiivciimmiI des <';l(';in(;nts 
(l(^ ronlacl cu\-nicmcs un moyen des ('(jnalions (/\~). On :i donc 
là une forme nouvelle des (''(juahons (Thim; Iransfoinial ion de 
contact inlinitésimale. 

On peut remarquer qu'on déduit des (;(|iintions ("i^), <;n niiilli- 
plianl |)ar.r',j'', :;' et ajoulani, 

d I ,09. , 09 ,<i9\ I ^^ 

dt \ Ox ^ Oy Oz ! dt ' 

ce (|ui est une identité, vu riiomoi^énéité de ti. (^(;s ('(jualions se 
réduisent donc, en réalité, à deux seulement. 

11. Si Ion prenait l'équation de ^F^ "sous une forme quelconque 
équivalente à (44) 

(55) ^{x,y,z,x\y\z') = o. 

on aurait, en raisonnant comme au n" i, 



dQ, 0^ 

Ox " Ox 




09 


oe 09 

= Ij -t — » 

Oy Oz 


= <"' 

Oz 


dQ 0^ 

dx' ~ Ox' ' 




09 

Oy' 


- oe 09 

Oy' Oz' 


Oz 


1 
L ^ 


x' 


0(d 
Ox' 


, oe , oe 

^ y -f- j 





La première équation (54) deviendrait donc 



d /, oe\ , oe 

-7- ( L — ; — L — = o. 
dt \ Ox I Ox 



c'est-à-dire 






dh 




d oe 
dt Ox' 


oe 

de 


dt oe 

~ L Ox' 



, d , \\ (te 



On aurait donc à adjoindre à l'équalion (55) le système 

(56) 

On voit, de plus, (pic la \alcur comiiuiiie de ce» ra|)|)orls (•><">) 



d oe oe d oe_ _oe i^^_^ 

dl ôx' ~ ôx _ Tft ôy ày _ dt Oz' Oz 

ôë ^ 'ôë^ "~ ÔH 

Ix^ ôp ôz' 



— 254 — 



est 



-7- loii X -— , -h r T^, - « -TT 
<-// '^ V dx ^ ôv ùz' 



mais (-'csL une (:onsé(|iience de réqualion (<)->)• 

Le sysLème diflérenliel général des Irajecloires est donc formé 
seulement des équalions (;)6) cl (55). 

Supposons, en particulier, que l'équation (55) soit de la forme 



(■^7) 



e = \\{x,y, -,^', j', «') — ! = o, 



H étant homogène de degré ni en x\ y\ z' . On peut toujours 
faire en sorte qu'il en soit ainsi en prenant pour H une puissance 
de il. On a alors 



,d\\ ,o\\ 

dx "^ ôy 






mil 



et la valeur commune des rapports (56) est zéro. Les équations 
des trajectoires prennent alors la forme de Lagrange 



(58) 



d_ dU _ ôH 

dt dx Ox 

dt ôy' Oy 
d^ ù\\ m 

dt ôz' ôz 



avec la condition (5^). Mais, si //i ^ i , on peut su[)primer la con- 
dition (5^). Car, en multipliant les équations (58) par oc\ y' ^ z' cl 
ajoutant, il vient 



d_( ,ôn^ 

ItV oy 






du , dll 

dt ' dt 



c'est-à-dire 



(59) 



H {x^ y^ z, x\y\ z') = h = const. 



Or, remplacer dans l'équation (5^) le terme — i parle terme — h 
revient à remplacer les surfaces caractéristiques W,^ par les sur- 
faces homothétiques (avec un rapport d'homolhétic constant) et 
n'altère pas essentiellement les trajectoires. D'une nianière plus 



— 4:>:i — 

piM'cisc, cela rcvioiil à rcinplaccr / par A'"/ daîi^ huiles les ccjiia- 
lioiis. 

Il est clair (juc, si Ton pailail iii\ors(;in(;iil, d'un sy>t(;iii(^ {■*^)i 
où 11 soijnl une roiiclioii liomo*»èno on oo\y', 3' (|«i(;l(:onf|iHî, r»ri 
|)()iirrail loujoiirs rintcM'prélcr coinme coircspondaiil à iiim; Irans- 
fonnalion de conlacL infinilésiniale v.l le ramener, pai- suiU;, à la 
(orme canonique. 

12. Revenons aux équations (^4)5 elles ne conlienneni le 

, ,, Cf. ÔQ dQ du . 1 . . > 

temps nu en apparence. Jin ellet, -— , > — -, > -— ; sont de ue^rre zéro 
' • i ' ^ Ox dy Oz ° 

en jc',y'^ c'; de sorte qu'on a, [)ar exemple, 

ÔQ i2(x, y, z, dx^ dy, dz ) 
àx' ~~ d{dx) 

. . dQ ÔQ ()Q , ^11' .1' 

Au contraire, — > -— ' — sont homoeenes de aei»re un; et I on 

Ox dy Oz ° o ' 

a, par exem[)Ie, 



dÇl . d Q(x, y, z, dx, dy, dz) 
- — dt = 



dx dx 

donc, en posant, pour ahréi^er, 

(5;) il = Q(x,y, z,dx,dy,dz), 

les équations (54) s'écrivent 

dïî r)Ô _ 

dx 

(58) { cl-^-^=o. 

d(dy ) dy 

~ ôïi 
=0. 

d{dz) dz 

El Ton voit qu'elles définissent les trajectoires, indépendamment 
de la loi suivant laquelle elles sont décrites. Bien entendu, elles se 
réduisent à deux équations distinctes seulement. 

C'est Téquation (48) qui détermine ensuite la manièic dont les 
trajectoires sont décrites, car elle s'écrit 

( 59) Q{x. y, z. dx, dy, dz) = df. 




c'esl-à-diic que t est donné par la quadialiirc 



(60) 



/ = Aî(.r,7, z, dx, dy, dz)= fil 



V?i, Les équations (58) donnent uiic propriété caractéristique 
des trajectoires; elles exprimenl, en cfFet, que la variation de 
l'intégrale 

( 61 ) = / 12 ( .r, y, z,dx, dy, dz ) 

est nulle quand on se déplace sur une hajectoire ; et la for- 
mule (60) montre que le temps t est justement la valeur corres- 
pondanle de celte intégrale (61). 

Cherchons à interpréter l'intégrale (61) |)rise entre àeun points A 
et B d'une courbe quelconque. 11 suffit pour cela de se représenter 
cette courbe comme un canal, de diamètre infiniment petit, à l'in- 
térieur duquel l'ébranlement se propage sans Iroltements. Nous 
admettrons que, si l'ébranlement atteint à un instant (juelconque 
le point M de cette courbe, de coordonnées a\ y, z, au bout du 
temps dt il atteint le point M' de la courbe qui se trouve sur 
l'onde élémentaire qui a M pour origine; c'est-à-dire que le temps 
qu'il met pour aller de M en M' est donné, à un infiniment petit 
près d'ordre supérieur, par l'équation 

Q(.T,y,z, dx, dy, dz) = dt. 

Alors y intégrale (61) représente le temps que met V ébranle- 
ment à se propager de K et B en suivant la enurbe considérée. 

Et les trajectoires sont les courbes pour lesquelles la varia- 
tion de ce temps [quand on les déforme infiniment peu) est 
nulle. 

Si nous cherchons à quelle condition elles correspondent au 
temps minimum, il nous faudra, suivant la théorie classique de la 
variation seconde, exprimer que la forme quadratique 

est constamment |)ositive, sauf j)our les valeurs de la forme 



Nous alloii"^ inl('r|)i(''l('r cclh' ('niidilioii i;<'(mM''fn(jii<'mf'iil . 

(]oiisi(l('r()iis, ft (M't edcl, en un poinl (|imI(M)I)(HI(; \{.t, y^ z) 
(l'imc hajccloiro, la surface; ^1\ caraclôri.sticuKî. La laiif^onto on A 
à celle Irajeeloire perce M',^ an point V (pii a pour coordonnées 
(Tori^^ine élanl lransj)()rlée en A) r', .x', ^' ] <;ar ou peul supposer 
<pie Ton a 

(03) iUr.j-, z,x\y, z' } — i zr^o. 

Le plan lani;enl en V à M\^ a pour (kpialion {i^oir u" 10) 

^ * '^ O.r ôy ùz 

Clierclions la position d'un point quelconque N de U\, supposé 
infiniment voisin de P, par rapport à ce plan tangenl. f^es coor- 
données de i>i étant j:'-f- ;, y'-j- r,, g'H- v, il (audra clierclier le 
signe de 

qui se réduit, à cause de (^)3), à 

^ (9i) dil ^ (Kl 

Or, le point N étant sur W ^^ on a 

L)(.r'-+- ^,7'+ 71,^+0-1 = 0, 
c'est-à-dire, en développant, 



ÙQ r / . rJ2Q .. ()2Q 



4- . . . = o 



ou encore 

Si donc la forme (62) est positive, le résultat de substiuition 
est négatif, c'est-à-dire du même signe que pour le point 

M(X = o, Y = o, Z = o). 
Les valeurs exceptées ç = Ax', tj =1 A^', 'C^^=z\z' ne corres- 



— 258 - 
pondenl à aiicm» point N, car la condition 

se réduit, à cause de l'homogénéité de ù, à 

I -^ A = 1 , 

c'est-à-dire 

X = o, 

ce qui donnerait le point P hii-méme. 

Si donc la condition analytique du mininium est remplie, la 
surface ^ ^ a, en P, ses deux courbures de même signe y et tourne 
sa concavité vers M. 

Supposons réciproquement cette condition géométrique rem- 
plie. La forme (62) a son discriminant nul, à cause des relations 
que donne le théorème d'Euler appliqué aux fonctions homogènes 

de degré zéro -^y —^,-, ~^, (voir n*^ 10). Si elle était une diflerence 

^ dx Oy ôz ^ ' 

de deux carrés, elle s'annulerait pour deux relations de la forme 

(67) At-+-B-r] + C: = o 

vérifiées pour ;=:A^', r, = A^, ^ = A:;'j puisque ces valeurs 
annulent les dérivées partielles de cette forme. Ces relations re- 
présentent géométriquement deux plans passant par la droite Al* 
et qui, dans l'hypothèse faite sur la forme de ^\^ coupent celte 
surface suivant des courbes passant en P. Il j aurait donc des 
points de la surface, infuiiment voisins de P, et pour lesquels, en 
vertu de l'équation (66), leur dislance au plan tangent en P serait 
d'ordre supérieur au second. Or cela est conlradicloire avec 1 h v- 
pothèse de deux courbures de même signe. 

La forme (6•.^) ne peut pas non plus se réduire à un carré par- 
fait, car elle s'annulerait de nouveau pour tous les points d'un 
plan passant par AP, et la même contradiction se présenterait. 

La condition géométrique trouvée est donc équivalente à la 
condition analytique classique. 

Nous concluons donc que les trajectoires sont les courbes 
suivant lescjuclles les ébranlements se propagent le plus rapi- 
dement toutes les fois que les ondes élémentaires sont des 
surfaces ayant en tous leurs points leurs deux courbures de 



nu* me srns, cl tom lutin tim/ours leur concinitc vers leurs <n l- 
îiines respect i\('s . 

l/ii|)|)li(;ill(»n «le ce résuluil aux divers cas envisa<,^és en 0|)li(|iic 
sérail iiiimédiale. Il est clair cjne, d'après la lliéorie du ealeid des 
vaiialioiis, il n'est vrai qu'en j^énéral, e'esl-à-dir(; (jiraiilanl que 
les arcs de trajeeloires considérés ne contiennent, pas de couples 
de fojers (points conjugués de Weierstrass). 

11. La propriété des trajeeloires de correspondre à l'évanouis- 
sement de la variation d'une intégrale subsiste cpiel (jue soit \c. 
syslènie difiérentiel qui les définisse. 

Le système (i5)(i8)(i9) est fourni parla condition 



(68) 



/ a dx -h [3 cly -f- v dz = o, 



lorsque a, p, y sont liés par la condition (19) 
(19) lI(:r.jK, ^, a, |3,y) = ' 

et que t est donné par (21) 
{•i\) dt — t dx -^ ^ dy ^ Y ^^• 

Le système (3) est donné par la condition équivalente 

^ r dz — p dx — q dy 

(69) oj ^ w =" 

avec l'équation qui définit le temps, c'est-à-dire 

p dx-+- q dy — dz 

(70) dt=^^ '^ 

Mais ces nouvelles formes du ibéorème, qui se i'ap(»roclicnt de 
résultats exposés par MM. Yosliije (*) et E.-ll. Hcdrick (-), 
d'après les idées de J\L Hilbert, se prêtent moins bien à une inter- 
prétation géométrique simple. 

15. Nous insisterons, en vue des applications, sur la j^ropiiélé 
des trajectoires, relative aux familles d'ondes, (pii résulte de 

(') Math. Annalcn, t. LVII, p. iX). 

(^) Ann. of Math., 2" série, t. IV, p. i^\, 1V7. 



— ±m 



l'assimilalioii (I(; la |)r()pa«;alion des ond(;s à un groupe de trans- 
fornialions de contacL. h'j, pour rendre les énoncés plus concis, 
nous introduirons le mode de lan^^a^e suivant : 



'n"&" 



Soient A un point quelconque, E un élément de contact de ce 
point; à cet élément coriespond une Irajectoire déterminée; nous 
dirons que la direc^tion de la tangente à la trajectoire est conju- 
guée à l'élément et aussi que la trajectoire elle-même est conju- 
guée à l'élément. Si a, fi, y sont les coeflicients de direction de la 
normale à l'élément et x', y' ^ z' ceux de la trajectoire, les condi- 
tions (|ui expriment que la trajectoire est conjuguée à l'élément 
sont les équations (4") que nous écrirons, en supposant que a, [ii, 
V ne sont ici déterminés, ainsi que x' ^ y\ z\ ({u'à un facteur piès, 

a 3 Y 

^ ^ ^ ÔQ. ôil OU 

dx' ôy' ôz' 

Nous dirons de même que la Irajectoire est conjuguée en A 
à toute surface et à toute courbe admettant l'élément E pour l'un 
de ses éléments de contact. Dans le cas d'une surface, le fait 
s'exprimera toujours |)ar les équations ("i), où a, ^, y seront 
coefficients de direction de la normale à la surface. Dans le cas 
d'une courbe ayant ^, Yj, Ç pour coefficients de direction de sa 
tangente, on aura la condition 

Elle exprime que la tangente à la courbe est parallèle à une des 
droites qui sont tangentes à l'onde élémentaire au point où cette 
onde est ])ercée par la direction de la trajectoire. 

On peut dès lors énoncer les faits suivants : 

Si oc- trajectoires sont conjuguées à une surface, elles sont 
conjuguées à co' su? faces et les arcs des trajectoires compris 
entre deux de ces surfaces correspondent à des temps égaux. 

Si ce* trajectoires sont conjuguées à une courbe, elles sont 
conjuguées à oo' courbes et les arcs des trajectoires compris 
entre deux de ces courbes correspondent à des temps égaux. 



— 2(11 - 

Ces deux ('uoiicés rt-siillciil, (mi (;(ï'cl, de In propa;;;!! ion dinir: 
onde oi'iginc, surface ou courlx*, nu moyen du groupe de tians- 
formalions de contact considéré. RelalivemenI au soroud énonce, 
on remarquera que les oo' courhes issues de la rouihf: donnée 
sont tracées sur les ondes superficielles issues de. la courhe qui 
constitue Tonde origine. On remarcjuera aussi (ju'élant données 
oo' trajectoires formant un système continu, il existe toujours une 
famille de oc* courbes auxquelles elles sont conjuguées; car les 
coordonnées ^, y, z d'un point de l'une quelconque de ces tra- 
jectoires sont des fonctions de t et d'un paramètre s 

(74) ^•■=/(^^), JK = ^(^s), z = h(t,s) 

et les courl)es cherchées seront définies par Téquation difï'éren- 
lielle 

ÔQ . dQ . dQ , 

(75) _^^_^_,/^_._^^..o, 

où Xj y, z, dx, dy, dz devront être remplacés par les fonc- 
tions (74) et leurs difFérentielles et où x', y' ^ z' doivent avoir les 
valeurs 

^ ' ôt -^ ât àt 

On peut enfin joindre aux deux énoncés précédents le suivant : 

Les oc- trajectoires issues d'un point A sont conjuguées à 
oc* sur/aces et les arcs des trajectoires compris entre A et une 
de ces surfaces correspondent à des temps égaux. 

I^es surfaces en question sont, en effet, les surfaces <I>^, dont 
nous sommes partis au n" 1. 



IV. — RiCSrMK GKNKRAL. APPLICATIONS. 

16. Les considérations précédentes peuvent se re[)rendre, sans 
modifications essentielles, en passant de l'espace ordinaire à un 
espace à n dimensions. Nous en énoncerons les points les plus 
importants. 

XXXIV. 17 



— ^2G-2 — 

I. Cet esj)ace (Uant considère'; connnc reinpll par nu milieu, de 
naluie consLanle, dans lequel se propaf>enl, suivant une loi déler- 
minée, des éhranlemenls d'une cerlaine nature, le mode de propa- 
gation est déterminé par le système des ondes élémentaires qui 
ont pour origines les divers points du milieu. 

(^etle propagation peut être considérée comme un déplacement 
des éléments de contact de l'espace, défini par un groupe de trans- 
formalions de contact à un paramètre. L'onde élémentaire qui a 
j)our origine un point quelconque (x^^x^^ ...,.r„) est le lieu des 
extrémités des déplacements élémentaires (dxt^ dx^-, - . - y dx,i) 
dont varie ce point, considéré comme associé successivement avec 
tous ses éléments de contact, lorsque le temps varie de dt. 

Son équation générale est donc de la forme 

( 77 ) i> (5-, , ^2 , • • • 7 ^n I <^'^\ , dx2, . . . , dxn ) = dt, 

Ù étant homogène de degré un en f/.r,, dx^-, . . . , dx„. 

On peut également définir le système des ondes élémentaires 
par leur équation généiale écrite en coordonnées tangentielles, 
(jui sera de la forme 

OÙ n est liomogène de degré an en /?,, /?2, ... , />«• On suppose 
ici que l'équation générale d\in plan tangent, l'origine étant trans- 
portée en (Xi , :r2, . . • , ^n)j est prise sous la forme 

(79) />,X,-f-/?2X2 + . . .-i-/>«X/i— I = o. 

On peut considérer, au lieu des ondes élémentaires, les surfaces 

, . . ,. , f • f i • l dxx dx, 

caractéristiques, lieux des extrémités des viiesses ( -7— > •••5 — 7- 

En j)Osant 

<y.r, _ , dxj^ _ , dxn^ _ , 

- / dt " ^^' dt ~''-' ••■' dt " "' 

elles sont définies par Tune ou l'autre des deux équations 

(81) ^(>i, ^'2^ ^« l^'i, ^'21 • • -j^'/i.» == ^ 

ou 

(82) Ih^r,, ^-2, • • .,^« \PuP-i /?«) = !, 



suivaiil (juo Ton se place an point <1(; vue poiicUiel, on au |)oinl de 
vue langcuLiel. l/(''(jiiaLi()H (H:i) est idenllqucmenl \éri(i('(; par les 
iorimiles 

àil OU àii 

(*'^> /"=5:^' f'---^,' ■••' ''"^0.,:,.' 

et l'équalion (^8i) est idciillqueincnl vérillée parles (oiimdes 
()\\ , OU , ôW 

el l'on doit associer à ces formules la condition 

(85) Pi.t\ H-/>2^2 + - ■■-r-Pn^'n^ '• 

II. Un élément de contact quelconque aura pour coordonnées 
(j;,,X2, ...,x,t \pi,p2, -",Pn), c'est-à-dire que (x,,^o, ..,,^«) 
seront les coordonnées de son point ; et (/;, , /?2, . > . , pn) les coef- 
ficients de direction de sa normale. Et le groupe de transformations 
de contact considéré sera défini par les équations canoniques (*) 

I*our qu'elles définissent exactement la propagation considérée, 
c'est-à-dire pour que le paramètre t y représente bien le temps, 
et non le temps multiplié par une constante, on doit y joindre 
l'équalion (82), ou la condition (85), qui peut s'écrire 

(87) dt = pidxi-hpidxi^. . .-{-pnda^n' 

III. Le même mode de propagation peut se définir en cherchant 
directement les oc' surfaces qui j^roviennent d'une onde origine 
quelconque. Une telle famille d'ondes étant représentée par une 
équation de la forme 

(88) t =f(,Xi, 370, . . ., a^«), 

le problème revient à chercher t en fonction de :r,, . .., Xn- La 



(') Cette forme des équations dune transfornnation de contact infinitésimale 
a été donnée par Lie. Voir, par exemple, Théorie der Transforniations-Gruppen, 
t. II, p. 363. 



— 2i;.i — 

formule (8") élaiil alors supposée représentei* la dlirérenllelle 
totale de /, la solution du problème consiste à intégrer l'équa- 
tion (<^2), considérée comme une équation aux dérivées partielles. 
Et, si Ton a une intégrale de cette écjnation, renfermant (n — i) 
constantes arbitraires essenlielles, et dont aucurie ne soit addilive 

(89) / =/(r,,.r.2, .. .,.r„ I rt,, ^21 ^««-i), 

rinh'gralion du système (8()), (8~) esl donnée j^ar les formules (') 

l àf df , 



(90,) 



()Xi Ort/^. 



( i = l, '2, . . . , fl ), < /»." — I , '2, . . . , /l — I 



IV. Si, dans le mouvement des éléments de contact, on con- 
sidère seulement le mouvement des points de ces éléments, on 
obtient ce que Ton peut appeler les l/aj'ecloi/'cs de la propagation. 
Elles sont définies directement par le système différentiel 

, àQ àQ 

et la manière dont elles sont décrites est donnée par l'éfjuation 
( 92 ) dt =zil{Xi,T^, .. .,x,i\dj:u (Lvi, . . . , dx,, )• 

Cvela écpiivaut à dire fpi'elles annulent la variation de Tintégrale 

( 93 ) — / Q ( .r i , .r^, . . . . .r„ I dx^, dxo dx„ ). 

La valeur du cette intégrale prise le long d'un arc de courbe 
quelconque donne le temps que met un ébranlement à se propager 
le long de cet arc. 

Enfin, si Ton convient de dire qu'une trajectoire est conjuguée 
à une multiplicité, si elle correspond au mouvement d'un élément 
de contact de celle multiplicité, on a le théorème suivant : 

Si x)P trajectoires sont conj liguées à une multiplicité 
à p dimensions, elles sont conjuguées à oc' multiplicités de 



(') C'est, sous l'uue de ses formes, le théorème de Jucobi. Si Ton veut faire 
abstraction de la condition (87), il suflit de mulliplier t par une nouvelle cons- 
tante arbitraire, dans les formules (90); cela rtsulle de ce qui précède. 



- 20:; - 

nir/nr nature, et les arcs de ces ti'<(j('('t()ires compris entre 
deux de ces inu II i plici trs correspondent tous au na'rne inter- 
valle de temps. 

17. Les ;i|)|)li(';il ions sonl noiiihiciiscs. (>oiisi(l<'i()ns (i'jihord la 
])i()|)ai;al 1011 (ic la liirnirrc dans un iiiilioii isolropo, mais mow 
lionio^èiio ; les oncles élémenlaires sonl des sj)lièr<îs, c'est-à-diie 



(ine 



iï = io(.r,y, z)\/x'^-}-y^-h z'V 



J^es Irajeeloiics sonl les rayons liinnneux; el h's eondilions ("j) 
on {~'2) deviennent des conditions d'oitliogonalité. 

D'où le théorème que des rayons lumineux issus d'un point., ou 
noiinan\ à une surface, sont normaux à une infinité de surfaces. 
Les familles d'ondes sont les familles de surfaces orlliogonales 
à une même congruence de rayons. Ces rayons sont curvilignes. 



en gênerai. 



Si le milieu est homogène^ mais non pas nécessairement iso- 
trope, Q est fonction de x' ^ y' , z' seulement; on conclut alors des 
équations (58) et (Sq) que x' , y', z' sont constants. Les ravons 
lumineux sont rectilignes, et la vitesse de propagation est cons- 
tante sur chaque rayon. A chaque direction de rayon est associée 
une direction de plan; c'est le plan tangent à la surface d'onde au 
point où elle est percée par la direction du rayon ('). 

18. Tout problème où intervient une intégrale de la forme (()3 ), 
dont la variation doit être nulle, constitue une application de ce 
(jui précède; et la notion de transformation de conlact y inter- 
viendra utilement. Tel le problème des bracliistoclirones ; le pro- 
blème général de Vécjuilibre des fils : le problème des lignes géo- 
désiciues. Tel enfin le problème général de la Dynamique. Le 
théorème général sur les multiplicités et les trajectoires conjuguées 
donne la clef des théoièmes de Thomson et de Tait, et de leurs 
généralisations. 

Sans insister sur les détails, examinons le cas des équations de 



(') Comparez : Lkvistai,, fipcherclies d'Optique gcoinctriijuc ( t/iiiatc$ (te 
l'École Aornialc, -* série, l. l\, p. ift^V 



— 2()G — 

la Dynamique. Parlons des équations de J^agrange, où nous suppo- 
serons que, ni la force vive 2T(Xi., . . . , x,i\x\, . . . , x',^) du sjs- 
icme, ni la fonction des forces U(j',, ^2^ . . . , x,i) ne dépendent du 
tenips. Ces équations sont 

d âT dT àV ^. 

^94) Tâé^-'ô^^^à^, (. = .,., ...,n): 

et, en supposant que l'on a donné à la constante des forces vives 
une valeur particulière, on peut écrire l'équation des forces vives, 
rpi'il faut joindre à (94)7 

(95) T = U. 

An mojen de cette équation, nous allons éliminer le temps des 
équations (94)- Posons 

T = T(x,, X2, . . ., Xr, I dxi, dxi^ . . ., dx,i)y 

et nous écrirons (95) sous la forme 

T =z U dt^, 



c'est-à-d 


ire 










(96) 






dt--.^ 


/t 


. ., dx„). 


Donc 
















T 


T 


oT i ()T dT 


I of 




ôx'i S ô dxi ' dxi 


S2 âxi 



Par suite 

àT 1 dfUS2) ,^ ^S â(VS) 

OXi b a axi ô ciXi o axi 

ar _ ji_ r)(usv) ^ 

ùxi ~ S^ ùxi ' 
et les équations (94) deviennent 

1 ,r)(US) 2 ,. dS dU d\} ,. 

S ôxi S Oxi ôXi OXi ^ ' ■ ' ' 



ou cntin, en posant, 



/^.^ 



(07) Q = 2US = 2\'IJT, 

, du on 



— 207 — 



Va coimne il ('sl liom()<;c'iic de dcj^ir //// piir rnppoil ;mi\ flilï<''rcn- 
litîlles, c'esl un syslèiiic de la loniM' («ji). où 12 a sciilciiiciiL la 
foiinc i>nrli("iili(^ro 



( y8 ) 12 = -2 v^U ( :r,, . . . , .r„ ) T ( ar, , . . . , a?,» | c^j-,, . . . , dx,, ), 

caraclorisée par ce fail (juc T esl iiik; forme cpiaclr alif|ii(' (l«'fiiii(3 
positive des diirérciulelles. 

Celle fonction 12 est V action élémentaire du svslrtiie; et nous 
arrivons ainsi, par un calcul classicpie, au principe de la moindre 
action. Mais Ù a pour nous une aulie signification : j'écpiation 
12 = (h didinissant le système des ondes élémentaires d'un mode 
de propa<^ali()n d'ondes, dans lequel les trajectoires sont les mêmes 
que celles du mouvement dynamique considéré. Seulement ce c|ui 
correspond au temps t du mouvement ondulatoire, c'est Vaction 
du mouvement dynamique. 

En d'autres termes, les trajecloires de tout problème de dyna- 
mique sont identiques à celles d'un groupe de transformations de 
contacta un paramètre; mais le paramètre canonique de ce groupe 
esl, non pas le temps ^, mais l'action 

(99) '. = ■?. f\/vf 

du problème de dynamique. 

Il résulte de ce qui précède (pi'en gardant cette action pour 
variable indépendante, on pourra ramener l'intégration du pro- 
blème à celle d'un système canonique (86), ou d'une équation aux 
dérivées partielles (82). Tl faudra ensuite déterminer le lenq)s par 
la quadrature 

(.00) ' = -Jv' 

qui provient des deux formules 

/f 

df = i/~y d'Z = 2\/Vf. 



Comparons le calcul avec celui d'Hamilton. Nous aurons, pour 
arriver à l'équation (82), à éliminer x'^, ..., jr,'^ des équations 



- 2G8 — 
homogènes de degré zéro (83), c'est-à-dire 

Dans le calcul d'Hamilton, pour arriver à Téqualion aux déri- 
vées parlielles de Jacobi, 

(102) H(a7i, 372, . •.,.r„ I />!,.. ., pn) = o, 

il faut éliminer ^', , . . . , :rj^ entre les équations 

(io3) pi=z-—j, T — U — o (t = i,2,...,n). 

Or, on déduit de ces équations les équations homogènes (loi). 
L'équation (82) 

(io4) n(x,, ...,^„I />,,...,/>„) — I = o 

est donc équivalente à l'équation (102) de Jacobi-Hamilton (' ). Et, 
si l'on écrit (102) sous la forme 



\/ 



-Ij • = "' 



le radical qui y figure étant homogène de degré un, on a identi- 
quement 



(io5) 



Quant à notre système canonique 
c/xi du dp, àU 

pour en déduire le système de Harailton, il faut faire intervenir, 
non seulement la formule (100), mais encore l'équation des forces 
vives H = o. Le calcul résulte immédiatement de la formule (io5). 
Remarquons enfin que cette formule (io5), qui donne la fonc- 
tion caractéristique de la transformation de contact infinitésimale, 



(') C'est le fait constaté par Lie, dans le cas particulier du mouvenrjent d'un 
point matériel (Leipzfger BerichtCf l. XLI, p. i^ô). 



— 200 - 

(«07) " = Vïï' 

en dc^signaiU j)ar îs la foiinc adjointe; de T, 011 plus exactement ce 
(jiK' devient T par le elianf^ement de variables 

dT 

(108) pi=—y. rt ^ I, '/,..., Al). 



REMARQUES SUR QUELQUES SÉRIES DE POLYNOMES; 
Par M. HiîLGE vojN Koch. 

Désignant par .r un point du plan de la variable complexe, on 
sait que l'équation 

(,) l.r2_,l = , 

représente une lemniscate de Bernoulli, ayant pour pôles les points 
X = — I et ^ == 4- I et pour point double le point x = o; ce der- 
nier point divise la lemniscate en deux parties que nous désigne- 
rons par A et B et qui entourent respectivement les points x =+ i 
et :r = — I . 

Soity(jc) une fonction analytique régulière à Tinlérieur du 
contour A; par la substitution 

5 = 1 — 3-2, X = y l — Z = l Z -r- . . .. 

f{x) deviendra une fonction de z régulière dans un certain voi- 
sinage de z =1 o. Soit 

(9.) Co-f- C,2 + C2^2-|- . .. 

le développement taylorien de cette fonction. Quant x décrit le 
contour A, z décrit le cercle 

1^1 = 1, 

ce qui, d'après des principes bien connus, signifie que la fonc- 
tion est régulière dans ce cercle ou, en d'autres termes, cpie la 



- 270 — 
série (2) conver<^e pour | :; | -< i . Il on résulte que la séile 

(3) Co+ C,(l — a;2 l-f-Cjd — ^2)2_|_ _ 

converge et repré.sentey(j:) à Tiulérieur de A. 
Or la condition 

I 372 — r I < I 

étant remplie aussi par les points intérieurs à B, on voit que la 
convergence de la série (3) s'étend à cette autre partie de la leni- 
niscate considérée. 

Comine la série (3) ne change pas de valeur si l'on change x en 
— x^ il est clair que cette série ne peut [)as, en général, repré- 
senter f{x) à l'intérieur de B; pour cela il faudrait d'abord que 
f{x) pût se prolonger analjtiquement, et puis que la condition 
f[x) =f{ — oc) fût vérifiée. 

Ces remarques donnent donc un moyen très simple pour former 
une série de poljnomes représentant diflerentes fonctions dans 
différentes portions du plan. 

Prenant d'abord 





/(•r)- 


I 1 v' r'' -2'' 

- . — — I 1- T 




V ^_, .1.-/ 


on voit que 


la série 




(4) 




-1,0:? ( 4 ) 



converge à rinléneur de la lemniscate (i), mais a pour valeur — à 

Ou 

riiitérieiir de A, à l'intérieur de B (' ). • 

(>omme autre exemple, considérons la fonction log\r; pre- 
nons-en la branche qui s'annule pour ^ = f et rendons-la uni- 
forme par une coupure partant de l'origine et suivant la partie 
négative de l'axe imaginaire. Par log\r nous désignons donc, quel 



(') Je dois à iM. Rorel la remarque que, clans le Calcul différentiel Ad J. liei'- 
Irand, se trouve, à titre d'exercice sur les séries, un développement analogue à (4), 
qui pourrait être employé pour le même objet; ce développement a ailleurs servi 
à M. I^ebesgue dans l'étude dune tout autre (fuestion ( Voir Rorel, Leçons sur 
les variables réelles, p. 6n). 



- 271 - 
(jiic soit .r, la (onclion imilormc ainsi (l/'fiiiK*. (loiiimc on a 

7 \ 7, S 

on Irouvr (jim* la sciic 

( 5 ) i — x^-\ 1 f- . . . 

•2 i 

converge dans les deux parties de la leninlscate, mais rcprcsenlc 

— 7. iog j7 à rinlôricur (Je A, 

■ — 7 !»)<;./' -h ?.TU » B. 

Comme on sail, \\ eierslrass (') a le premier signalé le fail im- 
portant qu'une série peut leprésenter dilïérenles fonctions dans 
diflérentes portions du plan; d'autres géomètres ont ensuite donné 
des exemples variés du même fait (•^). ïl nous sendjie cpie la 
série (5) en offre l'exemple le plus intuitif. 

J'avais été conduit aux remarques qui précèdent par l'élude des 
séries de la forme 

cp(j7) étant un polvnome de degré donné n et F\ des polynômes en 
X de degré au plus égal à n — i. Ces séries, qui convergent dans 
des domaines limités par des sortes de lemniscates généralisées, 
sont intéressantes à plus d'un point de vue et notamment pour la 
question du prolongement analytique et pour celle de l'interpo- 
lation (3). J'avais déjà commencé la rédaction de mon travail sur 
ce sujet, lorsque j'ai reçu un Mémoire de M. Alfred Kienast (* ), 
où se trouvent la plupart des résultats que j'avais obtenus et que 

(') Monatsbericht de/' AA. der Wiss. zu Berlin, kSSo. Dans le mémo accueil 
pour i88i, Weierstrass a publié un exemple remarc|uablc dû à M. J. Tannkry. 
Voir aussi Abhandlungen ziir Funclionenlehre, p. 69, ou OEin^res de Weier- 
strass. 

(-) Voir notammenl I'^. IJorki,, Leçons sur la théorie des fonctions, p. ^>7. 
Paris, 1898. 

{^) I>ans une Conférence faite à njutsholm le 2 mars r9on, j'ai rendu compte 
de mes recherclics sur ce sujet. 

(') Uber die Darstellung der anal} tischen Functionen darcli Reihen, die 
nach Potenzen eines Polynômes fnrtschreiten und Polynôme eines niederen 
Grades zu KocJ/izientcn habcn ( lr«,-iugMral-l>issfita(ion. /nricti, igo^j. 



— 27^2 — 

j'avais rinlenlloii de publier. Dès lors il m'a paru superflu de 
poursuivre mon travail el je me suis hoi'ué, dans ce qui précède, 
à quelques exemples qui ne se trouvent pas dans le Mémoire de 
M. Kienast et qui, à cause de leur simplicité, me paraissent di^^^nes 
d'être signalés. 

Pour terminer je formerai, par un passage à la limite, une série 
de polynômes oflraut une singularité de convergence hien plus 
profonde que les précédentes. Posons 



n désignant un entier positif quelconque ^ 2, et remar(juons que 
le domaine de convergence de cette série : 

j [ — 37^' I < 1 

est limité par la courbe dont Téquation, en coordonnées polaires, 

est la suivante : 

/•" zzz 2 cos n o ; 

cette courbe est composée de n branches, que nous pouvons dési- 
gner par Aq, A,, ..., A„_,, qui se rencontrent à l'origine et qui 
entourent respectivement les points 



I, (0, w-, 



2 71/ 



to = e 



ainsi que les segments rectilignes joignant ces points à l'origine. 
Pour une valeur réelle de x comprise entre o et i (o exclus, 
I inclus), on a visiblement 



Pour 



P«(-'') ^ log.r. 
.r = /e'? (o <C r 11), 



l'argument o étant un multiple (juelconque de -^> on a x" = r", 
d'où 

ce que nous écrirons 

P„(\r) = logl^I. 

Ces conclusions ayant lieu (juel que soit /?, on est amené, en 
prenant n successivement égal à 



— 273 — 
;i l;i foitinilp siiivanl»' : 

({iil a lien pour LoiiL poinl a: remplissant les deux condilions 

/ o<|.r|^i, 

(C) < arir:r , . , 

I -" - = nombre ralionnt.'I. 



'J.TZ 



Posons mainleiianl 

(7) \ \( (i — .r")ï (i — .r«)v» 

p„ ( X ) ^ [\ — X'^-\ r- . . . -f 



el remarquons ([iroii peut choisir v,, tel que l'on ait 

\\mp\n{x) = liin P|«(:r) 

n —<x> n — . 00 

pour tont point x remplissant les conditions (6'). En efTet, soit 
X ^ re'^ un tel point et choisissons n de la forme v et sufTisam- 
ment grand pour que Ton ait 

' ' n 
on a alorSj en posant pour ahréj'er v,^ rz: ni, 

( , _. X" )'"^ ' ( I — X" j'"-* - 1 



U' 



m r I m -h 2 

I ('i — .r")"'^» 



Al ( m -7- I ) 


X"- 


» 


n{ m -r- 1) \ 


I ' 


) 



par où l on voit qu'il suffit de prendre 

v,j = m ^=: n" 
pour avoir 

|P„(jr) —/)„(' 37)1 < -. 
n 

Prenant cette valeur de v,^ dans la définition (7) du [)oljnome 



— 274 - 
p,i(x)^ on peut donc remplacer la lornnile (6) [)ar la suivante : 

log|:r| = lim/?|„(:r), 

ti p "" ^ 

o < la?! ^ I, — ^^^ — = nombre rationnel. 

L'expression précédente pourrait être remplacée par la série de 
poljnonjes 

/?|^(^)-Hl/>|^(.r;— /?|5(x)]-h .... 

On a donc l'exemple d'une série de poljnomes ofl'rant les singu- 
larités suivantes : 

La série converge sur tout rajon de longueur un issu de l'ori- 
gine (o exclus) et formant avec l'axe réel un angle qui est en rap- 
port rationnel avec 27r. Pour un point x d'un tel rayon, la série 
a la valeur réelle log|^|; cette série représente donc successive- 
ment, dans un voisinage arbitrairement petit d'un point quelconque 
intérieur au cercle 

|.r| = i, 

une infinité de fonctions analytiques distinctes, savoir des fonc- 
tions de la forme 

(p étant en rapport rationnel k àt:. 

FIN DU TOMK XXXIV. 



ERRATA, 



Page 8, ligne i3, au lieu de « figure 4, » lire « figure 3 ». 
Page 12, ligne i5, au lieu de « figure 3 », lire « figure i ». 



TABLK DES MATIERES 

DU TOME XXXIV. 



(LcsIeLlres cl numéros qui prôcètlent les lilrns in(lic|uenl les rlassificutions 
du liépertoire bibliographique des Sciences mathématiques.) 

Paiço . 
VA:\\ àc la Sociclé matliéinaLi(juc au C(.intncnccniciit de 1906 V 

Liste des Présidents de la Société depuis sa fondaliori xiv 

Liste des Sociétés scientifKjucs et des recueils périodiques avec les(jucls la 
Société échange son Bulletin xv 

Comptes rendus des séances ', ^'^ '33 



MKMOIHES 1:T COMMUNICATIONS. 

[B12c] Autonne (L.)- — Sur les polynômes à coefficients et à 

variable hypcrcomplexes 2o5 

[ I) 4 a] Boutroux (P.) — Propriétés dune fonction holomorphe 

dans un cercle où elle ne prend pas les valeurs zéro et un 3o 

[L' 19a] Bricard (R). — Sur certains systèmes linéaires, ponc- 
tuels et tano;entiels, de quadriques 17 

[S 2] Combebiac. — Sur l'application des équations de La- 
gran^'cà la détermination des actions exercées par un 
fluide parfait incompressible animé d'un inouvement 
irrotationnel *^3 

[Q b] Combebiac- Remarques sur la question des principes 

de V Analysis situs 191 

[j 5] Combebiac. — Sur les représentations numériques des 

ensembles 227 

[M^eb] Fontené (G.)- — Sur une configuration remarquable 

dans l'espace 3 

[ L ' 17 d, K 14 g 1 Fontené ( G.)- — Sur l'extension à l'espace du théorème 

des polygones de Poncelet par des polyèdres de genre un i53 

[E 7 aj Goursat (E.)- — Fiemarques sur quelques théorèmes 

d existence 85 

[H 7] Hadamard. — Sur les caractéristiques des systèmes aux 

dérivées partielles 4^ 

[C 1 c] Hadamard. - Sur les transformations ponctuelles 711 

[ D 5 c j Hadamard. - Sur le principe de Dirichlet '^V^ 



— â7(> — 

Pagei. 
[D 2 b y] von Koch (H.)- — Hemarques sur quelques séries de 

polynômes 26(9 

R 8 a a] Lecornu (L.)- — Sur riierpolodie 4o 

I 24 c] Maillet (Ed.)- — Sur les nombres transcendants dont 
le développement en fraction continue est quasi-pério- 
dique et sur les nombres de Liou\ ille 2i3 

\J 16 e] de Montcheuil. — Les anticaustiques du paraboloïde 

hyperbolique éqnilatère 189 

D 4 a] Petrovitch (M.). — Sur certaines transcendanlesenticres i65 

A 5 b] Potron. — Sur une formule générale d'interpolation,.. bi 

D5d] Rémoundos (G.). — Sur la représentation uniforme 

des courbes transcendantes 197 

L' 14a, M' 5 h] Remy (L.)- — Sur quelques théorèmes de géométrie 

plane liés à la surface de Kummer 177 

R 1 dot] Rudzki ( M. -P. ). —Note sur la chute des corps pesants i63 

H 9f] Sanielevici. — Remarques sur certaines équations 

linéaires aux dérivées partielles 187 

R9a] de Sparre. — Note au sujet du valet de menuisier.... 4^ 
R9aj de Sparre. — Noie au sujet du frottement de glissement 108 
P 6 e, R 6 b] Vessiot. — Sur l'interprétation mécanique des transfor- 
mations de contact infinitésimales 23o 

Errata 27'^ 

Table des matières du Tome XXXIV 270 



FIN r»F. LA TABI.K DFS MATIKRES DU TOMK XXMV 



37619 l'arls. — Imprimerie GAUTHIER VIM.ARS, quai des Grands-Aupustlns, 5i 






W U 1. L K T I N 



SOCIÉTÉ MATHÉMATIOUE 



DE FKANCK. 



39316 Parts. - Imprimerie GAUTHIKK-VILLAUS, quai ties Urands-Aii^ii^tiiis, 55. 



'^y 



iuiijj:ti\ 



^ f 



SOCIETE MATlIlîllUTIOUIî 



l)i; l'HANCK, 



PUBLIE 



PAH Li:S SKCKE I AIIU:S 



TOME TRENTE-CINQUIÈME. - ANNÉE 1907. 






PAIUS, 



AU SlJ:(iK DE LA SOCIETE 

A LA SOKBONNE. 

1907 



i 



4 



ETAT 

DE LA SOCIÉTÉ MATIIKMATKIUK Dlî EIU^CK 

AU COMMENCKIVIKNr Dl-, L'AiNiNKK 1007 ('). 



MM. 



Membres lioiioniires du IJureaii 



APPELL. 

DAKHOUX. 

GLIYOU. 

HATON DE LA (iOlll'ir.LIÈKK. 

HUMHEKT. 

.lOKDAlN. 

mutag-lefflek. 

IMCAKI). 
POmCAKÉ. 
VOMERRA. 
ZEIJTHKN. 



Vice-Présiileiits 



Secrétaires 

Vice-Secrélaires 

Arcliivislc 

Trésorier 



IVIenibres du Conseil ( ') 



\ 



PréHÎdeiit iM l\j . RLUTEL. 

RIOCHE. 
BRICARD. 
LÉVY (L.). 
PERRIN (R.). 
RAFKV. 
SERVAINT. 
ESTANAVE. 
FATOU. 

FOUCHÉ. 

CLAUDK-LAFONTAINE 

RORFL, 1909. 
KOURLET, 1908. 
CARVAI.LO, 1908. 
FOM'ENÉ, 1908. 
GRÉVY, 1910. 
HADAMARI), 1910- 
KOENIGS, 1910. 
LAISAINT, 1909. 
LECORNU. 1910. 
MAILLET, 1908. 
MAROTTE, 1909. 
n'OCAGlVK, r.l09. 



(') MM. les Membres de la Société sont inst.uninont priés d'ailressor au Secrétariat 
les rectifications qu'il y aurait lieu de Caire à celte liste 

(') La date qui suit le nom d'un membre du Conseil indique l'année au com» 
mencement de laquelle expire le mandat de ce membre. 



— VI — 

Date 

de 

l'admission . 

1872, ACIlARn, Mncien directeur de la Compagnie d'asstirances sur la vie In Foiicièrr, 
nie de la Terrasse, 6 bis, à Paris (17") 

1900. ACKEIIMA\.\-TE(IB\EU, éditeur, à Leipzig ( Allemagne). S. P. (' ). 

1900. ADIIKMAU (vicomte Robert d'), professeur suppléant à la Faci.llé libre des Sciences, 

place de Genevières, i4, à Lille (iNord). 

1896. AXDOYER, professeur à la Faculté des Sciences, rue du Val-de-Orâce, i, à Paris (5*). 
1894. ANDKADE, professeur à la Faculté des Sciences, rue de la Mouillière, i, h Hesançou. 

1872. AM>UK ( Désiré), docteur es sciences, rue Bonaparte, 70 bis, à Paris (6*). 

1879. APPELIi, membre de l'Institut, doyen do la Faculté des Sciences et professeurà l'École 

Centrale des Arts et Manufactures, rue Bonaparte, 17, à Paris (6*). 

1900. Al'lUC, ingénieur en chef des ponts et chaussées, rue Pierre-Corneille, 38, à Lyon. 

1882. A(JT01\i\E, ingénieur en chef des ponts et chaussées, à Châteauroux (Indre). 

1900. BAIRE, professeur à la Faculté des Sciences de Dijon. 

1896. IIAKEK, professeur à l'Université de Toronto (Canada). 

1894. BAMTRAXD, ingénieur, à Métlaoui (Tunisie). 

1905. BAIIHÉ, capitaine du génie, à Verdun (Meuse). 

1906. BARTIIELS, professeur de mathématiques, Weissenburgerstrasse, 02, à Aschaffenburg 

( Bav ère). 

1889. BE(illl\, ancien élève de l'École Polytechnique, avenue Duquesne, 11, à Paris (7*). 
1875. BEIlDEliliE, ancien garde général des forêts, à Rioz (Haute-Saône). S. P. 

1904. BEUi\STEI\, docteur es sciences, rue Pouchkinskaïa, 10, à Saint-Pétersbourg (Russie). 
1891. BERTRA.XD DE FO\iVIOLA\T, professeur h l'École Centrale des Arts et Manufactures, 

rue d'Erlanjjer, 29, à Paris (16*). S. P. 
1888. BIOCIIE, professeur au lycée Louis-le-Grand, rue Notre-Dame-des-Champs, 56, à 

Paris(6«). S. P. 
1900. BLlMEiVTHAL (Otto), professeur à l'École technique supérieure, Rûtscherstrasse, 87, à 

Aix-la-Chapelle (Allemagne ). 

1891. niiUTEli, professeur au lycée Saint-Louis, chargé de conférences à la Faculté des 

Sciences, rue Denfert-Rochereau, iio, à Paris (l'i*). 

1902. BOUERIfi (vicomte lioger du), rue d'Orléans, 3o, à Rennes. S. P. 

1892. BOXAPAIU'E (prince Roland), avenue d'Iéna, 10, à Paris (i6«). 

1895. BOREli, professeur-adjoint à la Faculté des Sciences, boulevard Arago, 2, à Paris. S. P. 

1890. BOIJLAXGER, professeur-adjoint à la Faculté des Sciences, rue Caumartin, 78, à Lille. 

1896. BOURGET (Henry), professeur adjoint à la Faculté des Sciences, rue Saint-Jacques, 

20, à Toulouse. 

1896. BOURLET, professeur au Conservatoire des Arts et Métiers et à l'École des Beaux-Arts, 

avenue de l'Observatoire, 22, à Paris (i4*)' S. P. 

1903. BOl]TI\, rue La VieuviUe, 26, à Paris (18"). 

190i. BDUTROIX (P.), maître de conférences à la Faculté des Sciences, chemin de la 
Gaillarde, à Montpellier. 

1900. BREITliiXG, proviseur du lycée Saint-Louis, boulevard Saint-Michel, 44» ^ Paris (6*). 

1897. BRKIVRD, ingénieur des manufactures de l'État, répétiteur à l'École Polytechnique, 

boulevard Ilaspail, v(j5, à Paris (i4^). 

1873, RKOCAIU), lii-uteuant-colonel du génie territorial, rue des Dues de Bar, 76, à Bar- 

le-Duc. S. P. 

1901. BUUL (Adolphe), maître de conférence? à la Faculté des Sciences, rue de Ville- 

franche, 6, à Montpellier. 

1893. BUUKIIARDT, professeur à l'Université, Kreuzplatz, i, à Zurich (Suisse), 



(') Les initiales S. P. indiquent les Sociétaires perpétuels. 



— VM — 
Haie 

.le 
raiiinifislon. 

18i)i. CAIIKX, pror<>sRoiir an colli'f'e Kollin, rii«> Coi (nmhr'it, ^^C), à Paris (t('r). 

[H\y^. r.\l,l)\KKUA, i)ii>r»«ss(Mir;tl'lItiivor8il«', pala/./.o Oianip.iolo, via (](;llii f.ilx'ita, à l'aliMiix^. 

ISSS. CA\KT ((iiislavc), iii(j(Mii(Mir civil, (lirrcUMir «le l'aililln i«' ticî MM. Schiiridoi «'t C", 

avtMiiu' Ilenri-Marliii, S7, ii |»aiis (l'i"). S. P. 
t885. r.AllO\, prolesseiir <lo T;é()iiu'trio dcHCi iplivc, nie CiaiMic-I'.cMiiaid , 71, a Paris (h"). 
189*?. riAUOM\r,r, docteur (S sci(Mi(CH rnallicmali(|ii<îs, rue DcmoiirH, (h bis, a Paris i\-'). 
189G. CAHTAM, chargé de cours à la l'acullt^ de» ScifMiccs, rin- du Juiibourg Saiiit-.Ican, 7^), 

à Nancy. 
1887. (iAUVAMiO, docteur es sciouciîs, examinateur des élèves h l'I^.colc! Poly t<!clniif|ue, 

rue Clovis, i, à Paris (f)"). S. P. 
1890. CKDKHCilKliTÏ (baronne Nanny), llnionsiralan, 4, à Helsinglorh (l-inlande). 
1892. CKMKHIEH (Gustave), cours de Rive, i'^, à Genève (Suisse). 

1887. (ilHItlUlil, professeur à l'Universilè, pia/za S. Pietro in viricoli, 5, à Konie (Italie) 

1888. CIIAILAN (Edouard), rue Hertliollet, if), h Paris (.')"). 

189G. CIIAIIVE, doyon de la Faculté des Sciences, cours Pierre-Pngel, Ho, à Marseille. 

1884. (IIIKVSTAL, prolesseur à l'Université, à Kdinihoniji; (Kcosse). 

1901. CIjAIIU.\, docteur es sciences, maître de conlV' renées à la Faculté d<!s Sciences, rue 

Jacqueraars-Giélée, 67 bis, à Lille. 
1875. CLAII)K-LAF01\1TAI^E, banquier, rue de Trévise, 3-i, h Paris (9"). S. P. 
1890. COLOT, villa Sully, à Arcachon (Gironde). 

1898. COMBEBIAC, capitaine du génie, docteur es sciences, rue Conlon, 9, a Bourges. 
1900. COMTE (Firmin), ingénieur des ponts et chaussées, à Commercy (Meuse). 

1896. fiOSSKUAï (E.), professeur à la Faculté des Sciences, rue de Metz, i, à Toulouse. 
1896. COSSERAÏ (F.), ingénieur en chef dos ponts et chaussées, ru(, d'Alsace, 2.3, à Paris ( lo'j. 

1900. COTTON (Emile), professeur à l'Université de Grenoble. S. F. 

1904. CDRTISS, Sherman avenue, 1989, à Evanslon (Illinois, États-Unis). 

1872. nAlUlOUX, secrétaire perpétuel de l'Académie des Sciences, doyen honoraire de la 
Faculté ties Sciences, rue Gay-I.»issac, 3fi, à Paris (ô"). 

1885. DAUTIIEVIIJiE, doyen de la Faculté des Sciences, cours Gambetta, 27, à Montpellier, 

1901. DELASSLS, professeur ii la Faculté des Sciences, chemin de Chastre-Monjoux. à 

Besançon. 

1905. DEXJOY, agrégé de mathématiques, rond-poinl Bugeaud, .'), à Paris (lO"). 

1895. DEIiAl\A\ (ÏN.), professeur à l'Institut Empereur Alexandre II, à KiefT (Russie). 

1899. DELEMER, ingénieur des ponts et chaussées, place Simon-Vollant, 10, à Lille. 

1885. DEMARTRKS, doyen de la Faculté des Sciences, avenue Saint-Maur, à la Madeleine- 

lès-Lille ( i\ord ). 
1892. DK.MOILIIV ( Alph.), professeur à l'Université, rue Joseph-Plateau 10, à (iaml (Belgique). 
1883. OERIVTS, professeur à l'Université, rue des Augustins, 3.S, à Liège (Belgi(|ue). 
1894. DESAIiVr, docteur es sciences, boulevard Gouvion-Saint-Cyr, 4", à Paris (17'). 

1900. DICKSIi;i\, Marszatkowska, 117, à Varsovie. 

1902. DIEGL'I'.Z (I).-F.), professeur de mathématiques à l'École provinciale dt-s Arts et 

Industries, calle del Orzan, 4-3", à La Corogne (Espagne). 
1899. DUACII, j)rofesseur à la Faculté des Sciences, rue des Carmélites, 68, a Poitiers. 

1896. DIMAS (G.), docteur de l'Université de Paris, privat-docent à l'École Polytechnique 

fédérale, a Zûi'ich (Suisse). 

1897. BLMOXT, professeur au lycée, avenue Bouvard, 6, à Annecy (Haute-Savoie). 

1886. ni]i\CA\, Consulting Engineer, Empire Building, Broadway, 71, New-York City. 
1897. DIIRAX-IiORIGV (commandant), plaza de Maria Pita, 20, à la Corogne (Espagne), 
1885. DVCK (VVallher), Technische Hochschule, h Munich (Bavière". 



— VIII — 

Date 
d 
l'admission. 

1902. KCOROFF ( Dimitri), professeur à rUniversité, Moltchanovka, maison Fryndisse, h 

Moscou (Russie). 

1903. ESPAIVET, ingénieur civil, rue Berthollet, 2, à Paris (5*). 

1900. ESTAWVE, docteur es scienctes, à la Sorl)onn(î, à Paris (5*). 

1896. EUVKIITE, ancien élève de l'École Polytechnique, ancien capitaine d'artillerie, rue 
du Pré-aux-Clercs, à Paris (7°). 

1888. KAUIIY, professeur à la Faculté des Sciences, 17, rue Chaptal, à Montpellier. 
1906. EARAGGI, licencié es sciences, rue Sadi-Carnot, 11 bis, Mustapha-Alger. 

1904. FATOl], docteur es sciences, astrononae-adjoint à l'Observatoire, boulevard du Mont- 

parnasse, 172, à Paris (i^*)- 

1891. IWlIQUEMBEIlCillE, professeur au lycée, à Mont-de-Marsan. 

1892. KEIIII (Henri), professeur à l'Université, rue Ph.-Plantamour, 19, à Genève (Suisse ). 
1885. KIEIihS (J.), professeur à l'Université, Toronto (Ontario, Canada). 

1881. FIjOQUET, doyen de la Faculté des Sciences, rue de la Coninianderie, 21, à Nancy. 
1872. FliYE SAI\TE-MAUIË, clief d'escadron d'artillerie en retraite, ancien lépétiteur à l'École 
Polytechnique, place Royer-Collard, à Vitry-le-François (Marne). 

1896. KOI\TAi\EAl), ancien ofïicier de marine, cours Bugeaud, 8, à Limoges. 

1897. KO\TK\É, inspecteur de l'Académie de Paris, rue Le GofT, 7, à Paris (5*). 
1903. FOUI) ( Walter V>.), Forest avenue, 617, à Ann Arbor (Michigan, États-Unis). 

1889. FtUiCIIÉ, répétiteur à l'École Polytechnique, rueSoufllot, 5, ii Paris (5*). 

1905. FOUKf (l'abbé), professeur à l'Institut catholique, rue Férou, ii, à Paris (6"=). 
1872. KOUIIET, répétiteur à l'École Polytechnique, avenue Cainot,4, h Paris (17*). S. P. 
1903. FHAISSÉ, professeur au lycée, à Lille. 

1892. FUOIjOV (le général), avenue des VoUandes, 2, à Genève (Suisse). 

1903. FtETEU, Seevogelstrasse, 7, à Bàle (Suisse). 

1900. GAIiUEAIVd (Z.-S. de), professeur à l'Université, corso 99, 3, à Saragosse (Espagne). 

1906. GAllGAM DE MOMCKTZ, licencié es sciences, square de Latour-Maubourg, 8, à Paris (7*). 

1872. GAUlEli, inspecteur général des ponts et chaussées, professeur à la Faculté de Méde- 
cine, rue Édouard-Detaille, 6, à Paris (17*). 

1896. GAUTIllEU-VIliLARS, ancien élève de l'École Polytechnique, éditeur, quai des Grands- 

Augustins, 55, à Paris (6*). 

1890. GEItllIA, professeur libre à l'Université, à Palerme (Italie). 

1872. GKIVTY, ingénieur en chef des ponts et chaussées, avenue Kapp, 20, à Paris (7'). 

1906. GÉlUllOIA, quai Claude-le-Lonain, 32, à Nancy. 

1890. GEltllALDl, professeur à l'Université, via XX Settembre, Ç>Q>, à Palerme (Italie). 

1897. GEUUAIVS, prolesseur à Worcester Collège, Saint-John street, 20, à Oxford (Grande- 

Bretagne). 

1896. GIRAllDVILliE, capitaine d'artillerie, rue Michelet, 6, à Montreuil-sous-Bois (Seine). 

1903. GODEY, ancien élève de l'École Polytechnique, rue du Bois-de-Boulogne, 7, à 
Paris (16*). 

1881. COURSAT, professeur à la Faculté des Sciences, répétiteur à lÉcoIe Polytechnique, 
rue Denfert-Rochereau, 89, à Paris (5*). 

1896. GREEiVIlIlili, professeur à l'École d'artillerie, à Woolwich (Grande-Bretagne). 

1896. CREVY, professeur au lycée Saint-Louis, rue Claude-Bernard, 71,3 Paris (5-). 

1899. GlADET, ancien élève de l'École Polytechnique, boulevard Saint-Germain, 2^0 bis, à 
Paris (7') 



— I\ •— 

ilo 
lad miss ion. 

1880. filifidlV ( .Icaii ), |)r(>lVss(>iir à rUnivcrsid'-, vi;i Kii[;;;i(M(> Si-llimo, '.'><>, h l'a Ici' me C llali*-;. 
IIKK». CllKHIIV, pidlcssciii- ;iii (•()ll(;;(' Sljmisliis, Ik>uIc\ anl de l'orl-Hoyal ,><.'», a l'aiis (r'i";. 
tOOO. (il ir.llVUI), proUïssciir à lUiiivcM-siU! do Cicnuont-I'ciramI. 

1881. (îlJMIIKK ( l)"" Si(;isni(>n(l), prorcissoiir ii l'I'lcolc l'olytiicliiiifiiic, à Miuiicli ( !'.a\ iii<!). 

1885. GlJYOll, meinhii! (1«î riiisliliit, capilaiiic de iVogalc, riio Marjjncrin, ], à Paris ( t\' j. 

1873. IIAAfi, iin;oMi(Mii" (Ml rhcl' tli's pouls (M cliaiissi'îos, itroIVsscMir ii l'Écolo l*ol ylc(|iiii(|iic. 
nie (Ihai'din. ii his^ i\ l'a ris (iG"). 

1882. IIAltICII, (lirectoiii- de l'KcoIe dos lnf;t;iii(Miis, a fj'nia (l'éroii;. 

189G. IIAI)V>i\IU), prolossciir adjoint à la Faciillé iles Scifiicos. prolcssiMir sii|>|d<Miit an 
Coilè^jc, do. Franco, rno iiiiniijuldt, u'), a Paris (i'|"j. S. P. 

190i. IIAlinEllSTADi, in{;('ni<Mir dos Arls et ■MannCacturc!**, rno des Écolos, ] tri, a l'aris 

189'i. IIAIiSTED, professeur an Konyon C(>llo[;o, à (ianil)ior ( Oliio, Klas-lnis). S. P. 

1901. IIA\(;Of,K (Harris), prol'osseni- ix l'Universilé de Cincinnati, Anhnrn Holcl (Oliii-. 
Étals-Unis ). 

1900. IIAKDKfi, villa italionnc, à Dioppcdallo-Croissot ( Soino-InfV-rionro ). 

1872. IIAT0,\ »K LA (;Olil»ILI,IKUK, momhro de rinstiln t, inspoclonr {ronéral dos ini.i.s, .! i. ■•. - 
leur honorairo de l'École des mines, rue do Vaii{;iraid , .Vi, à Paris {('*")■ S. P. 

1905. IIEDItICK. jirol'ossenr à rCniversité, Sontli Mintli strcot, 3() >, a C(dunil)ia (Missouri. 
États-Unis). 

1892. Ili:ini\\i\, li[)rairo-odilotir, nio do la Sorhonno, 8, à Paris (j"). 

1893. IIIOIX, professeur en rolrailo, rue des l''ossés-Saint-Jacqiies, iG, à Paris (5*). 

1879. IIOIjST (Eli in g), prolesseiiràrÉcolePolytecliniquc,;i Ilovik, piès Christiania (Norvè{;o_.. 

1895. IIOTT (S.), professeur à l'École S'^^-tionovlùve, rue liansset, /|, à Paris (i.V). S. P. 

1880. IIU.MBHIIT, membre de rinstittit, injjéniour on cliof dos mines, professeur à ri'xolc 

Polytechniquo, rue Daul)i{;ny, (j, à l*aris (17"). 

1881. IMUEM, direcleur des oludes ii l'École Centrale, place Voltaire, 2, à Paris (11*). 
1903. ISSALV (l'abbo), rue Poquoliii-Molièro, 9, à lîordoaux. 

1896. JAlIQlEr (E. j, professeur au Prytanoo mililaire, rue Couchol, 8, à la Flèche. 

1898. JAIIMiK ( !)■■ F.), professeur à l'Académie des Aliiios, Lud\vi{fskirchstrasse, G, à lioilin 
W'=i (Allomayno). 

1898. JAUHY (N.), inoénieur civil, avoiuie du Hol-Air, 7, à Paris (i2«). 

1872. JAVAKY, chef àc bataillon du {yénie on retraite, chef des travaux ^;rai)hiques à l'Écolo 
Polylochni(|u»!, rue du Cardinal-Fonioino, i, à Paris (5"). 

1903. JE\SEi\ ( J.-L.-W.-V.), inf[énieur on cliot des Téléphones, 01. Kongevoj, 80, à Copon- 
haguo, V ( I)an(!mai'k). 

1872. JOIU)A.\, membi(^ de l'institut, professeur à l'Fcole Polytechnique cl au Collège do 

France, rue de Varenno, /|8, a Paiis {'}'')■ S. P. 

1875. JIXG, professeur à l'Inslilul technique supérieur, via FalebenofraloI li, 19, à îMilan 
(Italie^. 

1892. KOCII (H. von), professeur à l'École Polytechnique, à Djursholm-Siockholm (Suède . 

1880. KŒ\I(JS, professeur à la Faculté des Sciences, répétiteur à l'École Polytechnique. 
boulevard Arago, loi, a Paris ( l 'i") . 

1897. LACAUCIIIE, ingénieur civil , chef du lal)Oratoire de la (;iom[)agnio générale des Omni- 

bus, rue de Douai, 48, à Paris (9°). 

1873. liAlSAM, doclour es sciences, répétiteur et examinateur à l'École Polytechniquo. 

avenue Victor-Hugo, 1G2, a Paris (iG"). 



— X — 

Uale 
(le 

l'aduiissiun. 

190(). liAfiESfiO, licencié es sciences, nie IM» n{;o, l'j, à F'aris fv). 

1893. fiAXCIÎfil;\, astronome adjoint à l'Observatoire, riu; lioissonnado, 3, à Paris (i'\''). 

1899, liA!\l)Al] (E(lmnnd), professeur à rUniversité de Berlin, Hardenbcr{;strasse, lo, à 

Cliarlollonbiu'g ( Allenïa{fn(' ). 

1896. liAlJfîhli, ancien attaché (raml)assa(lo, villa Ensol(;iIIéo, à Roaulicii-sur-Mer (Alpos- 
IMarilinies). 

1873. liAUTII, inaniifacliirier, à 'l'hann (Alsace). 

1896. IjEAU, professeur au lycée Michelet, rue Vaviii, 6. h Paris (6''). 

1880. LÉAUTÉ, membre de l'Institut, boulevard de Courcelles, i8, h Paris (17"^). S. P. 

1896. liEREL, professeur au lycée, avenue Bouisson-Bcrlrand, 38, à Montpellier. 

1902. LEBESCLE, docteur es sciences, chargé de cours à la Faculté <lcs Sciences, rue des 

Quatre-Roues, [, à Poitiers. 

1903. liEBElJE, directeur de l'observatoire de Besançon. 

1893. LECOUNII, iiifrénieur en chef des mines, professeur à l'École Polytechnique, rueGay- 
Lussac, 3, à Paris (5^ ). 

1895. LEiMEKAY, licencié es sciences, infjénieur civil du [>énie maritime, boulevard de 
l'Océan, 5i, à Saint-Nazaire ( Loire-Itjférieure ). 

1872. liEiVIOIXE (Emile), ancien élève de l'École Polyteclitiique, villa Kéraliu, aux Bordes, par 
Montereau ( Seine-et-Marne ). 

1904. LEMOY\E (T.), rue Ernost-Ronan, 21, à Paris ( ij"). 

1879. LE PAIGË, professeur à l'Université, à l'observatoire de Cointe, à l.iép.e (Belgique). 

1895. LE ROUX, professeur à la Faculté des Sciences, rue de Châteaudun, 17, h Rennes. 

1898. liE ROY, docteur es sciences, boulevard Kaspail, 117, à Paris (B*"). 

1891. FjERY, agent voyer d'arrondissement, à Pontoise ( Seine-et-Oise). 

1900. I.EVI CIVITA (T.), professeur à l'Université, via Altinate, i4, à Padoue (Italie). 

1882. IjEVY (Lucien), répétiteur et examinateur d'admission à l'École Polytechnique, 
rue du Regard, 12, à Paiis (6'^). 

1872. liEVY (Maurice), membre de l'Institut, inspecteur général des ponts et chaussées, 
prolcsseur au Collège de France, avenue du lYocadéro, i5, h Paris (1(3'). 

1875. I.EZ (Henri), à Lorrez-le-Bocage (Seine-et-Marne). 

1898. LI\l)KIi')E (Ernst), professeur à l'Université, Sandvikskajan, i5, à Helsingfors ( Fin- 
lande ). 

1877. I-IIVDENANIV, professeur à l'Université, Franz-Josephstrasse, 12, à Munich (Bavière). 

1886. FilOIJVlIiljE, ingénieur des poudres, examinateur des élèves à l'École Polytechnique, 
quai Henri-IV, 12, à l*aris {^'^). 

1900. I.OVETT (E.-O), professeur à l'Université de Princeton (New- Jersey, États-Unis). 

1888. LUCAS (Félix), ingénieur en chef des ponts et chaussées en retraite, rue Boissière, 
3o, à Paris {16"). 

1902. LKIAS-GIRARDVILLE, ingénieur à la Manufacture des Tabacs, rue de Charonton, oiç), 
à Paris ( i2*). 

1902. LICAS DE PESLOLAX, ancien élèvede l'École Polytechnique, avenue Rapp, 4i, à Paris. 

1882. MACE DE LEI'INAY, professeur de mathématiques spéciales au lycée Henri IV, rue 
Claude-Bernard, 7g, à Paris (5^). 

1895. MAHiLEi, ingénieur des ponts et chaussées, répétiteur à l'École Polytechnique, rue 
de Fontenay, 11, à Bourg-la-Keine (Seine). S. P. 

1905. MALUSKI, professeur au lycée Hoche, rue Gabriel, 12, à Versailles. 
1905. MAXTELL (M"« L.), rue Dutot, 3o, à Paris (iS"). 



— \l — 

Dnto 
l 'ailiiilsslon . 

!!)()(). M.VIUUIS, licciicii' ôs srirnccs, rue 'riiciinnl, 'i. ii l';iris (.')''). 

1904. MMIOTTK, prolcssiMir .ni lyvo ( '.liailt-ni ;i;;iic, nie (!<• lUiiilly, .1'» />/.?, ii PiuIh (j'a"). 

1884. MAIITI\ ( Arlemas), i.kI), Colomhia Sticrl \. VV.. a \Vasliiii(;loii [). C. ( f'.lals-Uiiis ), 
1889. MAIliI.\ ( Kmile), ancien olèvu de l'Kcolc P()lyl<>cliiii(|ii<>, iiroCcsseiir cJe tiinllu'uia- 

ticiucs, 1*110 des Fos8«'s-Sainl-jae(|ue8, :>.■>., a Paris (.')'). 

1901. IHASSVll (.1 . ), prorc.sseiir à l'diii versil»-, hvcihic des Ails, '|.l, ii Oaiid n'(!l(;i(jiie ). 

1894. mVllIMX, prorosseiir au lyct'c, nui (!<• l'eulisc S'-Aiisoiic, .'jM, a Anijoiiloinc ( Cliareiil*;). 

1897. MEIIMIvK, prolessour h rKcoh; lcclmi(|uc siiperietirc, Lowoiislrasse, a Stutl(;art- 
l)('{j(M'locli ( Wnrleniljery). 

1889. MEXIMZAUAI, TAMIinUKI, (m), memliro de la Société <le Géoirrapliie de Mexico, calle 
de Jésus, i3, à Mexico ( Mexiqtie). S. P. 

1884- MKIICEUEAI), licencié es sciences, nie de l'I! ni veisile, uj'.'), à Paris ( -/ ) . S. P. 

1902. MEIII.IIN, dooleur en sciences, nie de la Poste, 22, à IJccle ( P)el(;i(jHe ;. 
1902. HIES.W (P«.), prolcssenr d'hydro{jrapliie à Saint-Tropez (Varj. 

1904. METZfiEU, professeur à ri'niversitc', h Syracuse (État de New-York). 

1893. RIlCllEFi ( François ), chef de parcours de la Coinp;ignie des ciicinins de ffr du Nord, 
fauhouri; Saint-Denis, 2 10, à Paris (10*). 

1873. MITTAG-LEFEIiEU, professeur à l'IJhiversilé, à Stockholm (Suède). 

190i. MIWA, professeur h rijniversité d(; Kyoto (Japon). 

1902. iMOIiK (J.), professeur à la Faculté des Sciences, rue d'Alliance, 8, à Nancy. 

1897. MOXTCIIELIIj (l'abbé dk), docteur es sciences, rue du Lanffuedoc, 9, à Toulouse. 

1898. JIOMESSIS DE IIALLOHE (vicomte Kobcrt de), professeur ii la Faculté libre des 

Sciences, l)Oulevard de la Liberté, 121, à Lille (Nord). 

1903. iMIjM.ER (J.-O.), Mkolausbergerweg, ^9, à Gôt(inf[en (Allemagne). 

1885. \EUBEKG, professeur à l'Université, rue Scb^ssin, 6, à Liège (Belgique). 

1897. MCOLMEU, professeur, à Monlreux (Suisse). 

1903. MEliS MELSEi\, inspectciu" ffénèral de l'enseignement secondaire. Norrel)rogade, 5-, a 
Copenhague (Danemark). 

1900. MEWEXGI.OWSKI, docteur es sciences, inspecteur général de l'Instruction publiciur. 

rue de l'Arbalète, 35, à Paris (5* ). 

1882. OCAGXE (M, d'), professeur à l'École des Ponls et Chaussées, répétiteur à l'École 
Polytechnique, rue La Boëtie, 3o, à Paris (8*). S. P. 

1905. OlIVET, professeur au lycée, à Dijon. 

1873. OVIDIO (Enrico n'), |)rofesseur ii l'Université, Corso-Oporto, 3o, à Turin (Italie). 

1901. PADÉ (H.), professeur à l'Université, rue de Turenne, 8g, à Hordcanx. 

1893. l'AIMiEVE, membre de l'Institut, professeur à la Faculté des Sciences et à riicole 
Polytechnique, rue d'Assas, 33, a Paris (6*"). 

1888. l'APElilEU (Georges), professejir de mathématiques spéciales au lycée, rue de Re- 
couvrance, 20, à Orléans ( Loiret). 

1884. IVAKAF, professeur-adjoint à la Faculté des Sciences de Toulouse. 

1881. l'ELLET, doyen de la Faculté des Sciences, rue Pascal, 3o, à Clermont-Ferrand. 

1874. l'EKCIN, général de division, rue de la Faisanderie, 1 1(), à Paris (i^)"). 

1881. l'EllOTT (Joseph), Université Clark, à Worcesler (Massachusetts, États-Unis). S. P. 

1873. I*EUKI\ (U.), inspecteur général des mines, rue de Grenelle, 80, à Paris (7'). S. P. 

1892. I'EKHI\' (Élie), professeur de mathématiques, rue Tarbé, 3, à Paris (17'). 

1896. l*EiUOVHCII, professeur à l'Université, Kossautch-Vcnac, 2(i, a Helgrade (Serbie ^ 



— XII — 

Dain 

(le 

admission. 

1902. lMÎTI\OVrrrill (S.), cnpit;»ine (rartillcrio do la {janlo, profosseur adjoint à rAcadémie 
d'artillerie Michel, SabalkansUy prospect 17 lojj. i5 à S-*»)!»!- l'^tpr^hniircr. 

1887. FE/JiO (del), professeur h l'Université, piazza San Marcellino, 2, à IVaples (Italie). 

1905. PFEIFFEU, maîti'iî de conlVM'eiiccs à riinivcrsité, Tarassovskaïa, >(), à Kiew (Knssicj. 

190G. IMllIillM'E (Léon), ins|»<>ct(Mir général des Ponts et Chaussées, rtn; de Turin, 2?, ois. 
a l>iiris (S«). 

Î879. IMCAIW) (i'iniile), n)einbre de l'Institut, professeur à la l'acuité des Sciences et à 
l'Kcole CeuLi-ale des Arts et Manufactures, nie Tiara, /^, à Paris (6*). 

1872. IMCQUET, elief de liataillon du \\éiùe, examinateur des élèves à l'Ecole Polylech- 
ni()ue, rue INlonsieur-le-Prince, f\, a Paris (G"). 

1899. riKHrOXT (James), professeur à l'Uriiversité Vale, Mansfield street, 42, h INew Haven 
(Conneclicul, États-Unis). 

1882. l*OI\fiAKE, membre de riuslilut et du liureau des I.onjjiludes. professeur à la 
l'aculte des Sciences, rue Cdaiide-lieriiard, ()3, à Paris {■)")■ S. P. 

1894. rOri{0\, docteur es sciences, rue du Val-de-Grâce, ir, à Paris {-î"). 

1872. l'Old(J.\AC (prince C. m:), à Radmannsdorf (Carniole, Autriche). S. P. 

1906. rOPOVICI, licencie es sciences, rue Monc,e, 29, à Paris (5*). 

1899. IMUNTiSllEl,)!. professeur à l'Université, Arcisstrasse, 12, à Miiiiich (l^avière). 

1896. PIUJVOST, insp(>cteur {yénéral lionoraiie de l'Instruction publique, 11, rue de la 
'l'our, à Paris (iG'' ). 

1902. I*UX (Victor), ancien élève de l'Ecoh; Polytechnique, professeur de mathématiques, 

rue Madame, 5^, à Paris (G"). 

1896. QIIIQUKT, actuaire de la Compagnie /a Nn:/of/n/c, boulevard Saint-Germain. ()2, a 
Paris (5«). 

1898. HABIT, ingénieur en chef des ponts et chaussées, rue Duplessis, 77, à Versailles, 

i583. UAFFY, professeur à la Faculté des Sciences, rue Pierre-iNicole, 7,11 Paris (S*"). S. P 

1903. UEMOlIVUdS, professeur de mathématiques, rue Soultani, 17, à Athènes (Grèce). 
1906. REMY, élève-ingénieur des mines, boulevard Arago, 112, à Paris (14"). 

1900. HEIVAUD, avenue Victor-Hugo, 162, à Paris (i6<'). 

1903. UlfilIAUn, professeur au lycée, place du Kosoir, i, à Dijon. 

1893. lUVEHEAl] (l'abbé), professeur à l'Institut calliolique, à Angers (Maine-et-Loire). 

1903. KftCllE, agrégé de l'Université, rue d'Assas, 7G, à Paris (G"). 

1872. UOUAKT, ingénieur civil, rue de Lisbonne, ;î4, ii Paris {H'). 

1872. KOL'CIIE, membre de l'Institut, boulevard S'-Germain, 2i3, à Paris (7^). 

1896. IlOLfdEll, docteur es sciences, rue Sylvabelle, 84, à Marseille. 

1885. IJOLQl^Ei (V.), professeur honoraire de mathématiques spéciales, h Kelpech (Aude). 
1906. UOISIEILS, professeur au collège Stanislas, boulevard Raspail, .)()(), à Paris (i4M- 

1900. SAIJYKOW, professeur à l'Université, à Kharkow (Russie). S. P. 

1872. SAirriAlX, ingénieur en chef des ponts et chaussées, chef de l'exploitation ii la Com- 
pagnie du chemin de fer <l u Nord, à Paris. 

1885. SAUVAGE, professeur à la Faculté des Sciences de Marseille. 

1897. SCIIOl (Erik), Gl. Antvorskov, à Slagelse (Danemark^ 

1881. SCIIOITE, professeur à l'Université, à Groningue (Hollande). 

1901. SEE (Thomas-J.-J.), Observatory Mare Island (Californie). 

1896. SECHER (J.-A. dk ), docteur es sciences, rue des Saints-Pères, 56, à Paris (7'). 

1882. SELIVA^OFF (I)émetrius), professeur à l'Université, Fontanka, 116, log. iG, à Saint- 

Pétersbourg (Russie). S. P. 



— XIII — 

Date 

de 
radniUsion. 

1900. SKRVANT, (locUMir rs scicMiccs, rue dt-s SaintB- Pères, ,S, ii Paris (7"). 

11)00. SI*Aintl*: (coniltî M:i|;mis de), avenue do rArchftvèrluî, 7, à F.yon. S. P. 

1870. STEI'MWOS ( DM'.yparisso»), |.r.)roHStMir à riJiiivcrsilé, a AlhcMies (Oi rc<r ). 

1001. STKiSON (Orlando), i» Franklin ( MassarliUM'lts, Klals-lJiiis ). 

1808. SiOlDIKIl (Cari), prolcssiMir a ll'ii ivorsilé, I)avcH|;adc, i'|, :i Clirisliania (Norvège). 

1003. SICIIAU, docUMir ùs scicncos, nio Saiiit-Luznrc, /i.'}, à Paiis (H"). 

lOOi. SIIUIIA, processeur il l'Hcoli! |trali<|U(! d'(''l<Mtri(iU' in<l iisi licllo, ru(! l'-nicst K('iiari, 28, 

i» Paris ( 1 f)" ). 
1904. S11X1)M4\, iw.iih'o do oonlerences à l'Uiiivorsilo, Skcppar.livink.n, .', à Helsinyfors 

( Finlande ). 

1872. SYliOW, proressouril l'IIniversilé, à l-roderiksliald ( Norvèi'O). S. P. 
1896. TA^iVEXIlEllG (df.), docteur es sciences, rue d'Assas, iiH, a Paris {('>"). 

1875. TAIS^KKY, prolesseur h la Faculté dos Sciences, sons-direcleur de IFcolo Normale 

snpérieure, rue d'Ulni, \5, à Paris (5*). 
188'2. TAHKY (C.aston), l)oulevard Poroire, 177, à Paris (i7'j. S. P. 
1899. illYBAl r, prolossenr an lycée Sai:il-l-onis, boulevard Sl-derinain, 11, a Paii*" (>). 

1873. TISSOT, ancien exaininatenr^l'admission a l'Keole Polylechni«jue, à Voreppe (^ Isère). 
189G. TISSOT, ensei^fue de vaisseau, professeur an lionla, a Brest (Finistère). 

1896. TOIIUES, membre de l'Académie des Sciences, Val{rame Dios, 3, à Madrid ( Fspa|;ne). 

1893. iOlCIlE, lienl«Mianl-colont«l d'arlillerie teiriloriale, nie Tiniranll, l'S,ii Paris (i;*)' 

187'2. TUESCA, in(fénieur on cheC des ponts et chaussées en retraite, rue du général 
Henrion-Hertliier, 7, à IVeuill \-sur-Seine (Seine). 

1896. IIŒSSE, professeur au lycée Saint-I>ouis, rue Mizon, (i, à Paris (i4')- 

1893. YALLÉK-l'OllSSIX (Cn.-.I. ue la), professeur a l'Université, rue Léopold, 38, à Lou- 
vain ( Bel|ji(|ue). 

1904. VAXI)EUK1';\, professeur à l'iîcole militaire, avenue Macan, i(), à Hruxelles. 

1905. VAX VLECk, professeur de Mathématiques. L'niversity of Wisconsin, à Maddison 

( Wisconsin, Etats-Unis ). 

1897. VASSIIiAS-VliALIS (J.), professeur à l'Ecole militaire! supérieure, rue Socrate, 11 A, 

à Athènes ( (irèce ). 

1898. VASSILIEF, président de la Société physico- malhématiiiue, h Kasau (Russie). 
1901. VESSIOr, professeur à la Faculté des Sciences, quai des lirotteaux, 4, « Lyon. 
1888. VOMEUIIA ( Vite), professeur h l'iiniversité, via Eucina, 17, à Rome. 

1904. VOKOXOi, professeur a l'Université, rue Vilc/.a, 18, à Varsovie (Russie). 

1900. VOIIIEUT, éditeur, boulevard Saint-Germain, G3, à Paris (5"^). 

1880. \VAI,(;KE\AEU, in^renieuren chef des mines, boulevard St-Ger.nain, 21S, a Paiis(7*). 
1879. WKIId,, directeni- du collè^'o Chaptal, boulevard des Ratignolles, \:), a Paiis(8«). 
1900. WlLSON, assi.stant k l'Université de Y aie, à New-Haveu ( Connecticut, États-l nis). 
1878. WOiniS DE KOMILLY.iuiîénieiir en chef des mines, rue Ralziic,7, a Paiis (8^). 

1882. ZABOliDSkl, membre du Comité d'artillerie et pr..fesseur a l'Académie d" Artillerie, 

rue Zuameukaia, 22, a Sainl-Pélersl)our{; ( Russie). 
1890. ZAKEMBA, professeur à l'Université, rue Biskupia, 3, a Gracovie (Autriche). 
1903. ZEUVOS, professeur agrégé à l'ilniversité, rue Marie, 5 B, à Athènes (Grèce). 

1881. ZEITIIEX, professeur il l'Université, Rosenvonget. SaiMl-Kanulkeslru'de, 11, à Co- 

penhague ( Daiiomaik ). 
1898. ZIWET, South Ingalls sderl. <i','|, ;i Anu Ail. or (Micliigaii, Etals l nis). 



X[V — 



Liste des Sociétés scientifiques et des Recueils périodiques avec lesquels 
la Société mathématique de France échange son Bulletin. 



Amsterdam 

Amsterdam 

Amsterdam 



Râle 

Haïti mo ri 
Berlin. . . 
Berlin... 



Berlin.. . . 
Bologne. . 
Bordeaux. 
Bruxelles. 



Bruxelles. . . 
Cambridge. 
Cambridge . 
Christiania. 
Goïmbre. . . 



Copenhague. 
Cracovie.. . . 

Delft 

Edimbourg. 
Edimbourg. 

Gand 

Gôttingen . . 

Halifax 

Hambour{f . . 

Harlem 

Helsîngfoi's. 

Kansas 

Kasan 

Kharkov 

Kharkov 

La Haye 



Leipzig. 
Leipzig. 
Leipzig. 



Académie Royale des Sciences d'Amsterdam . 

Société mathématique d'Amsterdam. 

Rei'ue semestrielle des puhlications mathéma- 
tiques . 

Naturforschende Oesellschaft. 

American Journal of Mathematics. 

Académie des Sciences de Berlin. 

Jahrbuch î'iber die Fortschritte der Mathe- 
matik. 

Journal fi'ir die rtine iiii<i angewandte Ma- 
tltematih . 

Académie des Sciences de l'Institut de Ro- 
logne. 

Société des Sciences physiques et naturelles 
de liordeaux. 

Académie Royale des Sciences, des Lettres et 
des Reaux-Arts de Belgique. 

Société scientiliqne de Rruxelles. 

Cambridge philosophioal Society. 

Aimais of Mathematics. 

Archif for Matheniatih og iXatu/ i'idens/sah. 

-Innaes scientijicos da Acadt-mia Polytech- 
iiica do Porto. 

Nyt Tidsshrift for Mdthcmatih. 

Académie des Sciences de Cracovie. 

Académie technique. 

Société Royale d'Edimbourg. 

Société mathématique d'Edimbourg. 

Matliesis . 

Société Royale des Sciences de Gôttinjjen. 

Nova Scotiau Institute of Science. 

Société mathématique de Hambourg. 

Société hollandaise des Sciences. 

Société des Sciences de Finlande. 

Université de Kansas. 

Société physico-niatliéniatique . 

y\nnales de l'Université. 

Société niathématique de Kharkov. 

Archives néerlandaises des Sciences exactes 

et naturelles. 
Société Royale des Sciences de Saxe. 
M atheniatisclie Annalen. 
Archiv der Mathematik und Physik. 



Pays-Bas. 
Pays-Bas. 

Pays-Bas. 

Suisse. 
États-Unis. 
Allemagne. 

Allemagne. 

Allemagne. 

Italie. 

France. 

Belgique. 

Belgique. 

Grande-Bietagne. 

Massachusetts. 

Norvège. 

Portugal. 

I):ineniark . 

Autriche. 

Pays-Bas. 

Grande-Bretagnt . 

Grande-Bretagne. 

Belgique. 

Allemagne. 

I\^'*-Écosse (Canada) 

Allemagne. 

Hollande. 

Finlande. 

États-Unis. 

Russie. 

Russie. 

Russie. 

Pays-Bas. 
Allemagne. 
Allemagne. 
Allemagne. 



— w — 



ï.icf[c» 

I.ivouriu; . . . 
(^oiulres. . . . 
Loii(lr«*s. . . . 
Loiidios. . . . 
LiiX(Mul)Oiiri; 
Marseille . 

Mexico 

Milan 



Moscou. 
Munich. 

Naples. 



New-Haveii 

Nftw-Yorl< . 
Odessa .... 
Païenne. . . 

Paris 

Paris 



Paris 

Paris 

Paris 

Paris 

Paris 

Pise 

Pise 

Pise 

Prague 

Prague 

Prague 

Rome 

Sainl-l'etor>ln>iiig, 

Stockholm 

Stockholm 

Tokyo 

'loulousp 



1 iiriii . . . 
Upsal . . . 
Varsovie 
Venise. . 



Vienne 

Vienne 

Washington. 
Zurich 



Société Royale des ScienrcH. 

l'criudico (Il MaCcniaticd . 

Société astronomi(]ue de I.ondroB. 

Société n):ithérnati(|U<> de F.ondrcH. 

Société Koyalc de Londres. 

Institut Royal de Luxen)l)ourg. 

Annales de la Fncnltédes Sri mers de l\lz rieillr . 

Socied.'id cientitîca .-inlonlo Alzate. 

Institut Royal lomhard des Sciences «'l 

I-ettres. 
Société niath('mati<|u<! <le iMoscon. 
Académie des Sciences de; Munich. 
Académie Royale des Sciences physii|ni's n 

mathématiques de Nnples. 
Académie des Sciences et Arts du (lonncr- 

ticut. 
American mathematical Society. 
Société des naturalistes de la Nouv<dl<!-Russic. 
Rendiconti del Circolo matem;itico. 
Académie des Sciences de Paris. 
Association française pour l'avancement des 

Sciences. 
Société philomathique de Paris. 
lîullelin des Sciences inathéniatif/nes. 
lournul de l' Ecole Polytechnii/ne. 
Institut des Actuaires français. 
Intermcdiaire des Mathématiciens. 
l'xole Hoyale Norni;ile supérieure de Pise. 
Université Royale de Pise. 
// Nuovo Cîniento. 
Académie des Sciences de Bohème. 
(■aso/Jts 1)1 o péstoi'âni rnatheniatiky a fj sik) . 
Société mathématique de Bohême. 
Académie Royale des Ijincei. 
Académie Impériale des Sciences. 
.4cta Matheniacica. 
liibliotlieca inatheniatica. 
Mathematico-physical Society. 
Annales de la Faculté des Sciences de lOi, 

louse. 
Académie des Sciences. 
Société Hoyale des Sciences d'Upsai. 
Prace Malematvczno Fizyczne. 
Institut Royal vénitien des Sciences, Lettre- 

et Arts. 
Académie Impériale des Sciences de Vienne. 
Monatshefle fur Malheniatik und Physik. 
Philosophical Society. 
Naturforschende Gesellschaft. 



Belgique. 

Italie. 

(irande-Rretagne, 

Orandfî- Bretagne, 

Grande-Bretagne. 

Luxemliourg. 

l'rance. 

Mexique. 

Itali.-. 
Russie. 
Bavière. 

Italie. 

États-Unis. 
Ktats-IJnis. 

Russie. 

Italie. 

I'"rance. 

France. 
France. 
France. 
France. 
France. 
France. 

Italie. 

Italie. 

Italie. 
Autriche. 
Autriche. 
Autriche. 

Italie. 
Russie. 
Suède. 
Suède. 
Japon. 

France. 
Italie. 
Russie. 
Russie. 

Italie. 

Autriche. 

Autriche. 

États-Unis. 

Suisse. 



— XVI — 



RÈGLEMENT 



VOTt: A LA SÉANCE DK l'asSEMBLÉE GKNÉUALE, LK 20 JUIN 1888, 
MODIFIÉ A LA SKANCK DI' 10 JANVIKll 1007. 



CHAPITRE PREMIER. 

DISPOSITIONS GÉNÉRALES. 

Articlh; prkmikr. — Les conditions à remplir, pour être membre de la 
Société mathématique de France, sont fixées pai- le premier paragraphe de 
l'article 3 des statuts. 

Dans le cas où, pour des motifs sérieux, le Bureau croit devoir surseoir 
à la présentation d'un candidat, le diiïérend est soumis au Conseil d'admi- 
nistration, qui statue définitivement dans sa séance la plus prochaine. 

Art. 2. — Les membres nouvellement élus, après avoir acquitté le droit 
d'admission de dix francs et le montant de la première cotisation annuelle, 
reçoivent un diplôme signé par le président, Fun des secrétaires et le tré- 
sorier, et portant le sceau de la Société. 

Art. 3. — La cotisation annuelle est payée au commencement de chaque 
exercice, dont l'origine est fixée au i*^' novembre de chaque année. 

Les nouveaux membres doivent payer la totalité de la cotisation de 
l'exercice en cours, quelle que soit l'époque de leur admission. 

Art. 4-. — Tout membre a le droit, à une époque quelconque, de ra- 
cheter ses cotisations à venir et de devenir sociétaire perpétuel, moyennant 
la somme de trois cents francs (art. 3 des statuts). Cette somme peut être 
payée en une seule fois, ou par versements de cent francs chacun, se sui- 
vant à des intervalles qui ne doivent pas dépasser une année. 

En cas de retard, la cotisation annuelle continue à être exigible, indé- 
pendamment et jusqu'à complet acquittement de la somme de trois cents 
francs. 

Art. f), — Tout membre qui, n'étant pas sociétaire perpétuel, négligera 
de payer régulièrement sa cotisation annuelle, sera, après avertissement du 
trésorier, à lui adressé par lettre recommandée et resté sans effet, considéré 
comme démissionnaire. 

CHAPITRE II. 

TENUE DES SÉANCES DE LA SOCIÉTÉ. 

Art. g. — La Société tient des séances ordinaires deux fois par mois; 
elle prend trois mois de vacances, de la mi-juillet à la mi-octobre. 



— XVII — 

A.nT. 7. — L;i prrmièro sr.iiK c de jiiiivicr !'•>{ ronsjirrdn spéniaicment aux 
alertions pour lo. rcnouvcllcmciil, du IJuk^iu <! <lii (loiiscil. 

AliT. S. — Il est. a<li('ss('' r,lia(|un aiiiicc, <l«;s l(; (Irhiil dOrlobrc, à tf)us 
les membres de la Sociél*', une carie irnprimre portant, riudicalion des 
jours de séance. 

Art. î). — Pour assister aux sciiiiccs, les p(Msonncs ctran{;ères à la So- 
ciété doivent être présentées pai l'un de ses membres. 

.\rt. 10. — \a\ |)réscncc du président ou d'un vice-présideni , assis!»' d'un 
des secrétaires ou vice-secrétaires, suffit pour constituer le Hureau a 
chaque séance. 

Art. II. — K\\ cas d'absence du prc'sident et des vice-présidents, le 
trésorier, ou, à son défaut, l'archiviste, occupe le fauteuil. 

A défaut des membres du Bureau qui viennent d'être désignés, les fonc- 
tions de président sont remplies par le plus âgé des sociétaires préîsents à 
la séance. 

En cas d'absence des secrétaires et vic(,'-secrétaires, le présid«;nl du jour 
invite un des membres présents à en remplir les fonctions. 

Art. 1:2. — Chaque séance commence par la lecture <lu procès-verbal de 
la séance précédente. 

Les Communications sont faites dans l'ordre de leur inscription. Chacune 
d'elles ne peut durer plus de vingt minutes. 

Ces dispositions ne s'appliquent pas aux conférences scientifiques qui 
pourraient être organisées par le Bureau. 

Art. 13. — Les questions relatives à l'administration de la Société, à 
moins d'une demande du Conseil, ne peuvent être traitées en séance ordi- 
naire. Elles doivent faire l'objet d'une note remise au président, qui en 
réfère au Conseil dans sa plus prochaine réunion. 

CHAPITRE III. 

BULLETIN ET PUBLICATIONS DIVERSES. 

Art. 14. — La Société publie par livraisons un recueil annuel qui a pour 
titre : Bulletin de la Société mathématique de France, et qui contient, 
avec un extrait des procès-verbaux des séances, des Motes et Mémoires sur 
les Mathématiques pures ou appliquées, ayant pour auteurs des membres 
de la Société, et présentant quelque originalité au point de vue de la mé- 
thode ou des résultats. 

Les travaux des personnes étrangères à la Société peuvent, exception- 
nellement, trouver place dans le Bulletin, à la condition d'offrir un intérêt 

suffisant. 

Art. lo. — L'un des secrétaires est spécialement chargé par le Conseil 
de tout ce qui concerne la publication du Bulletin. Il est assisté, dans le 
choix des Noies et Mémoires qui peuvent y être insérés, par une Com- 
mission d'impression composée du président, des vice-présidents, du 
deuxième secrétaire et des vice-secrétaires. 



— XVIlt — ' 

Art. 16. — La Société se propose, dans les limites de ses droits et de 
ses ressources, de publier, soit dans le corps du Bulletin, soit à part, des 
Mémoires inédits et de réimprinicr des œuvres importantes d'anciens ma- 
thématiciens français ou étrangers (art. 14 des statuts). 

Art. 17. — Les livraisons du Bulletin sont adressées à tous les membres 
de la Société, au fur et à mesure de leur publication. Toutefois, dans le 
cas où un sociétaire se met eu retard dans le payement de sa cotisation, 
l'envoi du Bulletin est suspendu pour lui, jusqu'à ce qu'il ait acquitté 
l'arriéré. 

Art. 18. — Le Conseil fixe, par mesure générale, les prix réduits moyen- 
nant lesquels les membres de la Société peuvent se procurer les volumes 
du Bulletin parus antérieurement à leur admission, et les Ouvrages autres 
que le Bulletin publiés par les soins de la Société. 

CHAPITRE IV. 
composition et mode d'élection du bureau et du conseil. 

Art. 19. — La Société est administrée par un Conseil composé comme 
l'indique l'article 4 des statuts. 

Le Bureau du Conseil est le même que celui de la Société (art. 4 des 
statuts). 

Le nombre des membres honoraires prévus par l'article 4 des statuls 
n'est pas limité; ces membres honoraires ne peuvent être nommés que sur 
la présentation du Conseil ou sur une proposition spéciale faite par écrit, 
signée de vingt membres de la Société, et déposée au plus tard dans la 
dernière séance de décembre. 

Art. 20. — Le renouvellement du Bureau et du Conseil a lieu chaque 
année, dans la première séance de janvier, et conformément aux prescrip- 
tions des articles 5, 6 et 16 des statuts. 

Dans ce but, un avis de convocation, accompagné de bulletins de vote 
en blanc et, s'il y a lieu, des propositions du Conseil, est envoyé, en temps 
utile, à tous les membres de la Société. 

Art. 21. — Les membres, qui ne peuvent assister à la séance dans 
laquelle ont lieu les élections, sont invités à envoyer au président, en temps 
opportun, leurs votes sous enveloppes fermées, en y joignant un avis 
d'envoi portant leur signature. 

Les enveloppes contenant les bulletins de vote ne sont ouvertes qu'au 
moment du scrutin. 

CHAPITRE V. 

ATTRIBUTIONS DES MEMBRES DU BUREAU. 

Art. 22. — Le président veille à l'observation des statuts et du règle- 
ment de la Société; il assure l'exécution des délibérations du Conseil. 



— \l\ — 

AuT. HA. — l'<'^ sciMi'taircs on, à leur dcfaiil, les VKM'-sccrcluires rccJi^triit 
les procès-verbaux des séances de la Société et des séances du Conseil. 

Art. "ii. — Sous lii dircclinu du pn^idciil , les scciw-laircs sont, chargés 
de la c<)rrt'S|)()ud;iU((' pour tout ce (pji concM'rne l«'s liavaux (;l l«;s aiïairfîs 
de la Société; ils couvocpienl la Société, le Conseil et les Commissions, 
quand il y a lieu, et préparent les ordres du jour. 

AuT. ':2r). — L'archiviste est chargé de la garde des archives de la Société. 
Il a sous sa direction la bibliothèque; il dresse le catalogue dcrs livres, 
brochures et manuscrits qui en font partie. 

Art. ^2G. — Le trésorier est chargé du recouvr<;ment des sommes dues à 
la Société. Il acquitte les dépenses ordonnancées [)ai' l'un des secrétaires, 
spécialement délégué par le Conseil. Il tient un registre des recettes et des 
dépenses. 

Art. 27. — Il ne peut être fait aucun emploi extraordinaire des fonds de 
la Société, sans une délibération spéciale du Conseil. 



CHAPITRE VI. 

ATTRIBUTIONS DU CONSEIL ET TENUE DE SES SÉANCES. — COMMISSIONS. 

Art. 28. — Le Conseil se réunit dans les conditions fixées par l'article 7 
des statuts. 

Art. 29. — A chaque séance du Conseil, les noms des membres présents 
sont consignés au procès-verbal. 

Art. 30. — Sur la proposition de cinq membres, le vote peut avoir lieu 
au scrutin secret. 

Art. 31. — Sur la demande de cinq membres, il peut être fait appel à la 
Société des décisions qui n'auraient pas été prises aux deux tiers des voix 
des membres présents. 

Art. 32. — Les procès-verbaux des séances du Conseil doivent être 
transcrits sur un registre coté et parafé par l'un des secrétaires; ils doivent 
être signés par le président et le secrétaire qui ont composé le Bureau; 
les renvois doivent être parafés et les mots rayés approuvés. 

Art. 33. — Le Conseil se réunit chaque année au co